Методы построения оценок и решений пространственных задач о трещинах в деформируемых телах

При приложении усилий к телу, содержащему трещиноподобные дефекты, вблизи дефектов возникают области высокого уровня напряжений. Поэтов способность таких тел сопротивляться действующим на них силам заметно снижается. В то же время современные сложные конструкции и сооружения практически всегда содержат те или иные дефекты типа трещин, возникающие либо в процессе эксплуатации, либо изначально присущие используемым материалам.

В связи с этим возникает вопрос о возможности использования конструкции в случае обнаружения в ней трещины. Поиски путей расчета на прочность таких конструкций привели к созданию различных теорий разрушения тел с трещинами, йшснилось, что следует различать случаи, когда возникающие в окрестности края трещины зоны пластичности и нелинейного деформирования материала малы по сравнению с размерами трещины и расстояниями от края трещины до границы тела и когда указанные размеры сравнимы. Если размеры пластической области остаются малыми практически вплоть до разрушения, то такое разрушение называется квазихрупким.

Основы механики хрупкого разрушения были заложены Гриффит-сом [iOO, IOl]. По Гриффитсу, страгивание трещины происходит тогда, когда приращение энергии деформации при прорастании трещины достигает энергии, идущей на образование новой свободной поверхности. Впоследствии этот критерий был обобщен на квазихрупкий случай [lI2, 13ij, когда энергия расходуется не только на образование новой свободной поверхности, но и на образование новой малой пластической зоны у края трещины. Были предложены также другие критерии, например силовые (Г.И. Баренблатт [8-Ю], Дж. Ирвин [П4], В. В. Новожилов [55, 5б]), основанные на анализе характеристик локального поля напряжений, и деформационные, связанные с величиной раскрытия трещины у ее кончика (М.Я. Леонов, В. В, Панаскж [48, 59], Дагдейл [9б], Уэлс [l57]).

Эти подходы, отличающиеся описанием физических явлений, влияющих на трещиностойкость и имеющие различные области применимости, с математической точки зрения становятся эквивалентными при больших размерах трещин и малых зонах пластичности. Напомним теперь, как выглядит критерий прорастания трещины в таком случае.

Как известно, решения задач линейной теории упругости для тел с трещинами не являются вполне корректными и дают бесконечно большие значения деформаций и напряжений у края трещины. Однако в квазихрупком случае упругое решение близко к точному вне малой пластической зоны. Вследствие этого условие страгивания трещины может быть определено с помощью упругого решения. Главные члены компонент тензора напряжений упругого решения у кончика трещины имеют особенность порядка -0,5. Коэффициенты при этих особенностях и определяют, будет ли развиваться трещина. Связь мевд различными критериями прорастания трещины проиллюстрируем на примере трещины нормального разрыва. Пусть трещина расположена в плоскости X =0, тогда напряжение (Г, в плос.

3 -½ 65 кости трещины у ее края имеет вид 6″ 33= INS +0(S J где S — расстояние по нормали до контура, ограничивающего трещину. Обозначим нормальное перемещение поверхности трещины через uS. Из решения плоской задачи, отвечающей сечению трещины плоскостью, нормальной к контуру в точке его гладкости, получается, что вблизи ограничивающего трещину контура.

Здесь Е,^ - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала.

Приращение энергии при продвижении трещины определяется формулой Ирвина (в пространственном случае получена Г. И. Баренблаттом [II, 52]) А/ где i’S — приращение площади, занимаемой трещиной.

Таким образом, локальное поле напряжений, раскрытие у края трещины и приращение энергии при вариации области в окрестности некоторой точки контура определяются одним и тем же коэффициентом Л/. Согласно критериям линейной механики разрушения рост трещины в окрестности рассматриваемой точки контура начинается, когда коэффициент интенсивности напряжений // в этой точке достигает критического значения |J — Л/т. Обычно используются другие величины, отличающиеся от указанной лишь множителем: модуль сцепления К = Т m по Г. И. Баренблатту и критический коэффициент интенсивности напряжений К, -AL по Дж. Ирвину.

Хс '1.

Кроме указанных локальных характеристик решения упругой задачи, важными являются и некоторые интегральные характеристики (энергия, компоненты «объема»). Компоненты «объема» (проинтегрированные по области трещины скачки смещений) определяют главные члены возмущения, вносимого трещиной в дальнее поле напряжений и потому существенны при подсчете эффективных характеристик деформирования среды с множеством трещин [бб], а также важны при анализе кинетики роста трещин в условиях, когда имеется приток газа или жидкости в трещину [22J.

