Метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов при множественном регрессионном анализе многофакторных систем

Метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов при множественном регрессионном анализе многофакторных систем

В статье изложен метод построения математических моделей обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами, полученной методом корреляционно-регрессионного анализа с применением центрально-композиционного планирования. Коэффициенты уравнений регрессии найдены по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов с проверкой на статистическую адекватность. Произведена проверка математической модели на физическую адекватность с помощью метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.

Исследование технических систем как объектов регулирования возможно проводить тремя методами: активного экспериментального исследования, эмпирического исследования и посредством имитационных экспериментальных исследований [1]. В последнем случае используются известные эмпирические выражения для получения детерминированной части математической модели. Наиболее перспективным и экономически выгодным является получение экспериментальных данных с использованием методов планирования эксперимента [2].

В случае планирования экспериментальных исследований производится анализ исследуемой функции в зависимости от изменения внешних факторов. Для анализа синхронного генератора с независимыми фазами исследуемой функцией является ток нагрузки I_н, внешними факторами являются: частота вращения вала генератора, n, сопротивление нагрузки, R_н, индуктивность нагрузки, L_н, ток возбуждения цепи якоря, I_в [3].

Поэтому математическую модель двигателя в статическом режиме работы следует искать в виде зависимости I_н=f (n, R_н, L_н, I_в).

После получения экспериментальных данных необходимо провести их анализ, для получения уравнения регрессии. Для двигателя постоянного тока синтез идентификационной модели в статическом режиме работы осуществлялся с помощью программы множественного нелинейного регрессионного анализа, которая позволяет определить коэффициенты.

однако, метод наименьших квадратов в случае большого числа факторов, существенного разброса диапазонов изменения внешних факторов является малоэффективным при использовании центрально-композиционного ротабельного планирования эксперимента. Применение же линейных планов или планов более высокого порядка не приводит к повышению точности моделирования. Проведя анализ методов получения [4], выявили ряд конечных выражений метода наименьших квадратов, для получения коэффициентов уравнения регрессии, которые являются константами.

Взамен метода наименьших квадратов, был разработан метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов, блок-схема которого представлена на рис. 1. Суть метода заключается в смещении коэффициентов, полученных по конечным выражениям метода наименьших квадратов при решении системы нормальных уравнений (2), считающихся константами [4].

Рис. 1. Блок-схема метода экстремально-корреляционного смещения коэффициентов

После начала смещений определяется адекватность модели по программе, блок-схема которой представлена на рис. 2. Изменение критерия Фишера при смещении какого-либо из коэффициентов имеет экстремальный характер.

Программа проверки модели на адекватность также включает в себя вычисление коэффициентов уравнения квадратичной регрессии, вычисление дисперсий воспроизводимости и адекватности. Блок-схема метода нахождения коэффициентов уравнения регрессии по конечным выражениям метода наименьших квадратов [4] представлена на рис. 3. Проверка дисперсий на однородность производится по G — критерию Кохрена [1,4], проверка модели на адекватность осуществляется по F — критерию Фишера [1,2,4], однако в данном случае не применяется t-критерий Стьюдента. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии осуществляется по специально разработанному для этих целей t — критерию Радона-Никодима, который предназначен для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии, при исследовании технических систем как объектов регулирования.

Рис. 2. Блок-схема проверки модели на адекватность

Рис. 3. Блок-схема метода нахождения коэффициентов уравнения регрессии

В результате проведения экспериментальных исследований, статистической обработки данных и регрессионного анализа была получена идентификационная модель обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами в статическом режиме работы, коэффициенты которого были получены по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов.

Модель генератора представляет собой функцию тока нагрузки, от различных внешних и внутренних факторов, получена и имеет вид:

Проверка модели осуществлялась с применением критериев Кохрена, Стьюдента и Фишера.

С точки зрения законов математической статистики полученные математические модели абсолютно адекватны и описывают исследуемые процессы с достаточно высокой точностью [1,2,4]. Однако, проверить изменение исследуемой функции во всех диапазонах изменения внешних факторов при использовании центрального композиционного ротабельного планирования не представляется возможным, поскольку исследуется изменение исследуемой функции при значении фактора в звездном плече, когда значения остальных факторов остаются в центре плана. Исследование на физическую адекватность математической модели обобщенного синхронного генератора можно провести с помощью метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.

На рис. 4 представлено пространство точек математической модели полученной по методу наименьших квадратов, а на рис. 5 представлено пространство точек математической модели полученной по методу экстремально-корреляционному смещению коэффициентов.

Рис. 4. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу наименьших квадратов

Рис. 5. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов.

Пространственное проецирование заключается в расчете значений исследуемой функции над мнимой факторной плоскостью в точках, во всех диапазонах изменения факторов. Проведя анализ исследуемой функции по методу факторно-плоскостного проецирования можно сделать вывод, что математическая модель, адекватная исследуемым процессам с точки зрения математической статистики, не совсем адекватна с физической точки зрения, поскольку 18,6% пространственно распределенных точек имеет отрицательное значение, что свидетельствует о двигательном режиме работы генератора. Однако, в случае отсутствия применения метода экстремально-корреляционного смещения коэффициентов количество точек в отрицательной области соответствует значительно меньше чем при методе наименьших квадратов, где количество отрицательных точек соответствует 81%.

Таким образом, разработанный метод экстремально-корреляционного смещения доказывает не только применимость, но и лучшее применение в моделировании сложных многофакторных технических систем. Проверку на адекватность которых лучше осуществлять при помощи метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.

• 1. Чижков Ю. П., Акимов С. В. Электрооборудование автомобилей. Учебник для ВУЗов.- М.:Издательство «За рулем», 1999.-384 с., ил.
• 2. Барабащук В. И.. Планирование эксперимента в технике. — К.: Техника, 1984. — 200с. с ил
• 3. А. И. Вольдек. Электрические машины. Издание второе перераб. и доп. — Издательство «Энергия» Ленинградское отделение, 1974.-830 с. с ил.
• 4. Адлер Ю. П., Маркова Е. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.:Наука, 1971. — 283с.