Моделирование динамических процессов в газожидкостных трактах переменного сечения

В современной промышленности широко распространены гидрои газопроводы, которые являются средствам транспортировки, а также неотъемлемыми частями машин, силовых и энергетических установок. Изначальное назначение трубопроводов — передача рабочей среды к местам использования и хранения — давно уже не является единственной. Малая сжимаемость жидкостей позволяет передавать давление вдоль всей длины трубопровода, что дает возможность создавать гидроприводные управляющие системы для различных механизмов. Кроме того, малая сжимаемость обеспечивает высокую скорость звука в жидкостях порядка одного километра в секунду, что для небольших расстояний позволяет использовать трубопроводы как системы передачи информации, обладающие достаточной точностью и надежностью там, где использование электричества затруднено по техническим причинам, экономически невыгодно или небезопасно. Высокая сжимаемость газов широко используется в различных демпфирующих и амортизирующих устройствах, представляющих собой, как правило, некоторую систему трактов или магистралей. В связи с этим решение задач о движении жидкости или газа в трубопроводах позволяет не только создавать более эффективные механизмы передачи рабочей среды к местам использования и хранения, но и делать их более надежными в плане внешних нагрузок и более экономически выгодными в плане снижения затрат на их изготовление. Решение таких задач позволяет также учитывать возрастающие экологические требования и стандарты и давать прогностический анализ развития различных аварийных ситуаций.

Развитие современной техники ведет к усложнению используемых механизмов и систем, расширению условий их функционирования. В то же время требования по надежности, быстродействию, устойчивости, точности, стабильности работы становятся более жесткими. В связи с этим, с точки зрения минимизации материальных затрат, большей безопасности и технологической гибкости экспериментов, становится актуальной следующая задача: исследование динамических процессов в используемых газожидкостных трактах на различных режимах работы.

Аналитическая теория идеальной, а тем более вязкой жидкости в конкретных инженерных задачах редко дает возможность получать точные решения. В связи с этим задача о течении газа или жидкости (в дальнейшем именуемых рабочей средой) в трубопроводах и трактах энергетических установок была и остается в настоящее время трудной как в научном, так и в производственном плане. Любая практически важная газоили гидродинамическая задача в подавляющем большинстве случаев решается численными методами с использованием вычислительной техники.

Возможности современных вычислительных машин позволяют решать двух-, а в некоторых случаях и трехмерные газои гидродинамические задачи. Однако время таких расчетов все еще остается достаточно длительным, особенно при проектировании или исследовании комплексных механизмов и систем, когда одну задачу приходится решать многократно с целью отыскания оптимальных значений параметров, влияющих на работу системы в целом. Наиболее эффективным способом сокращения времени расчетов является понижение размерности задачи.

Для оценки экономии машинного времени в зависимости от размерности задачи оценим количество машинных операций, необходимых для численного решения на одном временном шаге нестационарного уравнения теплопроводности, которое в общем случае имеет вид: = -аДТ + qT + Р (х, у, г, О, а где Т — температура, а — коэффициент теплопроводности, qкоэффициент теплоотдачи, Б — мощность источников или стоков тепла, А — оператор Лапласа. Начальные и граничные условия к этому уравнению могут быть самыми разнообразными, но они не рассматриваются, поскольку существенно не влияют на количество машинных операций, необходимое для отыскания решения уравнения.

Предположим сначала, что областью решения является одномерный стержень, теплообмен с окружающей средой отсутствует, мощность источников тепла равна нулю. Тогда это уравнение принимает вид: дТ д2Т — = -а—^ а ах2 • И тп+1 V" п (Х0 Х 1−1 1 Х1+1 хн.

Рис. 1. Аппроксимация одномерного уравнения теплопроводности.

Для вычисления температуры в следующий момент времени в одномерном случае используются 2 соседние точки.

Если наложить на область решения конечно-разностную сетку (рис. 1) и заменить дифференциальные операторы разностными аналогами, то придем либо к явной схеме:

At.

— осt либо к неявной схеме.

ТГ1 = V — a^-fei -2T-n + Т" ,), i=0,l,., N, п=0.М,.

Т" +1 = Гi=0,l., N, n=0.M.

Здесь N, М — количество ячеек вдоль пространственной и временной осей, i, п — текущие номера ячеек, At — шаг по времени, Ах — шаг по пространству.

