Математические модели неразрушающего контроля мезоскопических сред и методы их исследования: Аналитические и численные

Актуальность.

Изучение наноструктур знаменует новый этап развития естественных наук. Наноструктуры — это структуры, по своим размерам занимающие промежуточное положение между молекулами и микроскопическими объектами, т. е. объектами размером порядка 1 мкм. Они содержат конечное число атомов и, следовательно, подходят для решения современных технологических задач на атомном уровне. Следует особо отметить широту и разнообразие возможностей, создаваемых этим научным направлением. Это особенно справедливо для материаловедения, где нанотехнология в ближайшие десятилетия должна привести к подлинной революции.

В этой связи в последнее время значительно усилился интерес к построению моделей среды на наноуровне, иначе называемыми мезоскопическими моделями сплошной среды. Это объясняется также тем, что при создании новых технологий неразру-шающего контроля среды, обычно сталкиваются с проблемой создания адекватной как математической, так и физической модели исследуемого объекта. При этом часто получаемая математическая модель не описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Одной из первых таких математических моделей, созданной для описания рассеяния излучения, можно считать уравнение переноса. Примерами сред, для которых часто рассматривается мезоскопические модели, являются, например, среды с временной или пространственной дисперсией и уставший металл.

Ситуация с описанием физических процессов на мезоуровне начала меняться после принятия физическим сообществом идей Мандельброта о структурном самоподобии (фрактальности). Многочисленные примеры физических структур, обладающих самоподобием на уровне промежуточном между микрои макроуровнями (на мезоуровне), стали объектами пристального внимания со стороны физиков — экспериментаторов. Оказалось, что материалы, мезоскопическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантностью (скейлинга) всего 5−8 порядков, имеют уникальные физические свойства, являющиеся результатом его внутренней самоподобной «архитектуры» [49]. Заметим, что для такого материала нельзя определить такое основное понятие физики сплошной среды, как «плотность», и, соответственно, для него нет адекватной математической модели.

Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Смирнов Б. М., Соколов Д. Д., Поликарпов М. И., Бершадский А. Г., Зосимов В. В., Потапов А. А., Нигматулин P.P., Чукбар К. В., Учайкин В. В., Кобелев B. JL, Романов Е. П., Оксогоев А. А., Бунин Е. Ж., Иванова B.C., Васильев J1.H., Андреев Г. А., Галкина Т. В., Опаленов Ю. В., Милованов А. В., Засовин Э. А., Соколов А. Ф., Кравченко В. Ф., Bande A., Halvin S., Lauwerier Н., Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J., Davaney R.L., Ramstyein A.S., Schaefer D.W., Keefer K.D., Pfeifer P., Jakeman E., Allain C., Cloitre M., Tsallis C., Alexandrowicz Z.,.

Для всех этих математических моделей большой интерес представляют задачи перазрушающего контроля. Эти обратные задачи, состоящие в определении характеристик среды по известным параметрам реакции этой среды на внешнее воздействие, не являются, как правило, классическими коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных.

Поэтому на первом этапе постановки обратной задачи актуальной становится задача нахождения параметров, несущих наиболее значимую информацию об интересующих нас внутренних характеристиках среды. В этом случае выделение этих параметров и исследования характера зависимости этих параметров от характеристик среды является основной задачей компьютерного моделирования и может привести к созданию новых технологий неразрушающего контроля среды. Состояние проблемы.

