Особые точки кривых

Точки кривых разделяются на обыкновенные (в соответствии с рисунком 3-а) и особые (в соответствии с рисунком 3-б, в, г, д, е). На рисунке 3-б точка Nточка перегиба, на рисунке 3-в точка Р — точка возврата первого рода, на рисунке 3-г точкаQточка возврата 2-го рода, на рисунке 3-д точка Rузловая точка, на рисунке 3-е точка Т — точка излома.

Для характеристики точек плоской кривой необходимо наличие одной проекции кривой, а, чтобы судить о характере точек пространственной кривой, необходимо наличие двух проекций этой кривой. [1].

Рисунок 3- Виды точек кривых.

Кривизна прямой в любой её точке равна нулю.

Кривизна произвольной кривой линии в различных точках различна, в отдельных точках она может быть равна нулю. Такие точки называются точками спрямления.

Кривизна в каждой из точек плоской кривой, а определяется с помощью соприкасающейся в этой точке окружности (в соответствии с рисунком 4).

Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны в данной точке называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.

Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой в данной точке, а радиус такой окружности — радиусом кривизны кривой линии в данной точке.

Множество центров кривизны кривой является кривая линияеё называют эволютой данной кривой, а кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Рисунок 4- кривизна кривой Секущая, касательная, нормаль к кривой Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m).

Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к t и проходящая через точку касания А.

Касательной к кривой линии называется прямая, представляющая собой предельное положение секущей, прямая t. (в соответствии с рисунком.

Рисунок 5 — Изображение секущей, нормали и касательной к кривой линии.

Различают несколько типов касательных к кривой:

• — параллельная заданному направлению (в соответствии с рисунком 6-а)
• — из заданной точки, не принадлежащей этой кривой (в соответствии с рисунком 6-б)
• — в точке кривой (в соответствии с рисунком 6-в)
• а)б)в)

Рисунок 6 — Виды касательной Для построения касательной, проведенной из точки вне кривой (в соответствии с рисунком 7), проведем из точки, А пучок секущих, пересекающих данную кривую mв точках 1,2,3,4… .Через середины полученных хорд проводим кривую ошибок ?, которая пересекаясь с данной кривойm, определяет точку касания К. Через данную точку касания К и данную точку, А проводим искомую касательную.

Чтобы построить касательную через точку К, взятую на кривой m, необходимо провести вспомогательную прямую? расположенную приблизительно перпендикулярно к будущей касательной (в соответствии с рисунком 8). Затем через точку касания К проводим пучок секущих, пересекающих вспомогательную прямую? в точках 1,2,3,4… От этих точек откладываем соответствующие хорды. Через полученные на секущих точки: 1', 2', 3'… проводим кривую ошибок ?', которая пересекаясь со вспомогательной кривой ?, определяет вторую точку А, искомой касательной.

Рисунок 7 — построение касательной все кривой линии.

Рисунок 8 — Построение касательной через точку, взятую на кривой.

Определение длины отрезка кривой Определение длины отрезка кривой находят приближенно. Для этого кривую линию заменяем на ломаную, вписанную в эту кривую с последующим определением натуральной величины каждого звена ломаной линии, тогда длина отрезка кривой линии определяется приближенно и равна сумме натуральных величин звеньев этой ломаной линии. Все отрезки звеньев ломаной линии размещаем параллельно П2и на П2определяем натуральную величину отрезка кривой линии (в соответствии с рисунком 9). [2].

Рисунок 9-Опредение натуральной величины отрезка кривой линии.