Таким образом, при анализе деформирования и разрушения ква-зихрушшх тел с трещинами необходимо определять перечисленные с выше характеристики упругого решения. Их исследованию посвящено большое количество работ. Однако поскольку задачи, особенно пространственные, для тел с трещинами очень сложны, вопрос об определении этих характеристик и в настоящее время остается недостаточно изученным. Еще более сложными и менее изученными являются пространственные задачи о трещинах в телах, имеющих упругие включения, либо обладающих более сложными механическими свойствами, такими как неоднородность и нелинейность. Поэтому актуальным является исследование и решение пространственных задач о трещинах как в однородных линейно упругих телах, так и в телах с иными механическими свойствами. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

Все работы, относящиеся к задачам механики разрушения для тел с трещинами, можно разбить на три основных направления: построение аналитических решений в случае канонических областей, занимаемых трещиной и теломполучение гарантированных оценок решений или некоторых его характеристикразработка и реализация на ЭВМ численных методов решения.

Получить аналитические решения удается лишь для небольшого количества пространственных задач, соответствующих частным конфигурациям трещин и, кап правило, простым условиям нагружения. Среди них, например, задачи о плоских трещинах в упругом пространстве, имеющих в плане формы полуплоскости [73, 67, 105], внутренности и внешности круга [45, 136, 147, 137, 50, 88, 148, 72, 124], близкую к кругу [59, 5l], внутренности и внешности эллипса [46, 99, 117, 118, 138, 155, 139, 119, 115], концентрического кольца [36], пары кругов [7l] и некоторые другие. Подробный обзор имеющихся в этой области результатов представлен в[148,.

120, бо]. Поскольку запас аналитических решений невелик и некоторые из них являются достаточно громоздкими и не очень удобными для исследования, в последнее время все большее внимание уделяется второму и третьему из перечисленных направлений.

Качественные методы исследования для получения оценок широко применяются в различных областях механики (в задачах теории упругости о кручении стержней [62], контактных задачах [1б], в теории пластичности [г?] и др.). В механике разрушения такой подход начал развиваться сравнительно недавно, с 1975 г., когда появилась работа Р. В. Гольдштейна и В. М. Ентова [2о]. В этой работе были установлены теоремы сравнения в задаче о плоской трещине нормального разрыва в линейно упругом пространстве, форцу жруемые следующим образом: I) при увеличении раскрывающих трещину усилий раскрытие трещины не убывает в каждой точке- 2) при действии раскрывающих усилий в случае расширения области, занимаемой трещиной, раскрытие не убывает в каждой точке, а вследствие этого не убывают также значения коэффициентов интенсивности напряжений на общей части контуров, ограничивающих эти области.

Результаты получены применением принципа максимума к смешанной краевой задаче для гармонической в полупространстве функции, к которой сводится с помощью представления Папковича-Нейбе-ра рассматриваемая задача. Благодаря указанным утверждениям оказывается возможным получение достаточных условий разрушения или неразрушения тела с трещиной сложной формы, путем анализа напряженно-деформированного состояния тела с трещинами более простой формы. В работах [21, 97, 24] эти исследования были продолтеоремы сравнения распространены на случай, когда допускаются знакопеременные нормальные нагрузки, в результате чего могут произойти налегания поверхностей трещины. В этой работе доказательство опиралось на сравнение решений вариационных неравенств, полученных в [Юб]. В [2l] при помощи метода последовательных приближений теоремы сравнения доказаны для трещины отрыва, расположенной в срединной плоскости достаточно толстого слоя.

Доказанные в цитированных выше работах утверждения позволяют сравнивать не только раскрытия объемлемой и объемлющей трещин и коэффициенты интенсивности напряжений в точках касания ограничивающих их контуров, но также «объемы» этих трещин. Однако получаемые отсюда оценки «объемов» не являются достаточно точными. В связи с этим были предприняты попытки построения других оценок «объемов», но существенных успехов в этом направлении достигнуто не было. В [2l] было высказано предположение о справедливости изопериметрического неравенства: в случае однородной нагрузки «объем» трещины, занимающей произвольную область, не превосходит" объема" круговой трещины той же площади. Однако авторам работы не удалось доказать это предположение. Перечисленными утверждениями по существу ограничиваются имевшиеся результаты в области построения оценок решений пространственных задач о трещинах. Наличие оценок решений значительно упрощает исследование задачи, а иногда и совсем исключает необходимость ее полного решения. Поэтому интерес представляет как получение новых оценок в уже рассматривавшихся задачах, так и распространение методов построения оценок на более широкий класс задач.

Развитие качественных методов, конечно, не исключает потребности в разработке численных методов, поскольку необходимо иметь достаточно широкий набор эталонных решений. Вместе с тем, априорные оценки позволяют контролировать правильность и точность приближенных решений.

При численном решении пространственных задач для тел с трещинами различаются методы, при которых решаются уравнения теории упругости во всем трехмерном теле (методы конечных разностей, прямых, конечных элементов) и методы, при которых решаются уравнения на границе тела.

Методы конечных разностей, прямых и наиболее распространенный в настоящее время метод конечных элементов являются достаточно универсальными и применимыми к широкому классу задач. Однако поскольку решение ведется во всем трехмерном теле, для реализации соответствующих программ требуются большие объемы памяти и счет занимает много машинного времени. В процессе решения приходится иметь дело с системами линейных алгебраических уравнений высокого порядка, что также вызывает серьезные трудности. Кроме того, когда в решаемой задаче имеются области резкого изменения и высокого уровня напряжений, как например бывает в случаях наличия трещин или других концентраторов напряжений, в таких областях оказывается достаточно трудно обеспечить удовлетворительную точность.

Имеется небольшое количество работ, в которых пространственные задачи о трещинах решались конечно-разностным методом (отметим [83]) и методом прямых, заключающимся в том, что делается конечно-разностное разбиение по двум переменным и решается система обыкновенных дифференциальных уравнений по третьей переменной [Ю2]. Наибольшее распространение получил метод конечных элементов. Здесь разработаны способы уточнения поля напряжений у края трещины, например, сгущение сетки, использование сингулярных элементов, использование связи между коэффициентами интенсивности напряжений и скоростью приращения энергии и др. Этим методом были решены различные задачи о трещинах, среди них осесимметричные, задачи о трещинах, расположенных в призматических образцах, в полых цилиндрах и некоторые другие [149, 123, 125, 109, 152, 153, 86, 87, 134, 82, 129, 108, III].

Столь же широко, как метод конечных элементов, для решения пространственных задач о трещинах в упругих телах применяются методы, в которых сперва строятся интегральные либо интегродифн ференциальные уравнения на границе тела, а затем они решаются тем или иным способом. Существует несколько способов сведения уравнений теории упругости к уравнениям на поверхности тела. Наиболее распространенным является метод, использующий тождество Сомильяна, в котором смещения внутри тела выражаются через смещения и напряжения на границе и затем осуществляется переход к пределу, когда последовательность внутренних точек сходится к границе. Получаемые при этом уравнения обладают тем достоинством, что на единицу понижается размерность задачи. Однако при решении задач о трещинах возникают двусторонние поверхности, в результате чего уравнения на границе тела вырождаются. Такие трудности обходятся при помощи разных приемов, например замена трещины тонким вырезом, использование особенностей конкретных задач, в частности использование симметрии относительно плоскости трещины и другие. Определенные неудобства связаны и с тем, что в общем случае уравнения приходится решать на неплоских поверхностях тела, которые нужно аппроксимировать кусками простых поверхностей. Вместе с тем, многие пространственные задачи механики разрушения были решены путем численной реализации указанных уравнений, см. например [90−95, 42, 150, 151, 107], причем отмечаются преимущества метода граничных интегральных уравнений по сравнению с методом конечных элементов не только в связи с уменьшением размерности задачи и вследствие этого уменьшением времени счета и необходимого объема памяти, но и с увеличением точности [42, 92, 93].

Несколько иной подход к получению интегральных уравнений на границе тела, основанный на использовании компенсирующих (фиктивных) нагрузок, был предложен в работах [l-З, 12б]. Соответствующие уравнения также применялись при решении некоторых пространственных задач о трещинах [38, 4, 130].

Удобными для исследования и решения оказываются интегродиф-ференциальные уравнения, записанные относительно скачков смещений на поверхности трещины. В случае плоской трещины такие уравнения приведены, например, в [18].

Поскольку описанные выше методы численного решения довольно трудны, занимают много машинного времени и не всегда обеспечивают достаточную точность, предпринимаются попытки создания менее универсальных, но более быстродействующих, простых и надежных способов расчета. Иногда эти способы относятся к более узкому классу задач, а иногда предназначаются для решения конкретных задач. Перечислим некоторые из них.

Альтернирующий метод применялся в основном для решения задач о трещинах, перпендикулярных границе полупространства и выходящих на нее [143−146, 154, 140, 141, 104, 122]. Метод разложения по собственным функциям использовался для задач о трещинах в пластинах конечной толщины [l03, 142]. В [б] предложены уравнения для задач о трещинах нормального разрыва в безграничном пространстве, контур которых состоит из отрезков прямых и дуг окружностей, при этом были использованы известные точные решения задач о трещинах, занимающих круговую область и полуплоскость. С помощью этих уравнений решены задачи о трещине, занимающей прямоугольную [бв] и треугольную области [бэ]. В [l27] построены уравнения для трещины нормального разрыва произвольного очертания в плане и решены некоторые примеры. В [Пб] получены и решены уравнения для прямоугольной трещины. В [15б] при решении задачи о прямоугольной трещине использовано сингулярное интегральное уравнение относительно скачка смещений. В [23] предложен вариационно-разностный метод для решения интегро-диффер енциального уравнения задачи о трещине нормального разрыва и проведено несколько методических расчетов. В дальнейшем, с помощью этого метода был решен ряд задач, в частности задачи о взаимодействии двух эллиптических трещин, расположенных в одной плоскости [l9]. В [98] применением прямого вариационного метода решена задача о прямоугольной трещине.