Одной из основных задач неразрушающего контроля я мезоскопических сред, ставшей актуальной в последнее десятилетие, является задача оптической (лазерной) томографии. Задачи лазерной томографии возникли в результате отказа от использования сильно ионизирующего гамма излучения при ранней диагностики рака головного мозга. Применение классической схемы томографии с использованием лазерного излучения затруднено в виду сильного рассеяния оптического излучения видимого диапазона. Как известно, классическая схема томографии основана на обращении преобразования Радона, при этом рассеянное излучение воспринимается как шум. Использование уравнения переноса для описания рассеяния фотонов в оптически плотных средах делает обратную задачу более адекватной физической проблеме и снимает ряд проблем, однако математическая сложность такой обратной задачи возрастает. Это связано с переходом от задачи обращения преобразования Радона к обратной задаче для уравнения переноса. Большой вклад в развитие теории обратных задач для уравнения переноса внесли Амиров А. Х., Аниконов Ю. Е., Ани-конов Д.С., Иванков А. Л., Нижник Л. П., Орловский Д. Г., Прилепко А. И., Романов В. Г., Тарасов В. Г., Case К.М., Larsen E.W., McCormick N.J., Sanches R., Grunbaum A., Dorn O., Natterer F. Автору известна единственная работа Wang Z.-S., Lu B.-W. в которой рассматривалась обратная задача рассеяния для фрактальной среды.

Исследования структуры фундаментального решения стационарного уравнения переноса, результаты которого приведены в диссертации, привели к созданию принципиально новой технологии дистанционного зондирования оптически плотных сред. Эту схему будем называть спектроскопией с высоким пространственным и угловым разрешением. (Space-domain spectroscopy) Для этой схемы автором разработаны простые численные алгоритмы решения обратной задачи. Эти алгоритмы являются более устойчивыми и позволяют определять дополнительные параметры среды. В предложенной схеме использование рассеянного излучения, как источника дополнительной информации о среде, дало возможность восстанавливать одновременно не один, а два параметра, характеризующих среду.

Однако практическая реализация этой схемы для обьектов размером порядка 103 длин свободного пробега натолкнулась на определенные трудности. Как показали совместные с группой проф. Наттерера компьютерные Монте-Карло эксперименты, это было связано со следующим обстоятельством. Угловые особенности рассеянного излучения, порожденные сосредоточенным, мононаправленным источником, бысто затухая в оптически плотной среде, становились недоступными для регистрации современной аппаратурой. Для биологических обьектов размером в несколько десятков длин свободного пробега, таких как молочная железа, эта схема давала желаемый результат. Но для обьектов типа головного мозга (103 длин свободного пробега) эта схема не могла быть практически реализована.

Для решения этой проблемы рассматриваются два подхода.

1.Подход, предполагающий создание новой математической модели, описывающей рассеяние излучения в оптически плотной среде.

В этом направлении в диссертации на основе подхода, используемого в современной теории поля, было выведено интегральное уравнение, напоминающее уравнение.

Липпмана-Швингера. После анализа структуры сингулярностей его решения был предложен метод решения обратной задачи, состоящей в восстановлении двух параметров среды по измерениям плотности модуля вектора Пойнтинга на границе области. Как показало компьютерное моделирование, этот метод позволяет исследовать внутреннюю структуру объектов порядка 102 длин свободного пробега. Основная проблема заключалась в том, что для лазерной томографии головного мозга требуются методы, работающие с объектами порядка 103 длин свободного пробега фотона видимого спектра.

2.Подход основан на таком статистическом явлении как диффузионные волны.

На сегодняшний день, в зависимости от конфигурации экспериментальной установки и используемой теоретической модели распространения света в исследуемой среде, принято различать две базовые методики определения искомых оптических характеристик:

Спектроскопия с высоким временным разрешением (в англоязычной литературе «Time-resolved-» ил и «Time-domain spectroscopy»). На поверхность исследуемой сильно-рассеивающей среды падает короткий (обычно пикосекундный) лазерный импульс. Интенсивность рассеянного света регистрируется приемником, расположенным на известном расстоянии от точки падения лазерного излучения на поверхность среды. Выражение для интенсивности, как функции расстояния «источник — детектор1^ времени, может быть получено на основе решения нестационарного уравнения диффузии света в исследуемой среде. Искомые оптические характеристики среды входят в полученное выражение в качестве параметров. Наибольший вклад в разработку этого направления внесли Patterson M.S., Chance В., Wilson B.C., Kienle A., Wang R.K., Wikramasinghe Y.A.

