Геометрические методы анализа в теории периодических решений дифференциальных включений

Геометрические и топологические методы анализа, применяемые к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, восходят к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П. С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Jlepe, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах М. А. Красносельского, Н. А. Бобылева, Ю. Г. Борисовича, П. П. Забрейко, В. Г. Звягина, А. И. Перова, А. И. Поволоцкого, Б. Н. Садовского, Ю. И. Сапронова, В. В. Стрыгина, Д. И. Рачинского, К. Deimling’a, L. Gorniewicz’a, J. Mawhin’a и многих других исследователей. Отметим, в частности, чрезвычайно плодотворное направление, связанное с понятием направляющей функции, основу которого заложили разработки М. А. Красносельского и А. И. Перова (см. [34], [35], [36], [37], [38], [44], [45]).

В то же время, начиная с конца 50-х годов XX века, энергичное развитие получила теория дифференциальных включений. Это связано прежде всего с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. (см., например, [1], [2], [3], [10], [48], [49], [52], [58], [62], [70], [80]). В силу этого, задача о периодических колебаниях для систем такого рода является весьма актуальной для выяснения условий существования периодических режимов, в том числе и удовлетворяющих условиям оптимальности. Периодические задачи для дифференциальных включений исследовались в работах Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана, А. Д. Мышкиса, В.В.

Обуховского, М. И. Каменского, Е. А. Ганго, А. И. Поволоцкого, А. И. Булгакова, В. В. Филиппова, J.P. Aubina, A. Cellina, К. Deimling’a, L.

Gorniewicz’a, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и др. (см., например,.

10], [12], [13], [14], [15], [20], [41], [43], [50], [52], [58], [62], [бб], [67], [68], [69], [70], [74], [75], [76]).

Задача о периодических решениях дифференциальных включений потребовала для своего исследования развития ряда разделов анализа многозначных отображений (мультиотображений). В частности, достаточно действенной здесь оказалась теория топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям с выпуклыми.

Ь* значениями, разработке которой были посвящены труды Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана, А. Д. Мышкиса, В. В. Обуховского, А. С. Потапова, A. Cellina, A. Granas’a, A. Lasota и др. (см., например, [5], [6], [8], [9], [10], [42], [46], [56], [63], [64]). Однако в целом ряде задач теории периодических решений дифференциальных включений аппарат выпукло-значных мультиотображений не может быть непосредственно применен. Достаточно заметить, что многозначный оператор сдвига по траекториям дифференциальных включений не является выпуклознач-ным даже в простейших случаях.

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мультиотображений и их приложениям к задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений и включений. t>

В работе развивается и исследуется теория топологической степени мультиполей для новых классов мультиотображений, естественно возникающих в приложениях. Один из таких классов составляют мультиотображения, представимые в виде композиции аппроксимируемых мультиотображений и однозначных отображений. Этот класс доста-^ точно обширен: он включает в себя как выпуклозначные полунепрерывные сверху мультиотображения, так и многозначные операторы сдвига по траекториям дифференциальиых включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решения. Второй рассматриваемый класс — это мультиотображения, обладающие непрерывными сечениями.

Для обоих классов строится топологическая степень совпадения, которая находит приложение в обосновании метода интегральных направляющих функций.

Развитые методы применяются к различным типам задач о нелинейных периодических колебаниях. Первой из рассматриваемых задач является задача о периодических решениях систем, описываемых функционально-дифференциальными включениями. В силу ее специфики в ней применяются направляющие функции специального типа — так называемые интегральные направляющие функции, которые впервые рассматривались A. Fonda (см. [59]) для функционально-дифференциальных уравнений. С помощью метода интегральных направляющих функций в диссертации получены новые теоремы о существовании периодических решений функционально-дифференциальных включений.

В классических работах по методу направляющей функции, как И правило, предполагается, что эта функция является гладкой на всем фазовом пространстве. Это условие может представиться ограничительным, например, в таких ситуациях, когда направляющие потенциалы различны в различных областях пространства. Для снятия указанного ограничения в диссертации рассматриваются негладкие направляющие функции и их обобщенные градиенты. В этом случае для применения таких направляющих потенциалов используется топологическая степень мультиполей, что дает возможность получения новых признаков существования периодических решений.

Другим важным развитием метода направляющей функции, получившим отражение в диссертации, является метод многолистных направляющих функций. Многолистные направляющие потенциалы, впервые рассмотренные в работах Д. И. Рачинского (см. [47], [79]), позволяют существенно расширить классы систем, к которым применимы геометрические методы отыскания периодических решений. В частности, основное условие «направляемости» в данном случае предполагается выполненным лишь на некотором подпространстве фазового пространства.

При исследовании периодических задач для дифференциальных включений, помимо метода строгой многолистной направляющей функции, в диссертации рассматривается и его более общий случай: метод обобщенной многолистной направляющей функции. Не менее эффективным оказался и метод нескольких многолистных направляющих функций. Применение комплекса этих методов позволило получить в диссертации ряд новых результатов о существовании периодических решений дифференциальных уравнений и включений.

Приведем обзор содержания диссертации по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анализа и теории многозначных отображений.

Во второй главе на основе классической теории топологической ^ степени непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном пространстве определяется топологическая степень мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA (U, Еп), где U С Еп — открытое ограниченное множество конечномерного линейного топологического пространства Еп.

Пусть У — линейное топологическое пространство. Мультиотобра-жения рассматриваемого класса представляют собой композицию (/ о G) непрерывного однозначного отображения /: У -" Еп и полу-^ непрерывного сверху мультиотображения G: U —" К (У), допускающего для каждого е > 0 однозначную^{-аппроксимацию} д£: U —> У и такого, что любые две аппроксимации могут быть соединены деформацией, протекающей в классе аппроксимаций. (Символ К (У.) обозначает совокупность непустых компактных подмножеств У).

Такой класс включает в себя, например, многозначные операторы сдвига по траекториям дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решения.

Для мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA (U, Еп), не имеющим неподвижных точек на 8U, топологическая степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению fe: U—tEn вида fe =fog?, где д£: U —>• У — произвольная е-аппроксимация мультиотображения G и е > 0 достаточно мало. Исследуются основные свойства введенной характеристики.

Во втором параграфе вводится понятие топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA (U, E), где U С Е — открытое ограниченное множество нормированного пространства Е.

Мультиотображения данного класса представляют собой композицию (/ о G) непрерывного однозначного отображения /: Y —> Е и полунепрерывного сверху мультиотображения G: U —> K (Y) такого, что его сужение на любое конечномерное подпространство Еп С Е имеет^{-аппроксимации,} любые две из которых могут быть соединены деформацией, протекающей в классе аппроксимаций.

Топологическая степень вводится с помощью метода конечномерных аппроксимаций. Обосновывается корректность введенной характеристики и описываются ее основные свойства.

Содержание третьего параграфа составляют определение понятия топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CS{U, Е), где U С Е — открытое ограниченное множество нормированного пространства Z?, и рассмотрение основных свойств введенной характеристики.

Пусть X — метрическое пространство, У — банахово пространство. Рассматриваемый класс состоит из мультиотображений, представи-мых в виде композиции (/ о G) непрерывного однозначного отображения /: У Е и мультиотображения G: X -" Р (У) из класса Y), которое обладает непрерывным сечением и «цилиндрическое продолжение» которого G': Хх [0,1] -> Р (У), заданное как G'(x, А) = G (x) для всех (я, A) G X х [0,1], обладает свойством продолжения сечения.

Представителями класса S (X, Y) являются, например, полунепрерывные снизу мультиотображения с замкнутыми выпуклыми или разложимыми значениями.

Для невырожденных мультиполсй, соответствующих мультиотоб-ражениям из класса CS (U, E), топологическая степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению вида fog, где д: U —> Y — произвольное непрерывное сечение мультиотображения G.

На основании свойств топологической степени непрерывных однозначных полей доказываются корректность данного определения и описываются основные свойства степени.

В четвертом параграфе в развитие классической конструкции J. Mawhin’a (см. [61], [72]) вводится понятие степени совпадения рассмотренных выше классов мультиотображений и линейного фредгольмова отображения.

Пусть Ei, E2 — банаховы пространства, U С Е — открытое ограниченное множество, I: dorrW С Е —> Ei — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что Iml С Е2 — замкнутое множество.

Рассмотрим линейные непрерывные операторы проектирования р: Е —> Е и q: Е2 —> Е2 такие, что Imp = Kerl, Iml = Kerq.

Символом lp обозначим сужение оператора / на domZ П Ker p.

Пусть оператор кр: Iml —> dom/ П Кегр имеет вид кр = а оператор kp, q: Е2 -> Е задан соотношением kPiq (y) = kp (y — q (y))i у Е Е2.

