Методическая система обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования

Современное общество нуждается в грамотных специалистах, способных принимать и реализовывать творческие решения в различных областях деятельности.

Сегодня в России к образованию предъявляются социально-экономические, профессиональные и духовно-нравственные требования. Они предусматривают качественное обновление педагогической науки, направленное на развитие личности, ее мировоззрения, сознания, совершенствование профессионального потенциала.

В практике обучения происходит внедрение парадигм личностно-ориентированного и развивающего обучения, гуманизации, гуманитаризации, фундаментализации и информатизации. Направленные на организацию учебного процесса с учетом достижений современной науки, они обеспечивают систематическое обновление аспектов образования, его ориентацию на развитие личности, создание комфортных условий для постижения новых знаний.

В России установлен приоритет образования, реализуется принцип его непрерывности, позволяющий последовательно получать знания на следующих его уровнях: дошкольноеобщее — начальное, основное, среднее (полное) — профессиональное — начальное, среднее, высшее, дополнительноепослевузовское профессиональное — аспирантура, докторантура, повышение квалификации и переподготовка.

Формирование и развитие человеческой личности — важнейший результат образования. Идея его гуманитаризации, в частности математического, находит свое развитие в учебных заведениях и представляет собой один из основополагающих факторов стратегии образования. Гуманитаризация математического образования рассматривает изучение математики в контексте достижений мировой культуры. В процессе обучения любой учебной дисциплине необходимо реализовывать развитие творческой личности, чему способствует, в частности, обучение топологии и дифференциальной геометрии. Взаимопроникновение естественнонаучных и гуманитарных знаний, интеграция профессиональной и общекультурной подготовки учителя математики в единстве с развитием его личностных качеств являются приоритетами в процессе обучения.

При подготовке будущих учителей особое внимание уделяется профессионально-педагогической направленности. Необходим комплексный подход к подготовке учителей математики по топологии и дифференциальной геометрии с позиций гуманитаризации обучения и его профессионально-педагогической направленности. Посредством реализации выявленного гуманитарного потенциала обучения названным дисциплинам происходит единение общественных функций образования, отвечающего за интеллектуальную сферу, и культуры, отвечающей за духовные ценности, -тем самым создается единое культурно-образовательное пространство.

Приобретая профессиональные знания, будущий учитель включается в культурно-образовательное пространство и становится в своей профессии как носителем математических знаний, так и транслятором культуры на основе межсубъектного обмена ценностями, знаниями, навыками, информацией, способами деятельности.

Направленность обучения топологии и дифференциальной геометрии на постижение и применение системообразующих оснований и глубинных связей между многообразными процессами окружающего мира в результате реализации гуманитарного потенциала обучения этим дисциплинам и применения информационных технологий предполагает формирование в сознании студентов целостной картины реального мира с учетом их психологических особенностей и ограниченности учебного времени-.

Повышению качества подготовки специалистов, обладающих навыками и знаниями, соответствующими требованиям современного общества, существенно способствует внедрение в учебный процесс информационных технологий, принимающее в вузовской системе образования масштабный и комплексный характер. Гуманитаризация современного профессионального педагогического образования, в том числе математического, направлена на подготовку нравственно созревших, определившихся специалистов, ориентацию будущих учителей на непрерывное самосовершенствование, на осознанную связь получаемых профессиональных знаний с общекультурными ценностями, на воспитание эстетического и этического отношения к окружающему миру, людям, самому себе.

Идея гуманитаризации предполагает построение социокультурной концепции образования. Гуманитаризация его, в частности, предполагающая формирование знаний по различным учебным курсам на каждой из ступеней непрерывной системы образования с одновременным приобщением обучаемых к культурным и духовным ценностям, способствует их органичному погружению в единое культурно-образовательное пространство. Тем самым минимизируется разрыв образования с традициями мировой и отечественной культур. Интенсивность процесса гуманитаризации образования, возможности его воздействия на личность обучаемого во многом зависят от гуманитарного потенциала учебных курсов и наличия методических систем, позволяющих его реализовать. В процессе обучения естественным, техническим, социально-гуманитарным наукам формируются представление и знание мировоззренческих образов природы и общества, изменяется логика мышления обучаемого.

Разработка методической системы обучения тому или иному научному курсу, позволяющей выявить и реализовать общекультурный, гуманитарный потенциал данного курса, во многом способствует процессу гуманитаризации образования и разрешает одно из важнейших противоречий между назревшей в современном обществе необходимостью гуманитаризации образования, наличием гуманитарного потенциала рассматриваемого курса и традиционными методами обучения, не решающими проблемы реализации данного гуманитарного потенциала.

