Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры

1. Линейные операции над матрицами. Вычисление матрицы где числа, заданные матрицы

Алгоритм решения Определить, имеют ли матрицы и одинаковый порядок. Если «имеют», то перейти к п. 2, в противном случае вычислить нельзя.

Умножить все элементы матрицы на число

Умножить все элементы матрицы на число

Вычислить элементы матрицы по формулам:

Пример выполнения упражнения Задание Вычислить матрицу, где

Решение Обе матрицы имеют порядок. Матрицы одного порядка, следует перейти к п. 2.

Умножить все элементы на число 6.

.

Умножить все элементы на

Вычислить элементы матрицы :

Задачи для самостоятельного выполнения.

Даны матрицы и. Найти если

.

Даны матрицы и. Найти если

.

3.Даны матрицы и. Найти если

.

4. Даны матрицы и. Найти если

.

5. Даны матрицы и. Найти если

.

6. Найти матрицу где некоторое число, единичная матрица, заданная матрица.

Вычислить при

2. Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы на .

Алгоритм решения Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы с числом строк матрицы Только в этом случае можно умножить на. В противном случае вычислить нельзя.

Определить порядок матрицы произведения:

имеет порядок где число строк первого множителя, число столбцов второго множителя.

Вычислить каждый элемент матрицы произведения по формулам:

.

Выписать полученную матрицу.

Пример выполнения упражнения Задание Даны матрицы и. Найти матрицу, если возможно.

Решение Матрица имеет порядок, число ее столбцов равно 3, матрица имеет порядок, число столбцов у нее 3. Порядки согласованны. Произведение данных матриц возможно.

Порядок матрицы будет .

Вычисление элементов первой строки

Вычисление элементов второй строки:

Полученная матрица имеет вид

.

Задачи для самостоятельного выполнения Найти произведения матриц и, если они существуют. Сравнить матрицы произведения, если

.

Найти произведения матриц и, если они существуют. Сравнить матрицы произведения, если

.

Найти произведения матриц и, если они существуют. Сравнить матрицы произведения, если

.

Вычислить матрицу, где единичная матрица третьего порядка.

Вычислить, где матрица задана:

.

Найти произведение и сравнить с матрицей.

.

3. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Вычисление ранга матрицы

Алгоритм решения Переставить строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу оказался отличный от нуля «ведущий» элемент (желательно, чтобы этот элемент был равен единице, если возможно).

Переписать первую строку без изменения. Применяя элементарные преобразования, образовать нули в столбце под выбранным «ведущим» элементом. Получается первая ступенька.

Оставить без изменения первую строку и первый столбец полученной матрицы. Операции, описанные в пп. 1 и 2 применяются к «укороченной» матрице (без первого столбца и первой строки) и повторяются до тех пор, когда исходная матрица будет иметь ступенчатый вид.

Вычислить ранг матрицы. Ранг матрицы равен числу угловых элементов в ступенчатой форме матрицы.

Пример выполнения упражнения Задание Привести матрицу к ступенчатому виду и определить ее ранг, если

.

Решение В первой строке первый элемент не равен нулю. Строки можно не переставлять. Для ручного счета удобнее будет, если «ведущий» элемент будет равен единице. Следует поменять местами первую и вторую строки матрицы

.

Из элементов второй строки вычитаются соответствующие элементы первой, умноженные на 2; из элементов третьей строки вычитаются элементы первой, умноженные на 4; из элементов последней строки вычитаются соответствующие элементы первой. Первая строка остается без изменения

.

«Ведущим» элементом берется (-1), находящийся во второй строке и втором столбце. Переписывается без изменения первый столбец, первая и вторые строки матрицы. Из элементов третьей строки вычитаются соответствующие элементы второй, умноженные на 3, из элементов последней строки вычитаются элементы второй, умноженные на 2:

.

Получается вторая ступенька. Следующим «ведущим» элементом берется (-2) в третьей строке. Оставляются без изменения первые три строки, из последней строки вычитаются соответствующие элементы третьей.