Пусть также канонический оператор проектирования п: Е2 E2/lml имеет вид 7 г (у) = y + Iml, а ф: Coker/ —> Kerl — непрерывный линейный изоморфизм.

Пусть G € A (U, Е2) — /-компактное мультиотображение. Подкласс класса A (U, Е2), состоящий из мультиотображений G таких, что 1{х) ^ G (x) для всех х в dU П dom/, обозначается Adundomi (U, Е2).

Степень совпадения пары (l, G), где G из класса Adurdomi{U, Е2), определяется как топологическая степень компактного мультиполя, соответствующего мультиотображению F из класса CAdundomi (U, Е), заданному как.

F (x) = р (х) + (07Г + kPtq) G{x), xeU.

Исследуются основные свойства введенной степени совпадения и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.

В качестве примера приводится утверждение (Теорема 2.4.3), которое используется в обосновании метода интегральной направляющей функции.

Определяется также степень совпадения для случая, когда мультиотображение G принадлежит классу Sdundomi (U, Е2) и изучаются ее основные свойства.

Третья глава посвящена приложению полученных в предыдущей главе результатов к задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений и включений.

В первом параграфе определяется интегральная направляющая функция для функционально-дифференциальных включений. Далее это понятие обобщается на случай негладких направляющих потенциалов.

Для г > 0 обозначим символом С пространство С ([—г, 0]- Rn). Длк функции х (-) е C ([—r, T]-Rn), Т > О, символом xt G С обозначается функция, заданная как xt{9) = x (t + в), t G [0,Т], в 6 [—г, 0].

Сначала рассматривается периодическая задача для функционально-дифференциального включения следующего вида: в предположении, что мультиотображение F: R х С —> Kv (Rn) Т-периодично по первому аргументу и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. (Здесь Kv (Y) обозначает совокупность непустых компактных выпуклых подмножеств Y).

Доказывается утверждение (Теорема 3.1.2) о существовании решения задачи (3.1.1), (3.1.2), имеющей интегральную направляющую функцию, топологический индекс которой отличен от нуля.

В качестве примеров рассматривается разрешимость периодической задачи для дифференциальных включений с запаздыванием, полулинейных и градиентных дифференциальных включений.

Описываемый метод распространяется на случай негладкой интегральной направляющей функции.

С использованием теории топологической степени, степени совпадения и метода негладкой интегральной направляющей функции, доказывается утверждение о существовании решения задачи (3.1.1), (3.1.2) (Теорема 3.1.6).

Рассмотренная в предыдущей главе теория степени совпадения позволяет изучать периодическую задачу (3.1.1), (3.1.2) и в предположении, что мультиотображение F имеет невыпуклые значения, но почти полунепрерывно снизу. x'(t) е F (t, xt) п.в. te[0,T], х (0) = х (Т),.

3.1.1).

3.1.2).

Развитие метода многолистной векторной направляющей функции, предложенного Д. И. Рачинским для дифференциальных уравнений, на случай дифференциальных включений и его обобщение на негладкие направляющие потенциалы составляют содержание второго параграфа.

Рассматривается периодическая задача для дифференциального включения следующего вида:

• z'(t) е F (t, z (t)) п.в. ге[о, т], (3.2.1) z{0) = z (T), (3.2.2) в предположении, что мультиотображение F: R х Rn —> Kv (Rn) Т-периодично по первому аргументу и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори.

Сначала доказывается утверждение (Теорема 3.2.1) о существовании Т-периодического решения включения (3.2.1), имеющего строгую многолистную векторную направляющую функцию (МВНФ).

В качестве примера рассматривается разрешимость периодической задачи для полулинейного дифференциального включения.

Рассматриваемый метод оказывается эффективен и при более общих условиях, когда основное неравенство «направляемости» предполагается выполненным в нестрогой форме и хотя бы для некоторых у е F (t, z).

В диссертации рассматриваются также методы нескольких направляющих функций: полного набора строгих МВНФ, полного и острого набора обобщенных МВНФ и правильной МВНФ как для дифференциальных уравнений, так и для дифференциальных включений.

Указанные методы обобщаются на случай негладких направляющих потенциалов.

Применение комплекса этих методов позволило получить ряд новых результатов (Теоремы 3.2.2 — 3.2.18) о существовании периодических решений дифференциальных уравнений и включений.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построена теория топологической степени мультиполей для новых классов мультиотображений с невыпуклыми значениями в конечномерном и нормированном пространствах.