В подготовке учителей математики преподавание геометрии имеет давние традиции. Эти традиции развивались и изменялись в соответствии с запросами общества и на базе научных исследований в математике, психологии, педагогике. Для понимания существующих подходов к обучению топологии и дифференциальной геометрии необходимо обратиться к наследию математиков, философов и дидактов, начиная с древних времен до настоящего времени, таких как Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид, Архимед, Аполлоний, Леонардо да Винчи, А. Дюрер, Ф. Виет, Р. Декарт, Ж. Дезарг, Л. Эйлер, Г. Монж, Ф. Дюпен, Н. И. Лобачевский, Я. Штейнер, Ж. Френе, П. Л. Чебышев, Ф. Клейн, А. П. Киселев, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Э. Картан, Н. А. Извольский, В. М. Брадис, Н. Н. Лузин, Д. Пойа, А. Я. Хинчин, П. С. Александров, И. В. Арнольд, П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров, Г. Ф. Лаптев, Б. В. Гнеденко, Н. Я. Виленкин, Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Г. В. Дорофеев, Л. Д. Кудрявцев, А. С. Симонов, А. Т. Фоменко, В. А. Далингер.

Для современного культурно-образовательного пространства характерны интеграция наук, стремление получить наиболее точное представление об общей картине мира. Достижения современных наук о природе, имеющие общеобразовательное и культурное значение, должны быть доступны как ученым, так и всему человечеству, овладевающему, постигающему сущность явлений. Подготовка всесторонне развитого учителя математики, с широким кругозором, владеющего глубокими теоретическими и прикладными знаниями и их профессионально-прикладной направленностью, является первостепенной задачей высшего педагогического образования.

Принцип интегративности знаний предполагает использование межпредметных связей при изучении топологии и дифференциальной геометрии. Обучение им будущих учителей математики в тесной связи с историей науки, научными методами, обеспечившими достижение определенных открытий, позволяет приобщить учителей математики к культуре. Подтверждение этому — исследование проблем топологического мышления, топологической логики, топологического силлогизма Аристотелем в его трактате «Топика». Анализ топологического принципа в эстетике Аристотеля, исследования его топологической диалектики провел А. Ф. Лосев. Ж. Делёз рассмотрел проблемы эстетики, архитектуры и кино с позиций топологического мышления. Интересны исследования вопросов топологического мышления философами М. К. Мамардашвили, В. В. Савчуком, А. А. Грякаловым. Вопросы философии восприятия рассмотрены А. Бергсоном, Ж. Делезом, М. Мерло-Понти, И. А. Кребелем и др.

Выявленный гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии в непрерывном математическом образовании на этапах пропедевтики как в школе, так и в вузе, в процессе фундаментальной базовой подготовки и углубленного обучения специальным курсам дает возможность гуманизировать и гуманитаризовать процесс обучения на всех обозначенных нами этапах. Это позволяет сделать вывод о возможности и необходимости переосмысления базовых компонентов системы обучения: целей, содержания, методов, форм и средств — при обучении топологии и дифференциальной геометрии в процессе подготовки учителей математики с целью реализации выявленного гуманитарного потенциала.

Анализ существующих подходов к обучению топологии и дифференциальной геометрии показал, что они направлены на глубокое изучение математики и ее приложений, но при этом не осуществляют комплексную философско-исследовательскую направленность обучения, не реализуют гуманитарный потенциал обучения топологии: и дифференциальной геометрии. В подавляющем большинстве программ не отражены проблемы визуализации топологических и дифференциально-геометрических понятий посредством, информационныхтехнологий, не предусмотрено использование компьютерных математических пакетов.

Изучены диссертационные исследования по проблематике обучения в высшей школе и его гуманитаризации.

Вопросы профессионально-педагогической направленности подготовки учителей математики исследованы А. Г. Мордковичем, В. И. Игошиным, Г. Л. Луканкиным, Г. Г. Хамовым, Л. В. Шкериной.

Проблемы непрерывности школьного и вузовского математического образования изучены И. И. Мельниковым, Е. М. Ибрагимовой.

Ряд авторов: В. Ф. Любичева, А. И. Нижников, Е. И. Смирнов, Н. Л. Стефанова, Т. И. Уткина — в своих исследования осветили проблемы методики преподавания математики в высшей школе.

