Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью

Исследование устойчивости

Исследуем устойчивость разностной схемы (5.5) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f (tn, Xj), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на ⁿe‘^aj, и выражаем величину, обратную к:

Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы (5.5) согласно условию (5.7) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора перехода, были расположены вне или на границе круга ради;

Рис. 5.11. Блок-схема решения разностной схемы (5.4).

усом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.8).

Рассмотрим только случай v > 0 (чтобы сравнить с соответствующей явной разностной схемой (5.3), которая при v > 0 обладает условной устойчивостью). Введём следующее обозначение:

Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + г 0) и радиусом г. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении г (рис. 5.9). Таким образом, при положительном значении параметра v неявная разностная схема (5.5) будет абсолютно устойчива.

Рис. 5.12. Разностный шаблон разностной схемы (5.5).