Гипергеометрические функции многих переменных как решения системы уравнений Горна

Теория специальных функций является одним из основных разделов математической физики. На протяжении последних трех столетий необходимость решения задач гидродинамики, теории управления, классической и квантовой механики стимулировала развитие теории специальных функций одного и нескольких переменных. Математические модели физических процессов содержат, как правило, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных или системы таких уравнений. Однако лишь немногие из встречающихся на практике уравнений могут быть решены в классе элементарных функций. Поэтому возникла необходимость расширения класса изученных функций. Новые функции определялись зачастую как решения дифференциальных уравнений или их систем и назывались специальными функциями. Так возникли функции Бесселя, функции Эрмита, гипергеометрическая функция Гаусса.

Введенные таким образом специальные функции математической физики не являются независимыми. Многие специальные функции могут быть выражены через другие. Детальное изучение и систематизация соотношений между ними являются одной из основных целей фундаментальных трудов [11],[18]. Однако, несмотря на все приложенные усилия, эту цель вряд ли можно считать достигнутой. Связь между различными специальными функциями математической физики нуждается в дальнейшем изучении. Тем сильнее ощущается необходимость создания единой теории специальных функций.

Важный класс специальных функций составляют функции гипергеометрического типа. Первоначально термин «гипергеометрический» применялся к следующим объектам:

Гипергеометрическое уравнение Гаусса" - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка х (х — 1) ух) + ((а 4- /3 + 1) х — 7) ух) + а/3у (х) = 0. (0.1).

К этому виду приводится произвольное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками.

Гипергеометрическая функция" - решение гипергеометрического уравнения.

Гипергеометрический ряд Гаусса" - следующий степенной ряд, являющийся одним из решений гипергеометрического уравнения: ci / о V" (a)k{P)kXk k=0 V ]}К где (a)jt = Г (а + к)/Г (а) — символ Похгаммера. Выбирая подходящим образом значения параметров а, /5, ¦у, можно получить многие элементарные и специальные функции. Например, полные эллиптические интегралы первого и второго рода, присоединенные функции Лежандра, ультрасферические многочлены и др. являются частными случаями функции 2¹ А 75 х).

Следующим шагом в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного явился переход от уравнения Гаусса (0.1) к так называемому обыкновенному обобщенному гипергеометрическому дифференциальному уравнению [12]: хР (в)у (х) = Q (9)y (x). (0.2).

Здесь 9 = х-^, а Р и Q — полиномы: р ч.

P (s) = t JJ (S — Oit), Q (s) = П (5 — ДО, k=1 fc=l t, ak, f3k? С. Гипергеометрическое уравнение Гаусса (0.1) соответствует случаю P (s) — s2jt-(a+(3)s+a (3, Q (s) = s2+(7—l)s. Уравнениям вида (0.2) удовлетворяет подавляющее большинство специальных функций математической физики.

Для гипергеометрических функций одного комплексного переменного существует хорошо развитая теория с многочисленными приложениями. Все основные системы компьютерной алгебры (такие как Mathematica и Maple) содержат процедуры, позволяющие работать с гипергеометрическими функциями. Существует также большое количество пакетов для таких систем, поддерживающих символьные вычисления с использованием функций гипергеометрического типа. К ним относится, например, пакет HYPERG, разработанный в институте им. Гаспара Монжа (Франция).

В многомерном случае существует несколько подходов к понятию гипергеометрической функции. Такие функции могут быть определены как суммы степенных рядов определенного вида (так называемых Г-рядов) [5],[7],[8], как решения систем дифференциальных уравнений [9],[39], как интегралы типа Эйлера [25],[34] и интегралы Меллина-Барнса [39].

Многомерные системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа возникают в некоторых задачах математической физики. В частности, такие уравнения появляются при изучении фейнмановских интегралов [10], в теории суперструн при исследовании юкавских констант связи [25], а также при решении алгебраических уравнений [19],[38],[44].

