Торические вырождения многообразий Фано

История вопроса.

В диссертации даётся ответ на ряд вопросов, постановка которых мотивирована подходом к изучению многообразий Фано (и возможности их классификации) с помощью методов торических вырождений и зеркальной симметрии.

Классификация кривых была получена ещё в 19 веке — у каждой кривой над алгебраически замкнутым полем есть единственная бирациональ-но эквивалентная ей полная неособая модель, а единственный численный инвариант кривой — это её род д, который может принимать любое целое неотрицательное значение. Более разнообразен случай поверхностей: по любой неособой поверхности Sq можно построить её минимальную модель S, последовательно стягивая (—1)-кривые. Минимальная поверхность S — неособая поверхность, бирационалыю эквивалентная Sq, и существуют три взаимно исключающие возможности: либо канонический класс Ks численно эффективен (то есть его индекс пересечения с классом любой эффективной кривой неотрицателен), либо S — это проективная плоскость Р2, либо поверхность S обладает структурой Р1-расслоения над некоторой базовой кривой В. Поверхность S рациональна, если рациональна базовая кривая В, и все такие минимальные поверхности S — это рациональные линейчатые поверхности (поверхности Хирцебруха) Fn = PPi (О 0 0(п)).

Современная точка зрения обобщает двумерный результат на большие размерности. Согласно программе минимальных моделей, гипотетически всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно либо минимальной модели (определения минимальной модели и изложение программы Мори см., например, в [64]), либо расслоению Мори, слоями которого являются многообразия Фано (то есть многообразия с обильным антиканоническим дивизором) с числом Пикара 1. Это доказано в размерности ^ 4.

Проективная плоскость и поверхности ¥-п являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно. В размерностях больше двух минимальная модель уже не обязательно гладкая, но в общем случае имеет терминальные особенности (опр. см. в 1.2.11).

В связи с развитием упомянутой выше программы минимальных моделей, а также в виду интереса со стороны теоретической физики и других дисциплин, в последнее время особую роль в бирациональной геометрии стало играть изучение многообразий Фано. Мы работаем над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Единственное одномерное многообразие Фано — это проективная прямая Р1.

Двумерные неособые многообразия Фано X называются также поверхностями дель Пеццо. Два основных инварианта поверхности дель Пец-цо — это её аптиканонические индекс и степень. Индексом многообразия Фано X называется наибольшее целое число г, такое что антиканонический класс представим как г-кратное некоторого дивизора Картье Н, т. е. —Кх — Ш. Степень — это квадрат антиканонического класса d = (—Кх)2-Единственная поверхность дель Пеццо индекса 3 — это проективная плоскость Р2, и её антиканоническая степень равна 9. Поверхность дель Пеццо индекса 2 — это квадрика в Р3, её антиканоническая степень равна 8. Поверхность дель Пеццо индекса 1 может иметь любую целую степень d в пределах 1 ^ d ^ 8, и уже не минимальна, но является раздутием проективной плоскости р2 в 9 — d точках общего положения (см. 1.6.1).

В работах [24], [25], [26], [27] Г. Фано изучал трехмерные гладкие многообразия, линейные сечения которых являются каноническими кривыми (в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен).

В. А. Псковских в работах [45], [46] классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано X основной серии (с PicX = Z), окончательная классификация гладких трехмерных многообразий Фано была получена Мори и Мукаем в работах [67], [66], [68] (обзор полной классификации см. в [47] и [48]). Основные численные инварианты трёхмерных многообразий Фано — это их индекс, степень, ранг группы Пикара и третье число Бетти.

Позже Мукай ([69],[70]) заново описал трёхмерные многообразия Фано основной серии, рассматривая векторные расслоения на поверхностях КЗ, получающихся антиканоническим сечением трёхмерного многообразия. Этим же методом была получена классификация 4-мерных многообразий Фано с группой Пикара Z, имеющих индекс больше 1. Задача классификации четырехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z и индексом 1 в настоящее время открыта.

