Homo mathematicus. 
Число как культурологический феномен

ВОЕННЫЙ ИНСТИТУТ (ВОЕННЫХ ДИРИЖЕРОВ) ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Курсовая работа по предмету «Культурология»

Тема: «Homo mathematicus. Число как культурологический феномен»

Выполнил: курсант 3 курса Титов Л. А.

Проверила: преподаватель Кафедры Чупахина О. Ю

.

МОСКВА — 2015

Оглавление Вступление Глава I: «Homo mathematicus»

1.1 Первобытный счёт. Культурогенез и проблемы

1.2 Накопление рациональных знаний в системе первобытного знания

1.3 Повседневное, стихийно-эмпирическое знание

1.4 Путь к абстракции количества Глава II.1 Этноматематика

2.2 Этноматематика — спутница культуры

2.3 Родители этноматематики

2.4 Как геометрия делает красивое прекрасным Глава III: Семиотика чисел в различных культурах Заключение Список литературы Приложения счёт число культурологический абстракция ВСТУПЛЕНИЕ Именно математика в каждом случае открывает подлинную истину, так как она знает каждый скрытый секрет и хранит ключ к любому тончайшему смыслу: поэтому тот, кто имеет бесстыдство изучать физику и в то же время отрицать математику, должен бы знать с самого начала, что он никогда не войдёт во врата мудрости Томас Брадвардин, «Трактат о пропорциях», 1328

Математика с большой буквы — строгая, логически выверенная и демифологизированная наука. Она охватывает все сферы современной цивилизационной жизни общества. Она стала обыденностью. Абсолютно каждый человек пользуется математикой, но уже в в меньших масштабах. В основе математики лежит арифметика, которая строится на числах. Как говорил Пифагор «Всё сущее есть число». Если следовать его изречению, мы можем наблюдать картину-мир сложенную из паззлов-чисел. История чисел не проста и не окончена. Чтобы стать теми абстрагированными и многофункциональными им пришлось претерпеть огромное количество изменений в руках многих ученых умов различных стран в разные эпохи. Сначала незаметные, затем полезные, позже божественные и только в наше время союзники-помощники. В детстве нас обучают счёту и числам, мы перенимаем опыт у наших близких. Тогда почему мы усваиваем эти операции с числами — такой полезный эволюционный инструмент, но в большинстве своём не развиваем его, как с теми же физическими орудиями труда, что позволило бы нам более эффективно личностно развиваться и выполнять более сложные задачи. Этот вопрос неотделимо связан с психологией. В жизни человека всегда присутствовала ментальность восприятия тех или иных явлений, которые получают индивидуальное выражение. Человек часть общества, какие-то идеи он приобретает, какие-то создает сам. Исторически же сложилось так, что общества стали больше взаимодействовать в различных сферах и шел культурный обмен. Изначально индивидуальные, затем как достояние общества идеи стали кочевать и трансформироваться, охватывая всё больше новых последователей. В настоящий момент в академической Математике противоречия сглаживаются и приводятся к общему знаменателю, но тем ни менее не всегда. «Индивидуальное и исключительное переживание» тех или иных явлений до сих пор сохраняется и тесно вплетено в культуру и научные методы, что на самом деле приводит к положительным результатам. Чтобы понимать какое огромное влияние на Нас имеет число, мы вернемся в прошлое. Узнаем о первых стремлениях человека отобразить число, о том, как он наделял его особыми свойствами, как применял в каждодневной практике. Мы рассмотрим на примере отдельных этносов различные подходы к решению тех или иных задач, которые возникали перед людьми. Число тесно связано с внешним физическим миром, с геометрией, с нашей природой. Мы попытаемся ответить на вопрос: является ли число основой мира или же это наш культурный феномен; мы его открыли, изобрели или же наблюдаем?

Глава I. «Homo mathematicus»

«Человечество — это вид ведь математический, и вся математика нашего мира, по сути, не более чем этноматематика.»

Микель Альберти

1.1 Первобытный счет. Культурогенез и его проблемы Маловероятно, что мы в один прекрасный день узнаем, когда, где или как человечество научилось не задумываясь считать с легкостью цивилизованного семилетнего ребенка. Едва ли сумеем установить, какие народы первыми освоили искусство счета в полном объеме Эрик Т. Белл «Магия числа. Математическая мысль от Пифагора до наших дней».

Проблема культурогенеза — появления и развития ранних форм культуры — одна из самых сложных и дискуссионных в культурологии. Единственным субъектом культуры, создающим жизненную среду для себя и формирующимся под ее воздействием, бесспорно, является человек. Это значит, что становление мира культуры произошло в результате длительного процесса взаимодействия биологической эволюции и социальной и истоки культуры следует искать там и тогда, где появляется человек, но не как биологическая особь, а как мыслящее, разумное существо. С этим утверждением согласны все философы, культурологи и ученые. Но, размышляя о скачке, в ходе которого осуществился этот переход, они выдвигают различные гипотезы о его причинах, создавая тем самым разные версии культурогенеза.

Известный математик Эрик Т. Белл, в своей книге «Магия чисел» пишет: «Вместо попыток выяснить происхождение чисел посредством гипотетических реконструкций истории нашей расы, психологи отправились к той же цели через реконструкцию поведения индивидуума на ранней стадии развития. Счетом, будущий арифметик начинает заниматься, когда, будучи маленьким ребенком, впервые вылезает из колыбели и плюхается на стульчик. Впервые в своей жизни он тогда осознает „не-я“. „Я“ и „не-я“ — это уже матрица любого множества. Окажется не так уж и странно разглядеть в этом сокрушительном узнавании враждебного „не-я“ подсознательное начало бедствия, связанного с числом два, всеми, кто владел знанием о мистике чисел от древних пифагорейцев до теологов-нумерологов Средних веков. Два, „диада“, „не-1“ неизменно являют собой нестабильность и что-то плохое, реально вводящее в заблуждение, подобно двухдолларовой банкноте. Живший в XIII веке знаток чисел Данте, например, доказывал необходимость „объЕДИНения“ империи, поскольку „пребывание в единице“ является дорогой к „пребыванию в благости“, а „пребывание во множестве“ — дорогой к „пребыванию в несчастье“. Именно по этой причине Пифагор ставил „один“ на сторону добра, а „много“ — на сторону зла. Данте следовало бы добавить, что Платон продолжал Пифагора в этом вопросе и что каждый из них, скорее всего, испытывал давление неосознанных воспоминаний раннего детства. Если только будущий мистик чисел не окажется от рождения солипсистом, он достаточно рано познает, что не является всемогущей и всезнающей Единицей, или Божественной Монадой. Дальнейшие примеры — со столами вместо стульев — могли бы породить ощущение „не-стула“. Любящие родители маленького ребенка и не слишком любящая его домашняя кошка внушают дальнейшие различия в отношениях этому неопытному и легкоранимому сознанию. Но если ребенку не суждено стать великим философом математики, он вряд ли интуитивно почувствует, что его родители и кошка делят между собой нечто универсальное, состоящее из трех неодушевленных предметов, таких как два стула и стол. В действительности он, возможно, никогда не откроет (или изобретет) „3, 4, 5…“ самостоятельно, но тогда его научат этому родители. От кого его родители узнали числа? От своих родителей. И так далее, назад к дикарям» Эрик Т. Белл «Магия чисел», М., 2014. С. 25−26.

Известный культуролог Леви-Стросс К. писал: «Для того чтобы представить себе картину первобытного познания, необходимо прежде всего учесть, что духовный мир первобытного человека, первобытное сознание, т. е. сознание человека эпохи первобытной родовой общины, было двухуровневым: 1) уровень обыденного, повседневного, стихийно накапливающегося знания; 2) уровень мифотворчества (мифологии) как некоторой „дотеоретической“ формы систематизации обыденного, повседневного знания» Леви-Стросс К. «Первобытное мышление». М., 1994. С. 114—115.

1.2 Накопление рациональных знаний в системе первобытного сознания Найдыш В. М. «Концепции современного естествознания». М., 2008. С. 34

Накопление донаучных рациональных знаний о природе началось еще в первобытную эпоху. Заметим, что познавательная деятельность, духовное освоение мира, духовное творчество — важнейшие обстоятельства, которые окончательно вырвали человека из-под влияния биологических факторов эволюции, из биологического мира. О громадной жажде познания первобытных людей свидетельствуют археологические и этнографические данные. Как писал выдающийся исследователь духовной культуры первобытных племен К. Леви-Стросс, «жажда объективного познания образует один из наименее учитываемых аспектов мышления тех, кого мы называем «примитивными». Если оно (это мышление) редко направляется к реальностям того же уровня, к каковым привязана современная наука, то подразумевает все же сопоставимые интеллектуальные действия и методы наблюдения. В обоих случаях мир является объектом мысли, по меньшей мере настолько же, как и средством удовлетворения потребностей.

1.3 Повседневное, стихийно-эмпирическое знание Найдыш В. М. «Концепции современного естествознания». М., 2008. С. 34−35

Первобытное обыденное, повседневное сознание было достаточно емким по содержанию. Оно включало очень много конкретных знаний о той среде, в которой человек жил, боролся за свое существование, совершенствовал (хотя и медленно) орудия труда.

Первобытный человек тонко знал окружающую его местность. Так, приморские народы — смелые мореплаватели, прекрасно знали морские течения и направления ветров, расположение островов и архипелагов, великолепно ориентировались по звездному небу, находя свой путь в океане. Люди, жившие в тайге, отлично знали ее законы, природу, повадки животных, могли уходить на промысел зверя в тайгу на долгое время, безошибочно ориентироваться в ней и т. д.

На поздних этапах эпохи первобытной родовой общины появились первые способы воспроизведения географического пространства, зачаточные формы географических карт. Наиболее ранней формой были вырезанные на оружии, копьеметалках и др. изображения центров тотемического культа, расположенных на территории общины. Географические схемы, вычерчивавшиеся часто просто на земле, изображали стоянки, водоемы, места кочевок, тотемических святилищ и т. п. Особенно интересной формой древних географических карт были словесные географические карты и карты-песни, в которых последовательно назывались (распевались) горы, скалы, тропинки, водоемы и расстояния в днях пути между ними.