В 1989 году в работе [9] была детально рассмотрена система дифференциальных уравнений, которая в настоящее время широко известна как система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений задается натуральным числом N и произвольной подрешеткой В С hN. Пусть L С CN — линейное подпространство, натянутое на решетку В, и, А С (CN)f — аннулятор L. Системой Гельфанда-Капранова-Зелевинского, ассоциированной с решеткой.

В, называется следующая система дифференциальных уравнений на С^:

П (?) у = П (?) для любого ь е n ду = {а., а) у для любого, а? А. (0.4) 1 дх.

Здесь, а? С /Ь — фиксированный вектор, играющий роль параметра. Данная система уравнений интенсивно изучалась на протяжении последнего десятилетия, вызвав к жизни дальнейшие обобщения понятия гипергеометричности. В частности, была построена теория гипергеометрических функций на грассмановых многообразиях [6].

Однако гипергеометрические функции многих переменных могут быть введены при помощи более классической системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа, нежели система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений естественно возникает из определения гипергеометрического ряда, предложенного Горном [35]. По Горну формальный (лорановский) ряд от п переменных называется гипергеометрическим, если для любого г = 1,., п отношение + ег)/^(5) является рациональной функцией. Здесь е* = (0,., 1,., 0) (1 на ¿—ом месте), -в = («г, ., 5П)> ® = пг*>п.

Нетрудно выписать систему дифференциальных уравнений, которой формально удовлетворяет ряд (0.5). Пусть (р (в + е^До^) = + где Рг^Яг — полиномы, тогда ряд (0.5) является формальным решением системы уравнений х&(в)у (х) = д,-(%(®-), «= 1, п. (0.6).

Здесь в = (#1, ., 0П), Ог — Система (0.6) восходит к Меллину и.

Горну [35]. Частные случаи данной системы уравнений, особенно в двухи трехмерном случае, рассматривались во многих работах (см., например, [28],[38],[42]). Всюду в дальнейшем мы будем называть систему (0.6) гипергеометрической системой дифференциальных уравнений Горна и исходить из следующего определения:

Определение. Аналитическая функция (вообще говоря, многозначная) называется гипергеометрической, если она удовлетворяет гипергеометрической системе Горна (0.6) при некотором выборе.

ПОЛИНОМОВ.

Изучение системы уравнений Горна мотивируется стремлением создать единую стройную теорию специальных функций гипергеометрического типа. В рамках этой теории гипергеометрические функции возникают как решения универсальной системы дифференциальных уравнений, а не большого количества слабо связанных между собой уравнений математической физики, как это сложилось исторически.

Во введении к работе [6] отмечается, что, по сравнению с рядами Горна и соответствующей им системой Горна, система Гель-фанда-Капранова-Зелевинского и ее формальные решения в виде рядов гипергеометрического типа имеют существенно более простую структуру. Поэтому, с учетом сказанного выше, задача исследования гипергеометрической системы Горна представляется весьма актуальной и непростой.

Целью настоящей диссертации является систематическое изучение системы уравнений Горна: исследование ассоциированного с ней модуля над алгеброй Вейля, построение базиса в пространстве ее голоморфных решений, описание множества особенностей решений, классификация рациональных решении и изучение вопроса о представимости решений степенными рядами.

В одномерном случае система Горна совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением (0.2), которое играет важную роль в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного. Вкратце проиллюстрируем программу нашего исследования многомерной системы Горна на примере обыкновенного дифференциального уравнения (0.2).

I. В одном из вариантов метода Лапласа [12] общее решение уравнения (0.2) ищется в виде.

-/*.)"•*. (0.7) С.

При этом на контур С накладываются два условия:

A. Контур получающийся из контура С сдвигом на 1 (параллельно действительной оси), гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.7).

B. Интеграл (0.7) сходится.

Функция у (х), представленная интегралом (0.7), заведомо удовлетворяет уравнению (0.2), если вес интегрального представления удовлетворяет разностному уравнению ф + 1)<�Э (в + 1) = <�р (з)Р{з). (0.8).