Актуальные исследования по оптимизации, интенсификации и применению информационных технологий в процессе подготовки учителей математики проведены В. А. Бубновым, С. Г. Григорьевым, В. В. Гриншкуном, В. Р. Майером, В.Т. Петровой^А.В. Ястребовым.

Вопросы профильной дифференциации обучения изучены И. В. Дробышевой, Е. С. Петровой и Н. Г. Подаевой.

Гуманитаризация математического образования в вузах рассмотрена P.M. Аслановым, В. В. Афанасьевым, Т. А. Ивановой, B.C. Корниловым, А. Х. Назиевым, Т. С. Поляковой, И. С. Сафуановым, B.C. Сековановым.

Таким образом, проведенный анализ показывает, что в имеющейся литературе практически не рассмотрена проблематика создания методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии для подготовки учителя математики, включающая, в частности: выявление гуманитарного потенциала обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики и его гуманитаризациюоптимизацию обучения топологии и дифференциальной геометрии, в том числе посредством информационных технологийреализацию выявленного гуманитарного потенциала обучения топологии с целью формирования^ мировоззрения и профессионально-педагогической направленности подготовки будущего учителя математикипроецирование изучаемых топологических и дифференциально-геометрических понятий на школьный курс математики и одновременный подъем элементов этих понятий, содержащихся в школьном курсе, на уровень вузовского обучения. Важность указанных проблем и отсутствие их освещения в научно-педагогической литературе делает актуальной тему исследования.

Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о том, что традиционная система топологической и дифференциально-геометрической подготовки учителей математики испытывает противоречие между непрерывно возрастающим в обществе значением гуманитаризации математического образования, выявленным существующим гуманитарным потенциалом обучения топологии и дифференциальной геометрии и отсутствием методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии для подготовки учителей математики, позволяющей сформировать у будущих учителей комплексное отношение к профессии, включающее в себя глубокие знания математических зависимостей, умение их анализировать и применять в окружающей действительности, культуру топологического мышления, осознание своего положения в культурно-образовательном пространстве, этическое и эстетическое отношение к окружающему миру, людям, самому себе, знание и понимании развития топологии и дифференциальной геометрии и их приложений, профессионально-педагогическую подготовку, позволяющую воспитать эрудированных профессионально-ориентированных выпускников школ, способных продолжить обучение в различных областях и стать полезными членами общества в любых видах деятельности.

Необходимость устранения указанного противоречия посредством разработки методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математическогообразования с использованием информационных технологий, позволяющей сформировать у будущих учителей математики культуру топологического мышления, эстетическое и этическое отношение к окружающему миру, знание и умение применять историю развития топологии и дифференциальной геометрии и их приложений, основ гуманитарного анализа топологических и дифференциально-геометрических исследований, определяет научную проблему представляемой диссертационной работы. Эта проблема заключается в отсутствии методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии, ориентированной на подготовку учителей математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования, способствующей формированию у будущих учителей комплексного отношения к профессии, включающего в себя культуру топологического мышления, эстетическое и этическое отношение к окружающему миру, людям, самому себе, способность оценить красоту и гармонию математических идей и формул, знание и умение применять историю развития топологии и дифференциальной геометрии и их приложений, основ гуманитарного анализа топологических и дифференциально-геометрических исследований, психологические качества личности.

Для решения сформулированной проблемы необходимо проведение педагогического исследования, включающего анализ существующих подходов к преподаванию топологии и дифференциальной геометриивыявление гуманитарного потенциала обучения этим дисциплинамсоздание соответствующих концепции и методической системы обучения им при подготовке учителей математики, учитывающей имеющиеся аспекты гуманитаризации непрерывного математического образования на различных его уровнях в комплексном сочетании с профессионально-педагогической направленностьюпроектирование гуманитарно-ориентированных учебных занятий по топологии и дифференциальной геометрии с учетом их прикладной направленности и применения информационных технологий.

Целью исследования является создание методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования, обеспечивающей формирование у будущих учителей комплексного отношения к их профессиональной деятельности, включающего в себя базовую математическую культуру, в том числе, культуру топологического мышлениязнания и умения применять топологию и дифференциальную геометрию и их приложения к различным курсам математики в процессе их профессионально-педагогической деятельностиспособность воспитать эрудированных профессионально-ориентированных выпускников школ, готовых продолжить обучение в различных областях и стать полезными членами общества в любых видах деятельности.

Объектом исследования является математическая подготовка студентов — будущих учителей математики.

Предметом исследования выступает методическая система обучения топологии и дифференциальной геометрии для подготовки учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования.

