О разрешимости некоторых краевых задач в областях с негладкой границей

Основной задачей настоящей диссертации является исследование разрешимости некоторых краевых задач математической физики, не являющихся корректными в смысле Адамара-Петровского, т. е. имеющих не единственное решение, и (или) разрешимых не для любой правой части. Более того, рассматриваемые задачи имеют, как правило, бесконечномерные ядро и коядро и являются нормально разрешимыми в смысле Хаусдорфа.

В работе показано, что разрешимость изучаемых краевых задач для дифференциальных уравнений оказывается эквивалентна справедливости соответствующего факторизационного неравенства, а также наличию разложения функционального пространства в прямую сумму его замкнутых подпространств. При этом выбор соответствующего разложения функционального пространства (равно как и функционального неравенства), эквивалентного разрешимости краевой задачи, не является единственным, что позволяет получить новые сведения о разрешимости хорошо известных задач.

В работе используются методы комплексного функционального анализа, которые оказываются эффективны при исследовании разрешимости не только задач в специфической комплексной постановке, но и в применении к известным задачам вещественного анализа. Отметим также, что основные результаты получены в рамках банаховых функциональных пространств, что развивает результаты и методы исследования, предложенные в работах [6]—[ 10].

Известные краевые задачи математической гидродинамики рассматриваются в обобщенной постановке, тесной связанной с численными методами исследования данных задач (см. [28]). Разложения функциональных пространств, полученные в рамках исследования разрешимости данных краевых задач, представляют, на наш взгляд, и некоторую самостоятельную ценность, поскольку позволяют уточнить известные результаты теории функций комплексного переменного и теории упругости.

Рассмотрим содержание работы более подробно.

В диссертации исследуются следующие краевые задачи:

1). Первая краевая задача для уравнения дивергентного вида (рассматривается случай двух вещественных переменных, область G с С, Г — ее граница): divu (ж) =/(ж), х? G, и|г — 0.

2). Задача Стокса (рассматривается случай двух вещественных переменных).

V h + Av = g, divv = 0, v|p = 0.

3). Краевая задача для комплексного уравнения дивергентного вида divz и = /, и ¦ щ |г = 0.

В последнем случае рассматривается область G С С", Г — ее граница. Символом г/2 обозначена т. н. комплексная нормаль к границе Г, определяемая следующим образом: если и = (cosai, cos/3i,., cosan, cos (Зп) — внешняя нормаль к границе Г, то vz — (cos «1+г cos Д,., cos cos/3»). Символ divz обозначает дифференциальный оператор, применяемый к комплекснозначной вектор-функции u = {iti, иг, • • •, ип] переменного z = {zi, ., zn} по следующей формуле: divz и — дг1щ + dZ2u2 + • • • + dzun, dz = (Д — г .

Задачи 1), 2) являются хорошо известными, исследование задачи 3) начато в [10].

Разрешимость задачи 1) исследуется в главе 1 в следующей обобщенной постановке:

Для любой правой части f е LP (G), ортогональной константе, о найти решение и б Wlp (G).

Здесь и далее предполагается, что 1 < р < оо и G — ограниченная область на комплексной плоскости.

Заметим, что решение задачи 1) не является единственным, а определяется с точностью до пространства.

S 1(G) = ju G Wp (G): divu = 0 j .

В работе установлено (см. теорему 1.5), что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи 1), наряду с известным LBB-неравенством.

HLp (G)/C.

MlLP (G)/C ^ М IMILP (G)/C > где и 6 HP (G), v G HP (G) — сопряженные гармонические функции, константа М > 0 не зависит от функций и и v.

Весьма существенно, что в доказательстве этого факта не используется никаких предположений относительно гладкости границы области G, кроме следующего: определен ограниченный обратный оператор к опео ратору Лапласа Д: Wlp (G) ->• (обозначим его символом Aq1).

При р = 2 указанное утверждение справедливо для любой ограниченной области G (см., например, [30]).

Следует отметить, что неравенство Харди-Литтльвуда является одной из классических задач теории функции комплексного переменного. Впервые оно доказано в статье [34] для области в виде кругапоиск достаточных условий на область, в которой неравенство справедливо, продолжается вплоть до настоящего времени (см., например, [36]). Эквивалентность неравенства Харди-Литтльвуда и LBB-неравенства при р — 2 и некоторых дополнительных ограничениях на область известна из работы [35].

Разрешимость задачи Стокса 2) изучается в главе 1 в следующей обобщенной постановке:

Для любой правой части f е W~1(G) существует единственное о решение {h, v} е LP (G)/C х Sj (G).

Данная постановка обобщает постановку задачи Стокса, используемую в [25], [28], [33] на случай рф1. Подчеркнем, что рассматриваемая постановка задачи Стокса (при р — 2) отличается от классической вариационной постановки, используемой в [20], в следующих деталях: о a) пространство Sj (G) определяется не как замыкание гладких финитных соленоидальных функций в области G по норме Wp (G), но как о подпространство функций и в Wp (G), для которых divu = 0- b) давление h ищется как функция из LP (G), но не как функция из Ll°c (G).

Отличия различных постановок задачи Стокса анализируются, например, в [28]).

В настоящей работе установлено (см. теорему 1.8), что необходимым (а при р = 2 и достаточным) условием разрешимости задачи Стокса в рассматриваемой постановке является LBB-неравенство (1).

Заметим далее, что при исследовании задачи Стокса важную роль играет оператор Шура. Дополнением по Шуру, или оператором Шура системы Стокса 2) называется оператор

А = div AnXV.

В работе показано, что разрешимость задачи Стокса в указанной обобщенной постановке эквивалентна обратимости дополнения Шура как оператора, действующего из lp (g)/c в lp (g)/c (см. теорему 1.9).

Отметим также, что функция давления h может быть найдена по формуле h = A^divAg1/.

Этот подход к решению задачи Стокса отличается от традиционного вариационного метода, основанного на определении поля скоростей v. Существует мнение, что численные методы решения задачи Стокса, основанные на обращении оператора Шура, являются в определенном смысле наилучшими (см. [25]). Эффективность подобных методов существенно зависит от нормы обратного оператора А-1, или, что тоже, от величины константы М в LBB-неравенстве (1) (см. там же). Естественно, сам факт обратимости оператора Шура при этом имеет принципиальное значение.

В ряде работ по численному анализу высказывалось мнение, что задача Стокса разрешима для области g с кусочно-липшицевой границей, или, что тоже, при указанных ограничениях на область справедливо LBB-неравенство при р = 2 (см, например, [12], [25]). Результаты настоящей работы показывают, что это мнение не является верным. В заключительном разделе первой главы рассматривается пример области с кусочно-гладкой границей, для которой LBB-неравенство при р = 2 несправедливо.

В главе 1 также установлено, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Стокса является справедливость любого из следующих разложений банаховых пространств в прямую сумму замкнутых подпространств: lp (g)/c = op (g)/c 0 op (g)/c 0 (dxwl (g) П dzwlig^j (2) hp (g)/c = op{g)/с e op (g)/c © ep (g). (3).

Здесь HP (G), 0P (G), 0P (G) — соответственно, подпространства гармонических, аналитических и антианалитических функций в LP (G),.

EP (G) = dzWl (G) f| d, Wl (G) П HP (G).

Разложение (2) тесно связано с действием оператора А. Именно, в главе 2 доказано, что пространство Op (G)/С © Op (G)/C является инвариантным подпространством оператора Шура, а пространство о о dzWl (G) р| dsWp (G) является собственным подпространством, соответствующим собственному значению, равному 1 (см. теорему 2.3). Этот факт дает возможность провести детально анализа спектра оператора Шура для многосвязной области, исследование которого, в свою очередь, тесно связано с задачами теории упругости (см. предложение 2.15). Ключевые результаты по спектру оператора Шура сформулированы в теореме 2.4.

О свойствах, связанных с «ортогональностью» разложения (2), см. теорему 1.1, пункт i), а также предложение 2.13.

Не менее содержательно, на наш взгляд, и разложение (3). Имеет место следующий факт (см. предложение 1.16):

Линейное пространство функций и Е HP[G), имеющих сопряженную функцию v Е HP (G), совпадает с пространством Op (G) + Op (G),.

Как следствие «ортогональности» разложения (3), получаем следующий критерий наличия сопряженной для гармонической функции:

Гармоническая функция и Е HP (G) имеет сопряженную функцию v е HP (G) тогда и только тогда, когда она ортогональна пространству EP*(G).

Основным (а при р = 2 и единственным) ограничением на область G (помимо ограниченности), при котором справедлив этот критерий, является справедливость LBB-неравенства (1) (см. утверждение j) теоремы 1.1). Практический пример использования данного критерия рассматривается на стр. 72.

Другие свойства разложения (3) рассматриваются в главе 2, при более ограничительных предположениях относительно области G: предполагается, что область G конечносвязная с границей класса С2. В этом случае пространство EP (G) конечномерно (размерность на 1 меньше числа компонент связности границы) и не зависит от индекса р (см. теорему 2.1), т. е. Ep (G) = E (G). В соответствии с теоремой 2.2, также справедливо разложение н/с^о/с е о/с © e{g). (4).

Заметим, что в классической теории функции комплексного переменного известно другое разложение,.

Я/С = О/с © О/С © F (G), (5) где к f (z) = otj Inz — Zj |2, ctj EC >. j=i см. предложение 2.8, а также [32]).

Полезным наблюдением является то, что для функции / е HP (G), при указанных требованиях на область, в разложениях (4) и (5) получаем составляющие также из LP (G). В случае разложения (4), это немедленно следует из разложения (3). В случае разложения (5), этот факт требует доказательства, см. предложение 2.9. Разложение (4) имеет преимущество перед (5), состоящее в ортогональности дополнения при р = 2.

В случае односвязной области G, разложение (3) принимает вид.

HP (G)/c = Op (G)/c © Op{G)/c.

Данное разложение (при р — 2) отмечалось в статье [6].

В главе 3 исследуется разрешимость задачи 3) в следующей обобщенной постановке:

Функция u G LP (G) является обобщенным решением краевой задачи 3) справой частью f е Lp (G), ecAU справедливо интегральное.

F (G) = тождество u, V-Zv) = - (/, v) для любой функции v е W^(G).

Определим функциональное пространство.

Dp (С?) = {ие Lp (G): divz u 6 L p (G)}. с нормой.

HUllDi (G) = llUllLp (G) + lldivZUllLp (G)-Пусть G — ограниченная липшицева область. Тогда для функций u е Dj (G) определен след = и ¦ vzT (см. предложение 3.18). Определим также функциональное пространство {и Е D 1(G): 7i/U = 0}.

В соответствии с предложением 3.19, функция и? является обобщенным решением задачи (3.12), (3.13) тогда и только тогда, когда neDi0(G).

Указанный результат не означает существования решения (более того, для любой правой части / е решения заведомо не существует).

Кроме того, решение, если оно и есть, очевидно не единственно — ядром задачи является подпространство lpfi (G) = {u € Di>0(GO: divz и = 0} .

В статье [ 10] доказан следующий результат:

Пусть область G С Сп имеет вид полидиска, т. е. G = Щ=1 Вг, Br = {z? С: |jar| < г}. Справедливо ортогональное разложение.

L2(G) = 02(G) 0 divz (Dj>0(C?)/CS5>0(G)).

Указанное разложение означает, в частности, что задача 3) разрешима для любой правой части / Е L2(G), ортогональной аналитическому подпространству 02(G), причем решение является элементом пространства Dio (G).

В настоящей работе указанный результат обобщается на случай произвольного показателя р, 1 < р < оо, и области в виде декартового произведения, т. е. G = Щ=1 Gj, где Gj С С — произвольные ограничено ные области. Более точно, предполагается, что оператор, А: Wj (Gy обратим для каждой из областей Gj (при р = 2 это безусловно верно). В указанных условиях получен следующий результат (см. теорему 3.3):

Справедливо разложение.

LP (G) = О,(С?) е div2 (V^/CS^G)).

6).

Здесь пространство Vp 0((?) определяется как пространство векторix, понимаются в смысле ?>'(G)), с нормой ди д функций u е LP (G), таких, что ^ е LP (G) и е LP (G) (производные.

Mvj (G) = Н1ьр (0 + X).

3=1 ди^ дха.

LP (G) j=l duj дУ].

LP (G) причем для функций и е У⁰((2) полагается, что след и • vzT = 0.

В тех случаях, когда области Gj обладают достаточной гладкостью для определения следа (как следа функции из пространства), этого определения достаточно. Однако в случае, если Gj — произвольные ограниченные области, определение следа на границе требует большой осторожности. Более точное определение пространства V^G) дается в терминах пространств функций со значениями в банаховых пространствах (такие пространства широко используются в работах по уравненип ям в частных производных, см., например, [22], [23]). Пусть 7) = JJ Gk.

Определим пространство к=1 кф].

K]oJ (G) = Ш).

Тогда пространство определяется как п i=i.

Соответственно,.

CSj>0(G) = {u е Vj>0(G): divz и = 0 в D'(G)}.

Доказательство справедливости разложения (6) основано на методе разделения комплексных переменных.

Разложение (6) в частности означает, что решение задачи 3) существует как элемент пространства Vj)0(G) для любой правой части /? LP (G), ортогональной аналитическому пространству Op (G). Отметим, что результат является новым (по сравнению со статьей [10]) даже для случая полидиска и р = 2, поскольку утверждается, что можно найти решение задачи 3), для которого конечна более сильная норма, чем норма пространства D^((?) — норма пространства Vj ((7).

Вполне естественным является вопрос — нельзя ли найти решение о задачи 3), являющееся элементом пространства W*(G) (в этом случае ситуация была бы совершенно аналогичной задаче 1) или хотя бы элементом пространства.

Wji0(G) = {u G Wp (G): (и, их) г = 0} .

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи 3) в указанном смысле является оценка (комплексный аналог LBB-неравенства) где константа М > 0 не зависит от функции и е LP<(G)).

В заключительном параграфе Ш-ей главы показано, что для области G, имеющей вид бикруга, и р = 2 (т. е. в наиболее «хорошем» случае) оценка (7) несправедлива. Это означает, что образ оператора divz при о отображении из пространства W^G) (равно как и из W^G)) в L2(G) не является замкнутым (см. предложение 3.24).

В то же время, если G — область в виде декартового произведения областей с липшицевой границей, имеет место вложение Vp0(G) С Dp)0(Cr) (см. предложение 3.21). Это означает, что задача 3) разрешима в пространстве D⁰(G). Последнее утверждение эквивалентно оценке.

HLp,(G)/Op,(G) < mhv^ii (d1,0(g))*' где константа М > 0 не зависит от функции и Е LP>(G).

Полученная оценка имеет прикладное значение. Например, в соответствии с известным результатом Дубинского Ю. А. (см. [10]) из этой оценки (при р = 2) следует разрешимость т. н. комплексного аналога задачи Неймана.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научно-исследовательских конференциях: международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23−29 мая 2005 г.) — см. [14]- международной конференции «Математическая гидродинамика» (Москва, 12−17 июня 2006 г.) — см. [15]- международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 19−25 июня 2006 г.) — см. [16], научно-исследовательских семинарах: научно-исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю. А.- научно-исследовательском семинаре факультета Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ под руководством академика РАН Моисеева Е. И.- научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики Механико-Математического факультета МГУ под руководством профессора Кобелькова Г. М.;

— научно-исследовательском семинаре МИ РАН под руководством академика РАН Никольского, чл.-корр. РАН Бесова О. В., чл.-корр. РАН Кудрявцева Л. Д.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]—[18].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Бесов О. В., Ильин В. ПНикольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука-Физматлит, 1996.

2. Боровиков И. А. Некоторые разложения пространств С. Л. Соболева и их приложения// Вестник МЭИ, № 6, 2005, с. 25−41.

3. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Ха-ара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах. М.: Наука, 1977.

5. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой // Вестник ЛГУ, 1973, № 19, с. 5−12.

6. Дубинский Ю. А. О некоторых ортогональных разложениях и нелинейных аналитических задачах // Дифференциальные уравнения, 1995, Т. 31, № 2, с. 262−276.

7. Дубинский Ю. А. О задаче продолжения с наименьшим коаналити-ческим уклонением // Математические заметки, Т. 64, вып. 1,1998, с. 45−57.

8. Дубинский Ю. А., Осипенко А. С. Нелинейные аналитические и ко-аналитические задачи (Lp-теория, клиффордов анализ, примеры)// Математический сборник, Т. 91, № 1, 2000, с. 65—102.

9. Дубинский Ю. А. Об одном ортогональном разложении пространствоW и W2l и его приложении к задаче Стокса. //Доклады Академии Наук, 2000, Т. 374, № 1, с. 13−16.

10. Дубинский Ю. А. Комплексный аналог задачи Неймана и ортогональное разложение Ь2 в сумму аналитического и коаналитическо-го подпространств //Доклады Академии Наук, 2003, Т. 393, № 2, с. 155−158.

11. Канторович JI. В., Акилов В. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

12. Кобельков Г. М. Об эквивалентных нормировках подпространств L2 //Analysis Mathematica, V. 3, N. 3,1977, С. 177−186.

13. Красногорский А. М. Разложение функций многих комплексных переменных на аналитическую и коаналитическую составляющие // Вестник МЭИ, № 6,2005, с. 42−58.

14. Красногорский А. М. О разложении пространства гармонических функций и некоторых приложениях // Доклады Академии Наук, Т. 411, № 4,2006,3 С.

15. Красногорский А. М. Об отсутствии решения комплексного дивергентного уравнения в пространстве Соболева // Вестник МЭИ, № 6, 2006, 7 С.

16. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. M.-JL, 1951.

17. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

18. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

19. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

20. Михлин С. Г. Спектр пучка операторов теории упругости // Успехи математических наук, Т. 28, вып. 3,1973, С. 43−82.

21. Ольшанский М. А., Чижонков Е. В. О наилучшей константе в inf-sup-условии для вытянутых прямоугольных областей // Математические заметки, Т. 67, вып. 3, 2000, С. 387—396.

22. Ройтберг Я. А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. Препринт I-IV. Чернигов: Изд-во педагогического института, 1990.

23. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

24. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса (теория и численный анализ). М.: Мир, 1981.

25. Функциональный анализ / Под общей редакцией С. Г. Крейна. М., Наука, 1972.

26. Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2003.

27. Adams R. A. Sobolev spaces. N.-Y.: Academic Press, 1975.

28. Axler S" Bourdon P., Ramey W. Harmonic function theory. N.-Y.: Springer-Verlag, 2001.

29. Chizhonkov E. V., Olshanskii M. A. On the domain geometry dependence of the LBB condition // Math. Modelling and Numerical Analysis, 34, № 1,2000, P. 935−951.

30. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of conjugate functions //J. Reine Angew. Math., Vol. 167, 1932, P. 405—432.

31. Horgan С. O., Payne L. E. On inequalities of Korn, Friedrichs and Babuska-Aziz// Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 82, 1983, P. 165−179.

32. Nolder C. A. Conjugate harmonic functions and Clifford algebras // J. Math. Anal. Appl., Vol. 302, № 1,2005, P. 137−142.