Общее решение этого разностного уравнения имеет вид [12] п Г (б — а). Г (б — ар) = 4 + 1). где ф (в) — произвольная периодическая функция с периодом 1. Поэтому при построении решений уравнения (0.2) подбирается не только контур интегрирования С, но и функция ф (з). Возможности выбора контура сильно ограничиваются условием А. Согласно этому условию, если один из полюсов функции Г (я — с^) обходится контуром С, то им должны обходиться и остальные полюсы этой функции.

II. Опишем процесс построения фундаментальной системы решений уравнения (0.2) при некоторых ограничениях на величины oik, fik [12]. Например, рассмотрим случай, когда р = q и мнимые части всех этих величин попарно различны. Рассмотрим полуполосы.

Lk = {s: |Im (s — ак) < е, Re (s — ак) < е},.

Ll = {5: |Im (sрк)< в, Re (pks- 1) < е}, где число е столь мало, что полуполосы Lk и Lv (а также L? и L*v) не имеют общих точек при к ф v.

Границы дЬк полуполос Lk удовлетворяют условию Л, а при выполнении неравенства tx > 1 они удовлетворяют и условию В. Поэтому функции.

— h / г (о-9) дЬк при tx| > 1 являются решениями уравнения (0.2).

Интеграл (0.9) равен сумме вычетов в полюсах функции F (s—ак). Вычисляя эти вычеты, получаем разложения.

Г (п + а&bdquo- - or* + 1) где р

П sinTr (Р"-ак).

Ак 1 t/=1 тг П Sin7r (aifc — avy уфк.

Можно показать, что функции yi (x),., ур (х) линейно независимы и потому образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.2).

Построим фундаментальную систему решений уравнения (0.2), определенную при tx < 1. С этой целью заметим, что функция r (ft-.).!¦&-.) r (a1-s + l).r (aJ,-s + l) также является решением уравнения (0.8). Поэтому функция Г т-.) Щ-е).

УкК } 2т] Г (ах — в + 1). Г (ар — 5 Н- 1) — v 1 Щ является решением уравнения (0.2) при < 1. Интеграл (0.10) равен сумме вычетов в полюсах функции Г (/^ — в) и, вычислив эти вычеты, получаем разложения п=0 V—1 4 '.

Здесь В к — некоторые постоянные. Функции у1(х),., Ур (х) также линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.2).

Таким образом, в одномерном случае при указанных условиях на параметры уравнения (0.2) удается построить фундаментальную систему решений обобщенного гипергеометрического уравнения.

В рассмотренном выше одномерном случае условие, согласно которому все величины а^Д, имеют попарно различные мнимые части, автоматически обеспечивает простые полюсы подынтегрального выражения в (0.7) и, кроме того, позволяет удобно сконструировать инвариантный относительно сдвига контур С в виде границы дЬк соответствующей полуполосы. Разумеется, контур дЬк можно заменить на сумму окружностей малого радиуса с центрами в полюсах из этой полуполосы.

III. Вопрос об особенностях решений в одномерном случае также решается просто. Например, при р = д коэффициент при старшей производной в уравнении (0.2) равен хр (1х—1), поэтому его решение может иметь особенности в трех точках: 0,1/?, оо. При р ф д особенностями могут быть лишь 0 и оо. Таким образом, одномерное гипергеометрическое уравнение обладает свойством минимальности его сингулярного множества (см. § 3.1). Отсюда следует, что все его решения допускают не более двух разложений в ряды (Пюизо) с центром в нуле.

Главы настоящей диссертации находятся в соответствии с тремя приведенными выше разделами, в которых рассматривается обыкновенное обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение (0.2). В главе 1 приводится интегральное представление для решений системы Горна и изучается связанная с этим представлением система разностных уравнений. В соответствии с теоремой Оре-Сато решения представляются кратными интегралами Меллина-Барнса. В главе 2 вычисляется размерность пространства голоморфных решений системы Горна и строится базис в этом пространстве. Для этого изучается Р-модуль системы Горна и используется алгебраический аппарат теории дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. В главе 3 исследуется множество сингулярностей решений системы Горна. Подобно тому как в одномерном случае это множество задается нулями коэффициента при старшей производной, в многомерном случае это есть алгебраическая гиперповерхность, задаваемая нулями результанта главных символов дифференциальных операторов в системе Горна. Здесь свойство минимальности оказалось удобным выразить при помощи понятия амебы.