Модуляционный метод («Frequency-domain technique»). Одним из самых перспективных направлений в области неразрушающего контроля среды является исследование свойств диффузионных волн в регулярных средах и в средах с временной дисперсией. Диффузионные волны, как физическое явление, являются основой для создания одной из самых перспективных технологий неразрущающего контроля сплошной среды [136], [133], [159], [135], [147]. Этот метод находит применение в медицинской [143], [144], [154], [124], [207], [119] и оптической [188], [113], [153], [213] диагностике. Эти волны являются сильно затухающими волнами огибающей плотности фотонов и порождаются периодическим источником излучения в оптически плотной среде.

Модуляционный метод развивался в работах: Тучина В. В., Arridge S.R., Patterson M.S., Chance В, Kienle A, Cubeddu R, Pifferi A., Taroni P., Torricelli A., Valentini G., O’Leary M.A., Arjun G., Tromberg B.J., Coquoz O., Fiskin J.В., Schweiger M. В качестве источника света использовалось непрерывное лазерное излучение, модулированное по амплитуде. Отметим, что под диффузионными волнами понимаются физически различные явления. Например, слабую локализации ноносекундного светового импульса в оптически плотной среде и волны плотности фотонов, возбуждаемые периодическим по времени источником.

Прямые физические эксперименты, результаты которых приведены в работах Tromberg B.j., Svaasand L.O., Tsay T.-T., Haskell R.C., O’Leary M.A., Boas D.A., Chance В., Yodh А., показали, что возмущения фотонной плотности обладают типичными для волн свойствами: они преломляются, дифрагируют, обладают дисперсией и затухают. Автору не известны результаты исследований оптических свойств диффузионных волн методом прямого компьютерного моделирования.

В последнее время большое внимание физиков привлекли, так называемые, решетчатые модели мезоскопических сред. Как было замечено выше, исследование неупорядочных систем факторизуется на задачу исследования дискретной модели и проблему предельного перехода. Первая решается путем многочасовых компьютерных экспериментов, вторая — ренормгрупповыми методами. Этот подход был разработан в современной квантовой теории поля для исследования открытых нелинейных систем и считается одним из самых эффективных. При этом в современной физике, моделям использующим самоподобные (фрактальные) решетки уделяется особое внимание. В этом направлении следует отметить работы Pai-Yi Hsiao, Burioni R., Gassi D., Donnetti L., Carmona J.M., Mariconi U.M., Ruiz-Lorenzo J.J., Taracon A.

Однако автору не известны работы посвященные исследованию обратных задач для таких моделей. Цель работы.

Целью работы является разработка новых математических моделей и численных методов решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред, возникающих в рамках этих моделей. Компьютерное моделирования работы построенных на основе этих математических моделей измерительных схем с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать структуры фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнения переноса с переменными коэффициентами с целью решения методом сингулярных разложений обратных задач теории переноса излучения, возникающих в задачах томографии с рассеянием. Разработать на этой основе новые схемы томографии, использующих рассеянное излучение, как дополнительную информацию о среде.

2. Разработать новые математические модели для описания процессов рассеяния излучения в оптически плотных средах. Построить новые схемы измерения в томографии для сред с сильным рассеянием, использующих информацию только о распределении плотности энергии излучения на границе.

3. Разработать математические методы моделирования всех предлагаемых схем томографии с рассеянием с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

4. Провести компьютерное моделирование процессов рассеяния диффузионных волн, с целью сравнительного анализа их оптических свойств в различных моделях и разработать на основе этого исследования рекомендации для создания новых технологий неразрушающего контроля мезоскопических сред, основанных на регистрации диффузионных волн.

5. Разработать математические модели, описывающих процесс отражения волн от границ раздела регулярной и фрактальной среды. Провести компьютерное моделирование критических явлений в модели Изинга на самоподобных решётках, с целью определения влияния параметров этих решеток на величину критических экспонент.

6. Разработать математические методы моделирования для нахождения высокочастотной асимптотики малые поперечных колебания этих решеток, с целью нахождения параметров, несущих наибольшую информацию о структуре решеток.

Научная новизна.

1. Впервые получены аналитические результаты о сингулярной и регулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами, доказаны теоремы единственности решений, возникающих в томографии с рассеянием обратных задач, построены численные алгоритмы их решения, разработаны новые схемы томографии в оптически плотных средах, проведено моделирование работы этих схем и даны выводы об их эффективности и границах применимости.

