Лазерное разрушение поглощающих материалов

Контрольная работа Лазерное разрушение поглощающих материалов Содержание

1. Общая характеристика механизмов лазерного разрушения

2. Теория теплового разрушения

3. Высокотемпературные механизмы с участием испарения

4. Использование методов теории подобия

5. Объемное парообразование

6. Кинетика испарения металла

7. Стационарное движение границы фаз и «оптимальный» режим испарения

8. Гидродинамика разлета пара

9. Гидродинамика разлета поглощающей плазмы

10. Газодинамика разлета пара

11. Лазерное излучение в воде

12. Лазерное излучение в атмосфере Литература

1. Общая характеристика механизмов лазерного разрушения лазерный разрушение испарение плазма Термин «разрушение» при воздействии мощных потоков ЛИ на вещество является условным, поскольку практически при любой плотности потока в объеме вещества происходят физические процессы, вызывающие необратимые изменения, связанные, например, с диффузией вещества или генерацией структурных несовершенств.

Условимся понимать под разрушением материалов при воздействии ЛИ образование в веществе углублений, вызванных выносом части объема вследствие процессов испарения. Разрушение материала с образованием кратеров или сквозных отверстий в тонких пластинках может быть также вызвано плавлением материала с вытеснением жидкой фазы давлением отдачи и последующей кристаллизацией расплава. Хрупкие материалы могут «трескаться» и образовывать отколы под действием термических напряжений.

Общей физической модели, охватывающей все особенности воздействия ЛИ, в широком диапазоне плотностей потока и свойств материалов пока не создано. Основными моделями, с помощью которых описывают процессы разрушения, являются модель теплового разрушения и газодинамическая модель.

Характер действия ЛИ на прозрачные материалы зависит от интенсивности ЛИ. Если интенсивность не превысила некоторого допустимого (порогового) значения, то лазерный луч проходит через прозрачный материал, не повреждая, а лишь нагревая его. При превышении порогового значения начинается выброс материала с поверхности, что сопровождается плавлением, испарением и растрескиванием материала.

Повреждения прозрачных материалов могут быть вызваны:

образованием фононов (гиперзвуковых колебаний) в процессе вынужденного рассеяния Мандельштама Бриллюэна;

поглощением ЛИ дефектами в материале;

явлениями, при которых свободные электроны приобретают в электрическом поле энергию, соответствующую ударной ионизации атомов вещества, в результате чего возникает интенсивный нагрев.

Возникновению повреждений способствует также самофокусировка ЛИ. Анализ причин повреждений, возникающих при действии ЛИ на прозрачные материалы, свидетельствует о том, что во многих случаях повреждения вызываются несколькими одновременно действующими причинами. Так, например, процесс разрушения может начаться с маленького откола, вызванного гиперзвуковой волной, что приводит к увеличению поглощения ЛИ.

Пороговые значения мощности ЛИ, приводящие к разрушению стекол некоторых типов, приведены в табл. 1.

Таблица 1

В ряде экспериментов на стеклянный образец воздействовали излучением рубинового лазера с модулированной добротностью. При этом на передней и задней поверхностях образца возникала искра, однако повреждения были отмечены только на задней поверхности. На передней поверхности оставался лишь обожженный участок, а в объеме материала никаких изменений не наблюдалось.

Стеклянная призма повреждалась лишь в точках отражения и выхода лучей из призмы. Поврежденные участки отмечались также в тех точках, где ЛИ падало на грань призмы.

Если ЛИ входило в стеклянный образец из воздушной среды, а выходило через поверхность, контактирующую с жидкостью с тем же значением коэффициента преломления, повреждения отмечались как на входной, так и на выходной поверхностях. Если образец погружали в жидкость, активную в отношении комбинационного рассеяния (бензол, сероуглерод), то повреждения отмечались только на задней поверхности.

Такие опыты подтверждают, что одной из причин повреждения прозрачных материалов являются процессы вынужденного рассеяния Мандельштама Бриллюэна и когерентная генерация гиперзвуковых волн.

Статистические исследования закономерностей распределения дефектов в прозрачных материалах позволили сделать вывод о связи разрушений с наличием дефектов структуры.

Начальная фаза повреждения вызывается поглощением ЛИ неоднородностями, которое приводит к увеличению поглощения падающего излучения. Явление сопровождается гиперзвуковыми импульсами, воздействиями давления и термических напряжений, что приводит к расширению первоначальных трещин и увеличению температуры материала.

Можно принять, что повреждения в прозрачных материалах вызываются увеличением амплитуды упругих напряжений, тогда механизм повреждения объясняют следующим образом.

При воздействии на материал небольшая часть ЛИ поглощается. Время преобразования поглощенной энергии существенно меньше времени релаксации упругих напряжений в материале, что приводит к распространению волн разрежения. Волны разрежения, взаимодействуя между собой, создают большие напряжения, которые являются причиной возникновения расколов.

Экспериментально отмечено, что существует различие в характере разрушения прозрачных материалов при действии миллисекундных импульсов и импульсов лазеров с модуляцией добротности.

В первом случае образуются плоские трещины, расположенные примерно под углом 45° к оси лазерного луча. При энергии луча, значительно больше пороговой, число трещин увеличивается и достигает нескольких десятков. При этом трещины отделены друг от друга областями неразрушенного материала протяженностью до нескольких миллиметров и более. Основная часть трещин имеет размеры около 1 мм (встречаются и более крупные трещины шириной до 1 см). Часто наблюдаются и разрушения, вызванные отражением лазерного луча от некоторых трещин.

Области разрушения, вызванные импульсами лазеров с модуляцией добротности, имеют вид сильно вытянутого конуса, состоящего из мелких (до 0,5 мм) трещин. В некоторых зонах число трещин так велико, что они образуют область сплошного разрушения. В отличие от плоских трещин, возникающих от миллисекундного импульса, поврежденная область состоит из локальных разрушений неправильной формы, напоминающих звездочки с хаотической ориентировкой. В целом картина напоминает хвост кометы.

При повреждении ЛИ прозрачных материалов имеют место различные асимметричные явления, к числу которых можно отнести следующие.

Во-первых, порог повреждения выходной поверхности оказывается более низким, чем входной.

Во-вторых, характер повреждения обеих поверхностей качественно различен. Выходная поверхность часто приобретает вид кратера, тогда как повреждение на входной поверхности обычно представляет собой сеть крупных и мелких трещин с небольшим выносом материала из зоны воздействия лазерного пучка.

На основе анализа опытных данных сделан вывод, что при воздействии на прозрачные материалы потока ЛИ интенсивностью 0,5I_кр, где I_кр — пороговая интенсивность потока, никаких изменений на поверхности материалов не наблюдалось.

При интенсивностях 0,8I_кр I I_кр отмечались отдельные повреждения поверхности. Эти повреждения представляли собой симметричные круглые пятна диаметром несколько микрометров. Все повреждения окружены слабым ореолом.

При несколько большей интенсивности ЛИ (но не достигающей порога искрового разряда на поверхности) повреждение переходило в следующую стадию — расширение поврежденных участков. Этот процесс часто сопровождался взламыванием поверхности, отмечались рябь и наплывы жидкого стекла. Дефекты представляли собой сравнительно пологий бугор с крутым столбообразным выступом в середине как бы застывший всплеск размягченного стекла, который при увеличении интенсивности ЛИ выше порога образования искры взрывается, образуя множество мелких бугорков застывшего стекла.

Повреждения после воздействия светового разряда весьма разнообразны. На большей части облученного участка может наблюдаться почти сплошное расплавление поверхности. Оплавленный слой толщиной около 0,2 мкм имеет очень ровную поверхность. Это свидетельствует о том, что процессы разрушения материала происходили в очень тонком поверхностном слое.

Так как деформация поверхности фиксируется прежде всего в отдельных точках, то значительное поглощение энергии начинается в локальных центрах, представляющих собой структурные дефекты или различные включения. Высокий коэффициент поглощения ЛИ обусловлен поглощением энергии свободными электронами, которые образуются в результате фотоионизации, облегченной наличием на поверхности структурных дефектов. Численное значение коэффициента поглощения зависит от концентрации свободных носителей, которая, в свою очередь, зависит от интенсивности ЛИ.

В общем случае выделяют несколько стадий повреждения поверхности прозрачных материалов ЛИ. По мере увеличения интенсивности ЛИ происходят следующие процессы:

— интенсивное поглощение ЛИ на поверхностных дефектах;

— деформация поверхностного слоя в отдельных участках;

— образование на поверхности материала в процессе разрушения твердого тела высокотемпературной плазмы;

— оплавление поверхности плазмой и механическое поврежде-ние прозрачного материала ударной волной в результате действия искрового разряда.

Многочисленные исследования, посвященные действию ЛИ на прозрачные материалы, не всегда однозначны, а порою и противоре-чивы.

2. Теория теплового разрушения Теория разрушения поглощающих излучение материалов разработана в ряде работ С. И. Анисимова, Дж. Рэди и др. [16, 85, 86] и относится к диапазону плотностей потока 10⁶ — 10⁹ Вт/см². В соответствии с этой моделью предполагается, что удаление вещества из зоны воздействия ЛИ осуществляется с помощью поверхностного испарения. Описание процесса производится с помощью уравнения теплопроводности для конденсированной фазы в системе координат, связанной с подвижной границей, на которой происходит испарение.