Перейдем к описанию результатов диссертации. В § 1.1 дано интегральное представление решений системы (0.6). Ее решения ищутся в виде С где s = (si,., sn), xs = xsi. ж®-", ds = ds. dsn.

Для построения решений системы (0.6) необходимо исследовать систему разностных уравнений где = Р^/С^^в + ег), е* = (0,., 1, ., 0) (1 на г-ом месте). Разрешимость данной системы уравнений описывается теоремой 1.2:

0.11) p (s + е") = Ri{s)(p (s), i = 1,., n,.

0.12).

Теорема 1.2. Для разрешимости системы (0.12) необходимо и достаточно выполнение условий согласования + г, 7 = 1,., п. (0.13).

При этом если решение системы (0.12) существует, то оно единственно с точностью до произвольного множителя ф (з), удовлетворяющего условиям периодичности ф^в+е^ = (/"(в), для всех г — 1,., п.

Утверждение данной теоремы вытекает из известной теоремы Оре-Сато (см. [41], а также [6], § 1.2), однако приведенное в § 1.2 доказательство является новым и конструктивным, причем конструкция общего решения существенно используется в последующих разделах диссертации. Речь идет об общем виде решения системы разностных уравнений (0.12) в случае, когда полиномы разлагаются в произведения линейных множителей. Это решение имеет вид.

Пг ((Л, 5}-с) <�р (в) = #. Л^-ф (з). (0.14).

П1.

3=1.

Здесь ф (в) — произвольная функция со свойством ф (в + ег) = ф (я), г = 1, ., п, С1,., Ср, € С, АЪ., АР, В1,., ВС1 е Ъп.

Коэффициенты векторов Д-, В^ определяются по полиномам Д, в соответствии с конструкцией (1.17). Отметим, что класс функций, которому принадлежит решение системы разностных уравнений, определяется выбором периодической функции ф (з).

Функция (0.14) имеет вид произведения трех функций: показательной функции, так называемой Г-дроби (отношения произведений Г-функций в линейных по переменным суммирования аргументах) и периодической функции. Предположим, что функция ф (в) — целая. Тогда множество полюсов функции (0.14) представляет собой конечный набор счетных семейств гиперплоскостей, каждое из которых соответствует множителю в числителе Г-дроби. Аналогом простых полюсов в этом случае является ситуация, когда через каждую точку проходит не более чем п полярных гиперплоскостей. Заметим, что в теории Гельфанда и его соавторов такая ситуация соответствует нерезонансному случаю. Роль окружностей в одномерном случае теперь играют остовы т (т), которые фактически являются топологическими произведениями п окружностей и представляются системой уравнений где гп1 6 N0, Д,., Дп — линейно независимая система векторов, фигурирующих в числителе (0.14).

Многомерными аналогами условий А, В являются следующие условия:

А. Для любого г — 1,., п контур Сг-, получающийся из контура С сдвигом на базисный вектор ег-, гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.11).

В. Интеграл (0.11) сходится.

В §§ 1.3, 1.4 рассмотрены условия В соответственно и сформулированы ограничения на параметры системы (0.6), при которых эти условия удовлетворяются. Доказано следующее предложение.

