Поведение трещины в хрупком теле при наличии усилий, моделирующих подкрепляющие элементы

§ 0.1. Концепция предельного коэффициента интенсивности напряжений.

Определение асимптотики полей напряжений и смещения вблизи трещины в упругом однородном теле — важный этап в развитии механики. Первоисследователями в этой области считаются К. Веерхард (1907), С. Е. Инглис (1913), А. А. Гриффите (1921),. М. Л. Вильяме (1957). Ими было установлено, например, что тензор компонент напряжений (ах, (Ту, сг2, аху, аХ2,.) для двумерной задачи может быть записан в следующем виде:

Та.

7,.

Кг.

V2.

7ГГ.

Ш).

W) h (0)) к и.

V2.

7ГГ.

2(0) т.

V h (0) 0(1).

0.1).

V Тху /.

Здесь К.1 = ^/(р,/), К л = Кп{р, 1) — коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Они служат мерой сингулярности напряжений около вершины трещины, т. е. области предразрушения. Заметим, что во Введении приняты свои обозначения, отличные от основного текста диссертации. Коэффициенты /О, Кц являются функциями от приложенных нагрузок р, длины трещины /, формы тела и не зависят от координат г, в. Функции /?(0) зависят только от полярного угла. Под 0(1) подразумевается гладкая составляющая решения.

911 б) В) рис. 0.1.

Подобные соотношения могут быть получены и в случае трехмерной задачи. Рис. 0.1 показывает три типа смещения поверхностей трещины: нормального отрыва (рис. 0.1,а), поперечного (рис. 0.1,5) и продольного сдвигов (рис. 0.1,е), которые соответствуют Kj Кц, Кщ.

Первый тип связан с нормальным смещением поверхностей трещины во взаимно противоположных направлениях (симметрично относительно плоскостей ху и хг) второй соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу в направлении, перпендикулярном ее фронту (ось г) — третий связан со скольжением одной поверхности трещины по другой параллельно фронту трещины (оси г). .

Дж. Р. Ирвин предложил новый критерий, позволяющий определить напряжения в районе распространяющейся, в деформированном теле трещины в условиях квазихрупкого разрушения, опирающийся на концепцию предельных величин КИН. Формулируется он следующим образом: трещина нормального отрыва (/О ф 0, Кц — Кщ = 0) начинает распространяться в том случае, если КИН достигнет критического для данного материала значения (для плоской деформации Кд = К ¡-с, для плоского напряженного состояния Кд = Кс). Здесь К^ = где Р* — предельное значение приложенной нагрузки р.

Согласно асимптотической формуле (0.1), для трещин нормального отрыва максимальное растягивающее напряжение имеет вид: = [^(р.ОЛ/^7] + 0(1), КпМ = о, КшЫ) =.

Критерий предельного равновесия тела (критерий Дж. Р. Ирвина) в этом случае можно записать как:

К* = КI (р*, /) — /Ос или Г [{К], К1с) = к- - К1с = 0. (0.2).

Критерии, аналогичные уравнению (0.2), формулировались на основании других предпосылок (принимались во внимание силы сцепления в области предразрушения). В частности, Г. И. Баренблаттом (1959) была предложена физическая интерпретация К]с как модуля, характеризующего силы сцепления в окрестности вершины трещины.

М. И. Леонов сформулировал новый критерий предельного равновесного состояния хрупкого деформируемого тела. Этот критерий основывался на оценке предельных макронапряжений, возникающих на поверхности некоторой элементарной сферы в окрестности вершины трещины (радиус этой сферы принимался как механический параметр структуры материала).

Статьи С. А. Христиановича, Ю. Р. Зелтова (1955) и Г. И. Барен-блатта (1959 и следующих годов), М. Ю. Леонова и В. В. Панасю-ка (1959 и следующих годов), Г. П. Черепанова (1961 и следующих годов), Р. Л. Салганика (1963 и следующих годов) и других ученых сыграли важную роль в развитии этой области механики. В 60-ые годы критерий (0.2) широко использовался для тел с трещинами в случае сложного напряженного состояния (двумерные случаи), т. е. когда (К.1 ф 0, К и ф 0, К т ф 0). Такие исследования проводились Л. Т. Бережницким, В. В. Панасюком и Г. П. Черепановым. Помимо этого, определялись место и направление начального движения трещины с помощью следующих гипотез: трещина распространяется вдоль элементарной области (перпендикулярно фронту трещины), в которой сингулярная часть растягивающих напряжений достигает своей максимальной интенсивности.

На основе этих предположений (исследования В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого (1964)) были получены следующие уравнения предельного равновесия для тела (пластины) с произвольно ориентированной трещиной (см. рис. 0.2):

0.3).