Для явной схемы очевидно, что число машинных операций пропорционально количеству ячеек. Неявная схема сводится к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, эффективно решаемой методом прогонки, в котором число операций также пропорционально размерности матрицы, как указано в работах Амосова A.A., Дубчинского Ю. А., Копченова Н. В. [3], Самарского A.A., [78], [79], [85], Гулина A.B. [78], Тихонова А. Н. [85] и, следовательно количеству ячеек.

Пусть теперь областью решения является плоская пластина. Тогда уравнение теплопроводности в декартовых координатах будет иметь вид: ат dt ~ а fd2j d2j удХ2 ду2- и можно построить соответствующую разностную схему, например, явную.

Видно, что в этом случае в каждой ячейке количество машинных операций возрастает в два раза. К тому же количество ячеек по пространственным координатам будет равно (рис. 2). Проводя аналогичные рассуждения для пространственного случая, количество машинных операций, необходимое для решения задачи на каждом временном шаге, можно определить как где N — число расчетных ячеек в одномерной задаче, к-размерность задачи. Одну машинную операцию можно условно принять за единицу времени и тогда получаем степенную зависимость времени решения от размерности задачи. М у, и.

Туч 1.

Ту 1 «-, Тм.

1 < т 1 X.

1−1×1+1.

Хн.

Рис. 2. Аппроксимация двумерного уравнения теплопроводности.

Вычисление температуры в следующий момент времени в двумерной задаче происходит с использованием пяти точек.

Исходя из сделанной выше оценки можно заключить, что самыми экономичными являются одномерные модели. Однако в них используется упрощенное описание некоторых, а иногда и всех процессов, определяющих эффективность работы общей модели, что неизбежно снижает адекватность модели исследуемому процессу. Дилемму о скорости получения решения и его точности приходится решать практически в любой задаче, связанной с реальными процессами. В этом смысле задача о движении рабочей среды в трубопроводах переменного сечения из-за их геометрических особенностей является тем редким случаем, когда можно существенно повысить скорость вычислений практически без потери их точности. Этого можно достичь путем сведения осесимметричных или плоских задач к квазиодномерным, с использованием модифицированных одномерных уравнений механики жидкости и газа.

Таким образом, актуальность работы определяется проблемой создания упрощенных моделей движения рабочих сред в трактах переменного сечения, позволяющих уменьшить временные затраты на ЭВМ без существенного снижения точности результатов расчетов.

Научные исследования, связанные с моделированием различных процессов в пневмогидравлических системах и газожидкостных трактах, в настоящее время можно разделить по нескольким направлениям.

Общим вопросам механики жидкости и газа, выводу основных уравнений и законов сохранения, теоретическому исследованию различных процессов при плоском или осесимметричном течениях посвящены работы Абрамовича Г. Н [1], Гликмана Б. Ф. [20], Громека И. С. [25], Дмитриевой С. Л., Хоменко Ю. П. [30], Дубравина Ю. А. [31], Жданова В. М., Зазнобы В. А. [33], Ильюшина A.A. [45], Колобова Б. П., Колобова П. П., Шепеленко В. Н. [51], Лаврентьева М. А., Шабата Б. В. 55], Ландау Л. Д. и Лифшица Е. М [56], Лойцянского Л. В. [57], Патрашева А. Н. [64], Попова Д. Н. [73], Прагера В. [75], Прандтля Л. [76], Седова Л. И. [80], Станюковича К. П. [84], Фабриканта Н. Я. [87], Чарного И. А. [93].

Одним из важнейших направлений исследования процессов в трубопроводах является определение коэффициента гидравлического сопротивления, используемого в одномерных задачах. Если для стационарного течения несжимаемой жидкости по цилиндрическому трубопроводу эта задача достаточно изучена и является классической, то для трубопроводов сложной формы или с переменным поперечным сечением коэффициент сопротивления определяется в основном по эмпирическим формулам с использованием экспериментальных данных. Это отражено в работах Букреева В. И. [10], Васильева О. Ф. и Квона В. И. [11], Денисова C.B. [28], Дейча М. Е. и Зарянкина А. Е. [29], Идельчика И. Е. [46], Кирильцева В. Т. [49], Куракиной М. Я., Радченко В. П., Юфина В. А. [54], Лийва У .Р. 59], Маркова С. Б. [61], Повха И. Л. [66]. Финошина Н. В. [67].

