Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств

Решение Гиппократа Хиосского при помощи «вставок»

Одним из первых древнегреческих геометров, сделавшим значительный шаг в решении задачи об удвоении куба, был Гиппократ Хиосский (5 в. До н.э.). Решение стереометрической задачи, каковой является делосская задача об удвоении куба. Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в нахождении двух средних пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого, т. е. к нахождению таких двух отрезков xи y. Поскольку a, x, y, 2a —геометрическая прогрессия, то a/x=x/y=y2a. Откуда.

и. Следовательно,, или. Выходит, что xи есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром aв два раза. Однако, как и следовало ожидать, Гиппократу не удалось отыскать ребро удвоенного куба xс помощью геометрического построения, прибегая только к циркулю и линейке, но ему вполне удалось, как мы убедились выше, стереометрическую задачу свести к плоской задаче на отыскание двух «вставок» xи y между aи 2а, причем a-ребро данного куба, а x— искомое ребро удвоенного куба.

Решение Платона

Рассмотрим решение делосской задачи, приписываемое Платону. Это решение основано на следующей лемме:

Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:

Доказательство: Пусть ABCDпрямоугольная трапеция, у которой и. В этом случае докажем, что .

Из того, что и прямоугольные, а OBи OA соответственно их высоты, получаем:

(1).

и.

(2).

Из (1) и (2), как следствие, получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Решение Буонфальче (приближенное решение)

Буонфальче дает одно из самых простых приближенных решений задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки (точного решения этой задачи при помощи циркуля и линейки, как известно, дать нельзя).

Пусть дан куб с ребром aи требуется найти ребро x удвоенного куба. Решение выполним приближенно при помощи только циркуля и линейки. Строим прямоугольный равнобедренный треугольник ABCс боковой стороной, равной a. Сторону AC=делим на 6 равных частей и находим на катете BCот точки Cк точке В точкуD с таким расчетом, чтобы выполнялось равенство.

.

Соединив Aс D, получим отрезок AD, который для кратности обозначим через x. Теперь подсчитаем, чему равен x.

По теореме Пифагора будем иметь:

Итак,.

где.

Следовательно, ребро удвоенного куба приблизительно равно ,.

Если ребро данного куба равно a. Таким образом, если данный куб имеет ребро а, равное отрезкуAB, то x— искомое ребро удвоенного куба — будет приблизительно равняться отрезку AD, который отличается от истинного значения искомого ребра меньше, ем на .