Перечисление тернарных алгебр и деревьев

Выполнение тех или иных тождеств является одним из существенных свойств алгебраических систем. Важные классы различных алгебр выделяются по признаку выполнения (или не выполнения) некоторых тождеств.

Фундаментом многих исследований являются работы А. И. Ширшова, доказавшего теорему о свободе подалгебр в свободных алгебрах Ли ([16]).

В настоящей работе изучаются тернарные алгебры с некоторыми тождественными соотношениями. Результаты интерпретируются на языке перечисления некоторых тернарных деревьев.

Теория графов — важный раздел современной математики, как с точки зрения внутренних стимулов ее развития, так и для разнообразных и многочисленных приложений.

За последние десятилетия теория графов превратилась в один из наиболее бурно развивающихся разделов математики ([13], [14]). Это связано с тем, что теория графов, родившаяся при решении головоломок и занимательных задач, стала в настоящее время простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. В виде графов можно интерпретировать, например, схемы дорог и электронные схемы, географические карты и молекулы химических соединений, связи между людьми и многое другое. Это привело к широкому использованию теории графов в физике и кибернетике, химии и биологии, экономике и статистике и других науках. Особенно важна роль теории графов в современном программировании.

Деревья, классический объект математики, также являются графами, только организованными специальным образом ([13], [21]). Большое распространение получили бинарные (двоичные) деревья. Тернарные (троичные) деревья являются естественным обобщением бинарных. Таким образом, тематика данной работы является актуальной.

Основным объектом исследования в данной работе являются многообразия тернарных алгебр, т. е. алгебр с трилинейной операцией. В этом классе в качестве предмета исследования выступают конечно порожденные алгебры, а также рост коразмерностей многообразий абсолютно свободных алгебр, свободных симметричных и кососимметричных алгебр и некоторых других. Для этих целей в работе использованы методы теории многообразий линейных алгебр, комбинаторные методы, техника производящих функций.

В Главе 1 данной работы приведены основные определения и формул-лировки полученных результатов.

Вторая глава работы содержит более подробное описание свободных тернарных алгебр, их взаимосвязь с тернарными деревьями, доказана ал-гебраичность производящей функции абсолютно свободной тернарной алгебры, а также функций сложности свободных симметричных алгебр, свободных кососимметричных алгебр и некоторых других.

В главе 3 изучается шрайеровость многообразий тернарных алгебр.

Многообразие алгебр называется шрайеровым, если всякая подалгебра в свободной алгебре этого многообразия также является свободной в этом многообразии.

Этот термин возник в связи с классической теоремой О. Шрайера о свободе подгрупп в свободной группе [24]. В качестве основного результата доказана шрайеровость многообразий тернарных алгебр.

В главе 4 данной работы в рассматриваемых классах тернарных алгебр изучаются разрешимые и вполне разрешимые алгебры и многообразия. Полученные результаты эквивалентны перечислению тернарных деревьев, которые не содержат некоторых запрещенных поддеревьев.

В качестве основного результата доказана алгебраичность соответствующих производящих функций.

Пятая глава посвящена изучению левонильпотентных и вполне лево-нильпотентных алгебр и многообразий в классах абсолютно свободных, свободных симметричных, свободных кососимметричных и некоторых других алгебр. Полученные результаты эквивалентны перечислению тернарных деревьев, которые не содержат запрещенных поддеревьев специального вида.

В качестве основного результата этой главы доказано, что функции сложности многообразий вполне левонильпотентных и левонильпотентных тернарных алгебр являются алгебраичными.

Также в пятой главе доказана полиномиальность рядов Гильберта-Пуанкаре многообразий левонильпотентных симметричных и кососимметричных тернарных алгебр.

Результаты работы носят теоретический характер. Их достоверность определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории многообразий линейных алгебр, комбинаторные методы, технику производящих функций.

Научная ценность работы определяется тем, что полученные в диссертации результаты могут найти применения в исследованиях по алгебре и комбинаторике.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. М. Петроградскому за предложенную тематику исследований, постоянное внимание к работе и поддержку.

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985. — 448 с.

2. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. — перев. с англ. — М.: Наука, 1990. —504 с.

3. Курош А. Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. // Математический сборник, т. 20 (62). — 1947.-е. 239 262.

4. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.— 392 с. 10.~Михалев" АТ" А7^Подалгебры свободных" цветных супералгебр~Лиг" //Мат. заметки, т. 37. —1985. — с. 653 651.

5. Петроградский В. М. Рост полилинейных многообразий алгебр Ли и быстро растущие функции. // Математический сборник, т. 188, N6. — 1997.-е. 119 138.

6. Размыслов Ю. П. Тождества алгебр и их представлений. — М.: Наука, 1989.-432 с.

7. Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика: Перев. с англ. —М.: Мир, 1990. —440 с.

8. Ф. Харари, Э. Палмер. Перечисление графов: Перев. с англ. — М.: Мир, 1977.-326 с.

9. Ширшов А. И. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр. // Математический сборник, т. 34 (76), N 1.-1954.-с. 81 88.

10. Ширшов А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр. // Математический сборник, т. 33 (75), N 1. — 1953.-е. 441 452.

11. Bahturin Yu. A., Mikhalev A. A., Petrogradsky V. М., Zaicev М. V. Infinite Dimensional Lie Superalgebras. — BerlinNew York: de Gruyter, 1992.— 250 p.

12. Drensky V., Free algebras and Pi-algebras. — Springer, Singapore, 2000.— 271 p.

13. Mikhalev A. A. Primitive elements and automorphisms of free algebras of—-Schreier-varieties. // JMath.Sci.,.(New York) 102 (6). — 2000. -p.4627- 4639.

14. Mikhalev A. A., Yu J.-T. Primitive, almost primitive, test, and^-primitive elements of free algebras with the Niels en-Schreier property. //J. Algebra 228 (2). 2000. — p. 603 — 623.

15. Moon J. W. Counting labelled trees. — Canadian Mathematical Monographs N 1, Canadian Mathematical Congress, 1970. —115 p.

16. Petrogradsky V. M. Schreier’s formula for free Lie algebras. // Arch. Math. (Basel) 75 (1). 2000. — p. 16 — 28.

17. Petrogradsky V. M. Enumeration of algebras close to absolutely free algebras and binary trees // Journal of Algebra, N 290(2). — 2005. — p. 337 371.

18. Schreier O. Die Untergruppen der freien Gruppen. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5.-1927, —p. 161 183.

19. Witt E. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe. // Math. Z. 64, — 1956.-p. 195−216.