Прогнозирование спроса на минерально-сырьевые ресурсы на базе имитационных моделей

Имитационные модели, в отличие от экономико-статистических, рассмотренных выше, позволяют учесть влияние и взаимодействие множества факторов и исследовать прогнозную динамику потребления или цен на природные ресурсы. Один из вариантов проведения имитационных расчетов — использование ориентированных графов (орграфов). Основы теории графов и некоторые предложения достаточно хорошо изложены в специальной литературе. Важнейшей особенностью такого рода имитационных моделей является отображение в формируемых моделях экономических систем обратных связей, которые присутствуют в любой сложной системе. Благодаря наличию обратных связей в моделях результаты моделирования (анализа и прогноза) оказываются гораздо более достоверными, чем при использовании математического аппарата, который эти обратные связи отобразить не способны. Наглядность и простота реализации аппарата решения многокомпонентных задач делают их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими познаниями в области прикладной математики.

Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга задает направление от одной вершины к другой. Орграф из четырех вершин показан на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Пример ориентированного графа.

Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Дуги молено обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведут два пути: первый путь {(1, 2)} и второй путь {(1, 3); (3, 2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через который он проходит. Например, второй путь можно записать следующим образом: {1, 3, 2}.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. В орграфе, представленном на рис. 7.3, нет контура. Орграф с контуром, проходящим через вершины 2, 4 и 3, приведен на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Пример орграфа с контуром Вершины, в которые не заходят дуги, называются начальными. Вершины, из которых не выходит ни одной дуги, называются конечными.

Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно равен единице, если есть дуга, идущая от вершины i к вершине j. Если такой дуги нет, то элемент (у) матрицы смежности равен нулю. При решении многокомпонентных задач используются орграфы, в которых любые вершины r и j может непосредственно соединять только одна дуга. Матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 7.4, показана в табл. 7.2.

Таблица 7.2. Матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 7.4.

Исследование особенностей орграфа следует начать с выявления начальных и конечных вершин графа. Для этого достаточно просуммировать элементы матрицы смежности вершин орграфа по строкам и по столбцам. С помощью этой операции будут найдены полустепени исходов и полустепени заходов каждой вершины. Наличие ненулевых полустепеней позволит определить начальные и конечные вершины. Матрица смежностей с расчетом полустепеней исходов и полустепеней заходов для графа, приведенного на рис. 7.5, приведена в табл. 7.3.

Рис. 7.5. Пример орграфа.

Таблица 7.3. Матрица смежности вершин орграфа и определение его начальных и конечных вершин.

Поскольку в приведенной матрице нет ни одной вершины, у которой полустепень захода была бы равна нулю, то в орграфе нет ни одной начальной вершины, т. е. вершины, в которую не заходит ни одна дуга. Полустепень захода равна нулю для вершины Е2, следовательно, данная вершина является конечной. Таким образом, в рассматриваемом орграфе нет начальных вершин и есть одна конечная вершина Е2-

Следующая задача состоит в установлении достижимости вершин орграфа из определенной вершины. Эта задача решается легко, если граф невелик и его можно проанализировать визуально. Однако при увеличении числа вершин и дуг данная задача требует аналитического решения. На основе матрицы смежности А вершин орграфа нужно построить максимальную матрицу смежности или матрицу достижимости. Максимальная матрица смежности (матрица достижимости) D состоит из нулей и единиц, причем единица, стоящая на месте (г,;), показывает, что из вершины i можно перейти к вершине; по какому-либо пути. Для получения матрицы D можно воспользоваться следующим алгоритмом.