В диссертации иллюстрируется подход к нахождению многообразий Фано и описанию их классических численных инвариантов вместе с некоторыми &bdquo-квантовыми", происходящими из инвариантов Громова-Виттена.

Исторически зеркальная симметрия была сформулирована как соответствие (зеркальная симметрия) между ромбами Ходжа разных семейств трёхмерных многообразий X с тривиальным каноническим классом (многообразий Калаби-Яу). Для пары численно зеркально симметричных многообразий Калаби-Яу, А и В выполнено hl, 2{A) = ft1'1 (В) и h1'1 (А) = hl'2{B). Это размерности пространств параметров комплексных и кэлеро-вых структур, и таким образом появилась гипотеза зеркальной симметрии, утверждающая эквивалентность между комплексной геометрией, А и симплектической геометрией В, и наоборот. У этого утверждения есть разные формулировки, например, гомологическая зеркальная симметрия утверждает, что ограниченная производная категория Vb (X) когерентных пучков на X совпадает с производной категорией категории Фукай Y 1.

Вернёмся к случаю многообразий Фано, и сформулируем интересующую нас версию зеркальной симметрии для них.

Пусть 71,72,73 — некоторые классы когомологий H'(X, 7j), a j3 6 H2(X, 7j) — гомологический класс комплексной кривой. Обозначим символом /5(71,72,73) соответствующий 3-точечный инвариант Громова-Виттена (см. 1.7.1, [63]). Наивный смысл этого инварианта — число рациональных кривых на X, имеющих гомологический класс /3 и пересекающих представителей гомологических классов двойственных по Пуанкаре к 7i, 72 и 7з (достаточно общим образом выбранных), если таких кривых.

1 Категория Фукай это зависящая от симплектической структуры Л^-категория, объекты в которой представлены лагранжевыми циклами, морфизмы — их пересечениями, а произведения — заклеиваниями псевдоголоморфными дисками (см. [57]) конечное число, и 0 иначе.

Обозначим символом Л = ЩН2{Х, Ъ)] кольцо Новикова функций 4p<=n2{xz) на тоРе двойственном к решётке характеров группы Пикара многообразия Фано X 2.

Используя 3-точечные инварианты Громова-Виттена, можно построить кольцо малых квантовых когомологий QH (X) многообразия Фано X. По определению, кольцо малых квантовых когомологий (с коэффициентами в Л) QH (X, A) это свободный Л-модуль Н'(Х, А) со структурой кольца, заданной посредством ?-умножения: (7i ^72) U 7з= ^ ЛЗ (7Ъ72,7З).

Зея2(ЗД.

Умножение * является деформацией обычного U-умножения в кого-мологиях X, суперкоммутативно (и согласовано с естественной Z/2Z-градуировкойдалее мы ограничимся чётными элементами, ограничение квантовых когомологий на них — коммутативное кольцо), а его ассоциативность — глубокий результат теории ([58],[63]). Переформулированная на языке классической исчислительной геометрии, ассоциативность квантового умножения становится бесконечным набором неочевидных соотношений между числами кривых различных степенейэти соотношения очень интересны уже в случае проективной плоскости Р2, и кроме этого позволяют вычислить инварианты Громова-Виттена на раздутии поверхности через инварианты на минимальной модели.

По кольцу малых квантовых когомологий можно построить дифференциальное уравнение зеркальной симметрии (или квантовый £>-модуль).

2Иногда оказывается удобнее работать с с коэффициентами в кольце, А —.

Голоморфное решение этого уравнения выписывается как производящий ряд 1-точечных инвариантов Громова-Виттена с потомками (/-ряд)..

Пусть М — некомпактное многообразие, и w: М —" А1 — такая функция на нём, что общий слой отображения w бирационален многообразию с тривиальным каноническим классом. Пара (М, w) называется (слабой) моделью Ландау-Гинзбурга зеркально двойственной к многообразию Фа-но X, если связность Гаусса-Манина семейства Mw совпадает с определенной выше связностью, построенной с помощью квантового умножения на X (то есть периоды Mw являются решениями дифференциального уравнения зеркальной симметрии)..

Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Существует соответствие между многообразиями Фано X и зеркально двойственными им моделями Ландау-Гинзбурга (М, w). Неформально говоря, для произвольного многообразия Фано X, построенное с помощью данных исчислительной геометрии на многообразии X дифференциальное уравнение имеет геометрическое происхождение (является уравнением Пикара-Фукса некоторого семейства)..

3Естественной базой для этого 1>-модуля является Spec а, но обычно достаточно либо тора Spec Л, либо одномерного аффинного пространства — замыкания в Spec, а какого-то (например, антиканонического) одномерного подтора в Л..

Гипотезу гомологической зеркальной симметрии также можно сформулировать в случае многообразий Фано: категория Vb (X) эквивалентна категории исчезающих лагранжевых циклов на (М, w) (это относительный вариант категории Фукай)..

В дальнейшем под гипотезой зеркальной симметрии мы будем иметь в виду утверждение про вариации структур Ходжа..

Известны кандидаты на роль (гомологически) зеркально симметричных партнёров (слабые модели Ландау-Гинзбурга) для поверхностей дель Пец-цо ([1]), для полных пересечений в грассманианах pi пространствах флагов.

43],[8],[9])..

Торические многообразия — класс рациональных многообразий, гораздо легче поддающийся классификации, чем абстрактные многообразия Фано. В работе [2] вычислено кольцо квантовых когомологий торического многообразия. В [35] вычислен I-ряд полного пересечения Y в ториче-ском многообразии X, если антиканонический класс —Ку численно эффективен. Зеркальная симметрия для гладких торических многообразий (и полных пересечений в них) была построена в [3], [10] и [35]. Используя малые торические вырождения (допускающие горенштейновы терминальные особенности) многообразий Грассмана (построенные в [83, 84]) и многообразий частичных флагов (построенные в [39, 40, 62]), в работах [8, 9] были получены кандидаты в слабые модели Ландау-Гинзбурга зеркально симметричные к этим однородным многообразиям..

В работе [4] было введено понятие малого торического вырождения произвольного многообразия Фано, обобщающее примеры с многообразиями флагов. Тогда же и был предложен подход к нахождению иивариантов Громова-Виттена и построения зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга с помощью малых вырождений гладких многообразий Фано в торические многообразия Фано с особенностями..

Именно этот подход и используется в данной работе как основной метод изучения многообразий Фано в размерности 2 и 3..

Как показано далее в диссертации, к сожалению, не все трехмерные многообразия Фано имеют малые торические вырождения, однако некоторые интересные многообразия всё-таки имеют, и в этих случаях сам факт существования вырождения позволяет решить иногда нетривиальные задачи исчислительной геометрии (например, найти некоторые инварианты Громова-Виттена многообразия V22 или V5 не прибегая к геометрии объемлющего пространства), и метод торических вырождений может быть использован для описания неторических многообразий Фано в больших размерностях..

Основные результаты диссертации.

Диссертация состоит из введения (главы) и трёх глав (1, 2 и 3)..

1. D. Auroux, L. Katzarkov, D. Orlov, Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves, 1.v. Math. 166, No. 3 (2006), 537−582 arXiv: math. AG/506 166..

2. V. V. Batyrev, Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds, arXiv: alg-geom/9 310 004..

3. V. V. Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom., 3:493−535 (1994) — arXiv: alg-geom/9 310 003..

4. V. V. Batyrev, L. A. Borisov, Mirror duality and string-theoretic Hodge numbers, Invent. Math. 126, No. l (1996), 183−203, arXivralg-geom/9 509 009..

5. A. Bertram, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, Two Proofs of a Conjecture of Hori and Vafa, Duke Math. J. 126, No. 1 (2005), 101−136, arXiv: math. AG/304 403..

6. V.V.Batyrev, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, D. van Straten, Conifold transitions and mirror symmetry for calabi-yau complete intersections in grassmannians, arXiv: alg-geom/9 710 022..

7. V.V.Batyrev, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, D. van Straten, Mirror Symmetry and Toric Degenerations of Partial Flag Manifolds, Acta Math. 184, No. 1 (2000), 1−39, arXiv: math. AG/9 803 108..