В случае нестационарного движения жидкости или газа задача по определению коэффициента гидравлического сопротивления существенно усложняется. В этом случае его значение может вычисляться либо по квазистационарной теории, когда реальные значения коэффициента заменяются значениями при стационарном течении при аналогичных числах Рейнольдса, либо непосредственно по эмпирическим формулам с привлечением экспериментальных данных. Следует отметить, что в данный момент времени не существует какой-либо законченной теории, позволяющей однозначно определять сопротивление трубопровода при нестационарном потоке, за исключением, может быть прямого численного решения уравнений Навье — Стокса, что в свою очередь сопряжено с рядом трудностей.

Квазистационарная теория имеет ограниченную область применения, так как в ряде экспериментальных и теоретических работ Гликмана Б. Ф. [20], Первушина Ю. В. [65], Чарного И. А. [91] показано, что при замедлении потока нестационарный коэффициент сопротивления будет меньше стационарного, а при ускорении — наоборот. Можно отметить исследования, посвященные определению границ применимости квазистационарной теории сопротивления трубопровода при равноускоренном, колебательном и периодическом течении. Это работы Байбикова Б. С. [5], Барбашова Е. Д.,.

Гликмана Б.Ф., Казакова A.A. [6], Кирильцева В. Т. [49], Козлова Л. Ф., Никитиной Г. М. 50]. Поскольку сопротивление трубопровода существенно зависит от числа Рейнольдса, то для ламинарного и турбулентного режимов течения существуют свои теории и методики учета нестационарности потока. Для ускоренного ламинарного течения известна, например, работа Байбикова Б. С. [5], где коэффициент гидравлического сопротивления выражается аналитически через функции Бесселя.

В случае наиболее часто реализуемого на практике турбулентного течения аналитическое представление коэффициента сопротивления невозможно из-за сложного закона изменения касательного напряжения на стенке. Так, например, в работе Громеки И. С. [25] приведена формула Прандтля для касательных напряжений при осесимметричном течении: du т = х — + р£ dr du du dr ' dr где черточками обозначены осредненные величины, и — скорость потока, ддинамический коэффициент трения, р — плотность жидкости,? — длина пути перемешивания, г — радиус трубопровода. В этом случае используют эмпирические зависимости с привлечением экспериментальных данных. Этому вопросу посвящены работы [6], [10], [11], [28], [29]. В таких зависимостях напряжение трения на стенке или непосредственно коэффициент гидравлического сопротивления представлен в виде функции от скорости, ее производных, частоты колебаний жидкости, степени нестационарности потока, температуры и других параметров. Как правило, эмпирические формулы верны только для определенного класса течений, для которого установлено их хорошее соответствие с экспериментальными данными.

Использование магистралей или трубопроводов переменного сечения обычно вызвано технологическими особенностями того или иного агрегата или физическими свойствами рабочего процесса. Наиболее распространенными являются конфузорные и диффузорные участи трубопроводов, течение в которых является достаточно изученным лишь для стационарных процессов. Исследованиям в этом направлении посвящены работы Боровых А. Е. [8], Веригина И. С. [12], Галимзянова Р. Ф. [16], Дейча М. Е. и Зарянкина А. Е. [29], Идельчика И. Е. [46], Карякина А. Е., Карякина Ю. Е., Нестерова, А .Я. [47], [48], Дедовской H.H. [58], Первушина Ю. В. [65], Повха И. Л, [66], Поданева A.B., Поданевой Т. В. [68], Рекина А. Д. [73], Смирнова Б. И., Степанянца Л. Г. [82], Соколецкого Л. И., Прозорова А. Г., Каравосова Р. К., Засецкого В. Г. [83].

Так, в работе [11] приводятся результаты опытного исследования влияния пористого отсоса и вдува на сопротивление, коэффициент восстановления давления и коэффициент полезного действия конического диффузора с отрывным состоянием потока. Обвод диффузора был выполнен по уравнению Витошинского. Вдув осуществлялся при неизотермическом основном потоке, отсос — при изотермическом, с изменением температуры в пределах 1−3 градусов. В работе приводятся графики восстановления скорости в пограничном слое и изменения интегрального коэффициента сопротивления от числа Рейнольса. Работы [29], [46], [66] являются справочным материалом для получения заданных характеристик конфузоров и диффузоров при осредненном стационарном течении газа или жидкости в них. Работа [47] посвящена исследованию характеристик отрывного течения в коническом диффузоре в трехмерной постановке. В работе [58] показано, что, если заменить цилиндрический участок на последовательность коротких конфузорных и длинных диффузорных участков, то общее сопротивление трубопровода можно понизить за счет удаления области, занятой пограничным слоем, от ядра течения.