2. На основе построенной топологической степени развита теория степени совпадения для соответствующих классов мультиотображений и линейных фредгольмовых отображений.

3. Введены в рассмотрение два класса направляющих функций — негладкие интегральные и негладкие многолистные направляющие функции.

4. В терминах существования негладких интегральных направляющих функций указаны новые условия существования периодических решений функционально-дифференциальных включений.

5. С помощью метода негладких многолистных направляющих функций доказаны новые теоремы о существовании периодических решений дифференциальных уравнений и включений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (Воронеж, 2000), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2002), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XIII» (Воронеж,.

2002), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной научной конференции «Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (Тамбов, 2003), семинаре «Нелинейные колебания» под руководством профессора А. И. Перова (НИИ математики, ВГУ, 2002, 2003), научных конференциях студентов, аспирантов и преподавателей физико-математического факультета ВГПУ (2000, 2002).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 03−01−6 293 «Молодые ученые, аспиранты и студенты», а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 «Волгу новые процессы в неоднородных и нелинейных средах» Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23]-[32]. Из совместных работ [24], [25], [29], [30], [32] в диссертацию вошли только принадлежащие Корневу С. В. результаты.

Автор глубоко признателен профессору В. В. Обуховскому за постоянное внимание и советы.

Г).

1. Арутюнов А. В. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовым ограничением / А. В. Арутюнов, С. М. Асеев, В.И. Благо-датских // Мат. сб.- 1993. Т. 184, N 6 — С. 3−32.

2. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений. Часть I / В. И. Благодатских.- М.: Изд-во МГУ, 1979 115 с.

3. Благодатских В. И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В. И. Благодатских, А. Ф. Филиппов // Тр. мат. ин-та АН СССР.- 1985. Т. 169. С. 194−252.

4. Бобылев Н. А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н. А. Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин.- М.: Магистр, 1998 658 с.

5. Борисович Ю. Г. О вращении многозначных векторных полей / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, Э. Мухамадиев, В. В. Обуховский // ДАН СССР.- 1969. Т. 187, N 5. С. 971−973.

6. Борисович Ю. Г. О вращении многозначных векторных полей / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, Э. Мухамадиев, В. В. Обуховский // Тр. семинара по функц. анализу Воронежск. ун-та.- 1969.-Вып. 12. С. 69−84.

7. Борисович Ю. Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Ю. Е. Гликлих // 7-я Летняя математическая школа, Киев, 11−30 июня 1969 г.: Тез. докл.- Киев, 1970. С. 283−295.

8. Борисович Ю. Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский // Успехи мат. наук.- 1980.— Т. 35, N 1- С. 59−126.

9. Борисович Ю. Г. Многозначные отображения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский 1982 — Т. 19. С. 127−230.

10. Борисович Ю. Г.

Введение

в теорию многозначных отображений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский.-Воронеж.: Изд-во Воронеж, ун-та, 1986. 104 с.

11. Борсук К. Теория ретрактов / К. Борсук.- М.: Мир, 1971. 292 с.

12. Булгаков А. И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений / А. И. Булгаков // Матем. сборник 1992. Т. 183, N 10. С. 63−86.

13. Ганго Е. А. Периодические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / Е. А. Ганго, Поволоцкий А. И. // Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена.- 1970. Т. 464 С. 235−242.

14. Гельман Б. Д. Многозначные интегральные операторы и а—перио-дические решения / Б. Д. Гельман // Тр. мат. фак. Воронеж, унтаВоронеж, 1971; Вып. 4- С. 35−44.

15. Демьянов В. Ф. Недифференцируемая оптимизация / В. Ф. Демьянов, J1.B. Васильев.- М.: Наука, 1981. 384 с.

16. Дмитриенко В. Т. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений / В. Т. Дмитриенко, В. Г. Звягин // Математические заметки 1982 — Т. 31, N 5. С. 801−812.

17. Емельянов С. В. Гомотопии экстремальных задач / С. В. Емельянов, С. К. Коровин, Н. А. Бобылев, А. В. Булатов.- М.: Наука, 2001; 350 с.

18. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров М.: Наука, 1977 — 479 с.

19. Каменский М. И. Об операторе сдвига по траекториям полулинейных управляемых систем / М. И. Каменский, В. В. Обуховский // Дифференциальные уравнения.- 1996. Т. 32, N 5. С. 755−762.

20. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Канторович J1.B., Г. П. Акилов М.: Наука, 1977 — 741 с.

21. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк.- М.: Наука, 1988 280 с.

22. Корнев С. В. О периодических решениях функционально-дифференциальных включений / С. В. Корнев // Тезисы докладов студенческой научной конференции, 19−20 апр. 2000 г., Воронеж.-Воронеж, 2000. С. 42−43.

23. Корнев С. В. Об интегральных направляющих функциях для функционально-диффернциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Топологические методы нелинейного анализа Воронеж, 2000 — С. 87−107.

24. Корнев С. В. О периодических решениях дифференциальных включений / С. В. Корнев // Воронежская зимняя математическая школа 2002, Воронеж, 25−31 янв. 2002 г.: Тез. докл.- Воронеж, 2002 — С. 40−41.

25. Корнев С. В. О некоторых обобщениях метода направляющейфункции в задаче о периодических решениях дифференциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естественные и технические науки 2003. Т. 8, вып. 3. С. 399.

26. Корнев С. В. О некоторых развитиях метода негладких многолист-ных направляющих функций / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Математические модели и операторные уравнения.- Воронеж, 2003. Т. 2. С. 75−90.

27. Корнев С. В. О методе многолистных направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений / С. В. Корнев // Автоматика и телемеханика.- 2003. N 3. С. 7283.

28. Корнев С. В. О негладких многолистных направляющих функциях / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Дифференциальные уравнения- 2003 Т. 39, N П.- С. 1497−1502.

29. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский.- М.: Гос-техиздат, 1956 392 с.

30. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР.- 1958. Т. 123, N 2 С. 235−238.

31. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко М.: Физматгиз, 1963 — 248 с.

32. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский.- М.: Наука, 1966. 332 с.

33. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко.- М.: Наука, 1975.322 с.

34. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л.А. Лю-стерник, В. И. Соболев М.: Наука, 1965. 520 с.

35. Мышкис А. Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории / А. Д. Мышкис // Мате-мат. сб.- 1954 Т. 34, N 3. С. 525−540.

36. Обуховский В. В. Периодические решения управляемых систем / В. В. Обуховский // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та.- Воронеж, 1972. Вып. 7. С. 68−76.

37. Обуховский В. В. О некоторых принципах неподвижной точки для многозначных уплотняющих операторов / В. В. Обуховский // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та.- Воронеж, 1971. Вып. 4, — С. 70−79.

38. Обуховский В. В. К вопросу о периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / В. В. Обуховский // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та Воронеж, 1973 — Вып. 10. С. 74−82.

39. Перов А. И. О теоремах единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений / А. И. Перов // ДАН СССР.- 1958 Т. 120, N 4. С. 704−707.

40. Перов А. И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук / А. И. Перов Воронеж, 1959. 129 с.

41. Потапов А. С. Замечание о вращении многозначных векторных полей / А. С. Потапов // Сб. работ аспирантов Воронеж, ун-та.-Воронеж, 1974 Вып. 2 — С. 41−44.

42. Рачинский Д. И. Вынужденные колебания в системах управления в условиях, близких к резонансу / Д. И. Рачинский // Автоматика и телемеханика 1995 — N 11- С. 87−98.

43. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А. А. Толстоногое.- Новосибирск: Наука, 1986.296 с.

44. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов.- М.: Наука, 1985. 224 с.

45. Филиппов В. В. Что лучше в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, метод Лерэ-Шаудера или сдвиг вдоль траекторий / В. В. Филиппов // Дифференциальные уравнения.- 2001. Т. 37, N 8. С. 1049−1061.

46. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна.- М.: Наука, 1972 544 с.

47. Aubin J.P., Cellina A. Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory / J.P. Aubin, A. CellinaBerlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1984 342 p.

48. Bader R. On the Extension of Approximations for Set-Valued Maps and the Repulsive Fixed Points / R. Bader, G. Gabor, W. Kryszewski // Bollettino U.M.I.- 1996. V. 10-B.- P. 399−416.

49. De Blasi F.S. Topological degree and periodic solutions of differential inclusions / F.S. De Blasi, L. Gorniewicz, G. Pianigiani // Nonlinear Anal 1999. V. 37. P. 217−245.

50. Bressan A. Extensions and selections of maps with decomposable values // A. Bressan, G. Colombo // Studia Math 1988 — V. 90 — P. 69−86.