Предложение 1.6. В нерезонансном случае контур С = ^ т (га) щие набору линейно независимых векторов. , Дп, могут быть представлены в виде Г-рядов, то есть в виде степенных рядов, коэффициенты которых являются отношениями произведений Г-функций в линейных по переменным суммирования аргументах. Однако для представления интеграла (0.11) в виде ряда необходимо обеспечить выполнение условия В. Для этого рассмотрим полупрор д странство П = {11е (Д,.в) < 0}, где Л — ~ XI Напомним, г=1 з= что конус, двойственный заданнному конусу С С Мп, определяется при помощи равенства = ^ 1″: {и, у) > 0, Уи Е С}. Условие будет выполнено, если конус К4, двойственный конусу К, порожденному системой векторов Д-п. , Д&bdquo-, лежит в полупространстве П. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.7. .Ес/ш набор векторов. , Дп удовлетворяет условиям предложения 1.6 и конус Ку С П, то =? -г-^ т • I т • I т^Ч——-Ьт-п тек" ! • • • ' • • • ' Аи) X х^хгУ^. (?ЛГ" (Дт)^— (0.15) 1 удовлетворяет системе уравнений Горна (0.6) — здесь I = {¿-1,., гп}, 3](А, т) = у причем через А^ обозначена матрица, полученная из матрицы, А со строками А^,. Дп заменой^-го столбца столбцом — гп1 Сг&bdquo- -тп.

Целью главы 2 является вычисление размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна в окрестности точки общего положения и построение базиса в этом пространстве. Важную роль играют при этом условия нерезонанснос-ти параметров системы Горна и конкретная конструкция общего решения системы разностных уравнений (0.12). В § 2.3 построен базис в пространстве голоморфных решений системы Горна при некоторых предположениях относительно параметров данной системы. А именно, предположим, что для любого i = 1,., п полином Qi (s) зависит лишь от переменного и запишем этот полином в виде Qi{s) = — aij)> i — 1) • • • > aij? Основной результат главы 2 состоит в следующем.

Теорема 2.14. Предположим, что для всех i = 1, ., п полином Qi (s) зависит лишь от переменного s? и deg Qi > degP?. Для любого муль-тииндекса I = (?i, ., гп), г^ 6 {1, ., dk} положим 7/ = (а^,., а-Шп). Тогда при выполнении условий нерезонансности существуют р? No, ti,., tn, ci,., cp? С, Лх,., G Zn, такие, что семейство, состоящее U3d. dn функций.

У1(х) = Х-" У t'±n-Ш=1 Г ((Л, 8 + 7j) — c¡-)-(0Л6) есть базис в пространстве голоморфных решений системы (0.6) в окрестности любой точки х? (С*)п = (С {0})п.

Напомним, что носителем ряда Лорана называется множество {s? Zn: cp (s) ф 0}. Доказательство теоремы 2.14 опирается на представление (0.15) решения системы Горна в виде кратного ряда, полученное в главе 1, и на теорему 2.2, в которой дано описание носителей решений системы Горна. Для обоснования того, что построенное семейство функций (0.16) исчерпывает пространство голоморфных решений системы Горна, используется следующая теорема о размерности данного пространства, доказанная в § 2.2.

Теорема 2.13. Предположим, что полиномы P?(s), Q?(s) удовлетворяют условиям согласования (0.13) и что для любого г = 1,., п полином Qi (s) зависит лишь от переменного s?. Если главные символы., Hn (x (°z) дифференциальных операторов, определяющих систему Горна (0.6), образуют регулярную последовательность в точке х^? Сп, то размерность пространства голоморфных решений системы уравнений (0.6) в окрестности точки х^ равна.

IlIUdeg.

При доказательстве теоремы 2.13 оказывается удобным встать на «алгебраическую» точку зрения и рассматривать гипергеометрическую систему уравнений Горна как левый модуль над алгеброй Вейля Т> дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Напомним, что алгебра Вейля порождается операторами жп, со стандартным коммутационным соотношением — =^{зПеревод} задачи о вычислении размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна на язык £>-модулей является частью следующей более общей схемы.

Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей, 3 С К — левый идеал, Р — левый К-модуль. Тогда имеет место изоморфизм абе-левых групп.

Нотк (К/3, — {У е Р: Ру = О, УР 6 3}. (0.17).

Действительно, любое^{-линейное} отображение из К/3 в^{-модуль} Р задается своим значением у на образе единичного элемента кольца К в факторкольце К/3 и является корректно определенным, если Ру = 0, /Р 6 3. Заметим, что в правой части формулы (0.17) записано пространство решений системы уравнений Ру = 0, Р € 3. Если идеал 3 порождается элементами ., то данная система уравнений эквивалентна системе С^у = 0, % — 1,., п. Поэтому для изучения пространства решений данной системы уравнений достаточно рассмотреть Нотк{К/3, Р).

