Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики

Настоящая диссертация посвящена решению задач математической и теоретической физики на основе унифицированной процедуры использования обобщенных дзета-функций. Необходимость такого рассмотрения связана, с одной стороны, с развитием компьютерных методов расчета различных задач математической физики, а с другой стороны — бурным развитием решеточных теорий поля. Другое применение обобщенных дзета-функций в задачах математической и теоретической физики обуславливается все возрастающим интересом к рассмотрению задач на нетривиальных топологических структурах для получения не локальных свойств решений уравнений математической физики, а глобальных. По-видимому, исторически этот подход в одномерном случае восходит к Леонарду Эйлеру и Бернгарду Риману. Затем, в силу исторически сложившихся причин, решение задач математической физики, ввиду трудности нахождения точных решений, в значительной мере было сосредоточено на изучении локальных свойств решений. Однако, вследствие работ Пуанкаре по теории гиперэллиптических функций и в связи с дифференциальными уравнениями нетривиальной топологической структуры стало ясно, что для полного решения задач математической физики существенны теоретико-числовые свойства обобщенных дзета-функций. С другой стороны, еще один нетривиальный вопрос связан с так называемыми асимптотическими рядами теории возмущений, которые возникают при рассмотрении простейших задач одномерной квантовой механики. Полное решение этой задачи связано с построением так называемой топологической теории возмущений, предложенной А. С. Вшивцевым и В. Н. Сорокиным в работе [1] и продолженной в других многочисленных работах (см., например, работы [2], [3]). Топологическая теория возмущений фактически основывается на глобальном характере поведения решения данного дифференциального уравнения. С третьей стороны, Н. С. Кошляков в работе [4], написанной, как известно, в лагере, под псевдонимом Н. С. Сергеев, проводит замечательное исследование функционального уравнения Римана, навеянное уравнением теплопроводности. В этом исследовании вводятся и изучаются функции, обобщающие функцию гамма, полиномы Бернулли и т. п. В качестве функции, обобщающей дзета-функцию Римана, Н. С. Кошляков рассматривает ряд Дирихле:

Исторически, первой была введена дзета-функция Римана (известная еще Эйлеру):

Для дзета-функции Римана доказано аналитическое продолжение, функциональное уравнение и множество соотношений, эквивалентных функциональному уравнению. Основные факты, относящиеся к дзета-функции Римана приведены в монографии Титчмарша [5]. После классической работы Римана появился ряд исследований Гурвица, Лерча, Аппеля, Стилтьеса, Э. Ландау, Гамбургера, Н. С. Кошлякова и др., посвященных различным обобщениям дзета-функции Римана и их где А, 15., А, пположительные корни уравнения Фурье, играющего основную роль в аналитической теории распространения тепла: р бш пХ + X соб %Х = 0, р>0.

00 ф)= п где Яе5> 1. п=1 применением к различным задачам анализа и теории чисел, завершением которых явилась упомянутая выше работа Н. С. Кошлякова.

Дальнейшее направление теории дзета-функций связано с введением Дирихле так называемых Ь — рядов, свойства которых можно найти в монографии Н. Г Чудакова [6]. Общий вид Ь — ряда Дирихле:

00 п=1 где х (п) «характер Дирихле. Функции Дирихле возникают в физике твердого тела как суммы Маделунга и в квантовой теории поля в связи с понятием «скрученных полей» [8]. Ряды Дирихле впоследствии обобщались в работах Дедекинда, Э. Артина, Хассе, Гекке, Зигеля, А. Вейля, Тейта, Тамагавы, Ленглендса и других авторов. Итоговая монография на эту тему — книга Э. Жаке, Р. Ленглендса [7].

Наконец, в работах Р. Эпштейна, Л. А. Дикого, С. Минакшисундарама, А. Плейеля, А. Сельберга, Л. Д. Фаддева, С. Хокинга и очень многих других были введены понятия: «дзета-функция Эпштейна», «обобщенная дзета-функция Эпштейна», «дзетафункция Сельберга», «дзета-функция Плейеля-Минакшисундарама», «дзета-функция дифференциального оператора» и установлены многочисленные связи с теорией возмущений, спектральной геометрией, квантовой статистической механикой, квантовой теорией поля и т. д. Необходимые сведения и многочисленные ссылки можно найти в книгах Н. Харта [8], ив коллективной монографии [9].