Исследование движения рабочей среды в каналах некруглой формы отражено в работах Борисова В. И. [7], Вишняка В. Ф., Войцеховского В. Р., Панченко В. Н., Пасичного В. В., Пилиповского С. Ю., Фролова Г. А. [14],.

Холпанова Л.П., Исмайлова Б. Г., Болгова Н. П. [89], Чернышова А. Д. [94]. Так, в работе [7] получено приближенное решение задачи об установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с равноотстоящими друг от друга синусоидально искривленными стенками. В работе [14] приводятся результаты численных экспериментов по оптимизации высоты канала для получения низкоградиентного течения сжимаемого газа с учетом источников тепла в канале для околозвуковых скоростей течения. В работе [94] методом суперпозиций получено решение нестационарной двумерной задачи о движении несжимаемой вязкой жидкости в жесткой трубе, сечение которой — правильный треугольник. Жидкость движется под действием зависящего от времени перепада давления, причем частицы жидкости могут иметь неравномерное начальное распределение скорости по сечению трубы. При решении задачи считается, что скорости частиц жидкости направлены вдоль оси трубы и их распределение в каждом сечении трубы одинаковое, т. е. о=о2(х, у) х (0.

Учет шероховатости стенок и спиральной накатки в трубопроводе при определении гидравлического сопротивления предложен в статье Марушкина В. М. и Васильева В. Н. [62]. Для функции шероховатости 11(11*), используемой в обобщенном законе сопротивления таких труб, авторами получено уравнение.

А м Л 033 .0.11 ои к (Ь*) = о.531Си — бш^Р и2 Ъ 1Е где р = - 5 ь, = — -, г — число заходов спиральной накатки, Ь zb (1 8 поперечный шаг между выступами шероховатости, — коэффициент гидравлического сопротивления, Яе — число Рейнольдса, (1 — диаметр канала. Предложенное выражение верно при следующих значениях параметров: 0.0012< Ш <0.1, 5< Ь/Ь <40, 40°< Р <90°, (1=9.6−28 мм, 2−104< Яе.

4−105. Результаты расчетов коэффициента гидравлического сопротивления с использованием данной функции шероховатости сопоставлены с данными экспериментов авторов и других исследователей. Максимальное расхождение результатов не превышает 25%.

Таким образом, анализ исследований разных авторов по данному направлению показывает, что упрощенное описание нестационарного движения жидкости или газа в трубопроводах можно свести к следующим приемам:

1) учет сопротивления трубопровода движению жидкости на основе осредненных уравнений движения с помощью коэффициента гидравлического сопротивления, значения которого вычисляются, в основном, по полуэмпирическим зависимостям;

2) изменение диаметра трубопровода учитывается двумерной постановкой задачи и, соответственно, двумерными методами решения.

Исходя из этого, можно сформулировать цель работы: разработка модифицированных методов расчета с использованием квазиодномерных уравнений механики жидкости и газа, содержащих как параметрпеременную площадь поперечного сечения, позволяющих снизить объем вычислительных экспериментов, сократить временные затраты и стоимость теоретических исследований течений рабочих сред в трактах переменного сечения.

В этом плане задачами исследования являются:

1) применение одномерных уравнений механики жидкости и газа для моделирования нестационарных процессов в трубопроводах переменного сечения;

2) решение с помощью модифицированных одномерных уравнений некоторых задач механики жидкости и газа;

3) выявление границ применимости предложенных уравнений путем сравнения решений с известными расчетными двумерными методами и экспериментальными данными;

4) оценка экономии машинного времени при использовании квазиодномерных уравнений в нестационарных задачах движения жидкости и газа в трактах переменного сечения.