В практической повседневной деятельности человек постепенно накапливал разнообразные знания не только о географической местности, в которой он проживал, но и о животных, растениях, о самом себе. Наскальные и пещерные рисунки верхнего палеолита позволяют сделать вывод, что в те далекие времена люди не только хорошо различали большое число видов животных, но и были хорошо знакомы с их анатомией: сохранились рисунки головы быка с отходящим от нее позвоночным столбом, слона, у которого в области груди изображено сердце, и др. Основания этого понятны: охота, разделка туш, выделка шкур были важнейшими формами хозяйственной жизни и обеспечивали анатомические познания и даже некоторые знания функций органов тела. Первобытный человек также хорошо знал повадки животных, их образ жизни, маршруты миграций, что позволило ему позднее перейти к их одомашниванию (доместикации). Первым таким животным была собака, оказывавшая существенную помощь на охоте. (Развитие доместикации позднее привело к переходу от присваивающего хозяйства к производящему.)

Первобытный человек хорошо ориентировался в свойствах растений, особенно лечебных и токсических. На основе векового опыта народов были накоплены достаточно точные и обширные знания о лекарственных свойствах растений. Например, американские индейцы хорошо знали жаропонижающие, наркотические, психотропные средства, анестетики, а аборигены Австралии хорошо знали и употребляли в пищу свыше 200 видов растений, 40% которых использовалось еще и в лечебных целях.

Первобытный человек не просто накапливал знания о флоре и фауне — он пытался их классифицировать. Так, ботанический словарь племени хануну (Филиппины) достигает 2000 названий; тысячи видов насекомых объединены в 108 групп, и каждая имеет свое название По словам Леви-Стросса, «на нынешнем этапе познания цифра 2000 выглядит вполне соответствующей в качестве порядка величины, нечто вроде порога, вблизи которого находятся этнозоологические или этноботанические возможности памяти и способности к определению, основанные на устной традиции» (Леви-Стросс К. Указ. соч. С. 233). У первобытных племен Австралии были развиты сложные системы классификаций родства.

Первобытный человек хорошо знал анатомию человека. В далекой древности зародилась прамедицина, появились разнообразные средства лечения и самолечения, даже приемы примитивной хирургии: перевязка, лечение ран и переломов, вывихов, вплоть до хирургических операций на черепе.

Костер первобытного человека был первой «химической лабораторией». В пламени огня осуществлялись превращения веществ, одни вещества исчезали, другие изменяли свои свойства (сырая глина приобретала прочность, из руд выплавлялись металлы, а разные металлы образовывали сплавы и др.). Тысячелетиями такой опыт накапливался и обобщался, чтобы возникло гончарное ремесло и появилась металлургия.

Первобытная культура синкретична, в ней еще тесно переплетаются познавательная, эстетическая, предметно-практическая и другие виды деятельности. Интересна следующая история. В одной из почти безжизненных центрально австралийских пустынь заблудилась группа путешественников-европейцев. Ситуация в тех условиях трагическая. Однако проводник, абориген, успокоил путешественников, заявив примерно следующее: «В этой местности я раньше никогда не был, но знаю ее… песню». Следуя словам песни, он вывел путешественников к источнику. Этот пример ярко иллюстрирует глубинные истоки единства науки, искусства и повседневного обыденного опыта.

1.4 Путь к абстракции количества[ Найдыш В. М. «Концепции современного естествознания». М., 2008. С. 37]

Одна из особенностей развития первобытного сознания — формирование способности отражать и выражать количественные характеристики действительности. Становление категории количества, способности количественного исчисления предметов являлось важнейшей чертой развивающегося первобытного сознания. И действительно, ведь счет выступает, в сущности, первой теоретической деятельностью рассудка, абстрактной способностью мышления. Развитие способности счета — главный показатель уровня развития абстрагирующей, обобщающей, теоретической стороны человеческого сознания.

Проблема происхождения первоначальной способности человека к счету — одна из интереснейших в проблематике первобытной культуры. Загадочность этого явления неоднократно использовалась в качестве главного аргумента для разного рода мистических трактовок истории человеческого мышления. Достижения археологии, антропологии, истории и других наук (особенно в XX в.) позволяют воспроизвести в общих чертах картину процесса становления количественных представлений и систематического счета в первобытном обществе.

Прежде всего следует указать на три главные предпосылки становления количественных представлений, способности счета:

повседневная практическая деятельность человека, многообразие действий человека по разделению целого на части (изготовление орудий труда, разделение добычи, туш животных и др.) и сложение некоторого целого из частей (строительство жилища, составные орудия и т. п.). Такие повседневные практические действия повторялись первобытным человеком многократно, являясь необходимой стороной его повседневной жизнедеятельности;

природные ритмы, в особенности взаимосвязи ритмов человеческого организма (включая его физиологические ритмы) с ритмами природной среды;

познавательная процедура сравнения, выделения качественно определенных характеристик природных предметов и соотнесение их между собой. Эта процедура исторически сложилась на базе психики высших приматов еще в условиях первобытного стада.

В процессе своего исторического становления долгое время первобытный человек ориентировался в окружающей среде, имея возможность отражать и фиксировать лишь качественные (а не количественные) свойства предметов. При этом, очевидно, важную роль играла образная память. Для нормальной жизнедеятельности в узких рамках потребностей и возможностей нижнепалеолитического хозяйства (на достаточно длительном историческом промежутке времени — около 2 млн лет) было вполне достаточно выделить и запомнить качественные признаки вещей. (По этнографическим свидетельствам, оленеводы Северной Азии, не умея пересчитать количество оленей в стаде из нескольких сотен голов, тем не менее знали индивидуальные признаки каждого оленя в стаде.) Исторически первой формой становления количественных представлений являлась, очевидно, абстрактная фиксация качественного своеобразия некоторого множества, состоящего из отдельных предметов, свойства которых хорошо усвоены субъектом. Так, первобытный оленевод сразу же определял отсутствие в стаде оленей нескольких особей, индивидуальные признаки которых ему хорошо известны.

Важнейший этап (и условие) выработки понятия о счете связан с ситуациями, в которых человек вынужден соотносить элементы одного множества однотипных вещей (предметов) с элементами другого, качественно иного множества. Цель такого соотнесения — констатация равенства (или неравенства) этих множеств (групп) предметов. Таких процедур постоянно требовали условия уравнительного распределения внутри общины и межобщинного обмена (например, аборигены Австралии меняли определенное число рыб на определенное число съедобных кореньев).

Революционным по своей значимости шагом в развитии систем счета (понятия количества) стало введение в процедуру соотнесения элементов двух различных множеств некоторого третьего множества, являющегося опосредующим звеном между двумя исходными (т.е. подлежащими сравнению). В качестве такого третьего опосредующего звена могли выступать самые различные естественные вещи, например природные предметы: четыре части света, простейшие парные отношения (тепло и холод, день и ночь, восход и заход и т. п.), раковины, палочки, камешки и др. Для измерения времени наиболее удобны природные ритмы, их совпадение с ритмами человеческого организма, ритмами хозяйственной жизни. Такая опосредующая система должна быть удобной для коллективного пользования, т. е. понятна и приемлема для всех членов первобытных родовых общин. Этнографическими исследованиями зафиксировано множество примеров использования племенами Австралии и Африки приемов счета, построенных на подобного рода «естественных» системах отсчета.

Следующий исторический этап развития приемов счета связан с заменой естественных посредников искусственными. В качестве их выступали зарубки, нарезки, насечки на палках, костях или других предметах, узелки, полосы краски и т. п. Так исторически формируется система искусственных «предметов-посредников», выражающая собой по существу абстрактные количественные отношения. Этот этап развития счета хорошо изучен археологией, историей первобытного общества, этнографией. Известно достаточно много знаково-символических изображений эпохи верхнего палеолита, имевших, по-видимому, математическое значение.

И наконец, завершение становления систем счета (количественных представлений действительности) связано с разработкой понятия числа. Абстрактное понятие числа выражает количественные отношения уже независимо от реального содержания, от конкретных, вещественных признаков совокупностей предметов. По мере расширения представлений о числах большие числа образовывались с помощью сложения меньших, например один и два. Так, у многих первобытных племен 3 означает «2 + 1», 4 — «2 + 2», 5 — «2 + 2 + 1» и т. д.

По мере развития хозяйственной жизни возникла потребность считать и обозначать большое количество предметов, что привело к созданию систем счисления. Когда нужно было пересчитать большое количество одинаковых предметов (например, стадо скота), применялся групповой счет. Такой счет вели несколько человек: один — вел счет единицам, второй — десяткам, третий — сотням (наблюдения Н.Н. Миклухо-Маклая)[ Миклухо-Маклай Н. Н. Собр. соч. М.; Л., 1950. Т. 1. С. 141.]. Развитие хозяйства, торговли требовало не просто умения считать, но и умения сохранять длительное время или передавать на расстояние результаты счета (очень часто — большие числа). Для этого применялись бирки, шнуры, нарезки или узлы, на которых уже обозначаются не только единицы, но и группы единиц (по 4, 5, 10, 20 единиц). По сути, формировался прообраз различных систем счисления. В древности существовало множество систем счисления. Имелись системы с основанием 5, 10, 12, 15, 20, 40, 60 и др.

Весьма интересен вопрос о зарождении астрономических знаний. В последнее время в понимании истоков первобытной астрономии произошли значительные изменения. Ранее истоки развития астрономии связывали лишь с древними цивилизациями Востока (IV— III тыс. до н.э.). Но за последние 40—50 лет археологами накоплен значительный материал, позволяющий утверждать, что еще в палеолите происходило накопление астрономических знаний.

Еще в эпоху мустье (около 100—40 тыс. лет назад) зародилась традиция наблюдения за небесными явлениями, порожденная практикой сезонных промыслов. На стоянках неандертальцев (в пещерах) результаты этих наблюдений фиксировались в разного рода астральных рисунках (круг, крест, группы ямок и др.). Поразительно, что неандертальцы около 100 тыс. лет назад зафиксировали суточное вращение Земли, Полюс мира, выделили направления пространства (север, юг, восток и запад).

