Сила равномерного давления на криволинейную стенку (,)

В этом случае элементарные силы имеют разные направления. Главный вектор системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его проекцию на ось х , проектируем на эту ось векторы (рис.7).

.

где - единичный вектор оси x; - проекция площадки dS на плоскость, нормальную оси х. Искомая величина при.

. (49).

Линия действия силы проходит через центр тяжести площади проекции . Таким образом, величина проекции на направлении оси x силы равномерного давления р на криволинейную поверхность S равна произведению давления и площади проекции S_x этой криволинейной поверхности на плоскость. нормальной оси х. Если такие проекции на три взаимно ортогональные оси пересекаются в одной точке, то система сил может быть сведена только к силе давления, величина которой.

(50).

а направление определяется направляющими косинусами.

;;. (51).

Если составляющие не пересекаются в одной точке, система сводится к силе и моменту.

Сила неравномерного давления на плоскую стенку (,)

Систему элементарных сил , одинаковых по направлению, но различных по величине, можно свести в данном случае к одной силе давления.

(52).

где S — площадь стенки.

Величина этой силы.

(53).

зависит от закона распределения давления Р по площади S. При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут быть различными. Их конкретный вид зависит от ориентации площадки и действующих на жидкость массовых сил при абсолютном и относительном покое.

Вычислим силу для плоской стенки, наклоненной к горизонту под углом и подверженной воздействию тяжелой жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя (рис. 8).

Определим результирующую силу избыточных давлений, которые создаются внешним избыточным и весовым давлениями. Заменим внешнее давление воздействием эквивалентного слоя жидкости, толщина, которого определяется высотой поднятия жидкости в пьезометре. Таким образом, внешнее давление из рассмотрения исключается, и свободная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостью ПП. Продолжим плоскость стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим ось х, а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси у и совместим стенку с плоскостью чертежа.

Величину силы вычислим по формуле (53):

.

В рассматриваемом случае (см. рис. 8) давление.

(54).

что при подстановке в формулу (53) дает.

.

Интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох, равный, как известно, произведению S на координату ее центра тяжести.

Поэтому.

. (55).

Формула (55) может быть записана в двух видах.

(56).

где - избыточное давление в центре тяжести площади S, или.

. (57).

Согласно (56) величина силы избыточного давления покоящейся жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.

Вектор силы направлен по нормали к стенке S:

.

а линия действия этой силы пересекает стенку в некоторой точке D, называемой центром давления. Для отыскания координат этой точки () используем теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая в данном случае выражается уравнением.

(58).

где и - радиус-векторы соответственно центра давления D и произвольной точки (ху) площади S.

По правилам составления проекций векторного произведения находим.

; .

Учитывая выражения (54) и (55), получим.

(59).

Более удобные выражения для и получим, если воспользуемся теоремой о соотношении между моментами второй степени, взятыми относительно параллельных осей.

; ,.

где — оси координат, проходящие через центр тяжести С площадки S параллельно осям х и у; и — координаты центра тяжести С в системе xу; - центробежный момент площади S относительно осей х и у ; — момент инерции площади S относительно оси х (см. рис. 8). Окончательно,.

;. (60).

Вторая из формул (60) показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести на величину .

Возвращаясь к формуле (57), заметим, что силу давления в рассматриваемом случае можно получить, складывая независимо вычисленные две силы: и, где — сила внешнего избыточного давления, — сила весового давления. При таком способе определения силы следует помнить, что линии действия сил и не совпадают, и центр давления D определяется линией действия суммарной силы .