Проверка статистических гипотез

Напомним кратко общую схему постановки задач и принципов их решения в теории проверки статистических гипотез. В случае параметрической модели статистические гипотезы формулируются в терминах параметра, и в общем случае основная (нулевая) гипотеза имеет вид утверждения: при задании соответствующего подмножества, альтернатива же в этом случае имеет вид. При заданном уровне значимости (вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу, когда она верна, или, что-то же, вероятности ошибки первого рода) соответствующий тест имеет вид.

отвергается ,.

где критическое множество выбирается так, чтобы вероятность указанного события при гипотезе не превосходила :

.

Такой тест кратко называют критерием и его качество оценивают величиной его мощности

среди всех критериев с уровнем значимости наилучшим считается такой, для которого мощность максимальна. Если такой критерий существует (тогда он обозначается символом), то он называется оптимальным или равномерно наиболее мощным (сокращённо — р.н.м.).

В основе большинства способов построения оптимальных критериев лежит фундаментальный результат (Ю.Нейман и Э. Пирсон) о существовании наиболее мощного критерия в задаче проверки простой гипотезы: при простой же альтернативе: такой критерий всегда существует и задаётся критическим множеством.

.

Такой же вид имеет оптимальный критерий и при сложных односторонних альтернативах или (здесь — скалярный параметр), если модель обладает свойством монотонности отношения правдоподобия, т. е. когда имеется достаточная статистика и функция в монотонно зависит от. Таким свойством обладают, в частности, экспоненциальные модели, т. е. когда плотность имеет вид и при этом функция строго монотонна (большинство рассматриваемых ниже моделей этим свойством обладают).

Более того, для таких моделей наиболее мощный критерий в задаче (: ,) является одновременно наиболее мощным критерием и в задаче (: ,) при том же уровне значимости (аналогичное утверждение справедливо и для двойственной проблемы проверки гипотезы: против альтернативы).

При проверке простой гипотезы: против двусторонней альтернативы используется приём объединения двух односторонних критических областей соответственно для альтернатив и, т. е. используют критерий.

при .

Одним из наиболее универсальных методов построения критериев проверки сложных параметрических гипотез является метод отношения правдоподобия. Общий вид критерия отношения правдоподобия (кратко — КОП) для проверки гипотезы: таков:

.

где граница выбирается из условия.

.

Во многих случаях такой подход приводит к удовлетворительным решениям. Кроме того, при соответствующих условиях КОП обладает свойством асимптотической оптимальности для больших выборок (т. е. при). В последнем случае для регулярных моделей типичный вид асимптотического варианта КОП таков: