Задача оптимизации. 
Уравнение Виннера — Хопфа

Главная задача оптимизации заключается в том, чтобы найти такую передаточную функцию, которая обеспечила бы минимум функционала качества и которая имела бы полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного.

Интегралы вида (1.3.1) и (1.3.2) вместе с аналогичным интегралом для множества с недостаточным числом звеньев коррекции перепишутся в виде [1]:

.

где оптимальная передаточная функция, т. е. доставляет оптимум величине.

Решить задачу поиска оптимальной передаточной функции возможно при помощи уравнения Виннера — Хопфа:

(1.4.1).

где имеют полюсы только в левой и только правой полуплоскости комплексного переменного соответственно.

Решение уравнения Виннера — Хопфа

Приведем алгоритм решения уравнения (1.4.1) [1].

Представим функцию в виде произведения двух функций:

где функция, которая имеет все нули и полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного, а в правой.

Преобразуем уравнение (1.4.1), заменив на произведение двух функций и поделив на, к виду :

(1.4.2).

Далее, необходимо представить дробь в виде слагаемых:

(1.4.3).

где содержит в себе все простые дроби с полюсами в левой части плоскости комплексного переменного, в правой, целая часть функции. Получается,.

(1.4.4).

Функция не имеет целой части и степень числителя этой функции меньше степени знаменателя [1]. Если, то ее должны содержать либо, либо, либо обе функции.

Далее, из (1.4.4) получаются два уравнения:

.

.

Имеем,.

или.

(1.4.5).

т.е. дробь с полюсами только из левой полуплоскости комплексного переменного с добавлением целой части. Причем степень числителя этой дробно-рациональной функции меньше степень знаменателя.

Получили, что оптимальное значение передаточной функции вычисляется по формуле (1.4.5). Это выражение и есть решение уравнения Виннера — Хопфа.

Причем, решение уравнения (1.4.1) не всегда может существовать. Т. е. не найдется такой величины, которая обеспечивала бы конечность и оптимальность функционала качества. Для того, чтобы проверить наличие решения, исходные данные должны удовлетворять неравенству:

.

Этот интеграл сходится, если степень числителя меньше степени знаменателя и отсутствуют полюсы на мнимой оси. Данное свойство не обеспечивает конечность функционала, а лишь проверяет совместимость исходных данных.