В верхнем палеолите (40—10 тыс. лет до н.э.) астральные рисунки усложняются, отражая довольно сложные закономерности поведения Луны, Солнца и др. Около 20 тыс. лет назад существовали определенные приемы счета времени по Луне и Солнцу. В верхнепалеолитических стоянках в разных частях Европы и Азии найдены наскальные изображения, браслеты, пряжки, изделия из бивня мамонта и т. п. с ритмически повторяющимися нарезками и ямками. Анализ этих изображений показал, что их структура и подразделения соответствуют лунным циклам. Можно сказать, что это первобытная форма календаря (10 лунных месяцев — около 280 суток). Например, браслеты устроены так, что особым образом выделяется число 7, а 7 суток — длительность одной фазы Луны. По-видимому, в мезолите (15—10 тыс. лет назад) происходит осознание связи небесных явлений и сезонов года.

Большое значение в фиксации регулярно повторяющихся небесных явлений имело совпадение ритмов природных процессов и общественной жизни, ритмов природы и физиологии человеческого организма. При этом зачатки биологических, астрономических и математических знаний возникали в синкретическом единстве.

Так, календарь для людей верхнего палеолита был не самоцелью, а средством решения практических задач, концентрировавшихся вокруг промысла, быта и воспроизводства родовой общины. Ритмика природы (астрономических явлений), ритмика организма человека и ритмика производственной деятельности первобытного социального коллектива связывались между собой. Периоды интенсивного промысла требовали единой регламентации поведения и строгой дисциплины членов родовой общины. Эти периоды чередовались с периодами снятия запретов и сезонными празднествами, т. е. с другой формой поведения. На жизнь охотничьей общины также сильно влияли циклические изменения живой природы: сроки беременности основных видов промысловых животных, созревания употребляемых в пищу растений и др. Таким образом, природные ритмы выступали наиболее удобным мерилом (единицей отсчета), позволяющим разграничивать качественно различные периоды жизнедеятельности первобытного человека.

Процессы воспроизводства человека (само существование первобытного коллектива) и процессы воспроизводства животных (как главного предмета промысловой деятельности) соотносились с динамикой, цикличностью в движении небесных тел. В этом отождествлении, пожалуй, и кроются корни олицетворения небесных тел в образах животных. Сейчас у нас широко известны традиции восточного календаря связывать каждый год с названием одного из зодиакальных созвездий, обозначаемых именами животных. Образные (как правило, зооморфные) обозначения многих созвездий сложились еще в верхнем палеолите по меньшей мере 25 тыс. лет назад. Об этом свидетельствуют, в частности, одинаковые наименования ряда созвездий у народов Австралии, индейцев Америки, коренного населения Сибири и в античном Средиземноморье.

Астрономическое познание зарождалось в единстве не только с биологическим, но и математическим знанием. Число не имело тогда еще своего абсолютно самостоятельного, абстрактного значения. Оно обязательно связывалось с неким конкретным природным процессом, множеством. Отсюда, в частности, и истоки числовой магии, мистификации чисел в их связи с какими-либо природными событиями, процессами. Так, число 7 («магическая семерка») вообще имело в первобытной культуре особое значение: оно связывалось с лунными ритмами (которые трактовались как «рождение» и «умирание» Луны на небе); со структурой Космоса (четыре стороны света + три части «мирового дерева», т. е. корень, ствол, верхушка); с ритмами деятельности самого человека.

Фундаментальные свойства физиологии и психики человека также нашли свое отражение в формировании первичных абстракций и количественных понятий первобытного человека. В частности, важная роль числа 7 в астральных мифах и ритуалах палеолита определяется закономерностями психики человека: в экспериментальной психологии постоянство границ оперативной памяти и внимания определяется обычно числом 7 (или 7 ± 2). Целая серия прямоугольных фигур в искусстве палеолита имеет пропорции 1: 0,62. Это соотношение то же, что и экспериментально установленное в психологии пороговое отношение в процессе восприятия (закон Вебера — Фехнера).

Кроме того, среди множества разнообразных систем счисления (после длительного предварительного их отсева) в итоге преимущественно закрепляется десятеричная система. Это, безусловно, нельзя считать случайным: 10 лунных месяцев беременности, что для эпохи матриархата было очень важным природным ритмом; 10 пальцев рук как главного естественного орудия труда, связывающего предмет труда и цели деятельности человека, и др.

Таким образом, в системе сознания первобытной родовой общины на уровне повседневного стихийно-эмпирического знания был накоплен значительный массив первичных сведений о мире, сложились важные исходные абстракции (и среди них — абстракция количества), разработаны системы счета, календари, зафиксированы простейшие биологические, астрономические, медицинские и другие закономерности. Рациональное знание, накопленное в эпоху первобытной родовой общины, было тем пьедесталом, на котором надстраивалась и развивалась протонаука древнего мира.

Первая глава выступает введением, включающим в себя краткие сведения о некоторых трудах известных ученых. Их работы касаются культурогенеза счёта, как предшественника числа и будущей Математики.

ГЛАВА II. ЭТНОМАТЕМАТИКА Каждый народ и каждая культура характеризуются присущими только им верованиями, ритуалами, представлениями о мире, социальной организацией. К таким же «особым приметам» относятся: язык, литература, гастрономия, система торговли, технологии, архитектура и математика.

Мы рассматриваем эту науку как продукт, создаваемый западной культурой в специальных учреждениях — университетах и исследовательских центрах. Но профессионалы и любители занимаются математикой не только в научных учреждениях и не только в рамках академической среды.

История известной нам математики является частью европейского культурного контекста. Но опирается эта наука на неакадемические пласты, существовавшие задолго до нашей современной культуры. Исследователи-антропологи не углублялись в математические дебри, ограничиваясь простой фиксацией системы счисления и счёта. Западные колонизаторы, прибывая на новые земли также не интересовались математикой коренного населения — они лишь видели, как туземцы применяют свои знания на практике в рамках своей культуры.

Говоря сейчас о математике, мы имеем в виду конкретные инструменты, возникшие у разных народов независимо друг от друга для решения практических задач. Все народы производят подсчеты и измерения, определяют местоположение и зани­маются проектированием. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Эти задачи характерны для всех культур, и логично думать, что именно в них берет начало математическая мысль, присущая самым разным народам. Конечно, этноматематика очень далека от знакомой нам академической науки. Можно сказать, что она более сырая, неограненная и опирается не на строгие академические принципы и формальные доказательства, а скорее на практический опыт. И именно поэтому этноматематика не лишена логики.

В общих чертах цель нашего исследования заключается в том, чтобы пролить свет на туземную математику разных народов, описать способы ее применения, включить ее в систему формальных математических знаний, а затем развить и применить в образовательных целях.

В архитектуре и орнаментации главную роль играет пространственная организация — как двумерная, так и трехмерная, поскольку она определяет строение узоров и принципы их повторения. Более того, по характерным геометрическим узорам можно легко идентифицировать народ или культуру — например, с помощью симметрии, с доисторических времен до наших дней является универсальной парадигмой выражения культуры на всем земном шаре.

Важнейшее значение в культурном контексте имеет игра, подразумевающая принятие, изучение и использование ряда правил, которые определяют логику игры и служат основой для обоснования ее результатов и происходящих во время игры действий. Именно игры отражают представления о случайности, присущие конкретной культуре.

Некоторые народы очень тесно включают математику в свою социальную жизнь. Наблюдая за неким ритуалом, мы можем считать увиденное театральной постановкой, танцем или геометрической картиной, но для непосредственных участников церемонии все их действия слиты в единое целое. Впрочем, в нашей книге мы не будем обсуждать, верит ли туземец в то, что занимается математикой. Мы поговорим о том, как выглядят действия туземца с нашей точки зрения.

2.1 «Этноматематика — спутница культуры»

Слово «математика» во многих языках пишется с большой буквы. Эту дисциплину изучают во всем мире практически одинаковыми методами и почти по одной и той же программе. Во всех школах, институтах и университетах планеты учат и учатся считать, изучают теорему Фалеса и теорему Пифагора, решают задачи при помощи уравнений и систем уравнений и описывают самые разные явления с использованием математических моделей. Это представление о Математике охватывает и ее применение в других дисциплинах, более или менее тесно связанных с наукой.

В Математике используются все более сложные инструменты и устройства. Если Платон, решая задачи на построение, довольствовался линейкой и циркулем, то современная наука немыслима без передовых технологий, начиная от калькулятора и заканчивая сложнейшими компьютерными программами.

Математике присуща универсальность, всеобщность, но эта всеобщность, прежде всего, носит институциональный и априорный характер. Она формулируется в академических учреждениях и координируется посредством образовательных проектов. Грубо говоря, Математика, которую учат и преподают на востоке и западе, к северу и к югу от экватора, практически одинакова.

Но всеобщность Математики всех народов и культур мира проявляется и еще одним способом: развитие математических идей и методов происходит повсеместно. С этой точки зрения математика представляет собой межкультурный феномен, и здесь ее следует писать уже с маленькой буквы. Автором этой идеи стал Алан Бишоп в 1991 году. Из его книги «Приобщение к математической культуре. Обучение математике с точки зрения культуры» («Mathematical Enculturation. A Cultural Perspective in Mathematics Education») мы узнали о том, какую роль играет математика как часть культуры и важнейший элемент механизма ее передачи.

Стереотип культурного человека, практически не знающего математики или избегающего этой строгой науки, должен уйти в прошлое. Понятие культуры неявно подразумевает множество контекстов, среди которых непременно найдется место и для математики. Да и может ли существовать народ или культура без нее? Конечно же, нет.

Культура — это совокупность знаний, которые накапливаются людьми с течением времени, характеризуют их образ жизни и помогают выживать. Группы людей, изолированные друг от друга, могут сформировать разные культуры. Эти различия проявляются в социальных связях, в архитектуре жилища, пищевых пристрастиях, механизмах выживания, мифах, страхах и так далее. Со временем в каждой культуре формируются системы общественной и политической организации, язык, представления о мире, ритуалы и верования, технологии и другие проявления, включающие музыку, танцы, орнаменты.