51. Cellina A. A new approach to the definition of topological degree for multi-valued mappings / A. Cellina, A. Lasota // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur.- 1970 V. 47, N 6 — P. 434 440.

52. Cronin J. Fixed points and topological degree in nonlinear analysis / J. Cronin Providence: Amer. Math. Soc., 1964. 198 p.

53. Deimling K. Multivalued Differential Equations / K. Deimling.- Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992 260 p.

54. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc.- 1987. V.99, N 1. P. 79−85.

55. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of non-convex multivalued maps / A. Fryszkowski // Studia Math 1983 — V. 76 — P. 163−174.

56. Gaines R.E. Coincidence degree and nonlinear differential equations / R.E. Gaines, J.L. Mawhin // Lecture Notes in Math.- Berlin and New York: Springer-Verlag, 1977 V. 568 — 262 p.

57. G6rniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. Gdrniewicz.- Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999 399 p.

58. Granas A. Sur la notion du degre topologique pour une certaine classe de transformations multivalentes dans les espaces de Banach / A. Granas // Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.-1959. V. 7, N 4. P. 191−194.

59. Granas A. Theorem on antipodes and theorems on fixed points for a certain class of multi-valued mappings in Banach spaces / A. Granas // Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.- 1959. V. 7, N 5. P. 271−275.

60. Hyman D.M. On decreasing sequences of compact absolute retracts / D.M. Hyman // Fund. Math 1969. V. 64 — P. 91−97.

61. Kamenskii M.I. On periodic solutions of differential inclusions with unbounded operators in Banach Spaces / M.I. Kamenskii, V.V. Obu-khovskii // Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. Ser. Mat 1991; V. 21- P. 173−191.

62. Kamenskii M.I. Condensing multioperators and periodic solutions of parabolic functional-differential inclusions in Banach spaces / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii // Nonlinear Anal 1993 — V. 20, N 2. P. 781−792.

63. Kamenskii M.I. Optimal feedback control for a semilinear evolution equation / M.I. Kamenskii, P. Nisri, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // J. Optim. Theory Appl.- 1994. V. 82, N 3. P. 503−517.

64. Kamenskii M. On the translation multioperator along the solutions of semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca // Canadian Appl. Math. Quart 1998;V. 6, N 2. P. 139−155.

65. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001 — 231 p.

66. Krasnoselskii A.M. Generalized guiding functions in a problem on high frequency forced oscillations / A.M. Krasnoselskii, M.A. Krasnoselskii, J. Mawhin, A. Pokrovskii // Nonlinear Anal. Theory, Methods к Appl.- 1994. V. 22, N 11. P. 1357−1371.

67. Mawhin J.L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems / J.L. Mawhin // CBMS Regional Conf. Ser. in Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I.- 1979 N 40 — 122 p.

68. Michael E. Continuous selections / E. Michael // I, Ann. Math.-1956 V. 63 — P. 361−382.

69. Nistri P. On the solvability of systems of inclusions involving noncompact operators / P. Nisri, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Trans. Amer. Math, Soc- 1994. V. 342, N 2. P. 543−563.

70. Obukhovskii V. On some properties of dissipative functional differential inclusions in a Banach space / V. Obukhovskii, P. Zecca // Topological Meth. Nonlin. Anal 2000 — V. 15, N 2- P. 369−384.

71. Papageorgiou N.S. Boundary value problems and periodic solutions for semilinear evolution inclusions / N.S. Papageorgiou // Comment. Math. Univ. Carolinae 1994. V. 35. P. 325−336.

72. Pruszko T. A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem for orientor fields / T. Pruszko // Bull. Acad. pol. sci. Бёг. sci. math 1979 — V. 27, N 11−12. P. 895−902.

73. Pruszko T. Topological degree methods in multi-valued boundary value problems / T. Pruszko // Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl.- 1981. V. 5, N 9. P. 959−970.

74. Rachinskii D.I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems / D.I. Rachinskii // Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl.- 1996. V. 26, N 3. P. 631−639.

75. Smirnov G.V. Introduction to the theory of differential inclusions / G.V. Smirnov // Graduate Studies in Math 41. Amer. Math. Soc, Providence, R.I.- 2002 226 p.

76. Tarafdar E. On the existence of solutions of the equation Cx € Nx and a coincidence degree theory / E. Tarafdar, S.K. Teo //J. Austral. Math. Soc.- 1979. A. 28, N 2. P. 139−173.