Неприводимость некоторых триномов

Воспользовавшись результатами, полученными в предыдущем параграфе, несложно выяснить, какие из триномов вида неприводимы.

Теорема 4.3. Пусть и. Тогда многчлен, где и, неприводим, за исключением трех случаев, в которых (mod 3):

• а) n₁ и m₁ нечетны и ;
• б) п₁ четно и ;

в)m₁ четно и .

Во всех этих случаях g (x) является произведением некоторого неприводимого многочлена на .

Доказательство. Случай, когда n= 2m и, очевиден. Поэтому будем считать, что-либо n= 2m и, либо п > 2m. В таком случае к многочлену можно применить теоремы 8.1 и 8.2. поскольку 2n> п + m > m и если, т. е. n = 2m, то. В обозначениях теоремы 8.2 имеем:

и .Таким образом, d₂ = 1, если (mod 3) и d₂ = 3, если (mod 3).

Согласно теореме 8.2 корни из единицы, являющиеся одновременно корнями многочлена g, удовлетворяют одному из уравнений, ,. Первое уравнение имеет вид. а третье. Если, то, а если, то. Остается рассмотреть случай, когда d₂ = 3. В лемме 8.2 случай (I) приводит к соотношениям и, а случай (III) приводит к соотношениям и. В обоих случаях получаем, поэтому. Случай (II) приводит к соотношениям, , т. е.. Таким образом, и, где (n₁, m₁) = 1 и (mod 3). Из условия (n₁, m₁) = 1 следует, что для некоторых целых чисел и и v. Поэтому .

Если числа n₁ и m₁ нечетны, то, поэтому .

Если число n₁ четно, то .

Если число m₁ четно, то .

Согласно признаку Перрона (теорема 7.2 на с. 68) трином, где целое число, неприводим. При а = 2 этот трином неприводим, если у него пот корней, равных. Все эти утверждения верны и для тринома .

Неприводимость триномов исследована в [Sc1].

Теорема 4.4. Пусть многочлен, где n > т и рпростое число, приводим. Тогда .

Теорема 4. 5. а) Многочлен раскладывается в произведение неприводимых квадратного и кубического многочленов тогда и только тогда, когда или .

б) Многочлен раскладывается в произведение неприводимых квадратного и кубического многочленов тогда и только тогда, когда .