Предложенная диссертационная работа имеет следующие элементы научной новизны:

1) предложена модификация метода лагранжевой сетки для численного решения системы квазиодномерных уравнений механики жидкости и газа позволяющая моделировать нестационарные процессы в трактах переменного сечения;

2) оценка границ применимости определяющей системы одномерных уравнений, содержащих площадь поперечного сечения трубопровода как функцию его длины;

3) решение газодинамической задачи об истечении идеального сжимаемого газа из полузамкнутых конических полостей в квазиодномерной постановке с использованием лагранжевых переменных;

4) решение гидродинамической задачи о нестационарном движении вязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с участком переменного сечения в квазиодномерной постановке с использованием эйлеровых переменных.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью постановки исследуемых задач, использованием классических уравнений механики жидкости и газа, сравнением с экспериментальными данными и теоретическими исследованиями других авторов. Предложения, выносимые в диссертационной работе на защиту: — модификация одномерной модели течения идеального сжимаемого газа в лагранжевых переменных;

— модификация одномерной модели движения вязкой сжимаемой жидкости в переменных эйлера;

— решения задач движения жидкости и газа в трактах переменного сечения с помощью модифицированных моделей.

Результаты исследования могут быть использованы при изучении нестационарных течений жидкостей и газов в трактах переменного сечения, а также для расчета прочностных характеристик трубопроводов и управляющих механизмов в условиях, когда время расчета является критическим параметром задачи.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на.

Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование физико-механических процессов» (г. Пермь, 1999 г.);

IX — X межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1999;2000 гг.);

Международной научно-технической конференции, посвященной памяти Генерального конструктора аэрокосмической техники академика Н. Д. Кузнецова (г. Самара, 2000 г.);

Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Самара, 2001 г.);

Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Ростов-на-Дону, 2002 г.);

Второй международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2001 г.);

Четвертой международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических экономических, и технических, социальных систем и процессов» (г.Ульяновск, 2001 г.).

Полностью работа докладывалась на факультетском научном семинаре «Современные проблемы математики и механики» под руководством доктора физико-математических наук, профессора Радаева Ю.Н.

По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 105 печатных страниц, 14 рисунков, список литературы включает 100 наименований.

Выводы.

1. В настоящей главе в одномерной постановке решена задача о нестационарном процессе истечения сжимаемого газа из полузамкнутой конической полости конечного объема при ее внезапной разгерметизации. Данная задача может быть полезна для прогностического исследования различных аварийных ситуаций с емкостями хранения сжатых газов.

2. Определены границы применимости одномерной модели на основе уравнений газовой динамики, содержащих как параметр переменную площадь поперечного сечения. Показано, что используемая модель является корректной в следующем диапазоне изменения геометрических параметров полостей переменного сечения: для конфузорных полостей степень сужения не должна быть менее 0.11 при угле раскрытия аКОНф < 12°- для диффузорных полостей степень расширения не должна превышать 9 при угле раскрытия аДИф<12°.

3. Проведена оценка погрешности одномерного решения по сравнению с двумерным, которая на границах применимости составила 8% для конфузорных полостей и 15% для диффузорных полостей.

4. Проведена оценка экономии машинного времени, которая дает двадцатикратную экономию на каждом временном шаге.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Предложена модифицированная форма одномерных уравнений газовой динамики в Лагранжевых переменных применительно к нестационарным течениям идеального сжимаемого газа в трактах переменного сечения.

2. Получена модифицированная форма одномерных уравнений гидродинамики в эйлеровых переменных, позволяющая рассчитывать динамические процессы в трубопроводах переменного сечения.

3. С помощью предложенных уравнений в одномерной постановке решена задача о нестационарном процессе истечения сжимаемого газа из полузамкнутых конических полостей при их внезапной разгерметизации, которая является корректной при угле раскрытия для конфузорных полостей ако"ф < 12°- для диффузорных полостей адиф<12°. Погрешность одномерного решения по сравнению с двумерным при этих условиях составила 8% для конфузорных полостей и 15% для диффузорных полостей.

4. Решена задача о нестационарном движении вязкой сжимаемой жидкости в криогенной системе топливоподачи, содержащей участок тракта переменного сечения. Предложенная математическая модель является достоверной в следующем диапазоне геометрических параметров:

— степень сужения конфузорных участков должна быть не менее 0.25 при угле сужения менее 10°-. — степень расширения диффузорных участков должна быть не более 4 при угле раскрытия менее 10°.

Сравнение полученного теоретического решения гидродинамической задачи с экспериментальными данными показало, что погрешность расчета по одномерной модели составляет 8−10%.

5. Показано, что предложенная одномерная форма модифицированных уравнений позволяет сократить время интегрирования по сравнению с двумерными уравнениями в 10−20 раз на каждом временном шаге.