Все эти процессы происходили всегда и практически повсеместно, но Запад узнал о них лишь несколько веков назад. До XV века европейцам ничего не было известно об Американском континенте, и они едва ли представляли, что происходит за пределами региона, который сегодня называется Европой. О том, что находится за Индией, европейцы узнали только из рассказов Марко Поло, совершившего путешествие в Сипангу (ныне Китай). Они не знали ни об Океании, ни о Тихом океане. Остров-континент Австралия на самых первых картах назывался Тепа lncognita — «неизвестная земля «.

И тем не менее уже несколько тысяч лет назад все эти земли, неизвестные европейцам, были заселены людьми с собственными системами знаний. Эти люди общались на самых разных языках, некоторым даже была известна письменность. Они жили в домах, построенных при помощи орудий труда, позволявших обрабатывать природные материалы — дерево, бамбук, глину, листья и так далее. Часто эти люди проводили свободное время за игрой в камешки, которые определенным образом укладывались в углубления, проделанные в деревянных досках. Часто они путешествовали и торговали с соседями на суше и открытом море.

Эти народы знали, как нужно жить. Никто не усомнится в том, что они умели охотиться, строить дома, готовить пищу, путешествовать по морю, творить, говорить и играть. А также им были известны счет, вычисления и измерения. Но если каждый народ способен создать собственные, присущие только ему проявления культуры, например систему верований, представления о мире, архитектуру, систему торгового обмена или искусство, разве не может таким же продуктом культуры оказаться и математика?

Математика, которую может создать народ или группа людей, называется этноматематикой. Этот термин придумал бразильский математик и преподаватель Убиратан д’Амброзио в конце 1980;х. В истории человечества существовало и существует множество народов и культур, и присущие им математические идеи превращают наш мир в мир этноматематики.

2.3 Родители этноматематики Связь между математикой и культурой была отмечена уже в первых антропологических исследованиях, среди которых выделяются труды Гэя и Коула о народе кпелле в Либерии. Однако само понятие «этноматематика» и совокупность знаний, которые сегодня объединены этим термином, определили профессора Алан Бишоп (Великобритания) и Убиратан д’Амброзио (Бразилия). Немалую роль также сыграли работы Паулуса Жердеса (Мозамбик), Марсии Ашер (США) и Клаудии Заславски (США). Убиратан д’Амброзио родился в Сан-Паулу и получил степень доктора по математики в местном университете. Затем он продолжил исследования на кафедре математики Брауновского университета города Провиденс, штат Род-Айленд (США). Алан Бишоп — почетный профессор факультета преподавания австралийского Университета Монаша, однако свою научную карьеру он начал в Кембридже (Соединенное Королевство). Этот ученый — советник ЮНЕСКО в области преподавания математики, техники и науки.

Математика с большой буквы в том виде, в каком она известна в нашей культуре, уходит корнями глубоко в прошлое, на тысячи лет назад. Как и вся культура в целом, эта наука сформировалась на основе множества идей, созданных разными народами. Она включает заимствования у шумеров, древних египтян и греков, арабов, индийцев и китайцев, так что, по сути, вся наша Математика уходит корнями в этноматематику. Она представляет собой результат культурного обмена, происходившего в древние времена. Математика не появилась в каком-то конкретном месте в определенное время, а распространена по всей планете.

Достаточно выйти из дома, чтобы увидеть, как люди повсюду занимаются математикой, причем, далеко не всегда используя для этого академические понятия и методы. Особенности артефакта, изображенного на фотографии, бросаются в глаза даже при беглом осмотре. И некоторые из них имеют математический характер.

На фотографии изображена каменная стена, а рядом с ней расположен металлический предмет, в котором мы узнаем урну для мусора. Урна имеет цилиндрическую форму со скругленной нижней частью. Для красоты в ней проделаны два ряда отверстий: отверстия в верхней части урны имеют форму кругов, отверстия в нижней части — форму шестиугольников. Они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, и на каждый круг приходится по два шестиугольника. Также на урну нанесены пометки мелом. Мы видим семь групп из четырех перечеркнутых параллельных линий.

Теперь, хорошо рассмотрев этот предмет, сформулируем некоторые гипотезы. Во-первых: культура, способная создать подобный предмет, знакома с технологиями обработки металлов. Эти технологии позволяют формовать металлы и проделывать в них отверстия заданного вида, расположенные определенным образом. Изображенный на фотографии предмет, по всей видимости, изготовлен не вручную, а механическим способом, так что возможны его точные копии. Надписи, напротив, сделаны от руки. Автор надписей, должно быть, досчитал до пяти как минимум. Все эти предположения неизбежно основаны на сходстве культур. Мы узнаем в предмете на фотографии урну. Но кто это — «мы»? Жители города Морелья в провинции Кастельон, где сделана фотография? Испанцы? Европейцы? Узнает ли в этом предмете урну туарег из Мали, саам из Лапландии или собиратель риса с филиппинского острова Лусон? Скорее всего, нет. Они наверняка определили бы, что предмет изготовлен из металла, имеет форму цилиндра и в нем проделаны отверстия в форме кругов и шестиугольников. Они также смогли бы сосчитать, сколько отверстий каждого типа проделано в этом предмете, но, вполне возможно, использовали бы при этом совсем другие термины и числа, чем мы. Особенно если они обучались счету у старших членов семьи, а не у школьных учителей.

Однако математические идеи той или иной культуры можно заметить не только в дизайне или архитектуре, но и во множестве других проявлений. Основные из них приведены в таблице.

Любая культура проявляется посредством определенных практик, которые мы будем называть культурными практиками. Во многих из них неявно присутствуют математические идеи, часто скрытые, или «замороженные», как говорит мозамбикский профессор Паулус Жердес. Раскрыв и «разморозив» эти идеи, мы сможем познакомиться с математикой разных народов и культур. Помимо этой тайной математики, в культурных практиках могут присутствовать и более очевидные математические идеи, которые можно выявить, если понять, как мыслят носители исследуемой культуры, частью которой является «тайная» и «явная» математика.

Чтобы обнаружить этноматематику культуры, можно следовать разными путями. Так как математике присущи объективность, строгость и точность в действиях с числами и фигурами, то, изучив культурные практики и проявления, для которых характерны эти черты, мы обнаружим сокрытые в этой культуре математические идеи.

Ярче всего эти идеи проявляются в архитектуре, ремеслах, технологиях, торговле и играх. Заострив внимание на практиках, необходимых для проявления культурных феноменов, Алан Бишоп выделил шесть универсальных математических действий, общих для всех народов: счет, измерение, определение местоположения, проектирование, игра и объяснение. Там, где производятся подсчет, измерение, определение местоположения, проектирование или объяснение, там, где идет игра, возможно, претворяются в жизнь математические идеи, присущие конкретной группе, народу или целой культуре. Познать эти идеи — значит познать этноматематику.

Когда речь заходит об этноматематике, возникает вопрос: заслуживает ли эта дисциплина внимания или же она представляет собой всего лишь набор занимательных рассказов о путешествиях в экзотические уголки Земли? Чтобы ответить на этот вопрос, отметим несколько важных моментов. Некоторые народные математические практики не только упрощают решение традиционных задач, но и позволяют четче понять математические идеи, присущие исключительно научному миру. Также следует учитывать, что этноматематика не пользовалась такой же благосклонностью исследователей, как академическая Математика с большой буквы. Как заметил профессор Жердес и его коллеги, западная колонизация в немалой степени затруднила развитие этноматематики и даже стала причиной ее замалчивания.

Наше понимание математики необязательно должно совпадать с пониманием индейца наваха, хиваро или маори. Возможно, что в этих культурах математика не имеет четких границ, и даже если подобные границы существуют, они необязательно будут в точности соответствовать границам нашей математики. Это же справедливо и для других проявлений культуры. Так, танцы в честь божества туземные народы считают молитвой или знаком признательности, а не обычным проявлением художественного творчества.

Когда мы говорим об этноматематике, то понимаем под математикой все то, что относится к ней в нашей культуре, все, что на самом базовом уровне характеризуется объективностью, строгостью, точностью, количественным и геометрическим выражением.

2.4 Как геометрия делает красивое прекрасным Геомемтрия (от др.-греч. гещмефсЯб; г? — Земля и мефсЭщ — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Геометрия // Математическая энциклопедия: в 5 т. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1]

Нельзя сказать, что использование геометрии само по себе делает вещи красивее. Но в названии этой главы мы хотим подчеркнуть, что во всех культурах высоко ценились качественно сделанные вещи, а качество во многих случаях достигалось именно благодаря математической точности. Именно в этом смысле Эрнст Гомбрих говорит о роли геометрии в искусстве в своей книге «Чувство порядка», посвященной декоративно-прикладному творчеству.

Вариации на тему симметрии Геометрические узоры встречаются повсеместно и практически у всех народов. Первые геометрические петроглифы появились еще в древнейшие времена — их примеры найдены в пещере Бломбос (ЮАР) или в Раскрашенной пещере на Канарских островах (Испания). Узоры, созданные еще до нашей эры в Древнем Египте, Древней Греции и Византии, имеют более формальный характер. Уже в нашу эру римляне использовали геометрические узоры в мозаиках (расцвет этого вида искусства наблюдался в Венеции до начала эпохи Возрождения). В то же время был создан чисто геометрический римско-византийский узор, обладающий самоподобием (в этом он схож с фракталами) Фрактамл (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойствомсамоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения.

Основу этого узора составлял квадрат, разделенный на 16 клеток. Диагонали делят каждую клетку на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них окрашивался в серый цвет, другой делился на четыре подобных ему треугольника. Один из этих маленьких треугольников окрашивался в светло-серый цвет, три оставшихся вновь делились на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Далее каждый из этих трех треугольников окружался еще тремя, таким образом получалось 3 · 3 · 16 = 9 · 16 = 144 новых треугольника. Эти действия могли повторяться бесконечно. На каждом этапе число треугольников утраивалось.

Этот узор обладает зеркальной симметрией вида cm, определяемой параллельными осями симметрии вдоль восходящих диагоналей каждой клетки.

Индийские орнаменты колам Каждое утро женщины с юга Индии, особенно из штатов Тамилнад и Керала, проводят у дверей своих домов ритуал: они рисуют на земле рисовой мукой или мелом ряд геометрических фигур, которые затем могут раскрашивать в яркие цвета. Эти фигуры — колам — отличаются большим разнообразием и могут иметь вид как маленьких и простых изображений цветов, так и сложнейших геометрических узоров.

