Численная модель турбулентного 3D течения в полости

Рассмотрим трехмерное нестационарное течение проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле в прямоугольной полости. Используя масштабы длины, скорости и времени, запишем уравнение (18) для этого случая в безразмерно форме.

(25).

Здесь мы полагаем все функции зависящими от времени и трех координат:. Сформулируем задачу о течении в области при заданной внешней силе (21) и с условиями прилипания на твердой поверхности:

(26).

Представлены данные моделирования течения в прямоугольной полости с отношением сторон, с числом Рейнольдса и с параметрами. Центр полости находится в точке .

Из приведенных данных следует, что к моменту времени в полости формируется нестационарное вихревое течение, качественная картина которого согласуется с данными [10] и с данными полученными выше по модели (22) — рис. 3. Однако в момент времени основной вихрь начинает разрушаться по всему объему течения. К моменту времени вихрь распадается на множество мелких вихрей.

Рассмотрим конкретный дизайн экспериментальной установки [10], имеем:

.

Предположим, что турбулентная вязкость превосходит молекулярную вязкость в тысячу раз,. Следовательно, масштабы длины, скорости и времени составляют.

.

Отметим, что масштаб скорости практически совпадает с максимальной величиной скорости при значении магнитного числа Тейлора по данным [10]. В этих единицах безразмерная частота и число Рейнольдса составят. Следовательно, частоты колебаний в наших примерах и по данным [10] отличаются в 670.042 раз. Согласно (23) мы должны положить, чтобы согласовать модели (22), (25) и [10] по амплитуде воздействия внешней силы. При этих значениях параметров, как в модели (22), так и в модели (25), формируется устойчивое течение в полном соответствии с данными [10].

Для нахождения неустойчивого течения в модели (25) положим турбулентную вязкость, при сохранении частоты колебаний магнитного поля, тогда имеем .

Отметим, что время развития неустойчивости в безразмерных единицах практически совпадает для двух случаев, хотя параметры частоты различаются почти на три порядка. Этот тип крупномасштабной неустойчивости связан с развитием вторичного течения в форме вихрей, которые буквально взрывают основное течение. Как известно, в аналогичном течении в цилиндре основной тип неустойчивости связан с развитием вихрей Тейлора-Гёртлера [8], однако эти вихри не были обнаружены в течениях металла во вращающемся магнитном поле в прямоугольной полости [10].

Наконец, заметим, что развитые модели турбулентных течений могут быть использованы в моделировании МГД течений в технических приложениях в электрохимии, в металлургии и установках по выращиванию кристаллов [11].