Для упрощения математических расчетов и выделения главных особенностей процесса испарения временная структура импульса излучения не рассматривается. Пренебрегают также наличием на поверхности вещества жидкой фазы, поскольку при интенсивностях потока излучения Q₀ > 10⁶ Вт/cм² время выхода на квазистационарный режим с постоянной скоростью испарения _И мало, эта стадия процесса не рассматривается. Если выполняется неравенство

(1)

где k* - коэффициент температуропроводности, см²/с; ф_i — длительность импульса, то задача о квазистационарном движении границы испарения полубесконечного тела может быть рассмотрена в одномерной постановке:

(2)

где ?Н — разность удельных энтальпий твердой и газообразной фаз, Н = L — 0,5R₀T,(3)

где L — удельная теплота испарения; R₀ — универсальная газовая постоянная; k — коэффициент теплопроводности.

Решение системы уравнений (2) в движущейся системе коор-динат имеет вид

. (4)

Между _И и Т* существует связь:

(5)

В выражение (5) входят два параметра: _И и Т*, для определения которых необходимо дополнительное условие. Таким условием в тепловой модели разрушения вещества является уравнение кинетики испарения [87]

(6)

где s — величина, близкая к скорости звука в металле и зависящая от принятой модели решетки.

Так, для дебаевской модели решетки

(7)

где s_l и s_t — соответственно скорости продольных и поперечных волн.

Совместное решение уравнений (5) и (6) позволяет выразить _И и Т* через физические параметры вещества. Зная _И и T*, перемещение фронта испарения можно найти по формуле

?z = _И (t t₀), (8)

где t₀ время установления квазистационарного режима, которое может быть вычислено с помощью формулы

(9)

где p = L/R₀T*.

Качественный анализ приводит к выводу, что существует оптимальный режим испарения данного вещества, обеспечивающий максимальное значение испаренной массы и перемещения фронта испарения. Оптимальная продолжительность импульса

(10)

где W_g — плотность энергии в Дж/см²; p* определяется как корень трансцендентного уравнения

(11)

К = 100s/9L.

Плотность потока излучения в оптимальном режиме равна

(12)

Перемещение фронта испарения в оптимальном режиме равно е, где е ~ 1. Таким образом, оптимальный режим испарения обеспечивается в том случае, если скорость движения фронта испарения близка к средней (за время действия импульса) скорости распространения волны нагрева в материале.

В рассмотренной постановке задача о движении фронта испарения не учитывает температурной зависимости теплофизических и оптических свойств вещества. В работе С. И. Анисимова и др. учитывается отражение света от поверхности и температурная зависимость отражательной способности. Поглощательная способность вещества А (Т) линейно возрастает с повышением температуры. Оценки показывают, что в этом случае оптимальный режим испарения смещается в область более высоких плотностей потока ЛИ и меньших продолжительностей импульса.

Предел применимости приведенного рассмотрения связан с условием малости поглощения излучения в испаренном веществе, т. е. с отсутствием экранировки падающего ЛИ. При анализе процесса испарения вещества необходимо учитывать кинетические явления, происходящие в тонком слое вблизи поверхности и связанные, например, с обратным потоком пара вследствие столкновения его атомов.

Уточнение условий вблизи границы испарения может быть выполнено на основе рассмотрения газокинетической задачи о движении пара в тонком слое вблизи границы раздела фаз.

Можно показать, что выражение для скорости фронта испарения

(13)

при учете кинетических явлений отличается от аналогичного соотношения без решения газокинетической задачи.

3. Высокотемпературные механизмы с участием испарения Рассмотрим процессы разрушения вещества с помощью системы газодинамических уравнений для плотностей потока ЛИ, превышающих критическое значение для начала испарения. Газодинамическая модель разрушения, разработанная в работах Ю. В. Афанасьева, О. П. Крохина [89], охватывает широкий диапазон плотностей потока ЛИ от 10⁶ Вт/см² и выше.

В модели полагается, что с увеличением плотности потока ЛИ роль теплопроводности в конденсированной фазе в общем энергети-ческом балансе процесса существенно уменьшается, а основную роль в динамике процесса начинают играть явления, связанные с движением испаренного вещества, и его взаимодействие с падающим излучением.

Известно, что процесс испарения существенно зависит от плотности потока Q. Если достигаемая температура мала по сравнению с величиной _св/k, где _св — энергия связи на атом, k — постоянная Больцмана, то основную роль в энергетическом балансе играет теплота испарения. При больших потоках, когда температура превышает значение _св/k, параметры конденсированного вещества не оказывают заметного влияния на процесс разрушения. При малых потоках, когда максимальная температура мала, пары вещества будут прозрачны для падающего излучения. С увеличением потока температура растет и при некотором ее значении становится существенным поглощение в парах — так называемая экранировка.

Система одномерных газодинамических уравнений, описывающих движение вещества под действием ЛИ, падающего со стороны x = на поверхность в момент t = 0, при этом имеет вид [89]

(14)

В последнем уравнении член Q/x описывает поглощение излучения как в тонком слое на поверхности, так и в испаренном веществе. Если плотность потока ЛИ невелика и экранировка отсутствует, то член Q/x может быть опущен везде, кроме тонкого слоя на поверхности испарения. При малых плотностях потока граница испарения совпадает с границей поглощения, при больших плотностях потока она смещается в область испаренного вещества. Тогда ее положение будет определяться величиной плотности, при которой вещество непрозрачно. Для сравнительно малых плотностей потока, когда поверхность раздела фаз совпадает с границей поглощения, область нагрева толщиной порядка k*/ в газодинамической теории разрушения рассматривается как область сильного разрыва, на котором условия сохранения потоков массы, импульса и энергии имеют вид

(15)

где _И скорость испарения; ₁, с₁, p₁ соответственно скорость, плотность и давление газа на границе с конденсированным веществом; р₀, с₀ соответственно давление и плотность в конденсированном теле; Q₀ поток излучения, приходящий на поверхность конденсированного тела, где L — удельная теплота испарения; ж — показатель адиабаты.

Для диапазона плотностей потоков Q_c < Q < Q, где Q — плотность потока, выше которой фазовый переход на границе поглощения отсутствует (граница поглощения смещена в область испаренного вещества), пары прозрачны, и необходимо рассматривать кинетику фазового перехода. В этом диапазоне плотностей потока объемное парообразование в тонком слое на поверхности конденсированной фазы не учитывается.

Системы (14) и (15) с Q/х = 0 для постоянного во времени Q= Q₀ допускают решение, являющееся предельным случаем центрированной волны разрежения, соответствующей изэнтропическому расширению газа в вакуум. Поскольку задача о центрированной волне разрежения автомодельна, удобно ввести безразмерную переменную kx/tL^0,5. Неизвестные функции , с, p представляются в виде

(16)

где V (k), R (k) и С (k) — соответственно безразмерные скорость, плотность и давление.

Тогда в безразмерном виде система (14) перепишется как

(17)

Решение (17) определяется выражениями в виде [15]

(18)

где k₁ и k₂ — значения автомодельной переменной k, соответствующие границам испаренного вещества с поверхностью конденсированного вещества и с вакуумом (k₁ < 0, k₂ > 0); г — постоянная, зависящая от k₁ и k₂.

Тогда уравнения (18) могут быть записаны в виде

(19)

На границе с вакуумом k = k₂ решения уравнения (19) удовлетворяют условию С (k₂) = R (k₂) = Ф (k₂) = 0, где T — температура газа. Из уравнений (19) можно получить условие

V (k) - s (k) = k,(20)

где s (k) = (жP/R)^½ — безразмерная скорость звука.

На границе с конденсированным телом (k = k₁) выражение (20) определяет условие Жуге, которое в размерном виде записывается как

₁ — s₁ = _И, (21)

где s₁ = (ж₁/₁)^0,5 — скорость звука в газе на границе с конденсированным телом.

Уравнение (21) совместно с граничными условиями (15) и уравнением кривой фазового равновесия составляет систему пяти уравнений относительно шести неизвестных параметров р₀, р₁, _{0, 1}, ₁, _н, где _н — плотность насыщающих паров. Шестое уравнение должно включать связь между температурами пара и конденсированной фазы. В работе таким условием взято условие равенства температур фаз на поверхности испарения. Кроме того, С. И. Анисимовым показано, что такое предположение не является точным. Если же использовать указанное равенство температур, то можно получить условие

(22)

Уравнение кривой фазового равновесия имеет вид

(23)

где В — постоянная величина.

Если использовать условие Жуге (21) и (22), то можно получить значения газодинамических величин в испарившемся веществе, не прибегая к решениям уравнений (18). Однако использование уравнений (18) позволяет найти неизвестные параметры k₁ и k₂ и величину R (k₁), входящую в уравнения (18). Выполняя ряд несложных алгебраических операций с использованием кривой фазового равновесия, можно получить систему двух алгебраических уравнений относительно k₁ и k₂ (эта система уравнений приведена в вышеуказанной работе [88]). Если использовать предположение, что

(24)

т.е. скорость границы испарения много меньше скорости газа на границе с вакуумом, при этом можно получить систему уравнений для k₁ и k₂ в виде

(25)

где з = Q₀/₀L^1,5 , в = B/₀.