Колам — это не просто искусство. Линии и фигуры в нем обычно строятся на сетке точек, заранее размеченных на земле. Кроме того, колам состоят из меньших фигур, как правило, симметричных и повторяющихся по заданной схеме, которая также определяется формой исходной сетки из точек. На фотографии изображен колам с двумя перпендикулярными осями симметрии, начерченный на основе восьмиугольной сетки из точек.

Все колам начинаются с построения на земле сетки из точек, расположение которых зависит от свободного места. Колам могут заранее изображаться на бумаге, особенно если речь идет об очень сложных узорах или фигурах больших размеров. Проводить линии, соединяющие точки, нужно без ошибок — исправления не допускаются. Узоры колам не имеют особых названий и обозначаются по принципу подобия — «звезда», «лотос», «кокосовая пальма», «повозка» и так далее. Линии, соединяющие точки, имеют форму восьмерок, или знака бесконечности.

Сходство со знаком бесконечности не случайно в этом регионе непрерывные линии подобной формы обозначают бесконечный цикл жизни: рождение, расцвет, увядание.

Тщательно изучив боковые кривые на изображенном слева коламе, мы увидим, в каких случаях их можно изобразить одной линией. Четыре боковые фигуры представляют собой прямоугольники изображены на сетках точек размерами 2×7. Все точки соединены одной линией. Аналогично можно соединить точки в сетках размерами 2×3 и 2×5.

Но провести такую линию на сетке 2×4 не удастся. В этом случае потребуются две линии, симметричные по вертикали и горизонтали.

Можно ли соединить все точки сетки одной линией, зависит от того, сколько столбцов в сетке — четное это или нечетное число.

Камни, кости и глина Математические идеи были присущи даже доисторическим народам. Конечно, мы не можем точно знать, о чем думали кроманьонцы, неандертальцы или их предки, но свидетельства их существования, дошедшие до наших дней, позволяют нам хотя бы предполагать, какие математические идеи они использовали.

В 2003 году в пещере Бломбос в ЮАР был обнаружен брусок охры возрастом примерно 72 тысячи лет с геометрическими узорами.

Узор имеет примерно 60 мм в длину, его ширина не превышает 2 мм. Он состоит из двух рядов треугольников, образованных параллельными прямыми. Воспроизведем этот узор, чтобы лучше понять его геометрическую подоплеку.

Возможно, неровная поверхность камня или недостаточно совершенная технология помешали автору точнее изобразить узор, который мы сегодня назвали бы треугольной сеткой.

По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй — восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий — девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.

Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия». Мы также никогда не узнаем, был ли этот узор эмблемой или символом чего-то или кого-то, имел ли он какое-то практическое значение или попросту его автор таким образом утолял тягу к прекрасному. Однако действия древнего «живописца» говорят, что он (или она) сознательно или бессознательно руководствовался перечисленными математическими понятиями. Ему помешали ограничения, накладываемые реальностью, и отсутствие подходящих технологий, но, как бы то ни было, этот узор — свидетельство существования математической мысли еще в доисторические времена.

Геометрические жилища Несколько десятков тысяч лет назад человек решил покинуть природные укрытия и найти себе приют под крылом геометрических форм. Вместо того чтобы жить в пещерах, он обработал доступные природные материалы, придав им постоянную форму, и построил себе жилье. Форма жилища постепенно усложнялась.

Большинство современных домов представляют собой многогранники, чаще всего — прямоугольные призмы. Десятки и сотни семей в городах всего мира живут в колоссальных гексаэдрах, установленных вплотную друг к другу. Люди также живут или до недавнего времени жили в домах, где в явном или неявном виде присутствовал круг — дома имели форму цилиндра, конуса и даже сферы. Основная характеристика обитаемого гексаэдра — прямые углы: стены домов должны быть перпендикулярны земле и друг другу. Помещения в домах, а также большинство предметов мебели воспроизводят такую же модель. Многие столы, стулья, шкафы, стеллажи и кровати имеют форму гексаэдров, благодаря чему они идеально располагаются в любом месте комнаты. Более мелкие предметы, например лампы, отличаются большим разнообразием форм.

Также характерной особенностью народов и культур является объединение жилищ в группы. В некоторых культурах жилища располагаются в форме прямоугольника или круга, в других не подчиняются какой-либо закономерности.

Примеры жилищ круглой формы можно встретить во всем мире. Коническую форму имеют дома трулли в итальянском Альберобелло на юго-востоке Италии, шалаши у многих африканских народов, типи североамериканских индейцев или дома народа кумби с острова Флорес и народа атони с острова Тимор. Иглу эскимосов, построенные из льда, имеют форму полусферы. В других жилищах цилиндрическая форма сочетается с конической крышей — подобная конструкция типична для многих регионов Африки, например такие дома строит народ кикуйю, живущий в Кении.

Клаудия Заславски объясняет, как строятся традиционные дома народа джагга, живущего на склонах горы Килиманджаро. Сначала на помощь зовут самого высокого человека среди всех знакомых. Он ложится на землю и вытягивает руки в стороны. Радиус будущего дома будет составлять 2−3 размаха его рук. Это расстояние откладывается на веревке, которую привязывают к колышку. Затем, держа конец веревки в руках, совершают полный оборот вокруг колышка и чертят на земле окружность. Высота дверей будет равна размаху рук человека, ширина — длине окружности его головы, измеренной при помощи веревки.

Хотя принято считать, что типи североамериканских индейцев имеют коническую форму, они, по сути, представляют собой многогранники и в действительности имеют форму пирамиды. Несколько длинных кольев, воткнутых в землю в форме круга (они определяют вершины многоугольника достаточно правильной формы), сходятся в вершине хижины. Эти колья — ребра пирамиды — накрываются шкурами. Типи можно легко разобрать и перенести на новое место.

Глава III. Семиотика чисел в различных культурах

«Числа были не слепо выброшены в мир; они подчиняются гармоничному порядку подобно тому, как кристаллическая решетка и консонансы (созвучия) гаммы подчинены всеохватывающим законам гармонии» — А. Кёстлер.

Невозможно охватить всю сложность пифагорейского и средневекового христианского символизма чисел, применяемых в теологии, в космогонии и в науке. Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. В герметической философии мир чисел отождествляется с миром причин.

Математика представляет собой, пожалуй, единственную науку, которая имеет дело исключительно с абстрактными сущностями, прежде всего, с числами.

одна из важнейших категорий в мифопоэтическом образе мира, представленная во всех культурах; средство упорядочения и моделирования Вселенной; В мифопоэтических системах, один из наиболее известных классов знаков, ориентированный на качественно-количественную оценку; элементы особого числового кода, с помощью которого описываются мир, человек и сама система метаописания. Мифо-поэтические основы чисел, счёта и числовых моделей, более полно обнаруживаются в тех архаичных культурах, в которых:

1) число выступает уже самостоятельно, вне непременной связи с объектами;

2) сама система не является дефектной;

3) числа же ещё не полностью десемантизированы (как в культурах современного типа, утративших понимание неоднородности членов числового ряда).

В архаичных традициях числа могли использоваться в ситуациях, которым придавалось сакральное, «космизирующее» значение. Тем самым числа становились образом мира и отсюда — средством для его периодического восстановления в циклической схеме развития для преодоления деструктивных хаотических тенденций. Мифопоэтическая роль чисел в явном или неявном виде показательнее всего выступает в тех культурах, которые знают тексты с сильным развитием классификационного принципа. Согласно ему, все объекты (особенно сакрально значимые) связаны друг с другом определённой системой иерархических отношений, которая обычно легко переформулируется и в плане творения («как это возникло») [ср. «Великую девятку богов» в древнеегипетском гелиопольском варианте]. Особенно чётко классификационная функция чисел выступает в древнекитайской мифопоэтической традиции, … числа и вещи неотделимы друг от друга и образуют континуум без начала и конца («числа управляют миром»). Сходная роль приписывалась числам и в пифагорейской традиции, и в её продолжениях (между прочим, в мусульманских космологических учениях, обнаруживающих влияние исторического пифагореизма). Известны традиции, где числа приписывались божественным персонажам; личностная компонента индивидуальность. Вторая особенность, связанная с учением об элементах, заключается в установлении символической корреляции между основными 5 элементами и членами других ведущих семантических сфер [ср. также ряды: дерево — весна — восток — кислый — козлиный (запах) — тигр — заяц — и т. п.]. Такие классификационные ряды являются, по сути дела, подобием сети отношений, своеобразным кодом описания мира и основой т. н. «координирующего» или «ассоциативного» мышления, характерного для ряда культур. Каждое число имеет свою форму (3 — треугольника, 4 — квадрата, 5 — пятиугольника, 6 — шестиугольника и т. д.) Неоплатоническая философия поздней античности и еврейские тайные учения средневековья широко использовали числовую символику, применяя числовые обозначения букв как греческого, так и еврейского алфавита…

