Методы решения некоторых классов задач оптимального управления на основе соприкасающихся эллипсоидов

Теория оптимального управления, развитая на рубеже пятидесятых и шестидесятых годов группой выдающихся советских ученых во главе с Л. С. Понтрягиным [1], получила всеобщее признание как фундаментальное теоретическое достижение и нашла широкое применение в приложениях.

Первоначальный импульс для развития теории оптимального управления возник в связи с задачей наискорейшего перевода управляемого объекта из одного состояния в другое (задача быстродействия). Как отмечает Р. П. Федоренко в [2], сам способ формулировки проблемы в наиболее адекватных терминах был поначалу предметом исследования, и во многом благодаря удачному решению этого вопроса были достигнуты столь значительные результаты. Сначала была полностью построена теория оптимального управления для линейных динамических систем, доказательство этих результатов принадлежит Р. В. Гамкрелидзедоказательство образующего стержень теории принципа максимума Понтрягина для нелинейного случая принадлежит В. Г. Болтянскому [3]. Большой вклад в развитие и разработку теоретических и прикладных аспектов математической теории оптимального управления внесли Н. Н. Красовский, Р. Беллман, Л. Нейштадт, Дж. Итон, Р. П. Федоренко, Ф. П. Васильев, Б. Н. Пшеничный, Р. Габасов, Ф. М. Кириллова, А. А. Белолипецкий и другие.

Линейный характер поведения динамического объекта определяет «выпуклость» задачи и позволяет провести исследование в весьма удобном виде, что приводит к получению компактно формулируемых результатов. Рассмотрение гладких задач можно признать удачным выбором формулировки проблемы, позволяющей перейти к построению эффективных вычислительных алгоритмов. Математическая постановка гладких задач оптимального управления в терминах опорной функции области управления, а также обоснование целесообразности такой постановки предложены Ю. Н. Киселевым [4]. Исследование взаимосвязи гладких и негладких задач проведено Ю. Н. Киселевым и С. Н. Аввакумовым, а также предложены алгоритмы «сглаживания» задачи [5]. Большую практическую экспериментальную и исследовательскую работу в этом направлении выполнил М. В. Орлов [6], [7].

Л.С.Понтрягин подчеркивал прикладной характер и практическую направленность математической теории оптимального управления. Большие возможности для практического использования полученных результатов предоставляет стремительно развивающаяся современная вычислительная техника. В этой связи возникает необходимость в совершенствовании методов решения задач, имеющихся в данной области, разработке новых идей и подходов, проведении исследовательской работы теоретического и экспериментального характера.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию новых методов решения линейных задач с гладкой областью управления. В качестве критериев качества управления рассматриваются оптимальность по быстродействию и минимизация расстояния до целевой точки.

К числу отправных исследований нужно отнести результаты, полученные Ю. Н. Киселевым: конструкцию соприкасающегося эллипсоида, предложенную для аппроксимации гладких выпуклых компактов [8], идею и методы «одномерной оптимизации», также высказанные в других формах, в частности, Дж. Итоном и В. Г. Болтянским, теорему о квадратичной скорости сходимости метода проектирования начального состояния на изохрону, изложенную в [4], специальную параметризацию начального значения сопряженной переменной, предложенную в работе [9].

Основой для исследованных в работе методов решения задач оптимального управления служат эллипсоиды, построенные специальным образом. Эллипсоидальные конструкции применялись ранее для аппроксимации множеств достижимости управляемых систем. Этой проблематике посвящены работы Ф. Л. Черноусько [10], А. Б. Куржанского и П. Варайя [11, 12]. Предложенные эллипсоидальные аппроксимации ставят своей целью прежде всего оценку возможных фазовых состояний динамической системыиспользованная в данной работе конструкция имеет иное предназначение. На основе квадратичного порядка аппроксимации границы множества достижимости (управляемости) соприкасающимся эллипсоидом строятся алгоритмы решения задач оптимального управления, обладающие квадратичной скоростью сходимости.