Таким образом, весь перечень перечисленных вопросов позволяет сформулировать задачу использования обобщенной дзета-функции в приложении к решению задач математической физики в более широком плане. А именно: вычисление на основе дзета-функции или с ее использованием необходимых в теоретической физике величин, таких как эффективный потенциал, статистическая сумма и т. д. А также решение классических задач теории рассеяния для двух измерений.

Первая глава диссертации является вводной. Она разделена на три параграфа. В § 1 рассматривается связь между оператором Лапласа и дзета-функцией. В § 2 рассматривается между уравнением теплопроводности и дзета-функцией. В § 3 напоминаются некоторые известные дзета-функции, приводятся их свойства и устанавливается связь дзета-функций и эффективных потенциалов.

Вторая глава диссертации также разделена на два параграфа. В § 1 рассматриваются некоторые примеры дзета-функций возникающих в задачах теоретической и математической физики. В результате мы приходим к задаче изучения общей дзета-функции, которую автор назвал дзета-функция Эпштейна-Бернса. В § 2 изучаются некоторые свойства двумерной дзета-функции Бернса, для которой доказывается несколько необычное функциональное уравнение.

Третья глава посвящена исследованию фазовой структуры модели Гросса-Неве с учетом влияния температуры и конечного объема. Предложена регулярная процедура вычисления эффективного потенциала модели Гросса-Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий. Процедура основана на использовании дзета-функции Римана-Эпштейна. Для разных типов граничных условий найдены эффективный потенциал и фазовая структура модели. Показано, что в двумерии (в отличие от трехмерия) фазовая картина не зависит от константы связи (при смешанных граничных условиях). Установлено существование критической длины такой, что если длина пространственного измерения меньше критической, то при любой температуре ос — 0 и фазового перехода нет (ас — параметр порядка). Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход: при температурах ниже температуры фазового перехода ас Ф 0, выше сгс=0. Кроме того, рассматривается задача факторизации двумерной дзета-функции Эпштейна гп, П) Ф{ 0,0) в сумму произведений множителей более простого вида. Это возможно только для некоторых пар чисел, а и Ь, которых имеется конечное число и которые перечислены в настоящей главе. Эти результаты могут найти применение при квантовании 6-мерного обобщения теории Калуцы-Клейна, рассмотрении эффектов в сверхпроводниках, в некоторых моделях квантовой гравитации и, возможно, некоторых других задачах.

Четвертая глава посвящена далеко идущему обобщению результатов предыдущей на случай пространства с нетривиальной топологией.

Т х Л. Разработана процедура вычисления эффективных потенциалов для пространств с этой топологией при произвольных граничных условиях: периодических, антипериодических, смешанных и с произвольными фазами. При этом изложение ведется в форме, близкой к аксиоматической, что позволяет легко выписать эффективный потенциал в любом случае, когда тепловое ядро соответствущей задачи допускает тэта-соотношение (модулярное соотношение). Основа изложения в настоящей главе — взаимосвязь задачи вычисления эффективного потенциала и теории нестандартных функциональных уравнений для рядов Дирихле, удовлетворяющих обобщенному функциональному уравнению типа Гекке, которому удовлетворяют возникающие в задаче дзета-функции типа Эпштейна.

Пятая глава посвящена изучению характера поведения асимптотических решений волнового уравнения при рассеянии плоской волны на двояко-периодических локальных неоднородностях, имеющих планарное расположение. Задача изучения точных и асимптотических решений волновых уравнений для таких структур обуславливается необходимостью моделирования сплошных сред с неоднородностями, а также изучением распространения упругих волн в тонких пленках (сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики). В задачах данного класса необходимо учитывать не только первое приближение, но и детально исследовать более тонкие эффекты. Это исследование сводится к математической задаче теоретико-числового типа: нахождение асимптотического поведения функций специального вида, представляемых в виде двойных сумм по решетке неоднородностей. В настоящей главе представлена одна из возможных процедур построения таких асимптотик. Хотя математически это всего лишь частный пример, корни его расположены очень глубоко. А именно, в теории рядов Дирихле важную роль играют тождества, равносильные функциональному уравнению: они называются нестандартные функциональные уравнения или «явные формулы» (в дальнейшем мы будем писать этот термин, обходясь без кавычек). Мы имеем цепочку равносильностей: «функциональное уравнение» <=> «модулярное соотношение» О «разложение на простейшие дроби» О «формула суммирования» <=> «асимптотическая явная формула» О и т. д. Наша задача является как раз примером асимптотической явной формулы, выписанной для очень специфической дзета-функции из рода «сдвинутых дзета-функций Эпштейна». Такой пример в математической литературе не рассматривался, хотя тематике явных формул посвящены многочисленные работы Вороного, Вигерта, Оппенгейма, Эдмунда Ландау, Вальфиша, Харди, Литтлвуда, Уилтона, Гамбургера, Гекке, Диксона, Феррара, Гинанда, Кошлякова, Кузьмина, Бохнера, Чандрасекхарана, Нарасимхана, Берндта, Лаврика, Морено и др. (см. [8],[9],[10] и указанные там ссылки). Из формулы, представленной в настоящей главе, следует, что в главном асимптотическом приближении (с точностью до экспоненциально малых поправок) в дальней волновой зоне, что соответствует пределу малых периодов решетки неоднородностей, решение волнового уравнения представимо в виде плоской волны, распространяющейся ортогонально плоскости расположения узлов неоднородности, а добавочные слагаемые к главному асимптотическому приближению носят осциллирующий характер и их амплитуда промодулирована убывающей экспонентой.