8. Generalized Hypergeometric Functions and Rational Curves on Calabi-Yau Complete Intersections in Toric Varieties, Commun. Math. Phys. 168 (1995) 493, arXiv: alg-geom/9 307 010..

9. A. Beauville, Le nombre minimum de fibres singulieres d’une courbe stable sur P1, Asterisque 86, 97−108 (1981), http: / / math.unice.fr/~beauvill/pubs / fibsing. pdf.

10. A. Beauville, Les families stables de courbes elliptiques sur P1 admettant 4 fibres singulieres, C. R. Acad. Sc. Paris 294, 657−660 (1982), http: / / rnath.unice.fr/~beauvill / pubs/ellss.pdf.

11. K. Behrend, Gromov-Witten invariants in algebraic geometry, Invent. Math., 127(3), 601−617 (1997) arXiv: alg-geom/9 601 011..

12. A. Buch, Quantum cohomology of Grassmannians, Compos. Math. 137, No.2, 227−235 (2003), arXiv: math. AG/106 268..

13. H. Clemens, Degeneration of Kahler manifolds, Duke Math. J. Volume 44, Number 2 (1977), 215−290..

14. H. Clemens, Double solids, Adv. Math. 47 (1983), 107−230..

15. B. Crauder, R. Miranda, Quantum Cohomology of Rational Surfaces, arXi v: alg-geom/9 410 028..

16. В. И. Данилов, Геометрия торических многообразий, Успехи матем. наук, т. 33, вып. 2 (200) (1978), 85−134, http: / / mi.mathnet.ru / umn/33/2/85.

17. В. И. Данилов, А. Г. Хованский, Многогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-, Делиня, Изв. АН СССР, Сер. Мат., 50, No. 5 (1986), 925−945, http://mi.mathnet.ni/izv/50/5/925.

18. P. Deligne, Theoreme de Lefschetz et criteres de degenerescence de suites spectrales, Publications Mathematiques de 1'IHES, 35 (1968), p. 107−126 numdam: PMIHES1968351070.

19. M. Demazure, Surfaces de del Pezzo, Lect. Notes Math, 777, 23−69..

20. B. Dubrovin, Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds, Proc. ICM Berlin 1998, arXiv: math/9 807 034..

21. P. Du Val, On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction, I, II and III, Proc. Cambridge Phil. Soc. 30 (1934), 453−459, 460−465, 483−491.

22. G. Fano, Sulle varieta algebriche a tre dimensioni aventi tutti г generi nulli, //in «Atti Congr. Int. Bologna IV», 1929 115−121..

23. G. Fano, Su alcune varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche, //in «Scritti Mat. offerti a L. Berzolari 1st. Mat. R. Univ. Pavia», 1936 329−349..

24. G. Fano, Sulle varieta algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche //in «Mem. Accad. d’ltaliana VIII», 1937 — 23−64..

25. G. Fano, Su alcune varieta algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve sezioni canoniche j j Comment. Math. Helv. — 1942 — No. 14. — 202−211..

26. R. Friedman, Simultaneous resolutions of threefold double points., Math.Ann., 274(4):671−689 (1986)..

27. M. Fukae, Y. Yamada, S.-K.Yang, Mordell-Weil Lattice via String Junctions, Nucl.Phys. B572 (2000) 71−94, arXiv: hep-th/990 9122vl..

28. M. Fukae, Monodromies of rational elliptic surfaces and extremal elliptic К3 surfaces, arXiv: math/205 062..

29. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, Princeton, NJ (1993)..

30. W. Fulton, C. Woodward, On the quantum product of Schubert classes, J. Algebr. Geom. 13, No. 4 (2004), 641−661, arXiv: math. AG/112 183..

31. A. Gathmann, Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces, Duke Math. J. 115, No. 2 (2002), 171−203, arXiv: math. AG/9 190..

32. I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants, Birkhauser, Boston (1994)..

33. A. B. Givental. Homological geometry and mirror symmetry. In Proceedings of the ICM, Zurich 1994, volume 1, pages 472 480. Birkhauser (1995), http://math.berkeley.edu/~giventh/papers/hg.pdf.