Система (25) допускает приближенное аналитическое решение. Численный анализ показывает, что k₂ слабо зависит от параметра з/в (т.е. от плотности потока в диапазоне Q₀ = 10⁶ — 10⁹ Вт/см²). Это позволяет найти в явном виде приближенные выражения для газодинамических величин на границе с конденсированным веществом:

(26)

Входящие в уравнения (26) параметры:

(27)

(28)

(29)

Для железа численные оценки при = 5/3 в диапазоне плотностей потока Q₀ ~ 10⁶ — 10⁹ Вт/см² дают соответственно [89]

А = 1,9; С = 0,85; г = 26,7.

Газодинамическая теория испарения позволяет рассмотреть физические процессы и при больших плотностях потока. Режимы с Q₀ 10⁹ Вт/см² в практике обработки материалов используются достаточно редко. Газодинамическая теория разрушения вещества и тепловая модель в диапазоне плотностей потока излучения 10⁶ — 10⁹ Вт/см² приводят примерно к одинаковым результатам при оценке достигаемых температур и скоростей испарения.

Использование соотношений обеих моделей дает только качественное согласие с экспериментом.

4. Использование методов теории подобия

Тепловая и газодинамические модели разрушения могут быть использованы для оценок глубин кратеров в веществе в том случае, если выполнено условие одномерности нагрева:

r_f >> h,(30)

где r_f — радиус пятна фокусировки; h — глубина кратера. При r_f h существенную роль в процессе образования углубления играет плавление и последующее вымывание материала с боковых стенок кратера струёй пара, поднимающейся со дна кратера.

Процесс образования кратера является существенно неодномер-ным и его математическое описание сложно. Поэтому приходится использовать методы теории подобия и размерности [91], что дает возможность получить некоторые общие рекомендации и соотношения, которые в ряде случаев полезны для практического использования. Если пренебречь выбросом вещества в твердой фазе, потерями на излучение во внешнее пространство, химическими реакциями, ионизацией и другими факторами, которые для ряда веществ не являются определяющими для процесса формирования кратера, то глубина h (t), диаметр d (t) кратера и масса выброшенного вещества определяются следующими основными параметрами: временем от начала разрушения t, энергией

E (t) = P₀(t)dt,

где Р₀(t) — мощность излучения; удельной энергией превращения вещества в жидкость L_П и пар L; плотностью вещества; коэффи-циентом поглощения излучения, а также условиями фокусировки (относительным отверстием объектива D₀/F и глубиной фокусировки h — расстоянием истинного фокуса от поверхности). Выбрав в качестве параметров с независимыми размерностями t, Е, L, можно получить в соответствии стеоремой теории подобия [91 92] некоторые соотношения между безразмерными параметрами. В частном случае разрушения веществ с одинаковым отношением удельных энергий превращения вещества в жидкость и пар (L_П/L = const) указанные соотношения принимают вид

(31)

Если зависимость одного из определяющих параметров является степенной функцией или аппроксимируется ею, то зависимость функций и от остальных параметров также будет степенной или аппроксимироваться ею. В этом случае уравнения (31) можно переписать в виде

(32)

Анализ физических условий приводит к следующей системе неравенств для определения диапазона изменения степенных показателей у, Е, t и L:

(33)

Предполагая, что в процессе развития кратера сохраняется некоторая типичная форма d = const h, можно получить совпадение крайних значений соответствующих показателей для d (t) и h (t). Предельные случаи в процессе разрушения веществ мощным излучением дают для верхней границы диапазона изменения степенных показателей (33) k = -1/5, n = =2/5 и уравнение (32) принимает вид

(34)

Полученные соотношения совпадают с решениями, полученными в работе (о сильном точечном взрыве), которые описывают развитие радиуса сферической каверны и вытесненной из нее массы. Этот случай близок к разрушению вещества моноимпульсом излучения в режиме модулированной добротности. Процесс разлета имеет взрывной характер и протекает практически без испарения выброшенной массы.

Нижней границе изменения степенных показателей соответствуют значения k = -1/3, n = 0. Тогда из выражений (32) можно получить:

(35)

Система уравнений (35) описывает процесс чистого испарения вещества подобно своей начальной форме (d ~ h). Процесс разрушения является квазистационарным.

В общем случае реальный процесс разрушения веществ ЛИ отличен от представленных случаев и протекает с одновременным участием испарения и плавления вымывания вещества.

5. Объемное парообразование

Рассмотренные выше тепловая и газодинамическая модели разрушения вещества описывают воздействие ЛИ на вещества, не содержащие примесей, газов и дефектов структуры. Кроме того, указанные модели игнорируют наличие на поверхности воздействия жидкой фазы и не учитывают реальной структуры импульса ЛИ.

Ряд экспериментальных фактов указывают на зависимость глубины и диаметра кратера в веществах, облучаемых ОКГ, от чистоты материала и наличия в нем газов. Поскольку изменения таких физических параметров, как удельная теплота испарения и плотность вещества, невелики для небольшого количества примесей или загрязнения, то существенное изменение параметров зоны разрушения приходится связывать с наличием процесса, отличного от поверхностного испарения или плавления вымывания. Таким процессом может быть объемное парообразование.

Для идеальных поглощающих сред, т. е. сред, не содержащих загрязнений, примесей, газов и дефектов структуры (микротрещин, пор и т. д.), как показано в работе [89], объемное парообразование в слое поглощения может играть заметную роль, сравнимую с поверхностным испарением, только при температурах равных приблизительно 0,3_св/k. Последняя величина для типичных металлов равна десяткам тысяч градусов. Поскольку при воздействии импульсов излучения с Q₀ < 10⁹ Вт/см² такие температуры не достигаются, то роль объемного парообразования для таких материалов мала.

Рассмотрим возможную роль объемного парообразования в механизме разрушения непрозрачных материалов при воздействии ЛИ с плотностью потока Q₀ > 10⁶ Вт/см².

Так как заметная скорость образования зародышей пара для идеальных жидкостей требует весьма заметных перегревов, то в реальных условиях вскипанию жидкой металлической фазы может способствовать наличие в ней искусственных центров парообразования (газовые и усадочные раковины, скопления примесей, неметаллические включения, растворенные газы). Определим те условия, в которых существует жидкая фаза на поверхности поглощающего ЛИ материала. При Q₀ > 10⁶ Вт/см² испарение играет доминирующую роль в энергетическом балансе процесса по сравнению с теплопроводностью. Толщина слоя жидкой фазы, где могут протекать процессы объемного парообразования, изменяется в зависимости от величины Q₀ от сотен до единиц микрометра. Наличие расплава существенно для динамики объемного парообразования, поскольку его толщина является верхним пределом критического размера зародышей.

Критический размер пузырька r*, который находится в термодинамическом и механическом равновесии и может расти, находится из условий устойчивости:

V_п V*, (36)

где V_п — объем пузыря; V* - критический объем; p — давление в пузыре; p_в — внешнее давление; p' — давление в жидкости; V_ж — объем жидкости на молекулу; у_р — коэффициент поверхностного натяжения.

При макроскопическом рассмотрении минимальный размер пузырька должен составлять ~ 0,1 мкм. Поскольку толщина слоя расплава, примыкающая к фронту поверхностного испарения, изменяется от сотен до единиц микрометра, получаем верхнюю границу размеров неоднородностей в металле, которые могут служить центрами объемного парообразования. Оценки критического размера пузырька для меди при Q₀ = 10⁶ — 10⁷ Вт/см² дают 10-⁵ — 10-⁶ см. Рост пузырька в объеме равномерно нагретой жидкости происходит пропорционально t^0,5

r (t) = 2Аc_pгДТ (рбt)^0,5/рLг^?, (37)

где г — удельный объем жидкости; г" - удельный объем пара при данной температуре; c_р — удельная теплоемкость; ДT — величина перегрева; A — постоянная, близкая к 1,7.

Рост пузырька происходит в условиях увеличивающегося теплоподвода к его границе с течением времени из-за поверхностного испарения (движение пузырька навстречу границе испарения в системе координат, связанной с фронтом испарения). Для каждого пузырька в зависимости от величины Q₀ существует свое время жизни, если пренебречь его всплыванием в расплаве. Зависимость времени жизни отдельного пузырька от удельной мощности (для меди) приведена на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость времени _е существования пузырька в жидкой фазе Cu от удельной мощности излучения Q

На рис. 2 показаны результаты численных расчетов зависимости радиуса пузырька в расплаве меди от удельной мощности к моменту, соответствующему продолжительности жизни отдельного пузырька. Из расчетов видно, что к моменту выхода пузырька на поверхность испарения его размер при перегреве даже на 1° близок к толщине зоны расплава, соответствующей данной интенсивности излучения.

В условиях эксперимента возможно раздельное наблюдение капель жидкой фазы, выносимых в результате процессов объемного парообразования и плавления вымывания. Это обусловлено тем, что для второго процесса разлет капель должен происходить преимущественно под некоторым углом к поверхности зоны воздействия, в то время как процессы объемного парообразования обусловливают разлет капель и по нормали к поверхности расплава.