Последовательность первых трех цифр почти повсеместно представляется как единство (1), двойственность (2) и синтез (1+2=3). «Священные числа» при такой предпосылке имеют действительно сакральный смысл, это прежде всего — Бог-творец как «первоединое», которое, отчуждая и проявляя себя, порождает двуединое. Из тезиса и антитезиса получается синтез тройственности Специфична семантика числа 1. В наиболее древних текстах 1 встречается крайне редко или вовсе не встречается. Оправдано предположение, что 1 означает, как правило, не столько первый элемент ряда в современном смысле, сколько целостность, единство. Совершенная целостность, понимаемая как единица, объясняет приписывание числа 1 таким образам этой совершенной целостности, как бог или космос. Число 2 лежит в основе бинарных противопоставлений, с помощью которых мифопоэтические и ранненаучные традиции описывают мир. Оно отсылает к идее взаимодополняющих частей монады (мужской и женской как два значения категории пола; небо и земля, день и ночь как значения, принимаемые пространственно-временной структурой космоса), к теме парности, в частности в таких её аспектах, как чётность, дуальность, двойничество, близнечество. Характерно соотношение 1 и 2, реконструируемое по данным ведийской традиции. Число 2 в ней выступает как символ противопоставления, разделения и связи, с одной стороны, и как символ соответствия или гомологичности противопоставляемых членов — с другой. В силу этих качеств 2 есть первичная монада, защищающая человека от небытия и соответствующая творению — небу и Земле, рождённым в одном гнезде. Как таковое два противостоит трансцендентному одному, единому (вед. eka-), размышление над которым дало начало особой стадии в развитии спекулятивно-космологического умозрения. Сказанное о семантике 1 и 2 объясняет, почему в ряде культурных традиций 1 и 2 (или иногда только 1) не рассматриваются как числа (соответствующие слова нередко оформляются иначе, нежели другие числительные). Первым числом в целом ряде традиций (в том числе и в древнекитайской) считается 3; оно открывает числовой ряд и квалифицируется как совершенное число. 3 — не только образ абсолютного совершенства, превосходства (ср. роль числа 3 как суперлатива: трисвятый, треклятый и т. п.), но и основная константа мифопоэтического макрокосма и социальной организации (включая и нормы стандартного поведения). Ср. многочисленные космологические, сакральные, социальные и т. п. триады… В отличие от динамической целостности, символизируемой числом 3, число 4 является образом статической целостности, связанной с пространственно-временной и стихийной организацией сотворенной вселенной. Из суммы этих двух основных числовых параметров возникает число 7, определяющую многие мифопоэтические и классификационные константы, имеющие вероятно, психофизиологические основания В некоторых культурно-языковых традициях существует семиричная система счисления и/или число 7 выступает вообще как наиболее употребительное число, характеризующее почти универсально всё, что исчисляется в мифопоэтическом космосе (ср. число 7 у кетов на Енисее). Иа произведения 3 и 4 возникает число 12, которое также принадлежит к наиболее употребительным в мифопоэтических культурах числовым. В ряде традиций с числом 7 соперничает число 9, получаемое троекратным повторением триады. Сакрально отмеченными и соответственно этому употребительными в ритуале и в мифопоэтических текстах являются и другие числа, производные от 2, 3, 7, 9, 12 (33, 37, 99; 24, 36 и т. п., Показательно почти полное отсутствие в этом ряду числа 10 (ср., впрочем, овидиевы «Фасты» III 121 след.), играющего основополагающую роль как в современной системе счисления, так и в мистической философии нумерологического характера. Числа от 1 до 10 (от 1 до 12 в двенадцатеричных системах счисления) считались числами с архетипическим значением. Числа более высокого порядка, в которых снова появляется смысловое значение, часто усиливают символику цифр, из которых они состоят. Но для мифопоэтической традиции существенна не только парадигматика членов числового ряда (то есть состав его и свойства его членов), но и их синтагматика (то есть участие чисел в текстах). Существует целый ряд архаичных текстов, в которых числа не только раскрывают свою природу, но и описываются операции над ними, причём эти операции также считались сакрализованными, поскольку с их помощью актуализировался акт «космизации» вселенной. В более автоматизированном виде с частичным или полным забвением исходных принципов схема порождения элементов числового ряда используется в многочисленных сказочных сюжетах, особенно в формульных и кумулятивных сказках, где описываются цепочки чисел или объектов (ср. No 2000—2013 по Аарне-Томпсону). Особый круг текстов связан с обыгрыванием числового принципа при полной дегенерации первоначальной содержательной схемы (введение подчёркнуто «низких», заведомо несакральных объектов) или с доведением числового принципа до крайности (ср. т. н. «бесконечные» сказки с регулярным зацикливанием, ср. No 2300 или числовые шутки абсурдистского типа). Ряд заговорных, заклинательных, молитвенных текстов также построены по числовому принципу, ср., например, образцы «обратного счёта» в русских заговорах на уничтожение змей, червей и т. п., когда выстраивается нисходящий ряд (из «девяти восемь, из восьми — семь…, из одного — ни одного»), в такт которому должно сокращаться число изгоняемых объектов. Более показательны, однако, такие жанры народной словесности, в которых Ч. выступает в соотнесении с основными объектами космологической модели мира — Вселенной, мировым деревом, космическими зонами, годом и т. п. Характерный пример — загадки, описывающие одновременно и год, и, по сути дела, мировое дерево. Ср.: «Стоит столб до небес, на нём 12 гнёзд, в каждом гнезде по 4 яйца, в каждом яйце по 7 зародышей» или «Выросло дерево от земли до неба, на этом на дереве 12 сучков, на каждом сучке 4 кошеля, в каждом кошеле по 6 яиц, а седьмое красное». Все такие «числовые» тексты также дают основания для утверждения, что в архаичных культурах число и счёт были сакрализованными средствами ориентации и «космизации» вселенной. С их помощью всякий раз, когда это было нужно, репродуцировалась структура космоса и правила ориентации в нём человека. Появление счётно-хозяйственных текстов относится к типологически более поздней стадии, когда члены числового ряда утратили свои прежние функции, а сам числовой ряд стал гомогенным. Дискуссии о соотношении Ч. и слова, математики и поэзии — также удел более позднего времени. Тем не менее они несут в себе следы мифопоэтической концепции Ч. Во всяком случае, уместно указать две основные тенденции в области этих отношений. С одной стороны, речь идёт о стремлении увидеть за словом Ч., представить поэзию и искусство в виде своего рода математики (или описать их через неё). Родословная этого направления берёт начало в основном принципе математической эстетики пифагорийцев — сущность красоты кроется во внутренних числовых отношениях. Другая ведущая фигура этого направления — Августин, синтезировавший в своём неопифагорействе идеи, связанные с числом и гармонией и восходящие к Платону («Тимей» и др.) и Плотину. Многие идеи этого рода развивались и в новое время (Малларме, П. Валери, ср. нумерологические опыты В. Хлебникова и т. п.). С другой стороны, не менее постоянно стремление вновь семантизировать число, то есть вернуть ему ту роль, которую оно играло в мифопоэтическую эпоху. Это стремление реализуется в той области человеческой деятельности, в которой, как в заповедном месте, сохраняются достижения архаической эпохи — в поэзии и искусстве.

На традиционной символике чисел часто основаны суеверия — священная семерка, «несчастливое» число 13.

В современном мире число/цифра ассоциируется с информацией (представленной в виде последовательности двоичных чисел), развитием человеческого знания, управлением.

Сверхъестественная сила чисел и цифр тесно связана, в том числе исторически, с магией букв. Особые знаки для обозначения цифр появились у большинства народов далеко не сразу (исключение составляют языки с иероглифической письменностью). И арабские, и еврейские, и греческие, и латинские буквы имеют второе, числовое значение. Не избежали этой участи и славянские алфавиты (как кириллица, так и глаголица).

Основные значения:

Космическая гармония Утилитарность, кодирование.

Природа чисел в культуре Древнего Востока Для древних вавилонян характерны представления о сверхъестественной природе чисел:

Первые шестьдесят натуральных чисел у вавилонян используются как обозначения богов, практически отождествляясь с ними.

Особое место занимает число 12 960 000 — «число Платона», рассматриваемое как основа жизни во Вселенной.

Все числа, на которые число Платона делится без остатка, полагаются счастливыми.

К несчастливым ученые древнего Вавилона относят число 7, 11 и 13.

Значение чисел в культуре Древнего Египта Число один выступает символическим указанием на изначальные (первобытные) времена — «прежде чем возникли в этой стране еще две вещи».

Два — воплощение понятия двоичности / дуализма (противоположностей) — верх и низ, день и ночь, мужчина и женщина.

Три:

отец, мать и ребенок (как зеркальный образ божественного мира);

фиванская триада — Амон, Мут и Хонс;

Озирис, Изида и Гор;

деление дня на три части — утро, полдень и вечер;

троекратное исполнение молитвы и жертвоприношения в течении дня.

Четыре: пространство; четырехсторонние алтари солнца в Гелиополе ориентированы по сторонам света.

Семь (вероятно самое значительное число в магии и мифах) — совершенство:

Ра, Хатор и Маат имеют по семь ба (по каждому от отдельных богов, чтобы оно было семикратным);

42 судьи мертвых — 7Ч6.

Восемь — удвоение четвёрки; гермопольская огдоада, объединяющая четыре пары древних богов.

Девять:

сообщество богов — великая гелиопольская девятка богов;

совокупность людей — девять луков служат символом подчиненных царю народы.

В качестве графического обозначения чисел служат такие идеограммы, как:

1.000 — цветок лотоса — служит также символическим выражением большого количества и в этом качестве встречается в списках жертвоприношений;

100.000 — головастик (водится в Ниле в неимоверном количестве);

1.000.000 — изображение стоящего на коленях бога Хах — часто приводится на сосудах и украшениях как символ бесконечного множества лет (вечности) и в этом случае несет в вытянутых руках пальмовую ветвь.

Числовая система в Античной культуре В трагедии Эсхила говорится, что числа для смертных изобрёл Прометей. Будучи связаны с измерениями периодичности космических циклов, числа воспринимаются (древним) человеком не только в качестве единицы измерения — вспомогательного упорядочивающего средства, введенного человеком; но также, и преимущественно, как «архе"[2] всех вещей, «абсолютные» (неуничтожимые) следы сверхчеловеческих сил, священные символы божеств (а). Нечетные числа при этом рассматриваются как активные и мужские, связанные с небом, а четные — пассивные, земные и женские.

«Жертвы богам небесным — числом нечетным, а земным — четным» — Плутарх.

Согласно античным философам:

числа являются «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием» — Аристотель;

гармонией вселенной — Платон;

они существуют «как господствующая и несотворимая связь и основа вечной устойчивости внутримирового порядка вещей» — Филолай (V в. до н. э.);

«Всё располагается согласно числам» / «Всё есть число» / «Всё в мире есть числа» — Пифагор.

Для Пифагора числа имеют как количественные, так и качественные черты; они божественны по своей сути и их посредством может быть представлена каждая форма. Исследования Пифагором колебания струн — первый опыт математического познания мира, привели к постулированию понятия «гармония».

Согласно воззрениям Пифагора, числа — это:

символ божественного мироздания, ключ к гармонии законов космоса;

сила, поддерживающая вечное постоянство космоса;

скрытые в мире божественные первообразы и прообразы (архетипы), становящиеся очевидными и зримыми при проницательном его созерцании;

правило, порядок, музыка — все в мире организовано по правилам, упорядоченно и музыкально.