В связи с отсутствием универсальных программ, обеспечивающих высокую точность решения разнообразных пространственных задач о трещинах, количество различных приемов решения тех или иных задач постоянно увеличивается. Разработка новых и модификации уже применявшихся методов решения нужны для получения достоверных результатов в конкретных пространственных задачах, что представляет самостоятельный интерес и, кроме того, позволяет лучше оценивать достоверность при решении новых, более сложных задач.

Целью настоящей работы является разработка методов построения оценок, получение с их помощью новых эффективных оценок локальных и интегральных характеристик решения пространственной задачи о плоской трещине в однородном линейно упругом теле и распространение такого рода оценок на материалы с более сложными механическими свойствами (учет влияния армирующих элементов, неоднородности и нелинейности), построение удобных в использовании, простых и в то же время обоснованных инженерных форцул для приближенного определения исследуемых величин, а также разработка эффективного численного метода решения пространственных задач о трещинах, реализация его в виде алгоритма и программы и решение новых задач.

Научную новизну работы составляют следующие результаты. В задаче о плоской трещине отрыва, расположенной в безграничном, однородном, линейно упругом пространстве получены оценки потенциальной энергии и объема трещины сверху и указаны способы получения оценок снизу. В случае однородной нагрузки построены другие, более точные оценки. А именно, доказана изопериметриче-ская оценка объема трещины сверху через объем круговой трещины той же площади и получена изопериметрическая оценка объема снизу через интегральную характеристику решения уравнения Пуассона.

Предложены две приближенные формулы, выражающие объем трещины, занимающей выпуклую плоскую область, через более просто вычисляемые величины: геометрические характеристики области, интеграл от решения уравнения Пуассона. Предложена также приближенная формула для определения коэффициентов интенсивности напряжений через локальные характеристики решения уравнения Пуассона. Получены оценки минимального и максимального вдоль контура трещины коэффициентов интенсивности напряжений через интегральные характеристики решения.

Методы построения оценок распространены на достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений, в результате чего теоремы сравнения, изопериметрические неравенства и некоторые другие оценки доказаны для решений пространственных задач о трещинах отрыва в случаях, когда между поверхностями трещины имеются линейные связи, материал является неоднородным со степенной зависимостью модуля упругости от расстояния до плоскости расположения трещины, а также (при определенных предположениях) и когда материал является физически нелинейным со степенным упрочением. В задаче о трещине отрыва, меаду поверхностями которой имеются линейные связи, доказана также теорема сравнения решений в зависимости от жескости связей.

Предложен эффективный метод приближенного решения операторных уравнений, с помощью которого решены задачи о трещинах отрыва в условиях отсутствия и наличия связей между поверхностями трещины.

Исследована разрешимость задач о трещине нормального разрыва, расположенной в срединной плоскости упругого слоя, и трещине произвольного разрыва, расположенной в безграничном упругом пространстве, ограниченном упругом теле и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. В задаче о трещине, находящейся в ограниченном упругом теле, доказана сходимость метода последовательных приближений в случае, когда трещина удалена от поверхности тела. Удаленность определяется геометрией тела, расстоянием от трещины до поверхности тела и площадью области, занимаемой трещиной.

Далее рассмотрим структуру работы и более подробно остановимся на полученных результатах.

Содержание диссертации изложено в четырех главах и приложении.

Первая глава посвящена построению оценок и приближенных формул для определения объема и коэффициентов интенсивности напряжений в задаче о плоской трещине нормального разрыва в линейно упругом пространстве. В п. I. I дается постановка задачи, приводятся различные виды уравнений, к которым она сводится (граничная задача для гармонической функции, псевдодифференциальное уравнение относительно скачка нормального смещения в плоскости расположения трещины), вводятся исследуемые характеристики решения. В п. 1.2 строятся оценки энергии и объема трещины сверху и снизу при произвольной нагрузке. При этом использованы методы получения априорных оценок решений краевых задач для сильно эллиптических псевдодифференциальных уравнений, к числу которых относится и изучаемое уравнение.

