Геометрия многообразий с регулярным действием торов

Теория действий групп на топологических пространствах имеет большой круг приложений. В отношениях этого раздела топологии с другими разделами замечательно то, что они постоянно взаимно обогащают друг друга. Итоги развития теории действий компактных групп за 40-е — 60-е годы, т. е. в пору общего расцвета алгебраической и дифференциальной топологии, представлены в монографиях [1] и.

ИВ конце 60-х — начале 70-х годов при помощи аппарата теории формальных групп и теории кобордизмов удалось полностью решить важные задачи классификации действий циклических групп на гладких многообразиях, см. обзор [3]. Окончательные ответы в этом случае возможны благодаря тому, что и пространство, и группа обладают достаточно хорошими свойствами. Также и в последующие годы часто возникала ситуация, когда задача, даже не связанная по формулировке с действиями групп, приводила к рассмотрению пространства с действием, удовлетворяющим каким-либо дополнительным условиям («хорошая группа», «хорошее пространство», «хорошее локальное устройство действия»). Отметим здесь цикл работ [5], [6], [7], [8], представляющий важность для предмета нашего исследования.

В настоящей работе вводятся и изучаются регулярные Ст-многообразия. Так мы называем многообразия с действием группы Z™ или (S1)™, имеющим в определенном смысле стандартное локальное устройство. Основными направлениями исследования являются: классификация регулярных (7т-многообразий в терминах структур на их простран4 ствах орбит, связь между конфигурационными пространствами шарнирных механизмов и регулярными (^-многообразиями изучение некоторого подкласса трехмерных регулярных многообразий.

Первоначальным стимулом к данному исследованию послужила статья М. Дэвиса и Янушкевича [8]. В ней авторы вводят в рассмотрение класс многообразий, названных впоследствии в русской литературе квазиторическими по причине их родства с торическими многообразиями алгебраической геометрии (соответствующие английские термины — 'toric manifolds' и 'toric varieties'). Дадим определение. Пусть F = R при G = Z2, и F = С при G = S1. Группа Gn изоморфна подгруппе диагональных матриц соответственно в 0(п)или U (n), и этим определяется ее действие на пространстве Fn. Квазиторическое многообразие — это многообразие М с действием группы Gn, удовлетворяющим двум условиям. Во-первых, М моделируется пространством Fn. Это означает, что любая точка многообразия М содержится в открытой инвариантной окрестности U, для которой существуют открытое инвариантное подмножество V пространства Fn, автоморфизм р группы Gn и гомеоморфизм (р: U —У, обладающий свойством <�р (дх) = p (g)ip (x) /х Е М. Отсюда в частности следует, что размерность квазиториче-ского многообразия М равна п в случае G — и 2п в случае G = S1. Во-вторых, пространство орбит M/Gn гомеоморф-но некоторому простому выпуклому многограннику Р размерности п. При этом подразумевается, что гомеоморфизм устанавливает соответствие между разбиением пространства M/Gn на множества орбит одного типа и разбиением многогранника Р на относительные внутренности граней 5 для более подробной формулировки см. раздел 1.2.1). Мы говорим, что М является квазиторическим многообразием над многогранником Р. Отметим, что не над всяким простым выпуклым многогранником существует квазиториче-ское многообразие. В [8] вводится также многообразие Zp, определяемое любым простым выпуклым многогранником Р. На Zp задано действие группы GTO, где т равно числу гиперграней (граней максимальной размерности) многогранника Р, причем пространство орбит ZpjGт в указанном выше смысле гомеоморфно Р. Существует естественная связь между комбинаторными инвариантами простого выпуклого многогранника Р и топологическими инвариантами многообразий М и Zp. Это обстоятельство позволяет применить методы алгебраической топологии к решению комбинаторных задач, а именно, задач, связанных с условиями на /вектор — вектор, координатами которого являются количества граней данной размерности многогранника Р, см. [9]. Из работ, связанных с квазиторическими многообразиями, упомянем также [10], [11] и [12].

Многообразие Zp вместе с действием группы Gm на нем определяется многогранником Р однозначно с точностью до автоморфизма действия и строится следующим образом. В пространстве Gm х Р тривиального расслоения со слоем Gm над многогранником Р слой над каждой точкой р Е Р фак-торизуется по подгруппе Н (р) группы Gm, определяемой при помощи набора гиперграней, содержащих р. Действие группы Gm на слоях тривиального расслоения индуцирует действие на полученном факторпространстве (Gm х Р)/~. Группа Н (р) оказывается, таким образом, стационарной подгруппой орбиты, соответствующей точке р. Квазитори6 ческое многообразие М над Р также может быть восстановлено при задании некоторой дополнительной информации о типах орбит. Для этого нужно применить предыдущую конструкцию к тривиальному расслоению Gn X Р. Группы Н (р) здесь определяются характеристической функцией — отображением множества гиперграней многогранника Р в множество подгрупп группы Gn: несущим информацию об орбитной структуре. При этом единственное требование, предъявляемое к характеристической функции, состоит в том, что она должна являться невырожденным симплици-альным отображением некоторых комплексов, связанных с Р и G11.

Имея в виду выявление тех свойств квазиторических многообразий и многообразия Zp, которые делают их полезными при изучении комбинаторики многогранников, и возможное обобщение имеющихся результатов, мы вводим более широкий класс многообразий. Регулярными (^-многообразиями мы называем многообразия с действием группы Gm, стабильно моделирующиеся пространством Fm со стандартным действием группы Gm. Стабильность в данном случае означает, что в определении обычной моделируемости (см. выше) гомеоморфизм ip: U —> V нужно заменить на гомеоморфизм между пространствами U х R^ и U х R1, действие на которых тривиально вдоль второго сомножителя. Ниже в разделе 1.1.2 дано эквивалентное определение, явным образом описывающее окрестности орбит регулярного Ст-многообразия. Оказывается, что благодаря такому «хорошему» локальному устройству любое регулярное (^-многообразие получается в результате применения конструкции, естественно обобщающей ту, которая появляется 7 при описании квазиторических многообразий и многообразия Zp. А именно, нужно произвести факторизацию слоев произвольного главного Ст-расслоения над пространством орбит. Пространство орбит при этом является многообразием, край которого имеет гранную структуру, подобную структуре простого многогранника, а группы, являющиеся ядрами факторизации, определяются характеристической функцией, аналогичной описанной выше. Такал классификация является одним из двух основных результатов первой главы и позволяет построить в явном виде представителя любого класса эквивалентности регулярных Gm-многообразий над пространством орбит. Для точной формулировки см. теорему 1.3.

Второй основной результат состоит в аналогичной классификации гладких регулярных Ст-многообразий (теорема 1.6). Подразумевается гладкость, относительно которой группа Gm действует на многообразии диффеоморфизмами. Здесь оказывается, что для восстановления многообразия с точностью до эквивариантного диффеоморфизма, коммутирующего с проекциями на пространство орбит, достаточно задать на пространстве орбит гладко согласованный атлас со значениями в открытых подмножествах пространства R". Зная такой атлас, на факторпространстве главного расслоения над пространством орбит можно каноническим образом ввести гладкость, согласованную с действием группы. О гладком случае стоит сказать еще несколько слов. В тех случаях, когда пространство орбит может быть наделено гладкой структурой многообразия с краем или многообразия с углами, при выборе гладкости часто совершают одну ошибку. Покажем ее на простом примере. Для инволю8 ции х И- —х на прямой R факторпространство гомеоморфно замкнутому лучу R+, т. е. многообразию с краем. Неправильная гладкая структура на пространстве орбит возникает, когда оно отождествляется с R+ при помощи проекции R —>• R+, переводящей х в |ж|. Правильная, а точнее сказать, наиболее удобная гладкая структура вводится отображением х I—х2. Отличительная черта этой проекции R —> R+ состоит в том, что она устанавливает биекцию между классами гладких четных функций на R и гладких функций на R+ (факт, обнаруженный Уитни в [24]). Преимущество же заключается в упрощении классификации гладких структур на многообразии с данным пространством орбит, как это и происходит в нашем случае, см. раздел 1.4.2.

При доказательстве основных теорем первой главы мы пользуемся идеями Ениха, развитыми впоследствии Бредо-ном. Ених в [15] провел классификацию гладких действий специального вида, при которых пространство орбит является гладким многообразием с краем. Независимо аналогичные результаты были получены братьями Сян в [16]. Бре-дон [1], гл. 5, §§ 5 и 6, распространил результаты Ениха и Сян на топологический случай. Там же, гл. 6, § 6, он уточнил связь между гладкими структурами пространства действия и пространства орбит, упростив формулировку классификационной теоремы своих предшественников в гладком случае. Конструкция факторизации слоев в тривиальном главном расслоении активно использовалась Дэвисом в [6] и [7]. В первой из этих статей вводится понятие многообразия с гранями. Дэвис, кроме того, обобщил метод Ениха на случай произвольного гладкого действия компактной группы Ли, что позволило ему дать в [4] описание произвольного 9 многообразия с таким действием как набора гладких расслоений с определенного рода данными склейки.

Как уже было сказано, важным частным случаем регулярных Ст-многообразий являются квазиторические многообразия. Другой интересный пример — конфигурационные пространства шарнирных механизмов, которым посвящена вторая глава. Нашим двум случаям G = Z2 и G = S1 здесь соответствуют механизмы на плоскости и в пространстве. Если среди вершин механизма имеется т попарно несмежных вершин степени 2, то ими определяется действие группы Gm на его конфигурационном пространстве. В общем положении конфигурационное пространство с так заданным действием является регулярным (^-многообразием. Мы доказываем теорему о реализации определенного класса регулярных Сш-многообразий конфигурационными пространствами шарнирных механизмов (теорема 2.4). В последнее время интерес со стороны топологов к такому классическому объекту, как шарнирные механизмы, возрос. Одним из направлений исследования являются дополнительные структуры, возникающие на конфигурационных пространствах — например, симплектическая или действие группы.

Третья глава посвящена некоторому классу трехмерных регулярных Z2-MHoroo6pa3Hfi. Он возникает как частный случай общей конструкции, связывающей с любой правильной раскраской граней многогранника некоторое регулярное 6гт-многообразие, для которого этот многогранник является пространством орбит. В нашем случае рассматриваются многогранники, допускающие правильную раскраску граней в три цвета. Получены следующие результаты. Во-первых, доказано, что каждое такое многообразие до.

1 Регулярные (^-многообразия и структуры на пространствах орбит.