34. V. V. Golyshev, Classification problems and mirror duality, LMS Lecture Note, ed. N. Young, 338 (2007), arXiv: math. AG/510 287..

35. V. V. Golyshev, Spectra and strains, arXiv:0801.0432..

36. N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Degenerations of flag and schubert varieties to toric varieties, Transform. Groups, 1(3):215 248 (1996)..

37. N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Schubert varieties, toric varieties and ladder determinantal varieties, Ann. Inst. Fourier, t.47:1013 1064 (1997), http: / / www.math.neu.edu / ~lakshmibai / mega.pdf..

38. L. Gottsche, R. Pandharipande, The quantum cohomology of blow-ups of IP2 and enumerative geometry, arXiv: alg-geom/9 611 012..

39. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир (1981).

40. H. Hori, C. Vafa, Mirror symmetry, arXiv: hep-th/2 222..

41. В. А. Исковских, Многообразия Фано I, Изв. АН СССРСер. Мат., 41:31 977), 516−562, http://mi.mathnet.ni/izv/41/3/516..

42. В. А. Исковских, Многообразия Фано II, Изв. АН СССР, Сер. Мат., 421 978), 504−549, http://mi.mathnet.ni/izv/42/3/506..

43. В. А. Исковских, Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий, Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. Т. 12, М.: ВИНИТИ, с. 59−158 (1979)..

44. В. А. Исковских, Лекции по трехмерным алгебраическим многообразиям. Многообразия Фано, М.: Московский университет (1988)..

45. V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, Fano Varieties, volume 47 of Encyclopaedia Math. Sci. Springer-Verlag, Berlin..

46. P. Jahnke, I. Radloff, Terminal fano threefolds and their smoothings, arXiv: math/601 769..

47. Б. В. Карпов, Д. Ю. Ногин, Трехблочные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо, Изв. РАН. Сер. матем. 62:3 (1998), 3−38, arXiv: alg-geom/9 703 027..

48. A. Kasprzyk, Toric fano 3-folds with terminal singularities, Tohoku Math. J., Volume 58, Number 1 (2006), 101−121. arXiv: math/311 284..

49. Y. Kawamata, Deformations of canonical singularities, J. Am. Math. Soc. 12, No. l (1999), 85−92 arXiv: alg-geom/9 712 018..

50. Y. Kawamata, К. Matsuda, К. Matsuki, Introduction to the minimal model problem, Algebraic Geom., Sendai, June 24−29, 1985: Symp. TokyoAmsterdam e.a.1987 p. 283−360..

51. S. Kleiman, Towards a numerical theory of ampleness, Ann. Math, 94, 1, 293−344 (1966)..

52. K. Kodaira, On compact complex analytic surfaces II, Ann. Math. 77, 563 626 (1963)..

53. J. Kollar, Singularities of pairs, //in «Algebraic geometry — Santa Cruz (1995), Proc. Symp. Pure Math. AMS», No. 62 221−287 (1997), arXiv: alg-geom/9 601 026..

54. M. L. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proc. International Congress of Mathematicians (Zurich 1994), Birkhauzer, Basel, 120−139 (1997), arXiv: alg-geom/9 411 018..

55. M. L. Kontsevich, Yu.I. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys. 164 (1994) 525−562, arXiv: hep-th/9 402 147..

56. M. Kreuzer, H. Skarke, Classification of reflexive polyhedra in three dimensions. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2:847 (1998), arXiv: hep-th/9 805 190..

57. В. С. Куликов, П. Ф. Курчанов Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления ВИНИТИ, т. 36 (1989)..

58. M. Kreuzer, Н. Skarke, PALP: A Package for Analyzing Lattice Polytopes with Applications to Toric Geometry, Computer Physics Communications, 157:87 (2004), arXiv: math/204 356..

59. V. Lakshmibai, Degenerations of flag varieties to toric varieties. C. R. Acad. Sci Paris, 321 (no. 9):1229−1234 (1995)..

