Простейшие модели. 
Эконометрика

Одним из подходов к преодолению описанных трудностей является переход к так называемым фиктивным переменным. Для этого введем ряд определений.

Уровнями качественного фактора называются все его возможные значения. Для простоты дальнейшего изложения каждому из уровней поставим в соответствие целое число.

Пример. Фактор «цвет автомобиля» имеет четыре уровня:

уровень 1: белый;

уровень 2: синий;

уровень 3: красный;

уровень 4: черный.

Каждому уровню фактора поставим в соответствие фиктивную переменную .г", принимающую только два значения: 1, если значение фактора в г-м наблюдении равно у-му уровню, или 0, если значение фактора в г'-м наблюдении не равно j-му уровню. Такие переменные часто называют переменными-индикаторами.

Для рассматриваемого примера регрессионное уравнение будет включать в себя фиктивные переменные и примет следующий вид:

Допустим, имеется информация о восьми автомобилях, которая представлена в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Информация о восьми автомобилях.

Тогда матрица X для уравнения (9.2) будет иметь вид.

Нетрудно заметить, что в матрице (9.3) в любом наблюдении только одна из фиктивных переменныхх., х%, х^, x_jA не равна нулю. В связи с этим модели с качественными факторами принято представлять в более компактной форме — в видс модели дисперсионного анализа |9,27,1041. Модель дисперсионного анализа для уравнения (9.2) имеет вид.

где р, сс_у, г = 1, 2, 3, 4 — неизвестные параметры, подлежащие оцениванию; y_jk — значение зависимой переменной в к-м наблюдении при i-м уровне фактора, k = 1, 2; z_ik — случайная ошибка в к-м наблюдении при i-м уровне фактора.

Между неизвестными параметрами моделей (9.2) и (9.4) устанавливаются следующие соответствия:

При этом параметр р называется генеральным средним, а, а — эффектами г-го уровня входного фактора.

Если дополнительно предположить, что влияние всех эффектов взаимно погашается, т. е.

то генеральное среднее может интерпретироваться как среднее значение зависимой переменной при исключении влияния входных факторов. Значение эффекта /-го уровня в этом случае будет означать среднее отклонение зависимой переменной от р, вызванное влиянием г-го уровня фактора.

Па практике ситуации, в которых на отклик воздействует только один фактор, встречаются достаточно редко, поэтому в дисперсионном анализе рассматриваются различные обобщения модели (9.4). Например, при наличии двух факторов, влияющих па отклик, модель дисперсионного анализа принимает вид.

где р — генеральное среднее; а — эффект /-го уровня первого фактора, / = 1,…, /; р. — эффект у-го уровня второго фактора, j = 1,…,/; / — число уровней первого фактора;./ — число уровней второго фактора; y_jJk — значение зависимой переменной в к-м наблюдении при i-м уровне первого фактора и/-м уровне второго фактора, k= 1,…, /С; /С — количество наблюдений при i-м уровне первого фактора и j-м уровне второго фактора; z_jjk — случайная ошибка, соответствующая наблюдению y_jjk.

Добавление в модель второго фактора приводит к увеличению количества столбцов матрицы X. Для модели (9.6), в которой первый фактор — это цвет, второй — марка автомобиля (см. табл. 9.1), матрица X имеет вид.

Кроме того, при наличии в модели более одного входного фактора возможны ситуации, когда для описания влияния факторов на отклик недостаточно только эффектов уровней факторов, как в модели (9.6), так как факторы могут оказывать совместное влияние или взаимодействовать. Для учета таких воздействий в модель вводят эффект взаимодействия

где (ap)_f. — эффект взаимодействия г-го уровня первого фактора и j-то уровня второго фактора.

Количество эффектов взаимодействия соответствует количеству различных комбинаций уровней взаимодействующих факторов и равно IJ.

С точки зрения фиктивных переменных взаимодействие факторов следует рассматривать как дополнительный качественный фактор, что, естественно, сказывается на размерности матрицы X. Для модели (9.8) она имеет следующий вид:

Введение

в модель эффектов взаимодействий существенно увеличивает число неизвестных параметров, и имеющегося в распоряжении исследователя числа наблюдений может оказаться недостаточно для проведения идентификации. Как правило, для уверенного оценивания эффектов взаимодействий необходимо иметь хотя бы по два наблюдения для каждой комбинации уровней входных факторов [5].

При увеличении количества факторов до трех и более модели дисперсионного анализа строятся аналогичным образом. Подробнее этот вопрос освещен в работах [9, 27, 47, 68, 104].