Метод отклонений от тренда

Как уже указывалось, метод отклонений от тренда является более точным методом исключения тенденции из данных временного ряда. Это связано не только с тем, что тенденция выражается в виде уравнения тренда любой математической функции. Рассматриваемые для модели регрессии ряды динамики могут иметь разные тенденции. Например, ряд xt описывается гиперболой, а ряд yt — параболой. В этом случае метод отклонений от тренда позволяет исключить из каждого временного ряда соответствующую ему тенденцию.

Алгоритм построения регрессии при применении метода отклонений следующий.

• 1. Для каждого временного ряда определяются уравнение тренда и теоретические значения
• 2. По каждому из рядов находятся остаточные величины
• 3. Строится модель регрессии

(6.6).

В линейной регрессии параметр b показывает как в среднем изменяется величина случайных отклонений по ряду с изменением случайных колебаний ряда на единицу. Если при этом оба ряда характеризуются линейной тенденцией, то параметр , так как . Тогда модель линейной регрессии примет вид и параметр b будет выступать коэффициентом пропорциональности. Его величина будет показывать, во сколько раз случайные отклонения по ряду в среднем выше (ниже) случайных отклонений по ряду .

Для прогноза конкретных значений у можно перейти к уравнению, связывающему между собой уровни временных рядов. С этой целью в модель регрессии подставим значения dy и dx, раскрыв их содержание, т. е. -и

Тогда имеем, например, для линейной регрессии т. е. , или

Данную модель можно использовать для прогноза.

(6.7).

где - прогнозное значение у; -прогнозу по тренду при - прогнозное значение х, найденное либо по модели регрессии, либо как - прогноз х исходя из уравнения тренда при

Результат прогноза зависит от качества прогноза фактора X и от качества трендовых моделей, используемых в прогнозировании.

Пример 6.2.

По данным за 10 мес. рассматривается зависимость прибыли предприятия ( — тыс. руб.) от затрат на рекламу ( — тыс. руб.), табл. 6.2.

Таблица 6.2. Расчет остаточных величин для построения модели регрессии

Период t
		259,7.	— 9,7.		15,1.	— 1,1.
		294,1.	10,9.
		316,3.	— 2,3.			— 2.
		333,1.	4,9.		21,5.	1,5.
		346,7.	7,3.		22,8.	1,2.
		358,2.	4,8.		23,9.	1,1.
		368,3.	6,7.		24,8.	2,2.
		377,2.	— 1,2.		25,7.	— 1,7.
		385,3.	— 8,3.		26,5.	— 1,5.
		392,6.	— 12,6.		27,2.	— 1,2.

Каждый из рядов имеет повышающуюся тенденцию, которая достаточно хорошо описывается степенной функцией. Для ряда прибыли уравнение тренда составило ; , а для ряда затрат на рекламу -.

; . Автокорреляция в остатках отсутствует: для ряда и для ряда

Если коррелировать исходные уровни рядов динамики и , то составит 0,925, а уравнение регрессии запишется в виде Однако ввиду нали чия в каждом из рядов четкой тенденции можно предположить, что результаты регрессионно-корреляционого анализа завышены. Поэтому используем метод устранения тенденции, найдя отклонения от тренда и (см. табл. 6.2).

Применяя к радам отклонений dy и dx МНК, получим уравнение линейной регрессии (при компьютерной обработке в расчетах использованы dy и с точностью до 0,1). Полученное уравнение регрессии показывает, что при устранении из исходных уровней временных рядов тенденции имеет место связь между остаточными величинами. Поэтому данную модель можно использовать в прогнозировании. На это указывает и отсутствие в модели автокорреляции остатков. Коэффициент автокорреляции равен -0Д372, а критерии Дарбина — Уотсона равен 1,679. Сравнивая с табличными значениями величину (4 -DW) при, а = 0,05 и числе степеней свободы, равном 10, увидим, что фактическое значение критерия превышает верхнюю границу 1,32.

Для прогноза на 11-й мес. воспользуемся уравнением вида.

Тогда составит

Рассмотренный метод построения модели регрессии по временным рядам был основным методом в первой половине XX в. Дальнейшее его развитие привело к моделям, в которых устранение тенденции производится путем включения в модель регрессии фактора времени.