Рис. 2. Зависимость радиуса пузырька R (Q) в расплаве Сu от удельной мощности Увеличение плотности мощности ЛИ и сокращение _i (т.е. переход к режиму модулированной добротности) приводит к уменьшению толщины зоны расплава, прилегающей к поверхности испарения, повышению температуры в узком слое (в пределе слой поглощения) вплоть до температуры выше критической и уменьшению времени жизни зародышевых пузырьков. Переход к таким условиям означает, что искусственные центры парообразования не играют заметной роли по сравнению со спонтанными, так как в слое поглощения материал может рассматриваться как газ высокой плотности. В этом случае продолжительность импульса необходимо уменьшить при сохранении величины плотности мощности на уровне Q₀ < 10⁸ — 10⁹ (см. рис. 1); при плотности мощности потока излучения 10⁸ Вт/см² время жизни отдельного пузырька составляет 310⁷ с, в течение которого он успевает вырасти от зародышевых размеров до размеров, сравнимых с толщиной зоны расплава (порядка нескольких микрон). Поэтому, если предположить, что механизм теплоподвода к границе пузырька останется неизменным, то роль объемного парообразования останется неизменной и в этих условиях, хотя его роль в процессах выноса вещества будет снижаться (продолжительность импульса меньше, чем время жизни пузырька).

Увеличение перегрева слоя расплава интенсифицирует рост пузырька и может привести к выбросу жидкой фазы из зоны воздействия. Выброс жидкой фазы интенсифицируется не только перегревом расплава, но и пульсацией давления отдачи из-за наличия пичковой структуры импульса излучения.

Эксперименты показывают выброс капель жидкой фазы в моменты времени, следующие непосредственно за резким падением удельной мощности излучения для режима свободной генерации.

Представляет интерес сравнить характерное время изменения температуры поверхности раздела фаз со временем и изменения температуры жидкой фазы, примыкающей снизу к слою поглощения. Поскольку теплопроводность является наиболее инерционным процессом изменения температуры слоя поглощения и единственным процессом изменения температуры для прогретого поверхностного слоя, то в этом случае значения характерных времен остывания слоя поглощения ф_о, и зоны расплава ф_р имеют вид ф_о ~ ²/k* и ф_р ~ h²/k*, где h — толщина слоя расплава.

При плотностях мощности Q₀ ~ 10⁶ Вт/см² толщина слоя расплава h ~ 10² — 10³ см, поэтому даже по самым осторожным оценкам ф_р > ф_o. Это обусловливает тот факт, что внутренние слои жидкой фазы при колебаниях плотности мощности потока ЛИ попадают в условия перегрева относительно равновесной температуры и давления.

Рассмотренная ситуация в значительной степени подобна процессу выброса жидкой фазы вещества при электрическом разряде, когда после окончания разряда интенсивное испарение материала электродов сопровождается быстрым снижением температуры поверхности, резким падением реактивного давления и возникновением объемного перегрева, при котором координата максимальной температуры уходит в глубь электрода, создавая предпосылки для теплового взрыва.

Представления о роли взрывного характера выноса (при развитом испарении) при потоках излучения, приводящих к достижению критических температур, развиты в работах [98, 99]. При воздействии непрерывного излучения СО₂-лазера с плотностью потока 610³ Вт/см² на этанол и ацетилен наблюдается взрывной распад метастабильного состояния жидкостей, развитие которого зависит от степени перегрева. В работе отмечено, что увеличение выноса массы и импульса отдачи в результате взрывного испарения должно наблюдаться в узком интервале интенсивностей, которому соответствуют температуры поверхности, близкие к критическим.

6. Кинетика испарения металла При плотности потока ЛИ несколько выше 10⁶ Вт/см² основной расход энергии связан с испарением материала, а внутренняя энергия продуктов разрушения и теплота плавления в этом случае относительно малы. Скорость испарения очень сильно зависит от температуры, поэтому должна существовать достаточно резкая нижняя граница плотности потока излучения Q*₁, соответствующая началу испарения (выше было показано, каким образом можно оценить эту границу из решения задачи теплопроводности для металла). При значениях Q < Q*₁ эффективная удельная энергия разрушения весьма велика. Затем с ростом плотности потока она уменьшается, достигая своего наименьшего значения при некотором значении Q = Q*₂. При плотностях потока порядка Q*₂ время разогрева металла от начальной температуры до некоторого значения, соответствующего интенсивному испарению, составляет малую часть полной продолжительности импульса излучения _i. При этом потери на теплопроводность, как будет видно из дальнейшего, оказываются достаточно малыми. Следует иметь в виду, что в действительности плотность лучистого потока в течение импульса значительно изменяется; поэтому, если не конкретизировать форму импульса, то имеет смысл говорить о некоторых средних значениях *₁ и *₂. Если продолжительность переходного режима много меньше, чем характерное время изменения Q (t), весь процесс разрушения протекает квазистационарно и модулирован с частотой пичковых пульсаций ЛИ. В этом режиме скорость струи пара, температура металла и другие величины должны обнаруживать пульсации, синхронные с пульсациями ЛИ.

Основные характеристики процесса разрушения металла в области действия теплового механизма можно определить из решения задачи теплопроводности для металла. Будем для упрощения рассматривать одномерную задачу и пренебрежем конечной толщиной поглощающего слоя. До тех пор, пока температура продуктов разрушения и поглощение света в них относительно невелики, такой подход вполне оправдан. Начнем с рассмотрения стационарного теплового процесса в металле.

Расширение пара в вакуум будет нестационарным процессом, и будет происходить (если не учитывать поглощения в паре) в автомодельной волне разрежения. Однако ввиду малости поглощения в паре в рассматриваемой области плотностей потока влияние движения пара на движение фронта испарения невелико, и мы можем им пренебречь.

Рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть на поверхности металла х = 0, занимающего полупространство х > 0, поглощается тепловой поток плотностью Q₀. Вследствие этого поверхность стационарно перемещается в глубь металла со скоростью. Будем считать Q₀ постоянным во времени, имея в виду, что медленное (в том смысле, как это объяснено выше) изменение Q₀ со временем вызовет просто синхронное изменение и остальных величин. Задача теплопроводности в системе координат, связанной с движущейся границей фаз, имеет вид

(38)

Здесь х = х t, Н разность удельных энтальпий твердой и газообразной фаз. При записи уравнения (38) не была учтена возможность образования жидкой фазы (что будет рассмотрено ниже).

Предполагая процесс стационарным (в движущейся системе координат), запишем решение краевой задачи (38) в виде

(39)

гдеТ₀ = (Q₀ Н)/с. (40)

При этом мы пренебрегаем тепловым расширением (= const) и предполагаем постоянными теплоемкость и теплопроводность металла.

Если далее считать пар металла одноатомным идеальным газом, пренебречь удельным объемом твердой фазы в сравнении с удельным объемом пара и не учитывать скачка температуры на фронте испарения, то для Н легко получить выражение Н = L₀ 0,5RT/A,

где L₀ удельная теплота испарения при 0 К, А атомный вес металла.

Отметим, что решение задачи (38) в виде (39), (40) не определяет скорости фронта, а устанавливает лишь связь между и температурой поверхности металла Т₀. Эта связь представляет собой просто закон сохранения энергии. Такой результат вполне понятен, поскольку исходное уравнение теплопроводности также представляет собой лишь некоторую форму закона сохранения энергии. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда уравнение сохранения энергии уже нельзя рассматривать отдельно от других законов сохранения и необходимо решать полную систему уравнений газовой динамики, полное решение задачи нельзя получить без дополнительных предположений о механизме процесса. В нашем случае в качестве такого предположения следует принять соотношение, выражающее зависимость скорости испарения от температуры, которое получается в результате решения кинетической задачи.

Согласно (39) перед фронтом испарения имеется нагретый теплопроводностью слой металла, толщина которого порядка k*/. С ростом толщина прогретого слоя уменьшается до тех пор, пока не станет порядка глубины проникновения излучения в металл, ¹ ~ 10⁵ см. После этого распределение температуры в металле будет определяться уже не теплопроводностью, а коэффициентом поглощения света, и будет иметь вид Т = Т₀ехр[ (х t)]. Однако этот случай соответствует скорости фронта испарения > k* ~ 10⁵ см/с, которая, в свою очередь, близка к скорости звука в металле и для теплового механизма разрушения не является характерной.

Согласно (40) скорость движения фазовой границы равна

. (41)

При малых плотностях потока излучения первое слагаемое в знаменателе (41) является основным. Таким образом, в самом грубом приближении скорость фронта испарения не зависит от кинетики испарения и последняя существенна лишь для определения температуры Т₀. Разумеется, это справедливо лишь в некотором интервале значений Q₀. С ростом плотности потока ЛИ влияние конечной скорости испарения становится все более заметным. Чтобы обеспечить требуемую законом сохранения энергии скорость фазовой границы (41), температура Т₀ должна будет расти с ростом плотности потока ЛИ, пока не достигнет значений, при которых внутренняя энергия пара станет порядка теплоты испарения. В этих условиях движение фазовой границы будет зависеть от газодинамики расширения пара, существенным станет учет скачков термодинамических величин на фазовой границе, а в некоторых случаях и поглощения в паре. Эти обстоятельства и ограничивают область применимости рассматриваемой простой модели.