2. Впервые дан феноменологический вывод интегрального уравнения (типа Лип-пмана — Швингера) для эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах, получены две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса, доказаны теоремы единственности задачи оптической томографии и построены численные алгоритмы ее решения. На этой основе впервые разработана новая схема томографии с рассеянием, проведено моделирование переднего фронта решения уравнения ЛШ и сделаны выводы об эффективности предложенной схемы.

3. Впервые с помощью техники фейнмановских диаграмм была получена теорема о структуре особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными неоднород-ностями в потенциале и разработаны алгоритмы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородно-стей по следу решения уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Впервые разработан метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе, получена теорема единственности и разработаны численные алгоритмы решения этой задачи.

4. Впервые с помощью разработанного метода локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени путем компьютерного моделирования диффузионных волн для различных моделей мезоскопических сред обнаружены явления дифракции, рефракции, выполнение принципа Гюйгенса-Френеля и явление разогрева неоднородностей. На основе этого моделирования впервые дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии.

5. Впервые получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Впервые получено обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

6. Впервые с помощью компьютерного моделирования, как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло, исследованы различные решетчатые математические модели отражения волн от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны впервые выбирались модель Каца, модель, предложенная Фейнманом для уравнения Дирака (спинорная модель), и модель квантового блуждания.

7. Впервые путем компьютерного моделирования критических явлений на самоподобных решетках исследовано влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри и сделаны выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Впервые методом теплового ядра сводящего исследование спектральной асимптотики малых собственных колебаний решетки к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке, исследована высокочастотная асимптотика самоподобных решеток. Результаты компьютерного моделирования дают возможность сделать выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля среды на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра её малых колебаний.

9. Впервые разработаны основы техники спектральной хирургии квантовых графов, используя которую впервые удалось получить функциональное уравнение для § - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского. Впервые доказаны теоремы единственности решения для обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе и для задачи оптической томографии с сингулярными неоднородностями. Впервые разработаны численные методы и предложены технологические схемы для их решения.

Теоретическая значимость.

1. Аналитические результаты о сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного уравнения переноса, нестационарного уравнения переноса и уравнения Липпмана-Швингера могут быть использованы для создания новых численных алгоритмов решения задач неразрушающего контроля среды.

2. Уравнение типа Липпмана-Швингера, предложенное в работе для описания эволюции плотности вектора Пойнтинга электромагнитного поля в оптически плотной среде, является более удобным, чем уравнение переноса, и не имеет артефактабесконечной скорости распространения возмущений, присущего уравнению теплопроводности. Предложенный подход может быть использован для вывода новых уравнений описывающих процесс рассеяния излучения в средах с аномальной диффузией.

3. Точные решения обратных задач аномальной диффузии, полученные в работе, могут быть использованы при построении численных алгоритмом решения обратных задач аномальной диффузии.

Практическая значимость.

1. Разработана новая схема томографии с рассеянием, в которой рассеянное излучение воспринимается не как шум, а как источник дополнительной информации, позволяющая определять одновременно две характеристики среды. Эта схема была положена в основу проекта, принятого правительством России к финансированию и уже частично реализована западными фирмами. Алгоритмы и пакеты программ, разработанные для моделирования работы этой схемы, позволяют исследовать ее эффективность в различных ситуациях.

2. Разработаны алгоритмы численного решения обратной задачи томографии с сингулярными неоднородностями, позволяющие находить их координаты в неоднородной среде.

3. Результаты численного моделирования на основе разработанных алгоритмов, поведения диффузионных волн для различных моделей распространения излучения позволили сделать выводы о перспективности различных схем оптической томографии.

4. Явление разогрева неоднородностей, выявленное в результате компьтерного моделирования поведения диффузионных волн в различных моделях рассеяния излучения дает теоретическую возможность для создания новых технологий для раннего лечения злокачественных новообразований.