Гипотеза исследования состоит в том, что обучение топологии и дифференциальной геометрии будущих учителей математики, осуществляемое на базе созданной многоуровневой методической системы, обеспечивает гуманитаризацию их непрерывной математической подготовки в комплексе с повышением ее профессионально-педагогической направленности и позволяет повысить эффективность усвоения знаний, умений и навыков по топологии и дифференциальной геометриивыявить гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии посредством историко-философской линии обучения, межпредметных связей и реализации прикладной направленности рассматриваемых дисциплинрасширить мировоззрение студентов посредством формирования их топологической культуры, мышления и представления о мире в его взаимосвязях.

Задачи исследования. Названные цели, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи:

1) проанализировать имеющуюся научную, научно-методическую литературу и диссертационные исследования в областях топологии и дифференциальной геометрии и методики их преподавания;

2) проанализировать сущность процесса гуманитаризации непрерывного математического образования и роль в нем геометрии;

3) выявить существующий гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии и историко-философские аспекты их развития;

4) создать концепцию, определить цели и принципы обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителей математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования;

5) сформировать содержание многоуровневого обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики на этапах пропедевтики, фундаментальной базовой подготовки, углубленного обучения специальным курсам и разработать программы курсов, соответствующие названным этапам;

6) выявить методы и средства для проведения занятий по топологии и дифференциальной геометрии с учетом их прикладной и гуманитарной направленностейразработать методику проведения лабораторного практикума по топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики с применением в нем компьютерных математических пакетов;

7) экспериментально подтвердить эффективность разработанной методической системы.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применены следующие методы: анализ научно-педагогической, психологической, философской литературы и диссертационных исследованийфизико-математической литературы, в том числе, в области топологии, дифференциальной геометрии и их приложенийучебных программ, пособий, материалов научных семинаров, конференций, симпозиумовпроведение лекционных и практических занятий с абитуриентами, студентами и учителямичтение лекций на различных курсах повышения квалификациипроведение лабораторных и лабораторно-исследовательских работ с применением компьютерных математических пакетовпосещение лекций коллег по работе, обсуждение с ними различных разделов исследования, тестирование, анкетирование школьников, студентов, учителей, преподавателей вузовпедагогический эксперимент в вузе и школе и анализ его результатов.

Теоретическая и методологическая основа исследования. В основу исследования заложены фундаментальные работы в области профессиональной подготовки учителя и проблем развития его личности (Асланов P.M., Балл Г. А., Выготский JI.C., Гусев В. А., Лернер И. Я., Луканкин Г. Л., Мордкович А. Г., Никандров Н. Д., Пидкасистый П. И., Подласый И. П., Скаткин М. Н. и др.) — в области гуманитаризации математического образования (Берулава М.Н., Дорофеев Г. В., Иванова Т. А., Кравец А. С., Назиев А. Х., Полякова Т. С., Саранцев Г. И., Смирнова И. М. и др.) — в области общедидактических принципов оптимизации образовательного процесса (Афанасьев В.В., Бабанский Ю. К., Беспалько В. П., Виленкин Н. Я., Черкасов Р. С., Гнеденко Б. В., Дробышева И. В., Загвязинский В. И., Колягин Ю. М., Коменский Я. А., Леднев B.C., Метельский Н. В., Монахов В. М., Нижников.

A.И., Песталоцци И. Г., Пышкало A.M., Стефанова Н. Л. и др.) — в области методологических аспектов применения информационных технологий и прикладной направленности (Анищенко С.А., Григорьев С. Г., Гриншкун.

B.В., Дахер Б. А., Дьяконов В. П., Жданов С. А., Корнилов В. С., Кузнецов А. А., Майер В. Р., Роберт И. В. и др.) — в области топологии, и дифференциальной геометрии и их приложений (Акивис М.А., Александров П. С., Гольдберг В. В., Базылев В. Т., Гильберт Д., Ефимов Н. В., Зейферт Т., Зуланке Р., Картан Э., Кобаяси Ш, Мищенко А. С., Новиков С. П., Номидзу.

К., Постников М. М., Розенфельд Б. А., Фоменко А. Т., Хаусдорф Ф., Шелехов A.M., Шутц Б. и др.).

База научного исследования. База научного исследования и опытно-экспериментальной работы — математический факультет Московского городского педагогического университета, факультет довузовской подготовки Московского государственного строительного университета, средняя школа № 280 г. Москвы (ГОУ Кадетская школа № 1783 «Московский кадетский корпус Героев Космоса»).