Учитывая сделанные замечания, рассмотрим кинетику процесса испарения металла и определим температуру поверхности в нашем случае.

Вопрос о величине и температурной зависимости скорости испарения кристаллов исследован в настоящее время весьма подробно. Результаты экспериментальных работ и теоретических расчетов, основанных на различных моделях твердого тела, достаточно полно изложены в обзорах [101, 102]. Как следует из этих работ, многочисленные теории приводят к правильной (экспоненциальной) основной температурной зависимости скорости испарения, но дают часто не согласующиеся между собой и с экспериментом значения предэкспоненциального множителя. Принципиальную возможность вычисления предэкспоненциального множителя дает использование теории абсолютных скоростей реакций [103 105], которая была применена для изучения кинетики испарения в работах. Несколько иной подход используется в работе. Следуя этим работам, будем считать, что испарение металла происходит из некоторого поверхностного слоя, имеющего температуру Т. Согласно теории абсолютных скоростей вероятность элементарного акта испарения равна

_и = kTf*exp (_А/kT)/hf, (42)

где f* - статистическая сумма активированного комплекса, в которой не учитывается вклад от «реакционной» координаты; f — статистическая сумма связанного в кристаллической решетке атома; _А — энергия активации, равная энергии, необходимой для испарения одного атома при 0 К.

Для дальнейших вычислений необходимо выбрать модель кристалла и модель активированного комплекса и вычислить входящие в (42) статистические суммы. Поскольку основная температурная зависимость скорости испарения определяется экспоненциальным множителем, нет необходимости стремиться к чрезмерной точности в определении температурной зависимости статистической суммы. К тому же, как будет видно из дальнейшего, интересующие нас характеристики процесса испарения будут слабо зависеть от значений предэкспоненциального множителя в формуле для скорости испарения. Примем поэтому для вычисления f простейшую модель Эйнштейна, в которой все нормальные колебания решетки имеют одну и ту же частоту, что дает выражение для статистической суммы

f = [1 — ехр (-h/kT)]

Аналогичным способом вычислим и статистическую сумму f* активированного комплекса, считая частоту его колебаний равной *, последнее дает

f* = [1 — ехр (-h*/kT)]-².

Естественно считать, что * <, но обе эти частоты — величины одного порядка. Учитывая, что интересующие нас температуры много больше чем h/k, находим Принимая в самом грубом приближении = *, получим несколько заниженную скорость процесса. В работе делается попытка более точно вычислить множитель (/*), но здесь не будем останавливаться на этом. Подставляя отношение статистических сумм f*/f в (42), получаем Частоту здесь следует взять порядка дебаевской: _д =(3n/4)^1/3, где n — число атомов в единице объема и — средняя скорость звука [107], тогда, принимая = _д, после несложных вычислений получим для линейной скорости фронта испарения формулу

(43)

В формуле (43) не учитывается влияние конденсации на скорость фронта испарения. Легко показать, что если испарение происходит в вакуум и скорость отвода атомов от поверхности металла определяется скоростью расширения пара в вакуум, влияние конденсации на скорость фронта испарения оказывается малым.

Для этого надо вычислить поток атомов из газовой фазы на поверхность металла. Поток конденсирующихся атомов равен

(44)

(F () — функция распределения атомов по скоростям на поверхности x = =0, — вероятность конденсации атомов при столкновении с поверхностью), при этом предполагается, что поверхность металла совпадает с плоскостью zу и ось х направлена внутрь металла.

Чтобы найти функцию F (), надо воспользоваться кинетическим уравнением, решение которого определит гидродинамические граничные условия на поверхности, с которой происходит испарение. Здесь ограничимся качественными замечаниями и простой оценкой для F (). Гидродинамическое описание движения газа предполагает наличие локального термодинамического равновесия. В непосредственной близости от фазовой границы равновесие, очевидно, отсутствует (если только не равны нулю потоки массы и энергии от испаряющейся поверхности). Равновесное распределение устанавливается в некотором слое, который при гидродинамическом описании должен рассматриваться как поверхность разрыва. Ширина такого разрыва и величина скачков гидродинамических переменных определяются характером движения газа вдали от поверхности. «Негидродинамический» слой у испаряющейся поверхности напоминает ударную волну с той лишь разницей, что в данном случае разрыв разделяет не два равновесных состояния газа, вследствие чего условия на разрыве не могут быть получены из одних лишь законов сохранения, а требуют знания функции распределения. В качестве грубого приближения мы положим, что F () имеет максвелловскую форму с некоторыми значениями массовой скорости, плотности и температуры, т. е.

(45)

Вычисляя величину потока, получаем

(46)

где Из приведенных формул ясно, что величина представляет собой отношение потока конденсации к полному потоку. Даже без анализа гидродинамической задачи о движении пара ясно, что при свободном расширении в вакуум массовая скорость пара должна быть порядка тепловой скорости молекул, т. е. порядка скорости звука в паре. Это дает оценку для отношения потоков

(47)

так что конденсацией можно пренебречь. Приведенная оценка достаточно грубая, а более точный расчет дает для отношения потоков величину порядка 18%, что также следует рассматривать как малозначительную поправку, имея в виду некоторую неопределенность предэкспоненциального множителя в формуле (43) и слабую зависимость определяемой формулой для скорости фронта испарения от предэкспоненциального множителя

.(48)

Таким образом, с хорошей точностью можно считать, что скорость фронта испарения связана с температурой соотношением (43). Вместе с (41) это соотношение образует систему уравнений для определения величин и Т₀ в стационарном режиме. Полученные в результате решения этой системы значения Т₀ и приведены на рис. и 4 как функции плотности поглощенного ЛИ для ряда металлов.

Рис. 3 Температура поверхности для металлов в зависимости от плотности поглощенного ЛИ (Вт/см²), у = kT₀/_A

Воспользовавшись соотношениями (41) и (43), можно приближенно оценить верхнюю границу плотностей потока излучения, до которой справедливо описанное выше рассмотрение. В отличие от достаточно четко определенных значений плотности потока Q*₁ и Q*₂, соответствующих началу разрушения и установлению режима стационарного разрушения, граница применимости теплового механизма не является столь резкой, поскольку не определяется «включением» некоторого физического процесса. Из рис. 3 ясно видно, что в некоторой области значений Q скорость возрастания температуры поверхности с ростом Q заметно увеличивается. Это означает, что затраты энергии на испарение уже не успевают поглощать всей подводимой к металлу лучистой энергии.

Рис. 4. Скорость фронта испарения (см/с) как функция плотности поглощенного потока излучения у = kT₀/_A

Поверхность начинает перегреваться и все большая часть подведенной энергии расходуется на внутреннюю энергию разлетающихся продуктов разрушения. Это приводит прежде всего к тому, что скорость фронта испарения перестает быть пропорциональной плотности потока излучения. Можно ожидать, что качественная картина процесса, описываемая тепловым механизмом, будет не слишком искаженной при таких плотностях потока Q*₃, которым соответствуют значения T₀ ~ _A/k. Поэтому область Q < Q*₃ следует рассматривать как область действия теплового механизма и область применимости рассматриваемой модели процесса. Пользуясь соотношениями (48) и (43), можно вычислить значения Q*₃ для различных веществ. Результаты этих вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2

Таким образом, для большинства металлов тепловой механизм разрушения работает вплоть до плотностей поглощенного потока излучения Q ~ 10⁹ -10¹⁰ Вт/см². При более высоких плотностях поглощенного потока все более существенную роль в балансе энергии начинает играть гидродинамическое движение продуктов разрушения.

7. Cтационарное движение границы фаз и «оптимальный» режим испарения Стационарному движению границы между твердой и газообразной фазами предшествует переходный режим, соответствующий нагреванию поверхности металла от комнатной температуры до Т₀ и ускорению границы до скорости. Переходный процесс сопровождается перераспределением поглощенной лучистой энергии: если при неподвижной границе вся энергия отводится внутрь металла теплопроводностью, то при стационарном движении роль теплопроводности оказывается второстепенной, и основная часть поглощенной энергии расходуется на испарение металла. Время установления стационарного теплового процесса зависит, разумеется, от плотности поглощенного лучистого потока. Грубую оценку этого времени можно получить из следующего рассуждения. В стационарном режиме перед фронтом испарения образуется прогретый слой металла толщиной ~ k*/. Поскольку в начальный момент прогретый слой отсутствует, то время установления стационарного режима t должно по порядку величины совпадать со временем образования такого прогретого слоя на фазовой границе, т. е. [16]

t ~ (1/k*)(k*/)² = k*/². (49)

Это время связано с кинетикой испарения через скорость. Если принять за характерное время изменения величины Q (t), скажем, продолжительность одного пичка излучения t, то отсюда можно получить грубую оценку плотности потока Q*₂ в виде

(50)

или, если обозначить через Q плотность энергии в одном пичке, то получим Q*₂ ~ k*(L₀)²/Q.