5. Результаты компьютерного моделирования новых моделей процессов отражения электромагнитных волн от «фрактальных» поверхностей позволяют сделать ряд выводов об их адекватности реальным процессам.

6. Полученные компьютерным моделированием, проведенным на основе комплекса разработанных программ, выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков и высокочастотной асимптотики малых колебаний в рамках модели фрактальной параметризации материала, дают основу создания новых технологий неразрущающего контроля мезоскопических сред.

Достоверность результатов диссертации подтверждается их совпадением в частных случаях с результатами расчетов, выполненных другими авторами и с помощью других методов. Теоретические результаты опубликованы в ведущих зарубежных журналах, докладывались на крупных международных конференциях и представлены в их публикациях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. На защиту выносятся.

1. Результаты исследования сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами и решений уравнения Липпмана-Швингера.

2. Алгоритмы решения (аналитические и численные) решения обратных задач рассеяния в оптически плотных средах и новые схемы томографии, построенные на этой основе. Выводы об их эффективности и границах применимости, основанные на результатах компьютерного моделирования работы этих схем.

3. Методы решения задач оптической томографии, основанные на описаниии эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах с помощью предложенного в работе интегрального уравнения типа Липпмана-Швингера.

4. Метод исследования сингулярной структуры уравнения (ЛШ), основанный на технике фейнмановских диаграмм и результаты исследования структуры решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Методы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе.

5. Метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени и результаты численного моделирования диффузионных волн в различных моделях мезоскопических сред. Комплекс программ и результаты компьютерных экспериментов по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Данный на основе этого моделирования анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Аналитические результаты, полученные для обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами.

6. Методы моделирования в задаче отражения электромагнитной волны от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. Сравнительный анализ различных моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученных как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

7. Результаты моделирования критических явлений на самоподобных решетках и анализ влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Метод исследования высокочастотной асимптотики малых собственных колебаний самоподобных решеток методом теплового ядра, сводящий исследование этой асимптотики к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке. Выводы о перспективности технологий на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра малых колебания среды.

9. Техника спектральной хирургии квантовых графов, ее теоретическое обоснование и результаты по обратной задаче рассеяния, полученные с ее помощью.

Апробация.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на.

• Международном симпозиуме по теории обратных задач (Самарканд-1987).

• Заседании рабочей группы по разработке рекомендаци провительству по создания оптического томографа (Санкт-Петербург-1991, 3−8 мая.).

• International Symposium on Computerized Tomagraphy, (Novosibirsk-1993).

• International workshop «Computational Radiology and Imaging: Therapy and Diag-nistic», Minneapolis, Institute for Mathematical and its Applications, 3−17 march, 1997.

• International Conference «IIL-POSED AND INVERSE PROBLEMS» dedicated to Prof. M.M. Lavrent’ev, Novosibirsk-1999.

• 6th International Symposium on science and technology, Novosibirsk State Technical University, 24−30 June 2002.

• 7 th International Symposium on science and technology, Ulsan Technical University, Korea, June 24-July 30, 2003.

• 8 th International Symposium on science and technology, Tomsk State University, Tomsk, June 26-July 3, 2004.

Основные результаты докладывались также на семинарах Института Математики, Вычислительного Центра СО РАН, Института Гидродинамики и Новосибирского Государственного Технического Университета.

Публикации.

По теме диссертации автором опубликовано 61 печатная работа, в том числе 20 — в рекомендованных ВАКом журналах и в центральных зарубежных изданиях, 10 работ опубликовано без соавторов.

Личный вклад автора.

Диссертационная работа и все результаты, лежащие в её основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему полностью принадлежат постановки задач исследования, теоретические исследования и анализ численных экспериментов.

Работа выполнялась в Институте Математики им. C.JI. Соболева СОРАН и Новосибирском Государственном Техническом Университете в период с 1985 по 2004 год.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, и заключения, изложенных на 319 страницах машинописного текста.

Заключение

.

Приведем основные результаты проведенных исследований.