Приложение 1 посвящено доказательству функционального уравнения для дзета-функции Эпштейна.

Приложение 2 посвящено доказательству теоремы разложения двумерной дзета-функции Эпштейна в сумму произведений множителей более простого вида.

Заключение

посвящено формулировке основных результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Изучается подробно двумерная дзета-функция Бернса: получено аналитическое продолжение и функциональное уравнение, которое оказалось соотношением нового вида, в котором вид контраградиентной функции зависит от арифметических свойств коэффициентов.

2. Предложена регулярная процедура вычисления эффективного потенциала модели Гросса-Неве на двумерной решетке с различными типами граничных условий, основанная на дзета-функции Римана-Эпштейна. Показано, что в двумерии (в отличие от трехмерия) фазовая картина не зависит от константы связи (при смешанных граничных условиях). Установлено существование критической длины такой, что если длина пространственного измерения меньше критической, то при любой температуре фазового перехода нет. Если длина пространственного измерения больше критической, то существует фазовый переход. При температурах ниже температуры фазового перехода ос Ф 0, выше <�ус =0 (<�УСпараметр порядка).

3. Решена задача факторизации двумерной дзета-функции Эпштейна в сумму произведений множителей более простого вида, что возможно только для конечного числа пар чисел а, Ъ, которых имеется конечное число и которые перечислены в диссертации (они оказались тесно связанными с так называемыми «удобными числами» Эйлера).

4. Разработана процедура вычисления эффективных потенциалов для тй ПГ пространств с нетривиальной топологиеи 1 х К при произвольных граничных условиях: периодических, антипериодических, смешанных и с произвольными фазами. Разработана также процедура вычисления эффективного потенциала в случае, когда тепловое ядро соответствующей задачи допускает тэтасоотношение (модулярное соотношение), что устанавливает связь между задачей вычисления эффективного потенциала и теорией нестандартных функциональных уравнений для рядов Дирихле, удовлетворяющих функциональному уравнению типа Гекке.

5. Решена задача изучения характера поведения асимптотических решений волнового уравнения при рассеянии плоской волны на двояко-периодических локальных неоднородностях, имеющих планарное расположение, которая оказывается формально-математической задачей (теоретико-числового типа) нахождения асимптотического поведения функций специального вида, представляемых в виде двойных сумм по решетке неоднородностей. Представлена одна из возможных процедур построения таких асимптотик, связанная с построением так называемой асимптотической явной формулы (терминология автора), что устанавливает связь с так называемой теорией явных формул из теории чисел. В математической литературе такой пример ранее никогда не рассматривался.

6. Введено понятие асимптотической явной формулы и рассматриваются иллюстрирующие примеры. Выведена общая формула, связывающая дзета-функцию Эпштейна-Гурвица для случая произвольной размерности и асимптотическое поведение некоторой суммы по многомерной решетке.

17 июля 1998 года автор должен был пойти к своему научному руководителю и другу Александру Сергеевичу Вшивцеву, чтобы обсудить текст автореферата. В этот день Саши не стало. Светлой памяти замечательного человека посвящается эта работа.

На завершающем этапе неоценимую поддержку и помощь автору оказал научный консультант работы профессор Владимир Чеславович Жуковский. Многочисленные беседы с профессором Анатолием Викторовичем Борисовым были поистине бесценны. Автор выражает глубочайшую признательность В. Ч. Жуковскому и А. В. Борисову за поддержку, которую невозможно переоценить.

Заключение

.