В п. 1.3 доказываются изопериметрические неравенства для минимального собственного числа соответствующей краевой задачи для граничного псевдодифференциального уравнения (с его помощью уточняются оценки энергии и объема сверху при произвольной нагрузке) и объема трещины в случае однородной нагрузки. Предположение о справедливости второго из этих неравенств было высказано в [2l]. Рассмотрим связь мевду доказательствами указанных изопериметрических неравенств и доказательствами изопериметри-ческих неравенств для величин, связанных с оператором Лапласа, которые приводятся в [б2]. Приводимые в [б2] доказательства проводятся по одной схеме. Сперва строится функционал, экстремальным значением которого является исследуемая величина, а затем делается та или иная операция симметризации, в результате которой значение функционала изменяется в одну сторону (убывает либо возрастает). Монотонность изменения функционала при симмет-ризациях доказывается благодаря тому, что в функционал входят выражения, определяемые оператором Лапласа и связанные с геометрическими характеристиками областей, описываемых используемыми функциями. А изменение геометрических характеристик области при симметризациях известно. В рассматриваемой задаче, благодаря сильной эллиптичности оператора, также удается построить функционалы, экстремальными значениями которых являются минимальное собственное число оператора и объем трещины. В связи с тем, что исследуемое псевдодифференциальное уравнение связывает граничные значения гармонической в полупространстве функции и ее нормальной производной, введенные функционалы можно переписать так, чтобы они включали интегралы от функций (либо их квадратов) и от формы, определяемой оператором Лапласа в полупространстве. После этого можно провести некоторую, введенную в работе, операцию симметризации, которая для функций, имеющих вложенные друг в друга невырожденные поверхности уровня, совпадает с симметризацией Штейнера поверхностей уровня. Поскольку симметризация Штей-нера вложенных друг в друга поверхностей уровня была использована Г. Полна и Г. Сегё [б2] для доказательства изопериметриче-ского неравенства в задаче об электростатической емкости, то удается воспользоваться развитой там техникой. В результате последовательности таких операции приходим к изопериметрическим неравенствам, доказываемым в этом пункте. Результаты пп. 1.2 и 1.3 опубликованы в работах [.25, 26J.

В п. 1.4 устанавливаются оценки минимального вдоль контура трещины коэффициента интенсивности напряжений сверху и максимального снизу через интегральные характеристики решений. Оценка максимального коэффициента интенсивности напряжений снизу может дать достаточное условие распространения трещины. Отметим, что эту оценку можно применять и в тех случаях, когда в исходную трещину нельзя вписать трещину достаточно большой площади и простой формы, в связи с чем применение принципа сравнения становится затруднительным. Доказательство оценок использует возможность представления приращения энергии деформации при определенном изменении области трещины в двух видах: с помощью формулы Ирвина и непосредственно из определения и формулы Клапейрона. Показано, как такого рода оценки могут быть перенесены на случай трещины произвольного разрыва. Когда к поверхностям трещины приложены однородные нормальные усилия, из теорем сравнения и анализа возможности вписывания в исходную трещину и описывания вокруг нее круговых трещин, выводятся также оценки минимального и максимального коэффициентов интенсивности напряжений через минимальное и максимальное значения кривизны ограничивающего трещину контура. Результаты п. 1.4 опубликованы в [25, 27−29, 7б].

В п. 1.5 устанавливается изопериметрическая оценка объема снизу в случае однородной нагрузки. Объем трещины оценивается через интегральную характеристику решения уравнения Пуассона (в задаче кручения эта характеристика соответствует жесткости при кручении стержня, форма сечения которого совпадает с формой трещины) и площадь области, занимаемой трещиной. Для получения этой оценки введен функционал, зависящий от области. Доказано, что значения функционала на областях фиксированной площади ограничены сверху и, в предположении существования области, на которой реализуется максимальное значение функционала, получено необходимое условие экстремальности. Показано, что оно выполняется на круговой области. Результаты п. 1.5 приведены в работах [27, 29, 34].

Пункт 1.6 посвящен построению приближенных формул в соответствии с принципами построения такого типа формул, изложенными в [62]. Напомним коротко эти принципы. Пусть мы хотим выразить величину Х (б-) чеРез более просто вычисляемые величины У г (?),.•, ЗДесь все величины являются функционалами, определенными на некотором классе областей. Можно считать приближенно выполненной формулу X ~f (>J 1 (G-) ,. -, ^ ^ (G-^ если I • ^ (?) /f (.У i «• • •"1 п. СЙ) на эллиптических или прямоугольных областях. 2.3къ что на рассматриваемом классе областей Gсправедливы неравенства k^Xf^)/ Ч и ~ кг ¦ Зв при определенных преобразованиях области, например симметризациях, величины изменяются в одну сторону (растут или убывают). Именно с помощью этих критериев в [62] анализировалась возможность применения приближенных формул, предложенных Сен-Венаном для определения жесткости при кручении стержня, Расселом для определения электростатической емкости и Полна и Сегё для вычисления основной частоты колебаний мембраны. В п. 1.6 построены две приближенные формулы для объема трещины, удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Одна выражает объем трещины, занимающей выпуклую область, через площадь области и интеграл от решения уравнения Пуассона (соответствующий жесткости при кручении стержня), вторая — через площадь области и длину ограничивающего ее контура. Обнаружено также хорошее соответствие для выпуклых областей, ограниченных гладкими контурами, между коэффициентами интенсивности напряжений и коэффициентами в асимптотике у границы области решения уравнения Пуассона. Это дало возможность построить приближенную формулу для коэффициентов интенсивности напряжений. Результаты п. 1.6 опубликованы в [27, 29, 34] .