Нт/2ттгав (а, рг, 9Л = К1с, г->0 нш^ да°{а'р'г' в)/е = в, =о, г—>-0 89.

ТТТТТТТТТТТ Т1.

У Л/.

Ла г РX.

0.4) | | | | | | | | | | | Р рис. 0.2 где в = 9* — угол, характеризующий направление начального распространения трещины, а — угол ориентации трещины. Используя уравнения (0.3), (0.4), можно получить критерий для тела с трещиной в условиях плоского напряженного состояния:

ЫК1 Кп, К1С) = С083.

3К*п tg.

9*.

К1с = 0,.

0.5) в = 2аг^ /0 # о.

4А//.

Этот обобщающий критерий был экспериментально проверен Л. Т. Бе-режницким, С. Ю. Ковчуковым, В. В. Панасюком (1965) и стал важной ступенью в развитии механики разрушения.

В своих работах О. Ю. Андрейкив (1969) предложил рассматривать приведенные выше уравнения (0.3)—(0.5) для трехмерного тела с произвольно ориентированной плоской трещиной, когда К[ ф 0, Кц ф 0 и Кш Ф 0.

Г. С. Писаренко и А. Ю. Красовский (1971) внесли большой вклад в развитие так называемого «силового» критерия, предложенного для трещин нормального отрыва.

§ 3.4. Выводы.

Рассмотрена задача об определении коэффициента интенсивности напряжений для поля напряжений в окрестности носика трещины отрыва с учетом системы сосредоточенных пар сил, действующих на пластину. Получено точное решение задачи, состоящее из суммы сингулярной и регулярной частей. Так как в решении задачи присутствовали регулярное и сингулярное слагаемые, обратились к модифицированному интегральному критерию Нейбера — Новожилова. В результате были определены условия, при которых подкрепляющие элементы действуют на трещину как своеобразная «ловушка», эффективно работающая при определенном ограничении на местоположения точек крепления тормозных элементов. Получено описание полной «спины динозавра» по Р. Томсону.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ИНТЕГРАЛЬНОГО КРИТЕРИЯ ХРУПКОЙ ПРОЧНОСТИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ С ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ.

ЭЛЕМЕНТАМИ.

§ 4.1. Теоретическое обоснование.

В Главе 1 была рассмотрена задача о растяжении плоской пластины с трещиной длины 21, расположенной вдоль оси х, нагрузками на бесконечности аоо, симметричными относительно некоторой прямой. Два подкрепляющих элемента, препятствующих развитию трещины, моделировались четырьмя противоположно-направленными сосредоточенными силами Р (рис. 4.1). Расстояние между точками приложения этих сил по вертикали — 2уо, по горизонтали — 2L. ttttt tttt ttt ttt.

J 1 | Ц J | J Н И I i рис. 4.1.

В § 1.2 была получена формула для определения нормального напряжения в вершине трещины: лДттсГж а. уу.

М).

РеТг (Ъ) hnVid у/2п (х — I) л/2тт (х — I) <т* (/, 0), (4.1.1) где а* (1,0) = (jJ (/, 0) +0−00,.

Руо hix (y2 + {l-L)2).

Уо)(.

Мл M2(l — L)2 Ml-yl + (l-L)2) + М2{1 + L)2.

У2о + (1 + Ь).

2 / ' м1 = (3 + и)/2^=0>25 — 1,625, М2 = (1 + ^)и0,25 = М5- Заметим, что в формуле (4.1.1) введена поправка на величину /г — толщину пластины, так как ранее во всех приведенных расчетах подразумевалась единичная толщина пластины.

Выражение (4.1.1) состоит из суммы сингулярного и регулярного распределений напряжений, а именно: и. уу.

М) к.

Е) у/2п (х — I)•.

ИЕ).

С VI.

Возможность существования трех случаев: 1) Кы = 0- 2) К 0- 3) Кр^ < 0 послужила основой для введения понятия рациональное подкрепление, которое реализуется при выполнении случая 1. Тогда случай 2 отвечает за слабые подкрепляющие элементы, случай 3 — за чрезмерные (см. § 1.2). Необходимость выполнения случая 1 подразумевает: кр = + ^ = 0.

17 Г V 7Т1.

После преобразований получаем:

4.1.2) Р.

7 Г.

Ша, оо.

Тг (Ъу.

Таким образом, когда имеет место равенство (4.1.2), подкрепляющий элемент препятствует продвижению трещины.

Поскольку в решении задачи может присутствовать сингулярное слагаемое, возникает вопрос о выборе критерия хрупкой прочности. Согласно § 1.4, выбираем модифицированный интегральный критерий Нейбера — Новожилова: 1.