Научная новизна исследования.

1). Обосновано, что обучение топологии и дифференциальной геометрии обладает гуманитарным потенциалом.

Предложен комплексный философско-исследовательский подход к подготовке учителей математики по топологии и дифференциальной геометрии, позволяющий в процессе обучения формировать математические компетенции и мировоззрение обучаемых, направленное на развитие их топологической культуры и топологического мышления.

Введено понятие гуманитарного потенциала обучения топологии и дифференциальной геометрии.

Топологическое мышление определено как процесс непрерывного познания истины как события, но не адеквации, при котором новые знания формируются с учетом ранее осознанных устойчивых знаний. Определено понятие топологической культуры.

Топологическая культура — это не только такой уровень развития человека и общества, на котором осознанно реализуются знания, умения, навыки, но и уровень интеллекта, нравственное и эстетическое развитие, мировоззрение, направленные на восприятие окружающего мира в его системе сложных непрерывных взаимосвязей, на постижение и применение системообразующих оснований (гуманности, экологичности, норм морали и права и пр.) и их глубинных связей, инвариантных (неизменных) под воздействием многообразных деформирующих процессов реальности, на выработку на основе этого системы идей, целостных структур, взглядов на мир в его взаимозависимостях. В более узком смысле топологическая культура включает в себя топологические знания, умения и навыки, реализуемые в сфере математической деятельности и ее приложений.

2). Разработана концепция обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования, основу которой составляют: дуалистическая трактовка топологии как математической науки и как философии восприятия топологической структуры мира, парадигма непрерывно-дискретного обучения, триада обучения топологии и дифференциальной геометрии, дуальность процесса проецирования новых знаний по топологии и дифференциальной геометрии на школьный курс математики и подъема знаний школьного курса математики в топологический и дифференциально-геометрический слои высшего математического образования учителя математики и др.

3). На базе представленной концепции сформулированы принципы обучения: принцип тернарности, заключающийся в обучении топологии и дифференциальной геометрии в три этапа, обеспечивающий непрерывность математического образованияпринцип проецирования новых знаний по топологии и дифференциальной геометрии, усваиваемых будущим учителем математики, на школьный курс математикипринцип подъема знаний школьного курса математики в топологический и дифференциально-геометрический слои высшего математического образования учителя математики.

4). Сформировано содержание-многоуровневого обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики на этапах пропедевтики усвоения знаний, фундаментальной базовой подготовки в рамках основного курса «Элементы топологии и дифференциальная геометрия», углубленного обучения специальным курсам.

5). Предложен принцип отбора и систематизации учебных задач, основанный на последовательном зацеплении. Принцип реализован для специального курса «Связности в расслоенных пространствах» при решении авторских задач на нахождение расслоенного пространства, определение в нем линейной и нелинейной связностей, определение геодезических линий и их аналогов. Показано, что задачи системы могут быть применены для исследования процессов и явлений прикладного характера, что способствует гуманитаризации математической подготовки будущих учителей математики. Так, задачи на определение геодезических линий используются в народном хозяйстве, например, при проектировании наземных, подводных и воздушных трасс. Определено понятие гуманитарного потенциала математической задачи, в ее содержании выделены гуманитарно-ориентированные компоненты.

6). Представлены основы формирования понятий и развития топологического мышления, алгоритмы решения задач с применением информационных технологий, обеспечивающие реализацию гуманитарного потенциала обучения топологии и дифференциальной геометрии, в том числе, его прикладную направленность.

Теоретическая значимость исследования состоит в выявлении гуманитарного потенциала обучения топологии и дифференциальной геометрии и его роли в профессионально-педагогической направленности математического образования учителяв построении концепции обучения топологии и дифференциальной геометрии будущих учителей математики и создании на ее базе методической системы обучения, позволяющей повысить эффективность освоения знаний по топологии и дифференциальной геометрии, выявить их прикладную направленность, использовать информационные технологии при обучении с целью гуманитаризации математической подготовки, сформировать у будущих учителей топологическое мышление, топологическую культуру, топологическое восприятие действительностив обосновании необходимости триады многоуровневого обучения топологии и дифференциальной геометрии на этапах пропедевтики базового курса на основе межпредметных связей в школе и в вузе, фундаментальной базовой подготовки, углубленного обучения специальным курсамв разработке принципов непрерывного обучения топологии и дифференциальной геометрии.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработаны: программы обучения топологии и дифференциальной геометрии соответственно на этапах пропедевтики базового курса в школе и в вузе, фундаментальной базовой подготовки, углубленного обучения специальным курсамметодические рекомендации для проведения занятий по топологии и дифференциальной геометрии с учетом их прикладной и гуманитарной направленностей, включающие в себя математический и дидактический анализы учебного материала, программы курсов, механизмы формирования понятий, развития топологического мышления и алгоритм решения задач с применением информационных технологий, адаптированное для студентов изложение базовых понятий теории связности в расслоенных пространствах, отбор задач, в том числе, авторских, носящих теоретико-прикладной характер, описание методов решения задачрекомендации по применению информационных технологий при обучении топологии и дифференциальной геометриилабораторный практикум по топологии и дифференциальной геометрии с применением компьютерных математических пакетов.