Написанные соотношения для Q*₂ напоминают формулу для Q*₁ в том отношении, что в обоих случаях критическая плотность потока равна некоторой (зависящей от свойств металла) постоянной, деленной на квадратный корень из некоторого характерного времени.

Разумеется, приведенные оценки весьма грубы, поэтому представляет интерес получить решение нестационарной задачи (38), которое позволило бы вычислить ряд величин для сравнения с экспериментом. Основная экспериментально измеряемая характеристика процесса разрушения есть эффективная удельная энергия, зависимость которой от плотности потока излучения подробно изучена. Эта величина по ряду причин является неудобной для теоретического расчета. Во-первых, достаточно сложным является вопрос о доле жидкой фазы в продуктах разрушения. В то же время любое изменение этой доли, практически не влияя на баланс энергии, заметно влияет на вынос массы и поэтому существенно изменяет эффективную удельную энергию разрушения. Другое обстоятельство состоит в трудности учета отражения от поверхности металла и рассеяния в плазме, от которых зависит поток энергии на стенки лунки и скорость плавления стенок.

Ввиду этого представляется гораздо более удобным выбрать для сравнения скорость движения дна лунки и полную глубину лунки. Эти величины могут быть вычислены из решения простой одномерной задачи, причем отражение и рассеяние можно учесть введением некоторого среднего коэффициента, равного отношению поглощенной металлом энергии к энергии, полученной от лазера. Остается еще вопрос о возможности существования слоя жидкой фазы на дне лунки. Учет жидкой фазы потребовал бы решения уравнения теплопроводности в области с двумя подвижными границами, что представляется при имеющейся ограниченной информации о скорости испарения и сделанных выше допущениях о постоянстве теплофизических характеристик металла совершенно неоправданным усложнением задачи. Вместо этого мы будем судить о толщине жидкой прослойки по движению изотермы с температурой, равной температуре плавления; скорость же испарения в формулах (48) и (43) надо брать, конечно, для реально существующей границы фаз. Заметим, что уже из стационарного решения следует, что толщина жидкой прослойки будет уменьшаться с увеличением плотности потока ЛИ, так что при достаточно высоких Q можно было бы вообще не учитывать возможного наличия жидкой фазы.

Переходя к количественному рассмотрению нестационарной задачи, будем снова считать плотность поглощенного потока ЛИ постоянной во времени. Это в некоторой степени оправдано тем, что в эксперименте чаще всего измеряют среднюю плотность потока или пропорциональную ей величину Конечно, рассмотрение останется справедливым, если Q (t) будет медленно изменяться.

Уравнение задачи и краевые условия запишем в виде

(51)

Краевая задача (51) записана в системе координат, движущейся со скоростью (t); неподвижная и движущаяся координаты связаны соотношением

(штрих у переменной х в (51) опущен). Предполагается, что связь между скоростью фронта испарения и температурой на поверхности металла (которые теперь являются функциями времени) задается выражением (43). Из-за сложности этого соотношения решение задачи (51) оказывается достаточно трудным, хотя качественная картина переходного процесса представляется вполне ясной. В начальный момент времени фазовая граница неподвижна, и весь тепловой поток отводится в глубь металла теплопроводностью. Вблизи поверхности возникает вследствие этого градиент температуры порядка Q/ж, который остается неизменным до тех пор, пока скорость границы мала; при этом температура поверхности и толщина нагретого слоя вблизи нее растут пропорционально t^0,5. Вследствие очень сильной зависимости от температуры скорость фронта испарения остается малой в сравнении со скоростью в стационарном режиме вплоть до достижения температурой поверхности значений, весьма близких к стационарному. Вблизи же стационарной температуры скорость фронта резко возрастает, а градиент температуры падает до величины порядка Таким образом, в течение времени порядка k*/² фазовая граница практически остается неподвижной, тогда как в оставшуюся часть времени импульса движение фазовой границы близко к стационарному. Сказанное оправдывает оценку, сделанную в начале раздела, и показывает, как ее можно улучшить. Изменение скорости фазовой границы в процессе установления стационарного движения носит ступенчатый характер; после некоторого запаздывания граница скачком ускоряется до стационарной скорости движения. В течение времени запаздывания граница практически не перемещается, так как для испарения это время является потерянным. Чтобы определить «потерянное время», будем считать границу фаз неподвижной, тогда известное решение задачи теплопроводности дает

(52)

(здесь считается что удельная теплоемкость металла c = 3R/A). Приравнивая Т (0, t) к стационарной температуре T₀, определим время запаздывания, по истечении которого начинается интенсивное испарение:

где Вычислим теперь перемещение фронта испарения за время импульса. При наших предположениях

(53)

где и ₀ — входящая в формулу (43) величина порядка скорости звука в металле; при преобразовании выражения для x к виду (53) полная плотность излучения Q_ср предполагалась заданной. Интересно отметить, что выражение (53) имеет максимум при некотором значении у. Дифференцируя (53), находим уравнение, определяющее значение у, при котором x максимально:

(54)

Решая это уравнение и используя соотношения (48) и (43) (справедливые для стационарной части процесса), можно определить плотность потока излучения, для которой (при заданном Q_ср) перемещение фронта испарения достигает максимума:

(55)

Существование найденного «оптимального» режима испарения металла физически понятно. Поскольку Q = Q_ср/t₀, то при фиксированном Q_ср можно вместо плотности лучистого потока выбрать в качестве варьируемой величины продолжительность светового импульса. Если импульс слишком длинный, полученная от излучения энергия успевает распространиться по большому объему вследствие теплопроводности, и заметного испарения не происходит. Наоборот, при коротком импульсе (и фиксированной поглощенной энергии) должна быть высокой скорость испарения и, следовательно, температура поверхности. Это означает, что часть энергии, сообщенной металлу, будет расходоваться не на отрыв атомов, а на увеличение их кинетической энергии, вследствие чего испаренная масса уменьшается. Определенный выше оптимальный режим соответствует некоторому равновесию между двумя видами потерь энергии.

Подставляя решение уравнения (54) в (53), можно вычислить перемещение фронта в оптимальном режиме. Оно оказывается равным (k*t₀)^0,5, где числовой коэффициент порядка единицы. Таким образом, в оптимальном режиме перемещение фронта испарения равно перемещению за время импульса температурного фронта в металле при неподвижной границе.

Рассмотренное решение задачи (51), разумеется, неудовлетворительно в математическом отношении, хотя совершенно прозрачно физически. Чтобы судить о точности такого решения, проще всего, по-видимому, численно проинтегрировать уравнение теплопроводности (51) для нескольких металлов и значений плотности потока. Ниже приводятся некоторые результаты численного интегрирования.

На рис. 5 показано, как перемещается фронт испарения в меди при различных плотностях поглощенного ЛИ (Значения плотности поглощенного потока указаны над каждой кривой в Вт/см²; время измерялось в секундах). Из таких графиков нетрудно определить время установления стационарного режима. Оно находится в хорошем согласии с оценками, выполненными в настоящем разделе.

Рис. 5. Движение фронта испарения при различных плотностях потока излучения На рис. 6 приведена зависимость глубины продвижения фронта испарения от длительности импульса при заданной полной плотности энергии Q_cp (значения W_g ~ Q_cp указаны под каждой кривой).

Рис. 6. Полное перемещение фронта испарения для Cu как функция длительности импульса для разных значений поглощенной энергии W_g в Дж/см²; время t — в секундах Видно, что кривые имеют максимум, который смещается с ростом Q_ср в сторону больших t₀ примерно пропорционально Q_ср². Этот же результат следует из (55), если учесть, что t₀ = Q_ср/Q :

(56)

В табл. 3 приведены значения t₀*, вычисленные по формуле (56) и определенные из численного решения задачи (52). Результаты относятся к плотности энергии W_g = 100 Дж/см², аналогичное соотношение имеет место и при других значениях Q_ср.

Из сравнения значений t₀* можно заключить, что формула (56) вполне удовлетворительно согласуется с результатами численного решения. Если учесть, что максимум x (t₀) не очень резко выражен, то точность, обеспечиваемую формулой (56), можно считать вполне достаточной для практических целей.

Таблица 3

На рис. 7 показано положение изотермы, соответствующей температуре плавления, в зависимости от продолжительности импульса излучения лазера для различных значений плотности поглощенной энергии.

Рис. 7. Полное перемещение изотермы с Т = Т_П для Cu как функция длительности импульса для разных значений поглощенной энергии W_g в Дж/см², время t — в секундах Как уже объяснялось, по положению этой изотермы нельзя судить о доле жидкой фазы в продуктах разрушения, потому что основной выброс жидкости связан как с неодномерностью процесса разрушения, так и с «размыванием» стенок лунки потоком пара. Однако по положению изотермы плавления можно судить о максимально возможной в данных условиях глубине лунки. Эта глубина как функция t₀ при заданном W_g, естественно, так же обнаруживает максимум, который может быть объяснен с помощью той же модели, что и максимум перемещения фронта испарения Сравнение вычисленной и измеренной глубины лунки позволяет, в принципе, получить некоторую информацию о среднем за импульс коэффициенте отражения. Ценность таких измерений, однако, сравнительно невелика, потому что за время действия лазерного импульса коэффициент отражения изменяется в значительных пределах.