.

Сделано три шага методом Гаусса. Последняя матрица имеет ступенчатый вид.

Вычисляется ранг матрицы. Число угловых элементов в ступенчатой матрице равно трем. Поэтому исходная матрица имеет ранг 3,

Задачи для самостоятельного выполнения Определить ранг матрицы, преобразовав ее в ступенчатую методом Гаусса

.

Определить ранг матрицы, преобразовав ее в ступенчатую методом Гаусса

.

Определить ранг матрицы Определить ранг матрицы

.

Определить ранг заданной матрицы

.

Определить ранг матрицы

.

4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Алгоритм решения Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Получится матрица .

Далее следует привести матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями первого и второго типов.

Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица. Применить элементарные преобразования первого, второго и третьего типа. Преобразования начинать с последней строки. Преобразованная матрица будет иметь вид: .

Выписать обратную матрицу. Обратная матрица равна матрице стоящей справа от в последней преобразованной матрице.

Пример выполнения упражнения Задание Методом Гаусса найти матрицу, обратную к матрице Решение К матрице, А справа приписывается единичная матрица того же порядка (А|E)

Матрица (А|E) приводится элементарными преобразованиями первого и второго типов к ступенчатому виду

3. Полученная ступенчатая матрица элементарными преобразованиями 1-го, 2-го и 3-го типов приводится к виду, где слева будет матрица Е. Преобразования начинаются с последней строки.

4. Выписывается обратная матрица. Это матрица, стоящая справа в последней преобразованной матрице.

Задачи для самостоятельного выполнения Найти матрицу обратную матрице А.

Найти матрицы, обратные к матрицам, А и В.

Убедиться, что данные матрицы взаимно обратны.

5. Вычисление определителя матрицы методом Гаусса

Алгоритм решения Привести исходную матрицу к ступенчатому виду.

Подсчитать число равное числу перестановок строк при приведении матрицы к ступенчатому виду.

Вычислить определитель ступенчатой (верхнетреугольной) матрицы как произведение элементов главной диагонали, умноженное на множитель

Пример выполнения упражнения Задание

Вычислить определитель матрицы методом Гаусса Решение Исходная матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду Подсчитывается число К, равное числу перестановок строк при приведении к ступенчатому виду.

Вычисляется определитель ступенчатой матрицы как произведение элементов главной диагонали, умноженное на множитель

Задачи для самостоятельного выполнения

1. Вычислить определители матрицы.

2. Вычислить определители матрицы.

3. Вычислить определители матрицы.

4. Вычислить определители матрицы.

5. Вычислить определители матрицы.

6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

6.1. Нахождение общего решения однородной системы

Алгоритм решения Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход Гаусса).

Выписать ступенчатую систему и определить ранг матрицы.

Сравнить ранг матрицы с числом переменных и определить, сколько решений имеет система. Если, то система имеет множество решений, если же, то решение единственное.

Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, соответствующие угловым элементам объявить зависимыми, остальные переменных — свободными.

Выразить зависимые переменные (обратный ход Гаусса) через свободные.

Найти общее решение системы. Общее решение определяется формулами, полученными в предыдущем пункте. Давая свободным переменным произвольные значения и вычисляя несвободные, получаются все решения системы. В случае, когда, система имеет единственное тривиальное решение:

Пример выполнения упражнения Задание Методом Гаусса найти общее решение системы:

Решение Выписывается матрица коэффициентов при неизвестных и приводится к ступенчатому виду Выписывается ступенчатая система; определяется ранг матрицы Ранг матрицы сравнивается с числом переменных и определяется, количество решений системы

4. Определяются зависимые и свободные переменные, переменные, соответствующие угловым элементам объявляются зависимыми, а остальные — свободными.

5. Зависимые переменные выражаются через свободные

6. Используя формулы (*), находится общее решение системы.

Задачи для самостоятельного выполнения Найти общее или единственное решение однородной системы Найти решение однородной системы Найти общее или единственное решение однородной системы

6.2. Исследовать на совместность неоднородную систему уравнений и найти ее общее или единственное решение методом Гаусса

Алгоритм решения Записать расширенную матрицу системы, приписав к матрице системы вектор свободных членов

Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и .

Исследовать систему на совместность. Если, то система несовместна, т. е. не имеет решения. Если где число переменных, то перейти к выполнению пункта7. В случае, когда перейти к пункту 4.

Определить зависимые и свободные переменные. Объявить переменные, соответствующие угловым элементам, зависимыми, остальные переменных — свободными. Выразить обратным методом Гаусса зависимые переменные через свободные. Найти общее решение системы. Полученные в пункте 5 выражения зависимых переменных через свободные переменные и правые части уравнений и определяют общее решение неоднородной системы.

Единственное решение системы 1 получим обратным ходом метода Гаусса. Пример выполнения упражнения Задание Исследовать неоднородную систему уравнений на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместимости:

Решение Записывается расширенная матрица системы, приписав к матрице коэффициентов вектор свободных членов:

Матрица приводится к ступенчатому виду и определяется ранг основной матрицы rang (A) и ранг расширенной rang ()

Система исследуется на совместимость. Если rang (A)

4. Определяются зависимые и свободные переменные

5. Зависимые переменные выражаются через свободные обратным ходом методом Гаусса Общее решение системы находится, используя выражения зависимых переменных через свободные и вектор свободных членов.

Задачи для самостоятельного выполнения

1. Исследовать и решить в случае совместимости неоднородную систему уравнений.

2. Решить в случае совместимости неоднородную систему уравнений.

3. Решить неоднородную систему уравнений.

7. Контрольные задания

Дана матрица С и вектор. Определить:

1) определитель матрицы С.

2) ранг матрицы С.

3) обратную матрицу С^-1

4) общее решение однородной системы уравнений, где

5) Совместна ли неоднородная система уравнений? Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение.

Задания для выполнения

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И КОММЕНТАРИИ

Пример 1. Даны два вектора и. Найти косинус угла между векторами и

Решение. Найдем координаты векторов и .

;; ;

;; .

Итак:, .

Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:

;

;

.

Теперь можно вычислить косинус угла между этими векторами

.

Пример 2. При каком значении векторы и ортогональны?

(Координаты векторов и заданы в примере 1).

Решение. Найдем координаты векторов и :

;

.

Запишем условие ортогональности полученных векторов:

или

. После преобразования получим; откуда.

Пример 3.

Даны координаты вершин треугольника А (0,-2), В (1,1), С (3,0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершин В.

Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.

; .

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:

.

После элементарных преобразований имеем:

илиy-1=4x-6, отсюда 4x+y-5=0 .

Получим искомое уравнение медианы.

Пример 4.

Даны три точки А (3,1), В (1,-2), С (3,4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки, А и В.

или -2(y-1)=-3(x-3), отсюда 2y-2=3x-9.

Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой АВ:

.

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой Отсюда. После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение .

Пример 5.

Дано уравнение второго порядка Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе — гиперболу с центром симметрии в точке, полуосями (для гиперболы: — вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты: и, где (для эллипса, если — большая полуось) и (для гиперболы) .

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

;

.

Подставим теперь полученные выражения в данном уравнение:

или .

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

.

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О (2,-1), прямые х-2=0, у+1=0 являются ее осями симметрии. Вешественная полуось гиперболы а=2, мнимая полуось b=3,

.

Получим координаты фокусов

Пример 6.

Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Написать это уравнение в полярных координатах.

Решение. Воспользуемся формулами (гл.III, 1.) и подставим эти выражения в данное уравнение.

.

Используя формулы тригонометрии ,

получим. Поделим обе части на и получим искомое уравнение Пример 7.

Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой

и проходящей через точку М (3,-1,2).

Решение. Из уравнения прямой выпишем направляющий вектор данной прямой Этот вектор будет вектором нормали искомой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку, с вектором нормали имеет вид: .

Теперь легко запишем искомое уравнение

3(x-3)+2(y+1)+1(z-2)=0 или 3x-9+2y+2+z-2=0.

Отсюда получим общее уравнение плоскости

3x+2y+z-9=0

Перечень умений

1.Дейстивя с векторами:

а)Вычисление линейной комбинации векторов

где и — заданные векторы:

b) Вычисление угла между двумя векторами и

1.Изучить основные операции с векторами, заданными в координатной форме.

2. а) Вычислить координаты векторов

и

3.а) Вычислить координаты вектора

где

4.b) Вычислить скалярное произведение векторов и по формуле:

5.b) Вычислить длину вектора :

6. b) Вычислить длину вектора :

7. b) Вычислить косину угла между векторами и :

8.b) Выписать ответ:

1.Изучить основные способы задания прямой на плоскости:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (х1,у1) а) параллельно прямой, проходящей через две точки

b) перпендикулярно прямой, проходящей через две точки

1.Изучить основные операции с векторами, заданными в координатной форме

2.а) Написать уравнение прямой АВ, проходящей через точки, А и В по формуле:

3. а) Записать получение уравнение в виде

4.а) Использовать условие параллельности двух прямых и найти угловой.

с) вычислить длину перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ коэффициент прямой, параллельной прямой АВ:

5.а) Написать уравнение прямой а, проходящей через точку М:

6.b) Использовать условие перпендикулярности двух прямых и найти угловой коэффициент прямой:

7.b) Написать уравнение прямой:

8. с) Выписать совместно уравнения прямых АВ и перпендикулярной.

9. с) Найти решение полученной системы. Это координаты точки N пересечения прямой АВ и перпендикуляра.

10.Найти длину отрезка MN:

1.Ознакомиться с каноническими уравнениями кривых второго порядка.

2.Выделить полные квадраты независимых переменных.

3.Преобразовать уравнение к одному из следующих видов:

а)

b)

c)

4.Определить тип кривой: если уравнение привели к виду а) — эллипс; к виду b) -гипербола; с)-парабола;

5. Выписать параметры кривой из ее уравнения. Для эллипса и гиперболы:

а) полуоси и b;

b) расстояние между фокусами 2с, где (для эллипса, если а-большая полуось) и (для гиперболы)

с) координаты центра симметрии.

Для параболы:

а) координаты вершины ;

b) координаты фокуса: в случае в случае

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

а) параллельно данной плоскости 0

b) перпендикулярно прямой

1.Освоить различные способы задания плоскости в пространстве.

2.Выписать координаты вектора нормали данной плоскости: =. В силу параллельности двух и плоскостей этот вектор будет вектором нормали для искомой плоскости (а).

3. написать уравнение искомой плоскости (а): =0

4.Выписать координаты направляющего вектора данной прямой: = Этот вектор является вектором нормали для искомой плоскости (b)

5.Составить уравнение прямой, проходящей через точку

a) имеющий направляющий вектор

b)перпендикулярной плоскости

с) проходящей через две точки

1.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку c направляющим вектором ==

2. Выписать координаты вектора нормали для данной плоскости:. Этот вектор является направляющим для прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

3.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀ с направляющим вектором

4.Вычислить координаты вектора

5.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀ с направляющим вектором М₀М₁:

ТРЕНИНГ УМЕНИИ

1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1

Задание Даны векторы и. Найти косинус угла между векторами

РЕШЕНИЕ

Заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из задания

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Даны векторы Найти косинус угла между векторами

Задание 2

Найти косинус угла между векторами где ,

Задание 3

При каком значении а векторы ортогональны (угол между ними равен? Векторы и

Задание 4

Найти угол между векторами и если

Задание 5

Вычислить угол между векторами и если и

2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2

Задание Даны вершины треугольника А (1,-1), В (0,2), С (3,1). Составить уравнения высоты AD и прямой, проходящей через вершину А, параллельно стороне ВС. Вычислить длину высоты AD.

РЕШЕНИЕ Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из содержания данного упражнения.

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Даны вершины треугольника А (2,-2), В (3,-5), С (5,7). Составьте уравнение высоты ВD, вычислите ее длину.

Задание 2

Составить уравнение всех сторон треугольника АВС, где А (3,2), В (5,-2), и С (5,2). Найти из длины.

Задание 3

Составить уравнения всех высот треугольника с вершинами А (3,2) В (5,-2) и С (1,0). Найти длины высот.

Задание 4

Через точки А (1,-2) и В (5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С (-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить расстояние от точки С до прямой АВ.

Задание 5.

Даны координаты вершин прямоугольной трапеции А (5,-1), С (7,3), Д (9,-1) с основаниями AD и ВС. Написать уравнения всех сторон трапеции. Вычислить ее высоту.

3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

Задание

Написать каноническое уравнение кривой. Определить тип кривой, выписать ее параметры.

Решение Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из содержания данного упражнения.

1.Ознакомиться с каноническими уравнениями кривых второго порядка.

2.Выделить полные квадраты независимых переменных

3Преобразовать уравнение

или

отсюда

— или (случай b)

4. Определить тип кривой гипербола

5. Выписать параметры кривой

1.Действительная полуось, мнимая полуось

2. Расстояние между фокусами

3. Центр симметрии С (3,-2)

4.Координаты фокусов

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Привести к каноническому виду и определить тип кривой

Задание 2.

Привести к каноническому виду уравнение кривой. Определить ее тип и вычислить основные параметры.

Задание 3.

Привести к каноническому виду уравнение кривой. Определить ее тип, вычислить основные параметры.

Задание 4.

Привести к каноническому виду уравнение кривой. Определить ее тип, вычислить основные параметры.

Задание 5.

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка. Определить тип кривой, вычислить основные параметры.

4.Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4

Задание Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку

Параллельно плоскости ;

Перпендикулярно прямой

Решение Заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из задания.

1.Освоить различные способы задания плоскости в пространстве.

2.Выписать координаты вектора нормали данной плоскости.

3.Написать уравнение плоскости, параллельной данной, и проходящей через точку или

4.Выписать координаты направляющего вектора данной прямой

5.Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через точку. или. Плоскость параллельна OZ.

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости .

Задание 2.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

Задание 3

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной координатной плоскости XOY.

Задание 4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной прямой

Задание 5

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярной оси OY.

5. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5

Задание Написать уравнение прямой, проходящей через точку и а) имеющей направляющей вектор b) перпендикулярной плоскости; c) проходящей через точку

Решение Заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из содержания данного упражнения.

1.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

2.Выписать координаты вектора нормали для данной плоскости

3.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

4.Вычислить координаты вектора

5.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором Прямая перпендикулярна оси OY

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Написать уравнение прямой, проходящей через точку, имеющий направляющий вектор

Задание 2

Написать уравнение прямой, проходящей через точку, параллельную прямой

Задание 3

Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости

Задание 4

Даны вершины треугольника А (4,1,-2), В (2,0,0), С (-2,3,5). Составить уравнения его сторон.

Задание 5

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А (3,-2,4) на плоскость

Задание 6

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А (1,2,-1) на плоскость XOY.

Задания для самостоятельной работы

1.Составьте логическую схему знаний по теме кониты.

Самостоятельно решите следующие задачи (для отработки методов решения задач воспользуйтесь приложением 1):

1.Найти скалярное произведение

2.При каком значении a векторы ортогональны?

3. Для прямой М₁ М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой.

4.В треугольнике найти уравнение медианы, высоты, проведенных из вершины, а также уравнение средней линии ЕF, параллельной основанию

Вычислить длину найденной высоты Координаты точек заданы в таблице:

5.По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить ее график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

Варианты заданий:

1)

2)