Эффективность предлагаемых оценок и приближенных формул гл. I иллюстрируется на примерах. Рассматриваются как задачи, решения которых хорошо известны, с целью выяснения близости между оценочными или приближенными и точными значения!®изучаемых величин, так и нерешенные задачи, для которых получены новые результаты.

В главе 2 предлагается способ приближенного решения операторных уравнений и показывается, как он может быть применен к решению пространственных задач о трещинах. В п. 2.1 дается краткое описание методов решения интегродифференциальных уравнений, возникающих в задачах о трещинах. В частности, рассматриваются вариационные методы и обсуждаются трудности их реализации, заключающиеся в следующем: I) если брать в качестве базисных функций такие, которые имеют правильную асимптотику у границы области и обладают тем свойством, что уже небольшое их количество может достаточно хорошо аппроксимировать решение, то сложно находить результат применения к ним оператора, а вследствие этого и соответствующие скалярные произведения, необходимые для получения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения по рассматриваемому базису- 2) если удается выбрать базис, для которого скалярные произведения можно вычислить, то, как правило, для хорошей аппроксимации решения приходится брать много элементов базиса и решать системы уравнений высокого порядка. Кроме того, возникают серьезные проблемы с определением коэффициентов интенсивности напряжений.

В п. 2.2. предлагается метод приближенного решения, позволяющий обойти указанные трудности. Рассматриваются две его разновидности. Сущность метода заклинается в использовании двух систем базисных функций. Одна из них состоит из функций, имеющих правильную асимптотику у границы области, а другая подбирается так, чтобы легко вычислялись результаты применения оператора к ее элементам. Вследствие этого оказывается возможным приближение решения с помощью небольшого числа элементов первого базиса, причем без труда вычисляется матрица системы уравнений для определения неизвестных коэффициентов. Доказана сходимость предложенного метода. Изложение ведется в общем виде, пригодном для применения к широкому классу задач.

В п. 2.3 показано, как предложенный метод может быть применен к решению задач о трещинах и контактных задач. Приведены примеры численного расчета задач о трещинах отрыва в упругом пространстве при различных формах трещины. Результаты гл. 2 опубликованы в [77, 78].

Последующие две главы посвящены построению оценок решений и решению пространственных задач о трещинах отрыва в материалах, обладающих различными механическими свойствами.

В главе 3 рассматривается задача о трещине отрыва в линейно упругом пространстве в предположении, что между поверхностями трещины имеются линейные связи. Таким образом, можно приближенно описывать развитие трещины в армированном материале. Возможность учета арматуры наличием связей между поверхностями трещины отмечалось в работе [во]. Однако там не были исследованы ни разрешимость получающихся уравнений, ни свойства их решений. В п. 3.1 дается постановка задачи. В п. 3.2 свойства задачи о трещине в линейно упругом пространстве без связей между поверхностями трещины, рассмотренные в гл. I, переносятся на случай наличия линейных связей. А именно, доказываются теоремы сравнения и изопериметрические неравенства. Причем доказанные теоремы сравнения являются более сильными, чем полученные в [20] даже при условии отсутствия связей, поскольку допускают знакопеременные нагрузки, налегания поверхностей трещины и утверждают строгие неравенства между раскрытиями трещины при изменении нагрузки и расширении области. В отличие от [24], теоремы сравнения для случая налегания поверхностей трещины доказаны без обращения к вариационным неравенствам. Кроме того, изучено изменение раскрытий трещины и коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от жесткости связей. Здесь доказательства опираются на возможность представления изучаемого интегродифференциального уравнения в виде уравнения, связывающего граничные значения гармонической в полупространстве функции и ее нормальной производной.

В п. 3.3 представлены расчеты задачи о трещине, имеющей форцу круга и прямоугольника при различных характеристиках связей. Задача о круговой трещине сводилась к интегральному уравнению с помощью известного решения задачи о круговой трещине в линейно упругой среде при осесимметричной нагрузке, и затем решалась численно. Задача о прямоугольной трещине решалась при помощи метода, предложенного в гл. 2. Основные результаты гл. 3 опубликованы в [7б].