Полученные в процессе исследования результаты могут быть внедрены в практику обучения топологии и дифференциальной геометрии на этапе пропедевтики в школе, колледже (техникуме) и в вузев вузах как при подготовке учителей математики, учителей математики и информатики, так и при подготовке математиковпри написании учебных пособий по курсам топологии и дифференциальной геометрии, теории и методике обучения топологии и дифференциальной геометрии для студентов, аспирантов, преподавателей вузов и учителей школ.

Достоверность результатов обеспечена научным подходом к постановке и решению задач исследования, целесообразностью выбора методов исследования, его длительностью, непротиворечивостью выводов, полученных в ходе теоретического анализа рассмотренных проблем, их согласованностью с концепциями различных наук и принципиальным их соответствием основным результатам других исследователейясностью, правильностью историко-математических, психолого-педагогических, дидактических, методологических, математических позицийрассмотрением проблем исследования с корректным применением исторического, культурологического, системного подходовсогласованностью результатов исследования с многолетним опытом ведения автором научных изысканий и обучения будущих учителей в вузах, повышением качества обучения студентов, востребованностью полученных результатов, учетом опыта коллег по работе.

Этапы исследования. Исследование выполнено по результатам работы автора, осуществленной им в период с 1989 по 2009 гг. Эту работу можно разделить на следующие четыре этапа.

Первый этап выполнен в 1989;1998 гг. Проведен анализ научных и методических исследований в области топологии и дифференциальной геометрии, а также по проблемам их преподаванияизучены философские, методологические, математические, психологические, педагогические, методические, дидактические источники по проблеме гуманитаризации образования, вообще, и математического, в частности. Сформулированы и решены новые задачи теории связности в расслоенных пространствах и рассмотрены возможности их применения в процессе обучения.

Второй этап выполнен в период 1999;2003 гг. Выявлен гуманитарный потенциал обучения геометрии, в том числе, топологии и дифференциальной геометрии. Проанализированы подходы к обучению топологии и дифференциальной геометрии, выявлены особенности обучения этим дисциплинам при подготовке учителя математики. На базе результатов проведенного анализа и установленных особенностей обучения будущих учителей математики разработаны теоретические и методические основы обучения топологии и дифференциальной геометрии с учетом профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики в аспекте гуманитаризации образования. Сформулирована концепция обучения на этапах: пропедевтики как довузовского математического образования, так и в вузе на уровне бакалавриатафундаментального базового обучения при изучении курса «Элементы топологии и дифференциальная геометрия» на уровне магистратурыуглубленных специальных курсов на уровнях магистратуры, аспирантуры и других видов поствузовского образования.

Третий этап выполнен в 2003;2006 гг. Разработаны основы гуманитарно-ориентированных учебных занятий по топологии и дифференциальной геометрии для подготовки учителей математики на базе задачного подхода. Выявлен гуманитарный потенциал как известных задач по топологии и дифференциальной геометрии, так и новых, сформулированных и решенных нами задач, посредством демонстрации их прикладной направленности и приложений в различных видах человеческой деятельности. Спроектирован лабораторный практикум на базе компьютерных математических пакетов, позволяющий реализовать гуманитарный потенциал информационных технологий в процессе обучения топологии и дифференциальной геометрии. Создана методическая система обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики, направленная на гуманитаризацию его профессиональной подготовки. Осуществлено внедрение методической системы в практику обучения.

