Кинематика твердого тела

Скорость точек твердого тела

Как уже отмечалось, движущийся объект моделируется точкой, если его размеры много меньше характерных масштабов перемещений. Если это не так, понятие скорость объекта теряет смысл, так как различные части объекта могут иметь разные скорости. В этом случае полезной идеализацией является понятие твердого тела.

Смысл этого понятия в различных разделах физики варьируется. С точки зрения кинематики твердое тело — это совокупность точек, заполняющих конечный объем, расстояния между которыми не меняются с течением времени (хотя сами точки движутся).

Учитывая результаты предыдущего раздела, можно утверждать, что найдется такая система отсчета К', в которой произвольно движущееся твердое тело неподвижно. Начало координат этой системы можно совместить с некоторой точкой О' движущегося тела, а координатные оси жестко связать с телом. Радиус-вектор г' определяет некоторую точку тела. Ее радиус-вектор в «неподвижной» системе К равен г = R + F' (см. рис. 1.7). Скорость этой точки в системе К дается формулой (1.33):

Здесь V — скорость точки О', со — угловая скорость вращения тела в данный момент времени (учтено, что v' = 0).

Задача 1.23. Твердый диск движется в плоскости хОу (рис. 1.8).

Скорость центра диска постоянна и равна V = Vi, этот центр лежит на прямой у = у₀, Z — 0. Диск вращается с постоянной угловой скоростью м = -<�вк. Найти траекторию и скорость точки диска, задаваемой радиусом-вектором.

Рис. 1.8.

Решение. Имеем:? = Д + Я',.

R = Xi +lfi — радиус-вектор центра диска. Пусть ср — угол между вектором Г и осью у. По условию задачи ср = ф₀ + сot, X = X₀+Vt, Y = y₀. Для компонент вектора г получим.

Это и есть уравнения траектории в параметрическом виде. Постоянные Х₀, ср₀ определяют начальное положение диска и рассматриваемой точки на нем. Пусть г₀ — радиус диска, у₀ = г₀, = 0, <�р₀ = п

(диск касается оси х, рассматриваемая точка на ободе диска и при / = 0 находится в начале координат). В этом случае траектория будет: x (t) — Vt — r₀sinco/, y{t) = r₀(l — coso)/) — Скорость точки можно найти, дифференцируя эти выражения, либо по формуле (1.37). В частности, при <�р = я (2п + 1) (точка в нижнем положении).

v = /'(К-оог₀). Видим, что при со = V/r₀ эта скорость равна нулю (диск катится по оси х без проскальзывания). Траектория точки на катящемся диске называется циклоидой.

Задача 1.24. Доказать, что вектор разности скоростей любых двух точек твердого тела ортогонален отрезку, соединяющему эти точки.

Решение. Пусть А и В — две точки твердого тела. Согласно формуле (1.37), скорости этих точек будут: v_A -V + A, v_e = V + со х rj. Отсюда v_A — v_B = й х (r'_A - r'_s). Это доказывает приведенное утверждение (вектор ?'_А — г'_в соединяет точки А и В). Этот результат означает, в частности, что проекции векторов скоростей любых двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны.

Выводы;

Скорость некоторой точки А твердого тела определяется по формуле.

Здесь V_n — скорость какой-либо точки О тела; г_0А — вектор, соединяющий точки О и А; со — угловая скорость вращения тела. Из формулы видно, что если тело не вращается, скорости всех точек одинаковы. Легко видеть, что скорости точек, лежащих на прямой, проходящей через точку А параллельно вектору ю, совпадают со скоростью точки А.