Положим теперь К — V, обозначим через 3 С Т> идеал, порожденный дифференциальными операторами,-определяющими систему уравнений Горна, и выберем в качестве Р 1>-модуль функций, голоморфных в окрестности фиксированной точки Е Сп. Применяя описанную выше схему рассуждений к гипергеометрической системе Горна, мы приходим к задаче изучения Т>-модуля М. = Т)/3, ассоциированного с данной системой уравнений.

Изучение свойств Т>~модуля Л4 составляет основное содержание главы 2 и приводит к формуле для размерности пространства решений системы уравнений Горна (теорема 2.13). Одним из ключевых результатов, на которые опирается доказательство теоремы 2.13, является следующая теорема.

Теорема 2.9. Существует семейство линейных операторов действующих на кольце полиномов С[ж1,., хп, ., гп], таких, что для Т>-модуля Л4, ассоциированного с системой Горна, имеет место изоморфизм.

М ~С[х1,., хп, гъ., гп} I ., хп, гъ гп].

В § 2.2 данное семейство операторов выписано в явном виде. Подробное изложение применений теории Х>-модулей к дифференциальным уравнениям содержится в монографии [16].

Глава 3 посвящена изучению рядов Пюизо, представляющих гипергеометрические функции многих переменных. В ней решаются следующие две задачи.

Пусть / - полином Лорана, зависящий от переменных х,., хп. Его амебой Л/ называется образ множества нулей полинома / в торе (С*)п при отображении Ьс^: (х1,., хп) И- (1п |а-1.|,., 1п хп) (см. § 1 главы 6 монографии [33]). Задача изучения амебы А/ названа в [33] трудной и интересной. В главе б монографии [33] показано, что связные компоненты дополнения к амебе Л/ выпуклы и находятся во взаимно-однозначном соответствии с разложениями рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле. Таким образом, изучение разложений рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле естественно приводит к рассмотрению амебы А}.

В главе 3 вычисляется количество связных компонент в дополнении к амебе ядра Бергмана комплексного эллипсоида ВРи-, Рп = {х 6 С: |я1|2//р1 +. + хп2, Рп < 1}. Здесь ., рп — натуральные числа. Показано, что число таких компонент не зависит от параметров ., рп и равно п + 1.

В главе 6 монографии [33] показано, что число связных компонент дополнения к амебе полинома не может быть меньше числа вершин многогранника Ньютона данного полинома. Амеба полинома Лорана называется минимальной, если число связных компонент ее дополнения равно числу вершин многогранника Ньютона данного полинома. А. К. Цихом был предложен следующий вопрос: всегда ли амеба особенности гипергеометрической функции минимальна? (Особенности гипергеометрических функций алгебраичны и потому можно говорить об амебе такой особенности.) В § 3.2 дается частичный ответ на данный вопрос. Следующая теорема показывает, что амебы знаменателей рациональных гипергеометрических функций минимальны.

Теорема 3.18. Пусть f{x) — знаменатель рациональной гипергеометрической функции, тогда число связных компонент множества СЛ/ равно числу вершин многогранника Ньютона полинома f (x).

Система Горна (0.6) называется неконфлюэнтной, если deg Pi — deg Qi для всех i — 1, ., п. Решения такой системы уравнений называются неконфлюэнтными гипергеометрическими функциями. Связь между носителем произвольного ряда Лорана (то есть множеством точек целочисленной решетки, отвечающих ненулевым коэффициентам ряда) и его областью сходимости устанавливается леммой Абеля 3.4 (см. [9], § 1). Для рядов гипергеометрического типа доказана следующая более сильная версия данного утверждения.

Лемма 3.20. (Двусторонняя лемма Абеля) Предположим, что не-конфлюэнтный гипергеометрический ряд с носителем S имеет непустую область сходимости D. Обозначим через С конус множества S. Тогда существуют а⁰),^1)? Сп, такие, что.

Log (s<�°>) — Cv С Log (D) С Log (*") — Cv.