1+п1о к{10 — 2р) уу{х, 0) йх < ст. т?

4.1.3) где /д — расстояние между центрами пустотных ячеек, р — радиус пустотной ячейки, к — число действующих связей на интервале осреднения п/о, <7т — «теоретическая» прочность на растяжение «перемычки — связи» между пустотами. Подставляя (4.1.1) в (4.1.3), получаем: а, оо.

Тг К.

Е).

2 п1г оок{1о — 2р) V 7 Г.

Д0) сТг 1 п1г к (10 — 2р).

4.1.4) эксперимента по растяжению пластин из оргстекла, ослабленных высверленными цилиндрическими отверстиями. Центры этих отверстий образуют правильную прямоугольную решетку. Чтобы исключить влияние микроповреждений при сверлении отверстий в пластинах, особое внимание уделялось чистоте высверленных внутренних поверхностей. Толщина пластин к для первого образца — 3,9 мм, для второго — 4 мм. Размер пластин по оси х: а = 179 мм. В центре каждого образца формировалась трещина длины 21. Для нахождения прочности сгто «связи — перемычки» проводились эксперименты по растяжению образцов из того же материала, из которого изготовлены пластины. «Образцы — свидетели» для определения ат имели на боковых.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Рассмотрены три задачи об определении коэффициента интенсивности напряжений для поля напряжений в окрестности носика трещины отрыва. В первой и второй задачах подкрепляющие элементы моделировались четырьмя сосредоточенными усилиями и четырьмя парами сил соответственно. В третьей задаче в качестве ряда подкрепляющих элементов выступала система сосредоточенных пар сил. Получены точные решения всех задач, состоящие из суммы сингулярной и регулярной частей. Замечено, что рассматриваемые модели соответствовали рациональному проекту относительно выбора мест крепления тормозных элементов при отсутствии сингулярной составляющей. Так как в решении задачи в общем случае присутствовало и регулярное, и сингулярное слагаемые, возник вопрос о правильном выборе критерия хрупкой прочности. В виду особых обстоятельств остановились на модифицированном интегральном критерии Нейбера — Новожилова. В результате были определены условия, при которых действие подкрепляющих элементов наиболее эффективно. Выявлены параметры задач, при которых тормозные элементы могут действовать как своеобразная «ловушка «при распространении трещин.

Найденные решения сравнивались с решением задачи о трещине в модельном теле со структурой, описанным Р. Томсоном. Получено описание полной «спины динозавра» по Р. Томсону. Несмотря на то, что в настоящей работе рассматривались линейные задачи, а у Р. Том-сона присутствовала существенная нелинейность, результаты хорошо согласуются.

В ходе экспериментальной проверки выбранный критерий был перенесен на пористые среды с подкрепляющими элементами. Среда содержала регулярно расположенные цилиндрические пустоты, центры которых образуют правильную прямоугольную решетку. Теоретические оценки сравнивались с данными экспериментов, проведенных на модельных образцах из оргстекла. Для всех длин трещин наблюдалось хорошее согласование результатов, полученных теоретическим и экспериментальным путями. Сравнение полученных на основании опытных данных результатов, приведенных в настоящей работе с результатами, вычисленными при отсутствии подкреплений, еще раз подтвердило тот факт, что действие тормозных элементов эффективно при соответствующем выборе мест их крепления.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: конференции профессорско-преподавательского состава, Новосибирск, НГСУ, 1996;

15-ой межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Новосибирск, ИТПМ, 1997;

Сибирской школе-семинаре по современным проблемам механики сплошных сред, Новосибирск, 1997; семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН;

Опубликованы работы:

1. Козеко М. Е. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в задачах о развитии трещины в хрупком теле при наличии тормозных элементов// Сибирская школа-семинар по современным проблемам механики сплошных сред. Тезисы докладов. — Новосибирск, 1997. — С. 78.

2. Козеко М. Е. Коэффициент интенсивности напряжений в задаче о трещине при наличии тормозных элементов // Динамика сплошной среды, вып. 113. Изд-во Института гидродинамики СО РАН, 1998. С. 81−85.

3. Adishev V. V., Kornev V. М., Demeshkin A. G., Kozeko М. Е. Brittle growing criteria for cracks in structurally ordered porous media with mesofailures// Abstracts, 7th Intern. Symposium on Fracture Mechanics of Ceramics, FMC'99, 20−22 July, 1999, Moscow, p. 8−9.

4. Корнев В. M., Козеко М. Е., Адищев В. В., Демешкин А. Г. Экспериментальная проверка интегрального критерия хрупкой прочности в пористых средах с подкрепляющими элементами// Изв. ВУЗов. Строительство. 1999. № 4. С. 21−26.