1. Для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса представлена его сингулярная структура, экспоненциальный закон затухания особенностей и наличие заднего фронта этих особенностей. Для фундаментального решения стационарного уравнения переноса установлена сингулярная структура его фундаментального решения. На основе этих результатов предложены новые схемы томографии в оптически плотных средах. Доказаны теоремы единственности решения возникающих здесь обратных задач, разработаны численные алгоритмы их решения и приведены результаты компьютерного моделирования работы этих схем.

2. Дан феноменологический вывод интегрального уравнения (ЛШ) для плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах. Доказаны две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса. Рассмотрена обратная задача для уравнения (ЛШ), состоящая в определении двух функций по известному рассеянному излучению на границе области. Используя метод сингулярных разложений и полученные результаты об асимптотическом разложении решения (ЛШ), доказана теорема единственности решения этой обратной задачи. Разработаны численные алгоритмы её решения. Проведено компьютерное моделирование структуры решения ЛШ и на основе этих результатов даны выводы о перспективности предложенной схемы. Рассмотрена линеаризованная постановка этой обратной задачи. В этом случае задача сведена к известной задаче интегральной геометрии для семейства эллипсоидов. Доказана теорема единственности решения этой обратной задачи. Рассмотрена задача оптической томографии, состоящая в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Используя технику фейнмановских диаграмм, доказана теорема о структуре особенностей решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Полученные результаты о структуре особенностей решения ЛШ с сингулярными неоднородно-стями позволили свести эту задачу к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе. Доказана теорема единственности и предложены конструктивные алгоритмы решения этой задачи.

3. Проведено аналитическое численное исследование свойств диффузионных волн для различных моделей мезоскопических сред. Для модели уравнения переноса предложен метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени для расчетов методом Монте-Карло. Это позволило обнаружить и исследовать путем компьютерных Монте-Карло экспериментов такие оптические свойства диффузионных волн, как дифракция, рефракция и выполнение принципа Гюйгенса-Френеля. Проведены компьютерные эксперименты по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Используя конечноэлементную апроксимацию для уравнения Гельмгольца с комплексной фазой, исследованы оптические свойства диффузионных волн в этой модели. Обнаружено явление |, разогрева" неоднородностей диффузионной волной. На основе этих компьютерных экспериментов дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Рассмотрены прямые и обратные задачи для модели сред с временной дисперсией. Получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Для численного решения обратных задач с переменными коэффициентами используется метод обращения разностной схемы. Приведены результаты расчетов ряда модельных задач. Получено и исследовано обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

4. Исследовалась задача отражения электромагнитной волны от полуплоскости, замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны были предложены модель Каца, модель, предложенная Фей-нманом для уравнения Дирака (спинорная модель) и модель квантового блуждания. Дан сравнительный анализ этих моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученные как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

5. Метод существенной выборки (алгоритм Метрополиса), кластерный алгоритм Swendsen-Wanga и алгоритм Wolff использовались для анализа влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Для самоподб-ных решеток, построенных по коврам Серпинского с одинаковой размерностью хаусдорфа, но с разной топологией, были получены разные значения температуры Кюри. На основе этих результатов даны выводы о возможности создания новых технологий неразрушающего контроля мезоскопических ферромагнитных сред.

6. Исследовалось влияние параметров самоподобных решеток на высокочастотную асимптотику фрактонного спектра. На основе метода теплового ядра и тауберовой теорема Карамата был предложен метод исследования этой асимптотику методами Монте-Карло. Результаты этого моделирования позволили сделать некоторые выводы о перспективности использования параметров высокочастотной асимптотики в задаче неразрушающего контроля уставших материалов в рамках модели фрактальной параметризации материала.

7. Разработаны основы спектральной хирургии квантовых графов. Эта техника позволила доказать теорему единственности обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе. Используя эту технику, доказана теорема единственности решения задачи оптической томографии с сингулярными неоднородностями. Исследована задача рассеяния для самоподобных решеток. Получены факторизационные соотношения для § - матриц для операций разрезания и склейки. Техника спектральной хирургии позволила, используя ренормгруповой анализ, получить функциональное уравнение для S — матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского.