Переопределенные линейные системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точками

Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби, и др. Одним из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, является система в полных дифференциалах.

Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему.

Ux=P (x, y), Uy=Q (x, y), где условие Py = Qx является необходимым и достаточным для разрешимости этой системы. При его выполнении dU = Р (х, y) dx + Q (x, y) dy является полным дифференциалом, и функция U (x, y) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и n-мерном случаях.

Академиком АН РТ Л. Г. Михайловым положено начало изучения некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка [1], [2], [26].

Монография Н. Раджабова, академика АН РТ [13] посвящена получению многообразия решений, исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго —порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка и с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками. Методы нахождение решений в данной монографии, разработанные для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются и для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.

В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована монография «Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных». В данной работе получены интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и точкой.

Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л. Г. Михайлова, М. В. Коровина, Н. Раджабова, Э. Рузметова, Р. Пирова, Б. Шарипова, Ф. М. Шамсуддинова и других авторах.

В основном большинство имеющиеся работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также сингулярными линиями на плоскости.

Некоторые работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.

Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, кроме отдельных случаев мало изучены. В связи с^^зтим являетсяактуальнойпроблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в двумерном и многомерном случаях.

Настоящая диссертационная работа посвящена данной проблеме. В работе изучается переопределенная система двух и трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случае, когда коэффициенты уравнений в рассматриваемых системах в сингулярной точке необращается в нуль.

Во введении дан краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обоснован актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.

Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.

Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверхсингулярной точкой.

Методика исследования.

В диссертации применены современные методы, исследований разработанные для изучения переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также метод интегральных представлений для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется ранее не изученные переопределенные системы двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач в механике и физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором.

Н. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского Национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и изложена на 108 страницах.

1. Михайлов Л. Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986 г. — 116с.

2. Михайлов Л. Г. Об одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений. //ДАН России, 1991 г, т. 321, № 4. С. 681−686.

3. Михайлов Л. Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками. //ДАН России, 1992 г, т. 322, № 4. С. 646−650.

4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, 4.1, 1980 г. 126с., ч. 2, 1981. — 170с., ч.З. 1982 г. — 170с.

5. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, ч. 4, 1985 г. 148 с.

6. Раджабов Н. Линейные гиперболические системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Дифференциальные уравнения и оптимальные управления: Тез. докладов Всесоюзной конференции. Ашхабад, 1990 г., 4−6 октябрь. С. 109−110.

7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи длянекоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярнымилиниями. //Док. АьТсССРЛ985г7тГ2^МГ^Г534−539:———————.

8. Раджабов Н. Об одном методе представления многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с регулярными с сингулярными коэффициентами на плоскости. //Изв. АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат., хим.геол.наук, 1984 г., № 4. С. 8−14.

9. Раджабов Н. О дифференциальных уравнениях со сверхсингулярными коэффициентами. //Тез. докладов всесоюзн. конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. 28−30 сент., ч. 3, Душанбе, 1987 г. С. 70−71.

10. Раджабов Н. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Докл. АН Тадж. ССР, 1988 г., т. 31, № 20. С. 830−834.

11. Раджабов Н. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями. //Док. АН Тадж. ССР, 1989 г., т. 32, № 9. С. 573−577.

12. Раджабов Н.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. (Учебное пособие по спецкурсу), Душанбе, 1992 г. 236с.

13. Rajabov N. Linear hyperbolic equations with two super singular lines. //Integral equations and boundary value problems. (Beijing, China 2−7 September, 1990). World scientific. Singapore, New Jersey London — Hong Kong. — p. 170−175.

14. Rajabov N. Many-Dimensional linear hyperbolic equations with super singular coefficients. //International Conference on Applied Mathematics, Tehran, Iran, June 18−20, 1991. p. 56−58.

15. Rajabov N. An Introduction to the theory of partial differential equations with super-singular coefficients. Tehran University publishers, Tehran, 1997. 230p.

16. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with supersingular coefficients. Dushanbe, 1988. 160p.

17. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, 1994 г. 241с.

18. Пиров Р. О некоторых линейных системах трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями. //Докл. АН Тадж. ССР, 1982 г., т.25, № 1. -С. 10−14.

19. Раджабов Н., Мирзоев Н. К теории одного класса линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой. //Вестник Национального Университета, серия математика, Душанбе, 2004 г. -С. 84−101.

20. Михайлов Л. Г. ДАН России, 1997 г., т. 354, № 1.

21. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2002 г., т. 384, № 6.

22. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2004 г., т. 398, № 2.

23. Шарипов Б. Формула представления решений одного класса ^системы——уравнений в полных дифференциалах. //ДГПУ, вып. 1, 1991 г.-С.188−193.

24. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Материалы международной-научной конференции. Казань, Изд-во Казанского математического общества. 2004 г.-С. 109−110.

25. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Краевые задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами». Душанбе, 1996. С. 96.

26. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярными коэффициентами. //" Вестник педагогического университета", № 5, ч. 2. Душанбе.-199−9г.^С. 7,.

27. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе уравнений первого порядка со сверхсингулярными точками. //Материалы республиканской молодёжной научной конференцииЧ, авонон ва ч, ах, они дониш", Душанбе. 2000. С. 60−61.

28. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы уравнения первого порядка с сингулярной точкой. //" Ирфон". Сб. науч. ст. преподавателей. Курган-Тюбе. 2000. -Вып. 1.-С. 60−65.

29. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка со сверхсингулярной точкой. //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям. Душанбе, 2003. -С. 80.

30. Раджабов Н., Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с однойсграничной сингулярной точкой. //Известия АН РТ. Серия естественных наук Душанбе, 2009. № 4(137). — С. 18−26.

31. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярной точкой. //Вестник Таджикского национального университета". Серия естественных наук Душанбе, 2011. № 3 (67). — С. 6−10.

32. Иззатуллоев Д. Об одной переопределенной системы уравненийпервого порядка с сингулярной точкой //Материалы республиканской научной конференции «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения». Душанбе, ТГНУ, 23−24 июня 2011. С.

33. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы второго порядка с особенностью. //Материалы «Тринадцатой международной конференции имени академика М. Кравчука». Киев. 2010. С. 443.

34. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярной точкой. //Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Душанбе. 2000 г. С. 115.

35. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системы со сверх сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции по математическому моделирование и вычислительному эксперименту. Душанбе. 2002 г. С. 53−55.

36. Шамсуддинов Ф. Об однойНереопределенной системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //" Материалы международной конференции имени академика М. Кравчука". Киев. 2004. С. 280−281.

37. Шамсуддинов Ф. Об одном гиперболическом уравнении второго порядка со сверх сингулярными коэффициентами. //Доклады АН Украины. 2004. № 4. С. 7−12.

38. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярными коэффициентами. //Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского". Т-25. Казань. 2004. С. 283−284.40.43.