8. Гидродинамика разлета пара Решение задачи о разрушении твердого тела требует проведения анализа движения продуктов разрушения. Рассмотрим гидродинамические граничные условия на испаряющейся поверхности, которая является поверхностью разрыва фаз. В действительности вблизи геометрической границы существует тонкий слой, размером в 2 — 3 длины свободного пробега атомов, в котором устанавливается равновесное распределение атомов по скоростям и структура которого определяет значение температуры и плотности на краю «гидродинамической» области. Такое рассмотрение можно признать корректным в случае достаточно широкой переходной области и малых скачков гидродинамических переменных. При расширении в вакуум скачки гидродинамических переменных оказываются значительными и следует вводить дополнительные условия.

Следует отметить, что при решении одномерной задачи об адиабатическом движении пара (в пренебрежении поглощением света) в области реальных плотностей светового потока (соответствующей справедливости теплового механизма разрушения Q 10⁸ — 10⁹ Вт/см², время от начала испарения t 10⁹ — 10¹⁰ с) расширяющийся пар будет конденсироваться при движении, причем на значительном участке течения степень конденсации остается близкой к равновесной, а примыкающий к поверхности металла газокинетический слой оказывается отделенным от гидродинамической области течения переходной областью конденсационным скачком.

Последнее, в частности приводит к тому, что конечная скорость разлета продуктов расширения определяется их полной начальной энергией с учетом потенциальной энергии испарения, которая в процессе конденсации переходит в кинетическую энергию потока. Для частиц размером порядка 10⁵ см температура и скорость движения при этом мало отличается от соответствующих местных значений для газа.

Таким образом, проведенный ниже анализ действия на металлы потоков ЛИ не слишком высокой плотности в одномерном приближении требует осторожного использования их при сравнении с экспериментальными результатами.

Газодинамические граничные условия при испарении в вакуум учитывают, что образующийся у поверхности газ в процессе испарения свободно расширяется в окружающее пространство. Частицы, испускаемые нагретой поверхностью, имеют максвелловское распределение по скоростям в телесном угле 2 с температурой Т₀, равной температуре поверхности, и плотностью n₀, равной плотности насыщенного пара при этой температуре. В прямоугольной системе координат, связанной с поверхностью металла, с осью х, направленной нормально к поверхности по течению газа, можно для плотности испускаемых частиц со скоростями от до, записать при х = 0 выражение

(57)

где m — масса атома газа. Распределению (57) соответствует массовая скорость пара u, нормальная к поверхности u =/4, где = (8kT₀/m)^0,5 — средняя квадратичная скорость частиц газа, имеющего изотропное максвелловское распределение по скоростям. В случае разряженного газа, когда можно пренебречь столкновениями атомов газа в потоке в интересуемой нас области (т.е. когда длина свободного пробега частиц l= =(n)¹, где газокинетическое сечение, n — плотность числа частиц, много больше характерной длины в рассматриваемой задаче), скорость u и определяет скорость оттока газа от поверхности. В реальности имеет место обратный случай, когда длина свободного пробега гораздо меньше всех характерных геометрических размеров задачи, т. е. случай, соответствующий режиму течения газа как целого — режиму сплошной среды. Все течение при этом распадается на две характерные области. В первой, прилегающей к поверхности и имеющей характерную ширину _k, равную по порядку величины нескольким длинам свободного пробега («кнудсеновский» или пристеночный слой) [110], в результате соударений частиц устанавливается такое состояние газа, которое характеризуется новой, теперь уже изотропной, функцией распределения частиц по скоростям (с отличными температурой и плотностью). Перераспределение энергии у частиц должно привести также и к новой, отличной от /4, массовой скорости потока (определяемой газодинамическими условиями задачи и в ряде случаев равной местной скорости звука в газе s). Это относительное изменение параметров газа при прохождении им слоя _k может быть значительным, особенно в случае, поэтому для описания процессов установления новых значений этих параметров необходимо привлечь кинетическое уравнение Больцмана.

Следует иметь в виду, что появление в результате столкновений внутри слоя _k частиц со скоростями, направленными к поверхности, приводит к конденсации некоторой доли ₀ от полного числа частиц, достигающих поверхности (для металлов коэффициент прилипания ₀ имеет порядок 0,8 — 0,9 [111, 112]). Основной целью решения кинетического уравнения как раз и является нахождение той части функции распределения молекул по скоростям у поверхности, для которой 0, т. е. части, которая определяет поток частиц, возвращающихся на стенку.

Асимптотическое (при х) значение плотности, температуры и скорости газа, полученные в результате решения кинетического уравнения, следует взять в качестве граничных условий для решения задачи о течении газа во второй, гидродинамической области, где процессы описываются обычными уравнениями механики сплошных сред. Следует отметить, что, как правило, размер зоны _k в макроскопическом смысле пренебрежимо мал (так, при n ~ 10¹⁹ см^-3, ~ 10⁶ см³, l ~ 10³см), и вопрос о положении границы раздела двух зон обычно несуществен; достаточно хорошим приближением для газодинамики является совмещение этой границы с поверхностью тела.

Рассмотрим явления в пристеночном слое. Корректное решение задачи здесь можно получить с помощью уравнения Больцмана, которое при отсутствии массовых сил имеет вид

(58)

где (f/t)_ст интеграл столкновений, описывающий изменение функции распределения за счет соударений частиц, вид которого зависит от закона взаимодействия частиц газа. Корректные результаты при решении уравнения Больцмана (с точным выражением столкновительного интеграла) могут быть получены для ограниченного круга задач. Обычно они носят приближенный характер и описывают малые отклонения от равновесия. Другим приемом при рассмотрении задач кинетической теории газов является использование упрощенного выражения для столкновительного интеграла в релаксационной форме

(f/t)_ст = (f₀ f)/,(59)

где f₀ — равновесная функция распределения частиц, являющаяся максвелловской в системе координат, движущейся с газом, время релаксации, предполагаемое постоянным. Функция f₀ выбирается таким образом, чтобы выполнялись законы сохранения потока числа частиц, импульса и энергии [113, 114].

Задача может быть еще упрощена, если учесть, что рассмотрение может быть ограничено стационарным одномерным приближением. Действительно, для стационарности требуется, чтобы время установления () профиля плотности в области _k, соответствующего данным условиям на поверхности, было гораздо меньше характерного времени изменения плотности потока излучения t, т. е. ~ l/ << t, что обычно выполняется в широком интервале условий. Одномерное приближение применимо при условии _k ~ l << r₀, где r₀ размер облучаемой площадки, т. е. также практически всегда. Таким образом, следует рассмотреть кинетическое уравнение вида

(60)

Граничные условия для (60) таковы:

(61)

(62)

Условие (61) отражает экспериментальный факт, а условие (62) требует установления равновесия в газовом потоке, скорость которого при. Уравнение (60) содержит в себе, по существу, два уравнения для f ⁺ части функции распределения с _х 0 и для f части ее с _х 0, что следует учесть при его решении. Полагая время релаксации постоянным и выписывая формальное решение (60) с условиями (61) и (62), получаем

(63)

где обозначено

(64)

В (64) параметры n, u, T представляют собой локальные плотность, скорость, температуру газа соответственно. Они выражаются через функцию распределения с помощью дополнительных соотношений, которые следует рассматривать как определение этих параметров:

(65)

(66)

(67)

Для нахождения явной зависимости функции распределения или величин n, u, T от координаты х необходимо решить систему нелинейных интегральных уравнений (63), (65) — (67), что является сложной задачей. Поскольку нас интересуют не профили величин n, u, T, а лишь их значения при х, воспользуемся интегральной записью законов сохранения числа частиц, импульса и энергии, которые имеют место для уравнения (60).

Запишем их для контрольных поверхностей х = 0, х =, причем для функции распределения f при х = 0 представим ее максимальное значение по (63):

(68)

Такое приближение (68) дает в конечном итоге обратный поток частиц, конденсирующихся на стенке, завышенный по сравнению с реально существующим. Принимая для коэффициента прилипания ₀ значение ₀=1, получим следующее уравнение, выражающее законы сохранения:

уравнение непрерывности

(69)

уравнение сохранения потока импульса

(70)

уравнение сохранения потока энергии

(71)

Сюда же следует присоединить и соотношение, определяющее плотность газа при х = 0:

(72)

В (69) (72) обозначено:

Система уравнений (69) — (72) совместно с (63) дает возможность определить искомые величины n, u, T,, через n₀, T₀,. Вычисляя в (69) — (72) моменты функции распределения с учетом (68) и (63), получим:

n = 0,5n₀ + 0,5n (1 Ф),

Выше упоминалось, что в ряде случаев значение скорости при х не задано заранее, а определяется условиями расширения в самом потоке и оказывается равным местной скорости звука в газе:

(73)

Для одноатомного идеального газа. Численное решение системы (69) — (72) в этом случае дает:

(74)

В используемом подходе величина Т не является температурой газа, а является параметром, эквивалентным ей, но только для той части частиц, которые движутся к стенке. Оценка эффективной температуры газа Т_эфф у стенки по формуле (67) с учетом обеих частей функции распределения дает Т_эфф = =0,76^.Т₀.