Глава 4 посвящена распространению теорем сравнения изопери-метрических неравенств и некоторых других свойств на псевдодифференциальные уравнения достаточно общего вида и их применению к задачам о трещинах отрыва в неоднородном материале со степенной зависимостью модуля Юнга от расстояния до плоскости расположения трещины и при использовании принципа суперпозиции обобщенных перемещений Н. Х. Арутюняна, в физически нелинейном материале со степенной зависимостью между интенсивностями напряжений и деформаций сдвига. Критерии развития трещины в неоднородном и нелинейном материалах пока окончательно не установлены и продолжают выясняться, поэтому еще больший интерес вызывает исследование свойств решений задач о трещинах в таких материалах. В п. 4.1 дается постановка задачи. Указываются примеры механических задач, сводящихся к исследуемым уравнениям. В п. 4.2 теоремы сравнения распространяются на изучаемый класс уравнений. Доказательства здесь основаны на положительной определенности операторов и установленном в этом пункте свойстве, механический смысл которого для задач, сводящихся к указанным уравнениям, состоит в следующем: в плоскости трещины, вне нее действуют только растягивающие нормальные усилия. Результаты п. 4.2 опубликованы в [30, 32, 33] .

В п. 4.3 на рассматриваемый класс уравнений переносятся изопериметрические неравенства. При этом существенно используется теория интерполяционных пространств в сочетании с известными изопериметрическими неравенствами для оператора Лапласа. Результаты п. 4.3 опубликованы в [зз]. В п. 4.4 устанавливаются связи между коэффициентами в асимптотиках решения уравнения у границы области и правой части у границы вне области, что является аналогом связи между нормальными смещениями и напряжениями у края трещины в линейно упругом случае. С помощью полученного соотношения выводится формула, связывающая приращение соответствующей квадратичной формы уравнения и коэффициенты в асимптотике решения у границы области при вариации области (аналог формулы Ирвина). Результаты п. 4.4 опубликованы в [зз] .

В п. 4.5 дается механическая интерпретация результатов гл. 4 для задач о трещинах в неоднородном и нелинейном пространствах.

Приложение посвящено доказательствам разрешимости уравнений, отвечающих некоторым пространственным задачам о трещинах. В п. П1 дается постановка задачи и напоминаются некоторые результаты из функционального анализа, на которые опираются приводимые в дальнейшем доказательства. В п. П2 доказывается однозначная разрешимость в пространствах Соболева-Слободецкого уравнений задачи о трещине отрыва, находящейся в срединной плоскости упругого слоя, и задачи о трещине произвольного разрыва, расположенной в упругом пространстве и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. Во всех случаях доказывается сильная эллиптичность соответствующих операторов, из которой и следует однозначная разрешимость. Эти результаты опубликованы в [26, 28].

В ПЗ доказывается нормальная разрешимость задачи о трещине произвольного разрыва в ограниченном упругом теле, а в случае, когда трещина «удалена» от поверхности тела и однозначная разрешимость этой задачи. Доказательство основано на представлении оператора, отвечающего изучаемой задаче, в виде суммы двух операторов. Один из них соответствует задаче о трещине в безграничной среде и является обратимым, другой учитывает влияние границы тела. Доказывается, что второй оператор вполне непрерывен, а когда граница тела «удалена» от поверхности трещины, он становится малым по норме. Отсюда в случае трещины, «удаленной» от поверхности тела, следует однозначная разрешимость и сходимость метода последовательных приближений. Отметим, что согласно полученным условиям, трещина может считаться «удаленной» от поверхности тела даже в случае, когда она расположена сколь угодно близко от поверхности тела, имеет большой диаметр, но достаточно малую площадь. Результаты п. ПЗ опубликованы в [29, 3l].

Приведенные в приложении доказательства обосновывают также возможность применения предложенного в главе 2 метода для численного решения соответствующих задач о трещинах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации разработаны методы построения оценок решений и самих решений класса уравнений, отвечающих задачам о плоских трещинах в телах с различными механическими свойствами. С помощью этих методов получены следующие основные результаты.

В задаче о плоской трещине в безграничном, однородном, линейно упругом пространстве, к поверхностям которой приложены симметричные относительно плоскости трещины, произвольные нормальные усилия, получены оценки потенциальной энергии деформации и объема трещины сверху и указаны способы получения оценок снизу. Эти оценки уточняются в случае, когда приложенные усилия являются однородными. Доказано, что при симметризации Штейнера области, занимаемой трещиной, относительно прямой объем трещины не убывает. Исходя из этого получена изопериметрическая оценка объема трещины сверху через объем круговой трещины той же площади. Установлена также изопериметрическая оценка объема трещины снизу через интегральную характеристику решения задачи Дирихле для уравнения Цуассона. Эта характеристика решения уравнения Цуассо-на в задаче о кручении стержня, описываемой указанным уравнением, соответствует жесткости при кручении отержня.