Во взаимодействии четных и нечетных чисел Пифагор видел действие универсального принципа единства противоположностей (конечного и бесконечного, прямого и изогнутого, квадратного и круглого).

В терминах пифагорейской философии последовательность чисел 1, 2, 3, 4 символизирует путь от единства к множественности (от точки к прямой линии, от единицы к множеству).

Практика обозначения чисел точками позволила пифагорейцам наглядно показать, что сумма последовательных нечетных чисел представляет собой последовательность квадратов:

1 + 3 = 22;

1 + 3 + 5 = З2;

1 + 3 + 5 + 7 = 42;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52.

Семантика чисел в культуре древних славян В народной традиции числа — объект семантизации, символизации и оценки, связаный с понятием множественности. Счет, перечисление часто трактуется как опасное действие, с помощью которого можно овладеть предметом счета, подчинить его своей воле. Например, запрещается пересчитывать овец в стаде (это может нанести им вред), летящих птиц в стае (их можно сбить с пути), измерять длину вытканного полотна и т. п. В заговорах всех славянских традиций в магических целях используется формула убывающего счета (9−8-7−6-5−4-3−2-1−0) как способ «сведения на нет» опасности, ср. в русском заговоре от червей:

«У нашего (имя рек) 9 жен; после 9 жен 8 жен, после 8 жен 7 жен, (…) после двух жен одна жена; после одной жены ни одной…»

Элементы числового ряда в своих культурных функциях неравноценны. Наиболее значимы числа 2, 3, 4, 7, 9, 12, 20, 30, 40, каждое из которых получает истолкование в зависимости от тех реалий или событий окружающего мира, с которыми оно соотносится.

В духовных стихах преобладают христианские ассоциации чисел:

«Поведайте, что есть десять?

— Десять Божьих заповедей;

— Девять в году радостей;

— Восемь кругов солнечных;

— Семь чинов ангельских;

— Шесть крыл херувимских;

— Пять ран без вины Господь терпел;

— Четыре листа Евангельских;

— Три патриарха на земле;

— Два тавля Исеевы;

— Един Сын на Сионской горе…".

Функциональное значение чисел в древнекитайской культуре Для древнекитайской мифопоэтической традиции особенно характерна классификационная функция чисел[5]. Возникла особая философия чисел, нашедшая своё крайнее выражение у Чжай-Шеня (1167—1230), утверждавшего, что следование числа (шу) даёт знание вещей и их начал, что числа и вещи неотделимы друг от друга и образуют континуум без начала и конца («числа управляют миром»).

Независимо от нумерологического мистицизма и символизации чисел[6] уже издревле отмечено наличие принципа, позволяющего объединить описание мира и его происхождение с понятием пары признаков, лежащей в основе любой классификации, и, следовательно, с абстрактным образом дуализма (ср. Инь и ян).

К числам имеет отношение и другая (вторичная) классификация по пяти элементам. Из учения об элементах следуют две особенности. Одна из них состоит в канонизации числа пять, ставшего эталоном описания наиболее важных характеристик макрои микрокосма (ср. кратность деления мира, число элементов, классов животных, органов чувств, внутренних органов, страстей, музыкальных нот, «основных» чисел и т. п.; ср. пентады в буддизме и упанишадах 5 элементов, аспектов бытия, огней, ликов Шивы и т. п., в манихействе и в некоторых других традициях). Отмеченность пятого места в пространстве связана с особым положением центра, в котором находится Срединное царство («Чжун-го»). Вторая особенность, связанная с учением об элементах, заключается в установлении символической корреляции между основными 5 элементами и членами других ведущих семантических сфер [ср. также ряды: дерево — весна — восток — кислый — козлиный (запах) — тигр — заяц — и т. п.]. Такие классификационные ряды являются, по сути дела, подобием сети отношений, своеобразным кодом описания мира и основой т. н. «координирующего» или «ассоциативного» мышления, характерного для ряда культур.

В Китае — нечетные числа отождествлялись с принципом «ян» — небесным, неизменным (непреложным)и благоприятным: четные — с принципом «инь» — земным, изменчивым и зачастую неблагоприятным. В основе занятий оккультными науками лежала нумерология, опирающаяся на учение о Ян и Инь — двух антагонистических и взаимодополняющих силах — о тройственном единстве неба, земли и человека, о квадрате, пяти стихиях и восьми триграммах.

К числовым искусствам относятся астрология и составление календаря. Китайская астрология, с учетом предсказаний которой правили китайские императоры, строится на системе, включающей в себя:

10 небесных столбов (стволов);

12 земных ветвей;

28 созвездий, разделённых на 4 группы по семь созвездий;

5 планет, Солнце и Луну;

72 неблагоприятные земные и 36 благоприятных небесных звезды — общее их количество составляет священное число 108, которое часто встречается в культуре Азии; 108 лампад в 12 рядах с фитилями, окрашенными в цвета пяти стихий.

И-цзин (Книга перемен) содержит главу о числах, под названием Хи-Цзеу, в которой символическими числами Неба называются нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9, сумма которых составляет 25, а числами Земли — четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, составляющие в сумме 30. В ней говорится также, что сила гадательных чисел охватывает всю Вселенную, все существующие в ней предметы, число которых превышает десять тысяч. На основании изучения 64 гексаграмм постулируется:

в 64 гексаграммах, по шести линий в каждой, содержится 384 линии, из которых 192 — четные и 192 — нечетные;

значение четных чисел, или Инъ, составляет две трети от значения нечетных;

24 гексаграммы из 192 четных линий, представляют собой в сумме 4608 женских сущностей;

192 нечетные линии умножаются не на 40 оставшихся гексаграмм, а на 36, и в итоге получается 6912 мужских сущностей;

в сумме с женскими это составляет 11 520, число 10 000 существ, то есть всех сущих в природе вещей.

По закону соответствия, символика чисел распространяется на все сферы жизни китайцев.

Она составляет основу китайской музыки, которая считается средством сообщения с духовными иерархиями и неотделима от обрядов, связывающих человека с миром незримого.

Пять основных нот (до, ре, соль, ля и ми) привязаны к определенным числам и символизируют пять планет, пять цветов, четыре времени года и центр и могут быть представлены в виде квадрата, символизирующего представления китайцев о строении космоса. Эти ноты составляли основу метода Розы Ветров, которым пользовались прорицатели. Позже количество нот было увеличено до 12 (семь полнозвучных и пять полутонов), что соответствует 12 месяцам года и знакам зодиака.

Эта символика определяла весь дворцовый церемониал: каждая династия имела собственное число, и при ее смене соответственно менялись цвета одежды придворных и музыкальные произведения, исполнявшиеся при дворе.

Благоприятными числами считались:

шесть — связанное с долголетием, два — символ легкости, три — родов, или рождения, восемь — процветания и девять — вечности.

Числовая семиотика в культуре Мезоамерики У ацтеков каждое число (цифра) отождествляется с определённым богом, качеством, стороной света и цветом.

Символически значимое число, связанные с календарными периодами:

260 дней — продолжительность культового года ацтеков и майя;

соответственно календарное исчисление основано на 18 980-дневном цикле, объединяющем 73 культовых и 52 солнечных (365-дневных) периода.

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В какой-то момент истории, наши предки обзавелись новым инструментом — абстрактным мышлением. С этого момента мир вокруг них преобразился, представ в новом свете. Этот свет ничто иное как осмысление, осмысление того, что вокруг есть закономерности, на которых построен мир. В самом начале они сбивали с толку и даже пугали, но обновленный человек неустанно двигался вперед, осваивая грани мира — числа. Познание их протекало с элементом игры и творчества. Люди наделяли число различными свойствами, качествами. Использовали в быту и ритуалах. И только со временем интуитивное заигрыванием с числом перешло в настоящее озарение: «всё сущее есть число» — так говорил Пифагор. Примечательно то, что человек издревле неуклюже, но старательно: выводил линии, считал, обучался применению числа. Все эти труды перерастали в новые идеи, которые всегда сопровождались культурными революциями, зачастую незаметными, но безусловно важными. Человечество постепенно осваивало игру с числами, последние в свою очередь спокойно покрыли всю деятельность первого.

В 20 веке было выведено множество Мандельброта. Фракталы, как их ещё называют «математические монстры, совершили очередную культурную революцию породив множество исследований и открытий. Фрактальная геометрия с первого взгляда была пугающей и безмерно притягательной для человека. Связано это напрямую с нашей психикой и ощущением прекрасного. Их особенность заключается в том, что они являются структурой окружающего нас мира. Ф. г. широко применяется в цифровых технологиях, особенно в моделировании живой природы при создании компьютерной графики.

Архитектоника всей культуры человека в начале своём есть числа. Строим мы дом, играем в шахматы, сочиняем сонет или же вскапываем землю под саженцы на своём участке. Мы используем его интуитивно, либо осознано владеем знанием о нём. В любом случае его влияния не избежать. В итоге работы есть необходимость процитировать Эрика Т. Белла:

«…вопрос, кто придумал числа, возможно, неправильно сформулирован. Представляется, что числа никогда не были сознательно изобретены одним человеком или группой людей, они скорее эволюционировали в течение нескольких непримечательных этапов, наподобие того, как (полагают некоторые) возник язык, который появился из нечленораздельных криков. Где-то, как-то люди могли приобрести привычку использования чисел, не придавая этому особого значения. Тем не менее числа 1, 2, 3… демонстрируют некоторые признаки внезапного озарения и осознанного изобретения. И наиболее существенные из них снова связаны с универсальностью и неизменностью чисел. Пусть никто не знает, было ли так на самом деле, но заманчиво предположить, что некий безвестный гений абсолютно неожиданно для себя осознал, что мужчина и женщина, камень и рогатка, сон и закат и практически любая пара любых предметов, живых существ или явлений одинаковы в одном, и только в одном. В своей «парности». От этого откровения до постижения непосредственно числа «два» гигантский шаг, но какой-то человек сделал этот шаг за много веков до фараона, пересчитавшего трофеи.