60. Ю. И. Манин, Фробеииусовы многообразия, квантовые когомологии и пространства модулей, -М.: Издательство «Факториал Пресс» (2002)..

61. K. Matsuki, Introduction to the Mori program — Universitext, Springer, 2002 478 pp..

62. R. Miranda, U. Persson, On Extremal Rational Elliptic Surfaces, Math. Z., 193, 537−558 (1986)..

63. S. Mori, S. Mukai, Classification of fano 3-folds with b2 ^ 2, Manuscr. Math., 36:147−162 (1981). Erratum 110: 407 (2003)..

64. S. Mori, S. Mukai, On fano 3-folds with b2 ^ 2, Algebraic varieties and analytic varieties, Proc. Symp., Tokyo 1981, Adv. Stud. Pure Math., 1:101−129 (1983), http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/paper/Fanol983.pdf.

65. S. Mori, S. Mukai, Classification of Fano 3-folds with B2 > 2, I, 'Algebraic and Topological Theories to the memory of Dr. Takehiko Miyata', (M. Nagata ed.), Kinokuniya, 496−545 (1985), http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mukai/paper/Fanol985.pdf..

66. S. Mukai, Biregular classification of Fano threefolds and Fano manifolds of coindex 3, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 86 (1989), 3000−3002.

67. S. Mukai, Fano 3-folds, Lond. Math. Soc. Lcct. Note Ser. 179, 255−263 (1992)..

68. Y. Namikawa, Smoothing fano 3-folds., J Alg. Geom., 6:307−324 (1997)..

69. A. Neron, Modeles minimaux des varieties abeliennes sur les corps locaux et globaux, Publ. I.H.E.S., 21 (1964)..

70. B. Nill, Gorenstein toric fano varieties, manuscripta mathematica, 116:183 (2005). Диссертация (подробная): http://w210.ub.uni-tuebingen.de/dbt/volltexte/2005/1888/pdf/nill.pdf..

71. В. В. Пржиялковский, On Landau-Ginzburg models for Fano varieties, Comm. Num. Th. Phys., в печати, arXiv:0707.3758..

72. В. В. Пржиялковский, Минимальное кольцо Громова-Виттена, Известия РАН, Сер. Мат., в печати (Деп. в ВИНИТИ 16.10.07, 961-В 2007), arXiv:0710.4084..

73. V. Przyjalkowski, Quantum cohomology of smooth complete intersections in weighted projective spaces and singular toric varieties, arXiv: math/50 7232v3..

74. M. Reid, Decomposition of toric morphisms, in Arithmetic and Geometry, papers dedicated to I.R. Shafarevich, Birkha" user 1983, Vol II, 395−418..

75. M. Reid, The moduli space of 3-folds with К = 0 may nevertheless be irreducible, Math. Ann., 278:329−334 (1987)..

76. M. Reid, Young person’s guide to canonical singularities, In Algebraic Geometry Bowdoin 1985, Proc. Symp. Pure Math. 46 (1987)..

77. Т. Shioda, On elliptic modular surfaces, J. Math. Soc. Japan, 24 (1972), 20−59..

78. B. Siebert, G. Tian, On quantum cohomology rings of Fano manifolds and a formula of Vafa and Intriligator, Asian J. Math. 1, No.4, 679−695 (1997), arXiv: alg-geom/9 403 010..

79. J. Stienstra, F. Beukers, On the Picard-Fuchs equation and the formal Brauer group of certain elliptic КЗ-surfaces, Mathematische Annalen 271 (1985) p.269−304..

80. B. Sturmfels, Algorithms in invariant theory, Texts and Monographs in Symbolic Computation, 1993..

81. B. Sturmfels, Grobner bases and convex polyhedra American Mathematical Society, 8, 1996..

82. J. Tate, On the conjecture of Birch and Swinnertod-Dyer, Sem. Bourbaki Exp. 306, 1−26 (1966)..

83. K. Ueda, Homological mirror symmetry for toric Del Pezzo surfaces, arXiv: math. AG/411 654..

84. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Cambridge Studies in Adv. Math. 77, CUP, 2003..