Приложение принципа симметрии

При установлении в § 1 условий, определяющих единственное конформное отображение, мы видели, что основным для этой цели является следующее предложение: всякое взаимно однозначное конформное преобразование круга | z | < 1 самого в себя есть линейное. Эта Фундаментальная теорема была нами доказана в § 1, п. 1 посредством метода итераций и даже в более общей форме.

Теперь мы дадим другое доказательство этого предложения, воспользовавшись принципом симметрии. Сначала заметим относительно функции f (z) теорему, что её модуль f (z) принимает значение единица на окружности, т. е. когда расстояние 1 — | z | точки z до окружности стремится к нулю, то '|/(-гг)| стремится к единице.

Действительно, предполагая противное и замечая, что f (z) всюду в круге z < 1 меньше единицы, мы можем найти последовательность точек z_n(z_n -И) такую, что f{z_n) не стремится к единице, оставаясь меньше единицы. В таком случае существовала бы для точек f (z_n) предельная точка внутри круга. Тогда можно было бы выбрать из последовательности z_n последовательность z'_n, такую, чтобы f (z_a) стремилось к X. Заметим теперь, что точка X соответствует некоторой точке С, внутренней к кругу вследствие взаимно однозначного преобразования /(г), т. е. /(?)== X. В силу непрерывности, когда.

/ (z'_n) стремится к X, то z_n должна стремиться к С, |С|<1. Полученное противоречие с предельным равенством z_n-* убеждает нас в справедливости высказанного положения.

Рассмотрим любую дугу окружности. Вблизи этой дуги функция In f{z) есть голоморфная, причём её действительная часть in | f (z) | принимает значение нуль на этой дуге. Следовательно, вследствие п. 6 её можно аналитиче ки продолжить через дугу. Иначе говоря, In /(г), а значит, и f (z), есть голоморфная функция на дуге. Отсюда усматриваем вследствие произвола дуги, что / (г) есть функция, голоморфная в круге | z | ^ 1; с другой стороны, когда z описывает окружность z = , точка /(2) остаётся на той же окружности. Применяя принцип симметрии (п. 4), мы видим, что продолженная за круг функция f (z) в точках, симметричных относительно единичной окружности, принимает значения, симметричные относительно той же окружности. Отсюда непосредственно вытекает, что продолженная функция в расширенной плоскости комплексного переменного имеет только одну особую точку — простой полюс —и один простой нуль. Следовательно, /(2) есть функция рациональная (гл. VI, § 4, п. 2), имеющая один простой полюс и один простой нуль, т. е. линейная функция.