Второй задачей, рассматриваемой в главе 3, является проблема классификации рациональных функций гипергеометрического типа. Она была сформулирована Каттани, Дикенштейн и Штурмфельсом в работе [27]. В настоящее время известно несколько необходимых условий рациональности сумм гипергеометрических рядов, однако эти условия не являются достаточными. При выполнении этих условий рациональные функции гипергеометрического типа допускают представление в виде торических вычетов [27]. Следующая теорема устанавливает рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций.

Теорема 3.21. Все неконфлюэнтньье мероморфные гипергеометрические функции рациональны.

Для классификации рациональных функций гипергеометрического типа используется п-параметрическое семейство ядер Бергмана комплексных эллипсоидов 0Ри", Рп. Напомним, что два гипергеометрических ряда называются контигуально эквивалентными, если отношение их коэффициентов есть произведение экспоненциальной и рациональной функций от индексов суммирования. Следующее утверждение является следствием более общей теоремы о структуре особенностей неконфлюэнтных гипергеометрических рядов Пюизо (теорема 3.23).

Следствие 3.25. Предположим, что для любого % = 1, полином С^^в) зависит лишь от переменного Тогда при выполнении условий нерезонансности любое рациональное решение неконфлюэнт-ной системы Горна контигуально эквивалентно ядру Бергмана комплексного эллипсоида 0Ри", Рп для некоторых ., рп € N.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Пиху за постановку задачи и внимание к работе. Автор благодарен Микаэлю Пассаре за многочисленные плодотворные обсуждения и замечания о результатах настоящей диссертации. Автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований (грант 96−15−96 266) за финансовую поддержку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— получено интегральное представление для решений гипергеометрической системы дифференциальных уравнений Горна;

— исследован Р-модуль системы Горна, на основе чего найдены размерность и базис пространства ее решений при некоторых предположениях относительно параметров системы;

— доказана слабая регулярность неконфлюэнтной системы Горна: всякое мероморфное решение такой системы рационально;

— дана классификация рациональных решений некоторых гипергеометрических систем уравнений при помощи ядер Бергмана комплексных эллипсоидальных областей.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы в комплексном анализе и в теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также в математической физике.

Основные обозначения.

N — множество натуральных чиселN0-NU{0};

Ъ — множество целых чисел;

R — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел;

Кп — вещественное пространство размерности щ.

Сп — комплексное пространство размерности пС* = С{0}- a, b) = ab +. + anbn — скалярное произведение векторов, а = (ai,., ап) и 6 = (&i,., 6П);

I = (¿-i,., гп) — мультииндекс;

Pi, Qi — полиномы, определяющие гипергеометрическую систему уравнений Горна (1.1) — ei,., еп — стандартный базис решетки Zns) — периодическая функция, удовлетворяющая условиям 0(s + е") ~ ф (в), г = 1,., щ в = (в, ., вп), В{ = Xi-^r. ~ т.н. производная Фукса;

V — алгебра Вейля линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, порожденная ., хп, .,.

G{ — xiPi (0) — Qi (6) — дифференциальный оператор в г-ом уравнении системы Горна;

Hi (x, z) — главный символ дифференциального оператора.

М — модуль над алгеброй Вейля, ассоциированный с системой уравнений Горна;

102 char (A^) — характеристическое многообразие системы уравнений Горна;

UM = {х? Cn: 3? ф 0 такой, что (ж, z)? char (A^)}- А/ - амеба полинома Лорана /- Aff — многогранник Ньютона полинома Лорана /- vert (Л/*) — множество вершин многогранника М Log — отображение Log: (xi, ., хп) (In jxi), ., 1п|жп|) — DPl," 'Pn = {х? С1: xi2/pl +. + хп2'р" < 1} - комплексный эллипсоид;

Kpi,-, pn ~ ЯДР° Бергмана области DPu" 'Pn.

Xs — торическое многообразие, ассоциированное с веером ЕCv = {г>? Rn: {u, v) > 0, /и? С} - конус, двойственный к заданному конусу С.

Заключение

.