Предложены две приближенные формулы, выражающие объем трещины, занимающей выпуклую, плоскую область, через более просто вычисляемые величины: геометрические характеристики области, жесткость при кручении стержня соответствующего сечения. Обнаруженная связь между решением интегродифференциального уравнения задачи о трещине и решением уравнения Цуассона позволила также предложить приближенную формулу для определения коэффициентов интенсивности напряжений через локальные характеристики решения уравнения Пуассона.

Получены оценки минимального, вдоль контура трещины, коэффициента интенсивности напряжений сверху и максимального — снизу через интегральные характеристики решения.

Предложен метод приближенного решения операторных уравнений. Он основан на использовании двух систем базисных функций. Первый базис учитывает все особенности решения. Второй базис является ортонормированным в смысле того или иного скалярного произведения и подбирается так, чтобы легко вычислялись результаты применения соответствующего оператора к его элементам. Такой выбор второго базиса позволяет достаточно просто вычислять матрицу системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения решения по первоьде базису. Система линейных уравнений получается из условия минимизации отклонения между проекциями приближенного и точного решений (или правых частей, определяемых приближенным и точным решениями) на подпространства, задаваемые конечным набором элементов второго базиса. Доказана сходимость предложенного метода, которая достигается за счет увеличения количества элементов второго базиса, используемых для построения системы уравнений, при фиксированном количестве элементов первого базиса. Эффективность метода проиллюстрирована на примерах задачи о трещинах нормального разрыва, имеющих различную форму (прямоугольники, треугольник, невыпуклая фагура).

Развитые в работе методы позволили также исследовать задачи о трещинах отрыва в материалах с более сложными механическими свойствами.

Рассмотрена задача о трещине нормального разрыва в условиях, когда мевду ее поверхностями имеются линейные связи. Наличием связей между поверхностями трещины можно учесть влияние, которое оказывают на развитие трещины пересекающие ее армирующие элементы либо клеевой слой. Доказано, что решения этой задачи обладают такими же свойствами, как и в случае отсутствия связей, т. е. сохраняют справедливость теоремы сравнения (I. при увеличении раскрывающих трещину усилий раскрытия возрастают в каждой точке. 2. при расширении области, занимаемой трещиной, раскрытия на общей части областей и коэффициенты интенсивности напряжений на общей части контуров возрастают) и изопериметрические неравенства. Кроме того доказана теорема сравнения по функции, характеризующей жесткость связей. С увеличением жесткости связей раскрытия убывают в каждой точке. Приведены численные расчеты для круговой и прямоугольных форм трещин при различных значениях параметра, характеризующего жесткость связей. Расчет в случае круговой трещины произведен с помощью численной реализации интегрального уравнения, к которому в силу осевой симметрии сводится эта задача, а в случае прямоугольных трещин с помощью предложенного в работе метода приближенного решения, описанного выше. На основании результатов численного счета сделаны выводы о влиянии жесткости связей на распределение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль контура трещины.

Рассмотрены уравнения, отвечающие задаче о трещине отрыва в неоднородном пространстве, модуль упругости которого степенным образом зависит от расстояния до плоскости трещины, а также являющиеся приближенными для задачи о трещине в физически нелинейном пространстве со степенным упрочнением. Доказано, что решения этих уравнений обладают свойствами, аналогичными свойствам решений задачи о трещине отрыва в однородном, линейно упругом пространстве, а именно: имеют место теоремы сравнения, изопериметри-ческие неравенства и существует связь мезду приращением квадратичной формы задачи при вариации области и асимптотикой решения у границы области. Для задачи о трещине в неоднородном пространстве эти результаты дают оценки потенциальной энергии, объема трещины, ее раскрытия, а также коэффициентов интенсивности напряжений. Выражение приращения квадратичной формы задачи через коэффициенты в асимптотике решения и приращение площади при вариации области является аналогом формулы Ирвина и связывает скорость изменения энергии с коэффициентом интенсивности напряжений. В случае задачи о трещине в материале со степенным упрочнением, полученные результаты позволяют оценивать раскрытия трещины, коэффициенты интенсивности напряжений и некоторые интегральные характеристики решения, являющиеся обобщениями величин потенциальной энергии и объема трещины.

Исследованы вопросы разрешимости ряда задач о трещинах, в которых имеются разрывы всех компонент смещений на поверхности трещины и учитывается влияние границ тела. Доказана однозначная разрешимость задач о трещине нормального разрыва в слое и трещине произвольного разрыва в упругом пространстве и на границе раздела двух полупространств с различными упругими свойствами. В случае расположения трещины произвольного разрыва в ограниченном упругом теле доказана нормальная разрешимость, а когда граница тела удалена от поверхностей трещины — однозначная разрешимость задачи, причем доказана сходимость метода последовательных приближений. Согласно полученным условиям сходимости, трещина может считаться «удаленной» от поверхности тела и в том случае, когда она расположена сколь угодно близко от поверхности тела, имеет большой диаметр, но достаточно малую площадь.