Четвертый этап выполнен в 2007;2009 гг. Проведена экспериментальная проверка эффективности созданной методической системы обучения топологии и дифференциальной геометрии на этапах предложенной триады обучения и оценено взаимовлияние этих этапов на формирование профессиональных качеств будущих учителей. Основные положения и результаты исследования оформлены в виде диссертационной работы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложенная концепция обучения дает возможность подготовить учителей математики, владеющих топологией и дифференциальной геометрией, обладающих топологической культурой, топологическим мышлением, научным потенциалом, способных в культурно-образовательном пространстве современного общества воспитать эрудированных профессионально-ориентированных выпускников школ. Дуалистическая трактовка топологии как математической науки и как философии восприятия топологической структуры мира позволяет сформировать у будущих учителей математики топологическую культуру.

2. Созданная на базе предложенной концепции методическая система многоуровневого обучения топологии и дифференциальной геометрии обеспечивает комплексную реализацию позиций гуманитаризации и профессионально-педагогической направленности в подготовке учителей математики за счет разработки всех ее компонентов с учетом гуманитарно-ориентированного, профессионального и прикладного подходов.

3. Предусмотренная в рамках методической системы триада обучения топологии и дифференциальной геометрии, включающая пропедевтику, базовое и углубленное обучения, позволяет осуществить многоуровневую подготовку учителя математики по указанным дисциплинам благодаря.

— возможности непрерывного наращивания математической компетенции и совершенствования педагогического мастерства.

4. Предложенные принципы обучения — проецирования и подъема знаний — предусматривают дуальность процесса обучения топологии и дифференциальной геометрии. С одной стороны, при преподавании в вузе топологии и дифференциальной геометрии с целью профессионально-педагогической направленности обучения будущих учителей осуществляется проецирование новых знаний на школьный курсс другой стороны — подъем элементов топологических и дифференциально-геометрических знаний из школьного курса математики на уровень вузовского обучения.

5. Спроектированные занятия по топологии и дифференциальной геометрии, учитывающие их прикладную и гуманитарную направленности, способствуют формированию и развитию у студентов понимания роли изучаемых дисциплин в постановке и решении прикладных задач, повышению мотивации обучения. Работа по предложенной системе авторских задач на занятиях по углубленному специальному курсу «Связности в расслоенных пространствах» позволяет студентам научиться применять знания по топологии и дифференциальной геометрии для решения различных практических задач и проектировать собственные системы задач и упражнений в их будущей профессионально-педагогической деятельности.

6. Применение информационных технологий и использование компьютерных математических пакетов в лабораторном практикуме по топологии и дифференциальной геометрии способствует реализации выявленного гуманитарного потенциала обучения названным дисциплинам: побуждает студентов анализировать поставленные задачи, выделять этапы достижения цели, синтезировать теоретический материал, конструировать математические модели и алгоритмы решения исследовательских задач, делать выводы и интерпретировать результаты в исходных терминах поставленной задачи. Это обеспечивает комплексное применение знаний и умений из различных разделов математики, в том числе, для решения прикладных задач, активизирует и упорядочивает базовые, знания по основному курсу и другим различным дисциплинам, реализуя принцип межпредметных связей в условиях психологического комфорта. Информатизация обучения топологии и дифференциальной геометрии обеспечивает готовность будущих учителей к применению полученных на занятиях по топологии и дифференциальной геометрии знаний и навыков по информационным технологиям в их профессиональной деятельности в школе.

7. Реализация выявленного гуманитарного потенциала обучения топологии и дифференциальной геометрии способствует формированию профессионально-педагогической направленности подготовки студентов и проецированию топологических понятий на школьный курс математики, что позволяет учителю в его дальнейшей профессиональной деятельности развивать культуру и креативность мышления учащихся. Это формирует у будущих учителей необходимые профессиональные качества: умение построить алгоритм исследования математической проблемы, доходчиво в устной и письменной формах объяснить его обучаемымвладение методикой формирования образных представленийумение вести научную полемикуумение апеллировать к воображению и чувствам оппонентавладение ораторским искусством и риторикой. Перечисленные качества реализуются на образном, интуитивном, логическом и символическом уровнях.

8. Отобранная система критериев, включающих коэффициент усвоения учебного материала, полноту усвоения содержания понятий, коэффициент системности знаний по топологии и дифференциальной геометрии, позволяет оценить эффективность созданной методической системы обучения и ее влияние на формирование профессиональных качеств будущих учителей и процесс гуманитаризации математической подготовки студентов. Применение этих критериев в экспериментальной деятельности, а также непротиворечивость выводов, полученных в ходе теоретического анализа рассмотренных проблем, их согласованность с концепциями различных наук и соответствие результатам других исследователей подтверждают справедливость сформулированной гипотезы исследования.

