Существование решений системы дифференциальных уравнений, близких к приближенному решению

С конца 60-х — начн т 70-х годов прошлого столетия предпринимаются многочисленные попытки исследования качественного поведения периодических и автономных систем с помощью вычислительной техники. Идея такого рода исследований состоит в следующем: строятся приближенные решения (одно или несколько) на весьма длинном промежутке изменения аргумента. Эти приближенные решения задают некоторое множество точек в фазовом пространстве. Есть весьма веские основания надеяться, что эти построенные множества содержат в себе аттракторы и неблуждающее множество изначальной системы. Часто подобными методами удается установить наличие или отсутствие периодических решений, гомоклинических точек и контуров. Все это позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальных уравнений.

В настоящее время известно довольно много работ, связанных с этой проблемой, например [1−15].

Приведем некоторые результаты, изложенные в этих работах. Одной из первых и наиболее известных является статья [1], посвященная исследованию уравнения Дуффига с периодическим вынуждением.

В ней изучается дифференциальное уравнение: х I- 5х — (Зх + ах3 = / соз (и-?), где / > 0 произвольный параметр, а а, (3,5, си фиксированные положительные числа. На основе исследования приближенных решений автор делает выводы о наличии или отсутствии у него аттракторов, неявляющихся периодическими решениями, гомоклипических решений и гомоклинических контуров в зависимости от параметра /. А также исследуются свойства (структура) этих решений, путем анализа приближенного решения.

В работе [13] с помощью приближенных вычислений изучаются предельные циклы осциллятора i = е,(1 — щ) — ai/10 + J2f (ai)ivij — ai)> j где, а а > 0 =.

0 а < 0. e? > 0, Vij равняется +1 пли —1, г = 1,., 6.

В недавно опубликованной статье [14] при помощи указанных методов изучается структура аттрактора системы i = 2(- 2?(? + п) — ^(cos в + с2 sin 9) i] = 2т) — 2г/(2£ + Зт?/4) — 2⁷⁷(cos в — с2 sin 0) — /с2ту 0 = с2(2£ - 77/2) + (2? + 7]) sin 6> + (2? — rj) c2 cos в + 2схк2 в зависимости от параметров Ci, с2 и fc, при этом r? > 0.

В работе [15] при помощи численного анализа показано, что в системе i + ?i — az + bzi2zi = czz2 ?2 + 0.5 z2 = z могут присутствовать бифуркации при Imi>, Ree ^ 0.

Описанный метод исследования систем дифференциальных уравнений позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальых уравнений лишь при условии, что в окрестности приближенного решения располагается хотя бы одно истинное решение заданной системы, однако, для достаточно длинных интервалов изменения аргумента это условие может не выполняться.

В работах [16], [17] сформулированы достаточные условия, при которых в окрестности приближенного решения существует истинное решение.

Настоящая работа посвящена нахождению более слабых условий, чем приведенные в [16], [17] п построению методов конструктивной проверки этих новых условий.

В первой главе данной работы поставлена задача нахождения условий, при которых любому приближенному решению системы дифференциальных уравнений соответствует близкое ему истинное решение этой системы.

Во второй главе вводится понятие (Ль Лг, аь (^-гиперболичности линейной системы, которое следует понимать как обобщение понятия гиперболичности линейной системы (см. определение [18]). Производится исследование некоторых свойств таких систем.

В третьей главе доказывается теорема, в которой сформулированы обо-щенные условия существования ограниченного решения линейной неоднородной системы.

Четвертая глава посвящена сравнению условий, полученных в главах 2 и 3, с уже существующими результатами опубликованными в [16], [17].

В пятой главе доказана теорема, в которой сформулированы условия существования истинного решения в окрестности приближенного.

В шестой и седьмой главах показывается, каким образом условия теоремы из главы 5 могут быть конструктивно проверены с помощью алгоритмов приближенных вычислений.

Основные результаты опубликованы в работах [19], [20], [21], и [22].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей работе сформулированы условия, при которых данному приближенному решению соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного решения, являющиеся более слабыми, чем условия, которые являются результатом работ [16], [17].

Как было показано в главах 6 и 7 настоящей работы, полученные условия могут быть использованы для построения алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений с помощью вычислительной техники (проверки корректности вычислений приближенных решений на весьма длинных промежутках изменения аргумента). Построение алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений, реализуемых на ЭВМ, с учетом приведенных в настоящей работе условий существования истинного решения в окрестности приближенного — предмет отдельного исследования, так как ЭВМ работают с заранее заданной нижней границей точности вычислений.

Дальнейшие исследования будут проводиться в направлении построения необходимых условий, при которых данному приближенному решению соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного.