Систолы в геометрии Карно-Каратеодори на группах Гейзенберга

I.

Одним из новых направлений в современной геометрии является изучение метрических пространств с внутренней метрикой. Начало этих исследований было положено А. Д. Александровым. Познее изложение этих идей можно найти в обзоре [1]. Кроме того, этому, направлению посвящены следующие работы: [2], [3], [7], [11], [12], [18], [19], [20]. В этих работах был предложен новый подход к изучению геометрии пространств и многообразий, в котором требования дифференцируемости и гладкости заменяются условиями касающимися внутренней геометрии рассматриваемых пространств. К метрическим пространствам с внутренней метрикой относятся римановы многообразия, финслеровы пространства, а также пространства с метриками Карно-Каратеодори. Среди последних особый интерес представляют нильмногообразия с метриками Карно-Каратеодори (К-К). Геометрия К-К находит применение во многих задачах механики, вариационных задачах, в вопросах оптимального управления. Интересной характеристикой геометрии К-К является систолическая константа. Фактически эта константа появилась для римановых поверхностей в работах Лёвнера и П. Пу [31] в начале 50-х годов. Двадцать лет спустя, М. Бер-же формализовал и распропагандировал идеи Лёвнера и П. Пу дав общее определение систолических констант для римановых многообразий произвольной размерности. Изложение этих идей и большее количество ссылок можно найти в обзоре [26].

Определение 1. 1-систолой sys (Мп, р) (компактного) риманого многообразия (Мп, д) называется длина кратчайшей негомотопной нулю замкнутой геодезической.

Тогда систолическая константа ст определяется следующим образом:

Это определение легко обобщается на пространство с внутренними метриками.

Пусть (X, d) компактное метрическое пространство в котором задана некоторая непрерывная кривая 7(?): [0,1] -" X. Тогда определена длина кривой 7: 1 m—1.

WT) = SUP где xi,., хт— произвольная последовательность точек кривой 7, занумерованных в порядке их расположения на кривой, а верхняя грань берется по всем таким последовательностям.

Метрика d называется внутренней, если для любых точек х, у? X, выполняется равенство: d (x, y) = inf/rf (7), 7 где нижняя грань берется по всем кривым 7, соединяющим хну. Кратчайшей соединяющей х ту называется кривая, длина которой равна d (x, y).

Если п размерность по Хаусдорфу пространства X [24], то на X определена п мерная мера Хаусдорфа Щ порожденная метрикой d. Пусть D = D{n) — класс внутренних метрик хаусдорфовой размерности п, и конечной п мерной меры Хаусдорфа. Определим систолическую константу, а следующим образом: ¦ ^ = (2) где sys (X, d) есть, по определению, минимальная длина негомотопной нулю замкнутой петли на X.

В случае римановых многообразий, определение (2) совпадает с определением (1). На сегодняшний день, точно решенных систолических задач имеется только три.

Теорема. (Левнер, 1949, не опубликованная) Пусть Т2 — тор с римано-в ой метрикой д. Тогда: vol (T2, д) УЗ (sys (T2,0))2 «2 ' причем равенство достигается тогда и только тЬгда, когда (Т2,д) — плоский экваториальный тор, то есть Т2 = R'2/G, где G — гексогоналъ-нал решетка в R2. •.

Теорема. (Р.Ри [31]) Пусть на RP2 задана риманова метрика д. Тогда: vol (RP2, g) 2 (sys (RP2,^))2 / ^ причем равенство достигается тогда и только тогда, когда g — метрика постоянной кривизны.

Доказательство этих теорем можно найти в [7].

Теорема. (C.Bavard [25]) Пусть К2 — бутылка Клейна с римановой метрикой д. Тогда: vol (K2,ff) ^ 2у/2 (sys (K2,g))2 ^ тг.

Таким образом, r (T2) = f, «» (К2) =.

На этом точные результаты заканчиваются. Хорошая оценка снизу для ^(Sk), гДе — сфера с к ручками, получена М. Громовым [29]. Ему же принадлежит более общий результат, позволяющий выделить многообразия с положительной систолической константой [28].

Пусть (М, д) — замкнутое m-мерное многообразие с римановой метрикой д и ненулевой фундаментальной группой. Рассмотрим отображение.

F:M-^K (tti (M), 1), индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп. Пусть F* — индуцированное отображение m-мерных гомологий,.

F* ¦ Нт (М, к) Нт (К (тп (М), 1), *), где к = Z, если М ориентируемо, и к .= Z2, если М неориентируемо.

Определение 2. (М.Громов) Многообразие М называется существенным, если F*([M]) ф 0, где [М] — фундаментальный класс М.

Примерами существенных многообразий являются Т2, RP2, К2, Sj, RP2t (проективная плоскость с. п — 1 пленками Мебиуса), RPn, Тп, замкнутые многообразия, допускающие метрику неположительной кривизны 1.

Теорема. (М.Громов [28]) Если М существенное многообразие, то а (М)> 0.

В случае, когда М ориентируемо, верно и обратное утверждение [б]. К результатам общего характера также относится работа И. Бабен-ко [6]:

Теорема. (И.Бабенко) Систолические константы а (М) являются гомотопическими инвариантами многообразия М.

В геометрической теории чисел и теории упаковок хорошо известны константы Эрмита решеток в Rn. п.

Пусть g (x) — ^ 9ijXlxJ положительно определенная квадратичная форhj=1 ма над R, ж = (ж'1,., хп). Тогда: «m (q) := inf q (x) = min q{x) zeZ», v ' arez" , — 1 хфО.

Последний пример следует из теоремы Адамара-Картана, поскольку в этом случае многообразие имеет гомотопический тип к (7Г, 1).

Константой Эрмита jn называется следующая величина: т (д) т (д).

7″ = sup г д (det^)" max д detff) i.

Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим в R" всевозможные целочисленные решетки G = (/i,. ,/п), с п образующими, а также римановы метрики cjij. Расстоянием между элементами п решетки естественно считать величину p (g, h) = (^ dij^h^)1^'2, положим: i, j=1 m (G)= inf' p (g, h). g, heG дфь.

Тогда:

7″)"{G!)=inf.

9ij det (/b., fn) m O.

Вычисление констант Эрмита является сложной задачей. На сегодняшний день известны константы Эрмита только до размерности п = 8, для п > 8 вопрос их поиска остается открытым. В настоящее время известны хорошие асимптотики этих констант [30].

Возникнув первоначально в алгебраической теории чисел как аналитическая величина, константы Эрмита имеют прямую интерпретацию в систолической геометрии. Рассмотрим класс плоских метрик на п мерном торе Tn = Rn/G, (где G— некоторая равномерная решетка в Rra) постоянного объема. Тогда m (G) = sys (T"), а 7n (G) = (cr (Tn))2.

Константы, аналогичные константам Эрмита в R", естественно возникают в любой геометрии постоянной кривизны, а также в однородных геометриях на некомпактных группах Ли с равномерными решетками. В этой работе рассматриваются систолические константы (или константы Эрмита) однородной геометрии К-К на группах Гейзенберга.

Пусть Jf2n+1 = Hzn+i/G нильмногообразие [17], где Я2п+1— группа, порожденная матрицами вида: В.

2п+1.

1 а.. ап с >

0 1.. 0 h, • аг-, Ь{, с G R, г = 1,., п.

0 0.. 1 Ьп.

0 0.. 0 и > которая называется (высшей) группой Гейзенберга размерности 2п + 1 и является связной, односвязной нильпотентной группой Ли, a G —г равномерная дискретная подгруппа (решетка) в #2n+iКаждая решетка в Нщ+х с точностью до группового автоморфизма определяются некоторым набором натуральных параметров G = G (k,., к&bdquo-):

1 ка 1 кпа.

G (ku., кп) = < п^п о с h о V 1 di, bi, c е z, % — 1, п.

Таким образом, каждое нильмногообразие Я =. , кп) также зависит от этого набора.

В качестве внутренних метрик рассматрим левоинвариантные метрики К-К [13] на #2п+ь которые индуцируют метрики на Л/*2п+1. Пусть Vh, h Е Щп+1 левоинвариантное поле 2п мерных гиперплоскостей, гладко зависящих от /г, такое что, векторное подпространство Ve, где е единица группы #2"+i порождает алгебру Ли L = Ь{Н2П+) — (такое поле называется вполне него лоно мным распределением или контактной структурой.

2 тг на #2"+1. На Ve задается норма |?| = (^ gijC^)1² посредством положиhj=1 тельно определенной квадратичной формы которая разносится левыми сдвигами в каждую точку пространства i?2n+i и задает левоинвариантную норму 2 на Уд. Кусочно непрерывно дифференцируемая кривая называется допустимой, если она касается распределения в каждой своей точке. По теореме Рашевского-Чжоу [22], [27], любые две точки в (Ягп+ъ ^л) соединимы допустимой кривой. Метрика К-К р определяется равенством: р (е, h) := inf.

76 D (e, h) gij’MWWVW*, з) где D (e, h) класс допустимых кривых, соединяющих точки е и h в Н2П+1-Поскольку метрика р левоинвариантна, то аналогично определяется расстояние между любыми двумя точками.

Каждая метрика К-К с точностью до автоморфизма #2n+i зависит от набора параметров р = />(air.,"")•> где, а •. • ап = 1, oi{ Е R+.

Замечание 1. Класс метрик К-К не ограничивается приведенным выше определением. Задавал норму на Vh как функцию Т — Т{Ь) мы получим более широкий класс метрик— метрики Карно-Каратеодори-Финслера.

2выбор такой нормы продиктован аналогичной задачей поиска констант Эрмита для плоских торов в r" .

Этот класс исчерпывает все внутренние метрики на H2n+iТочнее, согласно работам В. Берестовского [9] и [10], однородные многообразия с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства H/G связных групп Ли Н по их компактным подгруппам G, снабженные не.

На #2п+1 определена ненулевая 2n-f 2-мерная мера>Хаусдорфа порожденная метрикой р, которая наряду с обычной 2п +1-мерной Лебеговой мерой, является мерой Хаара, и поэтому отличается от последней на некоторую универсальную мультипликативную константу оценки которой приводятся в данной работе.

Группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве всех решеток с характеристическим набором. , kn). Кроме того, группа автоморфизмов действует транзитивно и на множестве всех метрик К-К при фиксированном наборе параметров, а = («!,., ап). Таким образом, мы получаем последовательность систолических констант, а = a (ki,., кп), зависящих только от набора, кп) в метрике К-К р = ра. Основная цель этой работы состоит в изучении этой последовательности.

Для трехмерной группы Гейзенберга Щ набор параметров (к,., кп) заменяется одним параметром к. Тогда систолические константы на Щ подчиняются следующей теореме [14]:

Теорема. Любая решетка единичного объема с максимальной систолой некоторым вращением вокруг оси Oz переводится в решетку вида: I. При k = 1: которой левоинвариантной метрикой Карно-Каратеодори-Финслера. Вопрос поиска а (ЛГ2п+1) по всем внутренним метрикам пока остается открытым.

Gi = {/i= h= (О'1^)' /а= (0,0,1)|, при этом o-(l) = •, где t — корень уравнения lint = sint/2.

1 2'.

II. При 2 ^ k ^ 10:

Gk =.

0.05.

12 х.

Рис. 1.

1— cost где t — корень уравнения ts[nt — ^д.

III. При к > 10 решеток с максимальной систолой бесконечно много (не переводящихся друг в друга некоторым вращением вокруг оси Oz). Одна из них имеет вид гексагональной решетки (см. II), при этом 7 = кщ 16тг2 '.

Поведение функции, а (к), к G R можно увидеть на рис. 1. Для п мерной группы Гейзенберга i?2n+i большое количество решеток не позволяет получить результат той же точности что и для Щ [16].

Теорема. В классе решеток G (ki,., kn) единичного объема, имеют место оценки:

1) max sysG (l, 1, ks,., kn) = sysG (l, 1,., 1), причем sysG (l,., 1) < y/n.

4) n-l.

2) max sysG (l, k2,., kn) = sysG (l, 2,., 2) = ?q • 2^, где e^ =.

1, k2,., kn), k2>l.

1,78 с точностью второго знака после запятой.

3) max sysG (Jki,., kn) = sysG (fcb. M). = фг) • Ш ¦ h 2″ Ч где ki,., kn) h>i ki = 2,., 10, а значения e^ приведены в таблице.

4) max sysG (&i,., k") = 2л/тт • ll-^ h,., kn) h> 10.

Таблица 1.

A? — k '. * Jbfi cr (fci,., kn)/fj, n min (<�т//лп) к > 1, fci = k2 = 1 к < fdM < f. k ^ ^ V 4 / — (0.32)" +1 < < (0.43)n+1 к > 2n~1, = 1 (i)2n+2. k — | • (0.63)и+1 f) n+l ¦ (±?n+2 ¦ k' 1.23 | • (0.57)и+1 к > 3n, fci = 3 (?Y+1 ¦ &2n+2 ¦ к • 1.11 | •(0.70)n+1 к > 4″, h = 4 (f)n+1-&n+2-k 1.07 | •(0.76)n+1 /— ii+1 (f) • (i)2K+2 • Л • 1.04 | • (0.80)ra+1 к > 6й, fci = 6 1.03 | • (0.82)" +1.

1.02 | • (0.83)n+1.

8n, fci =8 ЬУ" ¦ (i)2n+2' * 1.02 | ¦ (0.83)w+1 к > 9n, fci = 9 (^Г' (i)2″ +2 •* 1.01 1 ¦ (0.85)n+1 к > 10″, fci = 10 (?)n+L ¦ (^)2n+2' к 1.01 To ¦ (0−85)n+1 ^ lln, kx = 11 Шп+1-к —. 1V-(o.8sr+1.

Значения оснований в последнем столбце приведены с точностью до второго знака после запятой.

Для наглядности, значения систолических констант для каждого набора (fci,., кп) приведены в таблице 1.

Выбрав наименьшее значение, а = а (кг,., кп) по всем наборам (кг,., кп), получим следующую теорему [15]:

Теорема. Систолическая константа нилъмногообразия ДГ2п+1 = H2n+i/G с метрикой К-К ра допускает оценки:

1)п=1: сг (ЛГ3) = ^ • Мь ¦

2)п>1: (^тт • fin < а (М2п+Ра) <: (ЙТУ ^ ^ {п+1)вп > где. I.

1 Г /sinА «cos? sin? — tcost = 2 J{—) -Г—?-* (6) 0.

1. Александров А. Д., Берестовский В. Н., Николаев И. Г. Обобщенные ри-мановы пространства // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, вып. 3, С. 8−11.

2. Alexandrow A.D. Uber eine Verallgemeinerung der riemannschen Geome-trie// Schriftenreihe der Institute fur Mathematic. 1957. Hf. 1, S. 33−84.

3. Александров А. Д. Одна теорема о треугольнике в метрическом пространстве и некоторые её приложения// Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1951. Т. 38, С. 5−23.

4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., 1979.

5. Бабенко И. К. Замкнутые геодезические, асимптотический объем и характеристики группового роста// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52. № 4. С. 701−702.

6. Бабенко И. К. Асимптотические инварианты гладких многообразий// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1992. Т. 56. № 4. С. 707−751.

7.

Введение

римановой структуры в некоторых метрических пространствах// Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 4. С- 651−661.

8. Берестовский В. Н. Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского// Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35. № 1. С. 3−11.

9. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I// Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29. № 6. С. 17−29. ,.

10. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II// Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 2. С. 14−28.

11. Berestovskii V.N. and Vershik A.M. Manifolds with Intrinsic Metric, and Nonholonomic Spaces// Advances in soviet mathematics. 1992. V. 9. P. 253−267.

12. Бураго Ю. Д., Громов M. JL, Перельман Г. Я. Пространства, А .Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами// Успехи, мат. наук. 1992. Т. 47. вып. 2. С. 3−51.

13. Вершик A.M., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариаицонные задачи // Итоги науки и техн. Сер: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. М. 1987. Т. 16. С. 5−221.

14. Донцов В. В. Систолы равномерных решеток на группе Гейзенберга с метриками Карно—Каратеодори// Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 2.

15. Донцов В. В. Систолы нильмногообразий с метриками Карно— Каратеодори// Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 266.

16. Мальцев Л. И. Об одном классе однородных пространств // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1949. Т. 13, № 1. С. 9−32.

17. Николаев И. Г. Параллельный перенос и гладкость метрики пространств с ограниченной кривизной// ДАН СССР. 1980. Т. 250, № 5. С. 1056−1058.

18. Николаев И. Г. О параллельном переносе векторов в пространствах с двусторонне ограниченной по А. Д. Александрову кривизной// Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24.№ 1. С. 130−145.

19. Николаев И. Г. О гладкости метрики пространств с двусторонне ограниченной по А. Д. Александрову кривизной// Сиб. мат. журн. 1989. Т. 24. № 2. С. 114−132.

20. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.

21. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголоном-ного пространства допустимой линией// Уч. зац. пед. ин-та. им. Либ-кнехта. Сер. физ. мат. наук. 1938. № 2, С. 83−94.

22. Роджерс К. Укладки и покрытия. М., 1968.62.

23. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М., Наука. 1987.

24. Bavard С. Inegalites isosystoliques conformes pour la bouteille de Klein// Geometriae Dedicata. 1988. P. 146−166.i.

25. Berger M. Systoles et applications selon Gromov // Expose 771. Semi-naire N. Bourbaki. Asterisque 216, pp. 279−310. Societe Mathematiques de.France.

26. Chow W.L. Systeme von linearen partiellen differential gleichungen erster ordnung// Math. Ann. 1939. 117, P. 98−105.

27. Gromov M. Filling riemannian manifolds// J. Diff. Geom. 1983. V. 18, № 1. P. 1−147.

28. Gromov M. Systoles and intersystolic inequalities// preprint IHES. 1992.

29. Oesterle J. Empilements de spheres// Asterisque. Seminaire Bourbaki. 189 190. 1990. 375−398.

30. Pu P. Some inequalities in certain nonorientable manifolds// Pacific J. Math. 1952. 2, P. 55−71.