Геометрический смысл гладкости выпуклого компактного множества состоит в существовании в любой его граничной точке соприкасающегося невырожденного эллиптического параболоида. Соприкасающиеся параболоиды рассмотрены, например, в [13], [14]. В [4] излагается та же конструкция применительно к границе гладких выпуклых компактов. Соприкасающийся параболоид локально приближает исходный компакт, являясь неограниченным множеством. Для локальной аппроксимации гладких компактов Ю. Н. Киселевым предложена более совершенная конструкция — соприкасающийся эллипсоид [8]. Гладкий выпуклый компакт М € Г (К") с опорной функцией, а (ф) = с (Л4,ф) имеет соприкасающийся эллипсоид £(р) = ?(Л4,р) в любом направлении р € К?, р ф 0, который определяется опорной функцией с (?(р), Ф) = (а (р), ф) + у/ф*В (р)ф, где а (р) = 1[</(р)+</(-р) 1еГ,.

В (р) = {а{р) + а (-р)]<�г" (р) + ИР) — «(р)Мр) — «(?)]* G R»™.

Конструкция соприкасающегося эллипсоида применяется в данной работе для аппроксимации множеств достижимости X (to, t, xо) и управляемости Z (t, t, x) линейной динамической системы с гладкой областью управления Ы: x{t) = Ax (t) + u{t), x{t) G R", u (t) eUe r (Ru).

Эти множества, как показано в [4], являются гладкими выпуклыми компактами, их опорные функции имеют следующий вид: c (*(*0, t, х0), ф) = ф*еА^х0 + f c{U, еА'^ф№, c (Z (t, ti, xi), -ф) = -ф*еА"-ь^хх + f 1 c{U, eA'(t-*H)ds, где x (t0) = Xq и x (ti) = хг.

Рассматриваются задача быстродействия в начало координат x (t) = Ax (t) + u (t), х{0) = х0, х{Т) = 0, (!).

Т —> min и задача с терминальным функционалом типа «норма разности» ii (?) = Ax (t) + u (t), s (0) = х0, (2) x (T)-yf-+mm, целевая точка у и момент времени Т предполагаются здесь зафиксированными.

На основании уравнений принципа максимума Л. С. Понтрягина, оптимальное управление в задачах (1) и (2) записывается в форме и.(*)= Сф (и, е~А'%), где р, € К", р* ф 0 — оптимальное начальное значение сопряженной переменной, единственное с точностью до положительнбго множителя, которое для задачи (1) определяется условием c{Z (Q, U, xi),-p+) = (х0,-р*), (3) здесь ?* - время быстродействия — есть момент первого захвата точки х0 семейством множеств Z (0, t, Xi), xi = О G R". В задаче (2) оптимальное начальное значение сопряженной переменной имеет вид еА’тр, где р = уп{Х (О, Т, х0), у), (4) где 7 г (Л, х) = argmin | а — х | - оператор проектирования точки х на выпуклый компакт аел.

Л. Таким образом, поставленные выше задачи оптимального управления формулируются в терминах множеств достижимости и управляемости, что позволяет редуцировать их к задаче проектирования точки на множество, заданное опорной функцией (4) и задаче захвата точки семейством множеств (3).

Квадратичный порядок локальной аппроксимации границы множества позволяет использовать соприкасающиеся эллипсоиды в качестве основы для построения алгоритмов с ньютоновской скоростью сходимости. Результатом, натолкнувшим па это предположение можно считать теорему о квадратичной скорости сходимости метода проектирования начального состояния на изохрону, изложенную в [4]. Вместе с тем, приведенный в работе результат получен другим путем и для несколько иного класса задач. Изначально в работе рассматривается постановка задачи, не ставящая во главу угла ее дифферепциальную специфику. Вместо этого используются геометрические соображения для рассматриваемых множеств и аналитические свойства их опорных функций, а уже потом полученные результаты применяются для решения задач оптимального управления. Такой взгляд на проблему можно признать родственным подходу, примененному С. П. Самсоновым в [15] и [16]. При доказательстве квадратичной скорости сходимости методов решения задачи быстродействия оказалась удобной параметризация начального значения сопряженной переменной, с небольшой особенностью отражающая суть подхода, предложенного в [9]. Использование идеи «одномерной оптимизации» привело к построению квадратично сходящегося метода, для которого не возникает проблемы выбора «достаточно» хорошего начального приближения. В качестве вспомогательного метода, а также в целях сравнительного анализа используется потенциал W (q), введенный в [17].