Как бы ни казалось это слишком легко, примем число «два» как общеизвестный факт, каковым он, по-видимому, и является, и зададим вопрос, чем число два, рассматриваемое в качестве числа вне зависимости от его употребления, «действительно является». Короче, нам предстоит дать числу два определение, приемлемое по меньшей мере для некоторых (но не всех) математиков ХХ века. Такое же определение следует дать любому натуральному числу.

Это не так просто. Между подсчетом 1 422 000 коз и разумным и достаточным определением числа два имеет место разрыв примерно в 5500 лет, в течение которых ни математики, ни логики не в состоянии убедить, что по существу есть число два. Руководствуясь принципом, что конечность — последнее, чего жаждут математики получить от математики, просто ограничимся дефиницией. Число два является классом тех вещей, которые отличаются парностью, то есть которые можно составить в пару (один и один) с другими составляющими пару. Понятие «класс» следует воспринимать интуитивно как аксиому, не требующую доказательств. Видимое зацикливание понятий «два» и «пара» чисто случайное и может не рассматриваться. Следовательно, натуральное число «два» есть класс, и подобным образом любое натуральное число является классом.

Не предпринимая попыток провести анализ этой достаточно сложной для понимания дефиниции, заметим, что (когда она изучена и понята) в ней нашло отражение то, что ускользнуло от первого человека, установившего, что все эти множества — муж и жена, исток и смерть, птица и гроза — имеют в общем только собственную двойственность. Это наблюдение, кто бы ни оказался его автором, заложило основы арифметики. Оно же стало секретным источником всех видов магии чисел, проникшей в античную философию, средневековый мистицизм чисел и современную науку.

Мы рассмотрели один из возможных источников происхождения чисел. Предположив, что числа были изобретены, мы совершили большое, но не преднамеренное насилие в отношении более чем одной уважаемой теории чисел, включая теорию Платона, и подорвали верования многих выдающихся математиков XIX и XX веков. Исторически наиболее широкое распространение получила другая альтернатива. Если числа не были изобретены человеком, они могли быть (не обязательно «должны быть») открыты. Здесь проходит граница, где заканчиваются знания и начинаются предположения.

Отдельные математики уверены, что числа были изобретены людьми. Иные, не менее компетентные, уверены, что числа независимы и существуют сами по себе, а отдельные смертные, достаточно образованные, просто следуют этим представлениям.

Различие между двумя теориями далеко не тривиально. Обе, возможно, не имеют смысла. Однако вполне вероятно, что неправильно сформулирован сам вопрос: «Были ли числа изобретены или открыты?» И нашим потомкам он покажется столь же лишенным смысла, как вопрос: «Честность голубого цвета или треугольная?» Но в настоящее время (пока еще не вмешались психологи) вопрос о числах кажется нам вполне логичным, как и ряд других вопросов, ответ на которые может быть однозначен. Например: «Америка была открыта в 1492 году или тогда ее изобрели?» Или: «Уатт изобрел паровой двигатель или открыл его?»

Даже поверхностно эти четыре выбранных для примера вопроса абсолютно разноплановые. Хотя тот, что о честности, с точки зрения грамматики производит впечатление разумного, а на практике является просто набором лишенных смысла слов. На вопрос об Америке можно ответить быстро, если только он не обсуждается в метафизическом обществе с применением признанных методов оценки исторической очевидности. Вопрос об Уатте и паровом двигателе мог бы быть урегулирован тем же способом. Но какой-нибудь глубокомысленный философ заметил бы, что неизменная структура физического мира и строение человеческого разума лишь требовали создания парового двигателя раньше или позже согласно исторической предопределенности постепенного открытия.

Не утруждая себя формированием позиции, признаем, что в этом случае Уатт может выступить в роли отчасти изобретателя и отчасти открывателя. Вполне допустимо даже найти какой-то смысл в утверждении, что сам паровой двигатель ожидал своего открытия за много лет до того, как возникла Солнечная система. Уатт в этом случае оказался бы только наблюдателем уже существующего.

Вопрос о числах — были ли они открыты или придуманы — нельзя представить способом, приемлемым в случае с вопросом об Америке. Какой ответ мы предпочтем, по большей части определяется на уровне наших эмоций. Ясно, что на вопрос нельзя дать ответ никаким объективным или документарным исследованием, но все-таки он явно не лишен смысла. В этом плане он напоминает несколько других коренных вопросов, касающихся отношения человека к вселенной, над которыми бьются многие века философы, теологи и ученые. Те, кто заявит, что числа были открыты, может согласиться, что человек — лучшее творение Бога. А те, кто склоняется к мнению о человеческом участии в происхождении чисел, скорее склонен категорично утверждать, что человек, без всякого сомнения, сам создал своих богов в собственном воображении."

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Эрик Т. Белл «Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней», Москва, 2014 г.

Чарльз Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи», Москва, 2014 г.

Микель Альберти «Путешествие вокруг света. Математическая планета. Т. 40: Этноматематика», 2014 г.

Jan Gullberg «Mathematics from the birth of number»

George Ifrah «The Universal history of numbers», 2000 г.

К. Леви-Стросс «Первобытное мышление», Москва, 1994 г.

Найдыш В. М. «Концепции современного естествознания». М., 2008

Топоров В. Н. Одноимёная статья в MNME С пункта № 8 по № 21 материал взят из базы интернет-портала «Энциклопедия геральдики и символики» http://www.symbolarium.ru/

Толстая С. М. Одноимёная статья в SMES

Эккартсгаузен К., Наука чисел, ч. 2, СПБ, 1815 < MNME

Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, пер. с голл., М., 1959 < MNME

Миллер Дж. А., Магическое число семь плюс или минус два. О некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию, в сб.: Инженерная психология, пер. с англ., М., 1964 < MNME

Иоселева М. Я., Происхождение магических чисел, в сб.: Страны и народы Востока, в. 4, М., 1965 < MNME

Нойгебауер О., Точные науки в древности, пер. с англ., М., 1968 < MNME

Пиаже Ж., Генезис числа у ребенка, в его кн.: Избранные психологические труды, пер. с франц., М., 1969 < MNME

Сыркин А. Я., Числовые комплексы в ранних Упанишадах, в кн.: Труды по знаковым системам, т. 4, Тарту, 1969 < MNME

Сыркин А. Я., Топоров В. Н., О триаде и тетраде, в кн.: Летняя школа по вторичным моделирующим системам. Тезисы [докладов], 3, Тарту, 1968 < MNME

Фролов Б. А., Представление о числе 7 у народов Сибири и Дальнего Востока, в кн.: Бронзовый и железный век Сибири, Новосиб., 1974 < MNME

его же, Числа в графике палеолита, Новосиб., 1974 < MNME

Иванов В. В., Чет и нечет. Асимметрия мозга и знаковых систем, М., 1978 < MNME

Топоров В. Н., О числовых моделях в архаичных текстах, в кн.: Структура текста, М., 1980 < MNME, SMES

ПРИЛОЖЕНИЕ I

«…Некоторые животные создают настоящие архитектурные шедевры. Пчелы, пауки, птицы и навозные жуки способны создавать шестиугольные соты, правильные геометрические узоры или шары практически идеальной формы. Если понаблюдать за ними, то можно посчитать, что эти соты, паутина, гнезда и навозные шарики тоже представляют собой воплощение математических идей. Однако между животными и человеком существует принципиальное различие: животных нельзя расспросить, следовательно, мы можем лишь выдвигать гипотезы, описывающие их поведение."[ М. Альберти «Путешествие вокруг света. Математическая планета. Т. 40: Этноматематика», 2014 г., С. 151]

«…Для оценки способностей муравьев-разведчиков использовалось так называемое бинарное дерево, разработанное в свое время Жанной Резниковой и специалистом по теории информации Борисом Рябко. Это такой лабиринт, в котором муравью нужно идти по ветвящимся дорожкам-веточкам, чтобы добраться до ватки, смоченной сиропом. После этого он должен вернуться и сообщить муравьям-фуражирам, где находится пища. Допустим, для нахождения цели надо повернуть налево, направо, направо, налево и еще раз направо. Эту последовательность поворотов муравей-разведчик должен запомнить и передать муравьям-фуражирам (а чтобы они не использовали пахучий след, лабиринт каждый раз заменяется новым).

Эксперименты с муравьями-разведчиками Резникова и Рябко проводили много лет, их итоговая статья опубликована в 2011 году в журнале Behaviour. Некоторые выводы можно считать сенсационными.

Во-первых, муравьи умеют считать как минимум в пределах трех десятков. Во-вторых, они используют некую систему исчисления, напоминающую наши римские цифры. В-третьих, они умеют складывать и вычитать. В-четвертых, они архивируют информацию. И это всё с мозгом в треть миллиграмма!

Ученые фиксировали время, которое уходит на передачу информации о нужной веточке. В базовом варианте всё было примерно так, как в примитивных человеческих языках («палец, палец, палец… ракушка, ракушка, ракушка.») — чем дальше нужная веточка от входа, тем больше времени уходит на сообщение о ней.

Но при изменении схемы опыта, когда на «специальную» ветку (скажем, десятую) кормушку помещали намного чаще, чем на любую другую, то оказалось, что на передачу числа «одиннадцать» времени уходит столько же, сколько на обозначение «десять» плюс еще небольшой отрезок времени. И примерно столько же на число «девять». Это примерно тоже самое, как запись чисел X, XI и IX.

— Мы можем относительно уверенно говорить, что муравьи умеют складывать и вычитать, правда, в довольно скромных пределах, — считает Резникова…"[ Опубликовано в журнале «Кот Шрёдингера» № 3 (05) за март 2015 г.]

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). Статья взята с интернет-портала elementary.ru

http://elementy.ru/posters/fractals

Плакат входит в серию образовательных плакатов, выпускаемых Фондом Дмитрия Зимина «Династия» и проектом «Элементы» для школ России.

Это некоммерческий проект — к сожалению, приобрести плакаты нельзя. Однако желающие могут распечатать PDF плаката для использования в образовательных и других некоммерческих целях.

Автор плаката — Евгений Епифанов.

Дизайн и иллюстрации — Константин Еременко.

Flash-версия, программирование — Александр Кук.

Работа над плакатом велась в 2010;2011 годах.

Размещено на