Результаты исследования, внедрены в учебный процесс Московского городского педагогического университета, курсов повышения квалификации учителей математики при МГПУ, Московского государственного строительного университета, Днепропетровского государственного университета, средней школы № 280 г. Москвы (ГОУ Кадетская школа № 1783 «Московский кадетский корпус Героев Космоса»), центра образования № 1406 для слабослышащих школьников — см. приложение 6.

Апробация результатов исследования. Результаты доложены и обсуждены на различных международных и всероссийских конференциях и конгрессах, в числе которых: XXVII и XXIX научные конференции в РУДН (Москва, 1991, 1993) — Научная сессия при МПГУ им. В. И. Ленина (Москва, 1992) — Международная конференция по применению топологии в алгебре и дифференциальной геометрии в ТГУ (Тарту, Эстония, 1992) — Международная конференция «Лобачевский и современная геометрия» в КГУ (Казань, 1992) — Международный конгресс по дифференциальной геометрии и ее приложениям (Брно, Чехия, 1995) — Всероссийские семинары преподавателей математики педагогических вузов и университетов (Орск, 1995, С. Петербург, 1996, Новгород, 1997, Москва, 2000, Киров-Москва, 2006, Пермь, 2008) — Международная геометрическая школа-семинар в РГУ (Ростов-на-Дону, 1996) — Международный геометрический семинар «Современная геометрия и теория физических полей» в КГУ (Казань, 1997) — III международная конференция по геометрии «в целом» в ЧИТИ (Черкассы, Украина, 1999) — Международные конференции «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики» в МГУ (Москва, 1999, 2001) — Международный семинар математиков, посвященный 100-летию Р. Калапсо (Мессина, Италия, 2001) — Международная конференция «Геометрия в Одессе — 2008» (Одесса, Украина, 2008) — Международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах» в РУДН'(Москва, 2009) — Всероссийская научно-практическая конференция «Инновационные технологии обучения математике в школе и в вузе» в ОГУ (Орск, 2009) — Международная конференция «Математика. Образование.» в ЧТУ (Чебоксары, 2009) — Научно-практическая конференция «Роль научных исследований в преподавании общих математических и естественно-научных дисциплин» в МГЛУ (Москва, 2009).

Основные результаты исследования опубликованы в 67 трудах (общее количество публикаций — 70) объемом более 70 печатных листов, в том числе в двух монографиях, в 11 учебных пособиях, в 1 типовой программе по курсу геометрии в педвузе и 12 публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ, из них 8 публикаций в области методики преподавания математики и 4 публикации по математике.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

1. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит-ры. Сер.: Библиотечка «Квант». 1982. -149 с.

2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., Наука, 1981. -340 с.

3. Дьяконов В. П. Математическая система Maple VR.3/R.4/R.5. М.: Солон, 1998.-400 с.

4. Прасолов В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО. 1995. — 112 с.

5. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука. 1977. — 488 с.

6. В процессе работы студентов старших курсов в качестве учителей математики в школах при проведении ими элективных занятий по наглядной топологии 68.;

7. В процессе прохождения студентами педагогических практик при проведении ими факультативных занятий по элементам наглядной топологии, при организации математических вечеров, викторин, содержащих задачи на топологические темы 311., [318];

8. Ввести в программу элементы фрактальной геометрии.

9. Значительно усилить гуманитарную направленность курса посредством дуальной трактовки топологии как математической науки и как философии восприятия миравведения элементов истории математики.

10. Ввести в программу темы, позволяющие реализовать концепцию фундирования 27., обеспечив предварительную подготовку студента к восприятию материала, создав психологические и организационно-методические условия актуализации базовых знаний.

11. Ввести в курс лекций проблематику алгоритмизации решения исследовательских задач с целью возможности их решения средствами компьютерных математических пакетов.

12. Метрические и топологические пространства.

13. Непрерывность и гомеоморфизм.

14. Отделимость, связность, компактность.

15. Многообразия. Эйлерова характеристика.

16. Математические задачи, связанные с фракталами.

17. Гладкие линии. Касательная. Длина дуги кривой. Естественная параметризация кривой.

18. Кривизна и кручение кривой. Трехгранник Френе. Формулы Френе. Плоские кривые. Винтовые линии.

19. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль.

20. Первая квадратичная форма поверхности и ее применение.10. Кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности и ее геометрический смысл.

21. Нормальная кривизна. Главные кривые поверхности.

22. Средняя и полная кривизны поверхности. Индикатриса Дюпена.

23. Некоторые специальные линии на поверхности: линии кривизны, асимптотические линии, геодезические линии.