Основным результатом работы является доказательство квадратичной скорости сходимости методов проектирования на соприкасающиеся эллипсоиды для решения задачи с терминальным функционалом и задачи быстродействия (в геометрической трактовке), а также доказательство аналогичного результата и свойства гарантированной сходимости для построенных модифицированных итерационных процессов.

Сначала проводится исследование метода проектирования точки на множество в статическом случаеглавным конструктивным элементом алгоритма решения этой задачи является соприкасающийся эллипсоид. Доказано, что при определенных предположениях можно гарантировать квадратичную скорость сходимости метода, [44]. Также проведено изучение вопроса о сходимости метода, теоретические и практические исследования для его модификаций, сравнение с имеющимися аналогами. Метод использован для решения задачи оптимального управления с терминальным функционалом. Построена его модификация, обладающая гарантированной сходимостью. Далее рассматривается задача быстродействия в геометрической интерпретации и алгоритм ее решения на основе проектирования точки на множество. Для этого метода сформулированы требования, гарантирующие сходимость, и получены условия, достаточные для ньютоновской скорости сходимости, [45], [46]. Следующая часть представляет собой конструктивный синтез результатов, полученных в работе ранее, — использование конструкции соприкасающегося эллипсоида для решения задачи быстродействия, [47]. Рассмотренный метод применяется для решения задачи оптимального управления, в качестве основы используется идея проектирования начального состояния на изохрону, подробно изложенная в [4], при этом дается ответ на вопрос о способе проектирования, который был оставлен открытымдифференциальная интерпретация процесса проектирования (метод проектирования в непрерывной форме, изложенный, например, в [5]) при этом не используется. В заключительной части построена модификация метода, обладающая гарантированной сходимостью.

Полученные результаты сравниваются с другими известными алгоритмами. Отдельные части работы завершаются примерами численных расчетов, на практике иллюстрирующих рассмотренные проблемы. Теоретические результаты, освещенные в настоящей работе, нашли практическую реализацию в программном продукте Е1И.

и включение G Не, — (5.41).

Из леммы 4.1, поскольку сейчас выполнены все ее условия, следует, что существуют положительные константы С2 и Сз и достаточно малое число £г3 > 0 такие, что для всех пар (t, p), удовлетворяющих условиям (t, p) G il?3 и р G ?(t, 0), выполнено неравенство:

С2Р — Р. |2 < 11 — U | < С3р — р* |2. (5.42).

Положим число е4 = тт{е1,е2,ез}. На множестве Н£4 выполняется оценка (5.40) и включение (5.41), поэтому из (5.38), с учетом равенств (5.39), следует справедливость соотношений.

9{t, q) =g (t*, p*) + g, t (k'(it)(t-t*) + 9'p (4>

Поэтому существует такое достаточно малое число ет, удовлетворяющее требованию 0 < е < ?4, что для всех точек (i, p) 6 таких, что р е ?(i, 0), будет выполнятся неравенство 9 (U я) < 0. Лемма 5.4 доказана.

Замечание 5.7 Из леммы 5.4 следует, что при выполнении ее условий существует такое малое число 5 > 0, что в методе (4−1) для любых пар (tk, Pk), удовлетворяющих условию (tfc.Pfc) Е 11 $, существует момент времени tk+ € (?&,?*], определенный равенством 0.