Решение (74) позволяет оценить долю частиц, возвращающихся на стенку. Для потока испаряющихся частиц j_{m, max} находим с помощью (63):

(75)

Из (75) для отношения полного потока j_m (равного j_{m, макс} за вычетом обратного потока) к максимальному получаем

(76)

Таким образом, на стенку возвращается около 18% испаряющихся атомов.

Сравним полученные результаты (табл. 4) различных приближений (1 разлет в вакуум — нет обратного потока частиц к поверхности; 2 — обратный поток частиц к поверхности (при х = 0 создается максвелловскими частицами, летящими к поверхности из сечения х =); 3 — последняя модель с завышенным потоком) для отношений j_m/j_{m, макс}, при условии, что скорость частиц на бесконечности равна местной скорости газа.

Таблица 4

Из табл. 4 следует, что плотность газа при х принимает тем меньшее значение, чем больше обратный поток частиц, возвращающихся к поверхности, а температура при этом, наоборот, возрастает. Приближения 1 и 3 являются крайними случаями и реальные значения для n и T должны лежать внутри интервала, даваемого этими крайними случаями.

В приближении 2 пренебрегается структурой пристеночного слоя _k, т. е. предполагается, что величины n, u, T во всей рассматриваемой области постоянны и равны своим значениям при х. В пределе u 0 это является хорошим приближением, однако в случае градиентами указанных величин в области _k пренебрегать уже недопустимо. В рассмотренной выше модели 3 этот факт учитывается и ее можно использовать как уточнение приближения 2.

Полученные выше решения связывают газодинамические параметры задачи, , с температурой поверхности Т₀. Для определения их через плотность потока излучения Q, поглощаемого телом, следует привлечь дополнительное соотношение, выражающее собой закон сохранения энергии:

Q = j + _свj_m. (77)

Последнее равенство учитывает, что частицы пара помимо тепловой энергии имеют внутреннюю энергию, равную энергии связи кристаллической решетки _св, т. е. (77) можно переписать в виде

(78)

или, для одноатомного газа с отношением теплоемкостей = 5/3 и скоростью

(79)

Запишем еще выражение для плотности числа частиц насыщенного пара n₀ как функции температуры поверхности Т₀. Для эйнштейновской модели твердого тела

(80)

Где ₀ — дебаевская температура, ₀ = h₀/k.

Система соотношений (74), (79), (80) полностью определяет газодинамические параметры пара у разрушаемой поверхности и температуру поверхности через плотность потока излучения Q. Скорость волны испарения _и, движущейся в глубь металла, определяется с помощью уравнения непрерывности для конденсированной и газообразной фазы:

(81)

где число частиц в единице объема конденсированной фазы.

Для конкретных расчетов приведем сводку формул для определения T₀, _и, и давления как функции плотности потока ЛИ Q, поглощенного телом:

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

Здесь при вычислении плотности числа частиц насыщенного пара использовано выражение (80), которое дает правильную зависимость от температуры, но зачастую отличающиеся от экспериментальных абсолютные значения n₀. Устранить последнее можно с помощью экспериментального переопределения по зависимости n₀(T₀) величины в (80) и соответственно ₀ в (82). В табл. 5 приведены необходимые для расчета по формулам (82) — (88) характеристики для ряда металлов.

Таблица 5

Из (82) — (84) следует, что учет явлений пристеночного слоя практически не изменяет значений скорости фронта, а для температуры Т₀ появление обратного потока частиц, конденсирующихся на поверхности, приводит к уменьшению численного множителя в правой части (82) примерно на 20%. Вследствие логарифмической зависимости Т₀ от Q в интервале значений Q, в котором справедлив тепловой механизм разрушения, учет обратного потока практически не меняет величины Т₀. Таким образом, в рассматриваемом интервале плотностей потока излучения величины _и и Т₀ с удовлетворительной точностью определяются из решения тепловой задачи для конденсированной фазы. Совместное рассмотрение задачи для конденсированной фазы и пара необходимо только для определения газодинамических параметров.

Определенный интерес представляет экспериментально измеряемая величина импульса отдачи Р₀, действующего на тело. Последний определяется

P₀ = p₀St₀,(89)

где S площадь облучаемой поверхности, t₀ длительность импульса, р₀ давление на поверхность тела, которое согласно закону сохранения импульса, равно Поскольку в широком интервале значений плотности потока излучения, имеем

(90)

Необходимо отметить, что параметры пара полученные выше, в большинстве случаев отвечают резко перенасыщенному состоянию. Действительно, для того чтобы пар на внешней границе переходного слоя не пересыщался при плотности его = 0,31n₀, охлаждение должно быть незначительным. Согласно уравнению адиабаты насыщенного пара (80), температура насыщения =, отвечающая плотности, определяется равенством

(91)

откуда, используя адиабату n₀ = n₀(T₀), получаем Таким образом, температура, при которой пар с плотностью становится насыщенным, удовлетворяет следующему условию:

(92)

Для того чтобы полученное значение температуры пара при х, = 0,65Т₀ отвечало неперенасыщенному состоянию его, должно быть /Т₀ 1 — 1/y₀ /T₀ = 0,65. Из последнего равенства следует, что при расширении в переходном слое пар не пересыщается только начиная с y₀ 3, т. е. при переходе к границе применимости рассматриваемой теории. В большей же части рассматриваемого интервала условий пересыщение может быть очень значительным. Пересыщение должно повлечь за собой конденсацию пара при его расширении почти сразу у поверхности. Рассмотрение газодинамической задачи о разлете пара от поверхности должно, поэтому вестись с учетом указанного кинетического процесса. Понятно, что наличие пересыщения не может изменить существенно подход к расчету гидродинамических граничных условий, основанный на пренебрежении процессом конденсации у поверхности в слое толщиной. Это связано с различными масштабами времени процесса конденсации и процесса установления равновесного распределения атомов по скорости. Действительно, толщина слоя _k, как это следует, например, из (60) — (62) составляет не более 2 — 3 длин свободного пробега, т. е. каждая частица успевает испытать только 2 — 3 соударения до выхода на предельный (в кинетическом смысле) режим течения. Что касается конденсации, то уже из элементарных соображений, без детального рассмотрения кинетики образования и роста устойчивых зародышей конденсированной фазы ясно, что даже для образования комплекса хотя бы из двух частиц требуется время, не менее времени ₃ между тройными соударениями, что составляет, где V₀= =1/ объем, занимаемый отдельной частицей. Отношение времени пролета ₂ частицей пристеночного слоя,, ко времени ₃ есть. Иными словами, параллельное рассмотрение кинетики конденсации и процесса установления течения в слое _k становится необходимым лишь в приближении плотности пара у поверхности к плотности конденсированного вещества, поскольку характерный масштаб для конденсации есть .

На основании сказанного можно представить следующую картину течения в непосредственной близости от поверхности тела. Пар, движущийся от поверхности, приобретает (в соответствии с газодинамическими условиям равновесного расширения) значения параметров движения (массовую скорость, плотность и температуру) на расстоянии от поверхности, составляющем 2 — 3 длины свободного пробега частиц. При выходе из этого слоя пар оказывается резко перенасыщенным. Это неустойчивое в термодинамическом отношении состояние должно смениться устойчивым на расстоянии; пройдя его, пар частично сконденсируется. В результате выделения при этом скрытой теплоты перехода температура его повысится и состояние его приблизится к состоянию насыщения, если это допускается условиями течения. Из этого следует, что переход газа из резко неустойчивого состояния, в котором он находится на внешней границе слоя _k, в устойчивое, близкое к насыщенному состоянию, должно совершаться скачком. Этот скачок отличается от обычно рассматриваемого конденсационного скачка тем, что состояние пара до скачка и двухфазной системы за скачком в нашем случае описываются разными адиабатами, а также условием, налагаемым на скорость за скачком режимом течения.

За скачком, т. е. на внешней границе слоя _k и далее, имеем течение пара, который в процессе расширения остается насыщенным; избыток его, образующийся в результате охлаждения при расширении, конденсируется в капли. При адиабатическом расширении такое течение является автомодельным с граничным условием u_x=0 = s (здесь равенство х = 0 следует, конечно, понимать в газодинамическом смысле). Таким образом, на внешней границе слоя _k мы имеем условие равенства скорости газа u_s местной скорости звука s_s, которая определяется адиабатой двухфазной системы, состоящей из насыщенного пара и капель конденсата. Простой подсчет на основании законов сохранения числа частиц, импульса и энергии показывает, что это условие несовместимо с условием (73), записанным для случая = 5/3, которое было взято (при условии, что пар на границе слоя не пересыщен) при получении решения (74). Для получения самосогласованного решения задачи необходимо, таким образом, к системе уравнений (69) — (72) с неизвестным пока значением скорости присоединить систему уравнений, связывающих параметры газа по обе стороны конденсированного скачка. Последнее суть:

(93)

(94)

(95)

где n_s, u_s, p_s, T_s, _s — плотность, скорость, давление, температура и степень конденсации в двухфазной системе непосредственно за скачком. Здесь степень конденсации определена по формуле

_s = n_ж/n, n = n_ж + n_п,(96)

где n_ж, n_п — числа атомов в объеме системы, относящихся к конденсированной и газообразной фазе соответственно. При записи уравнения (95) учтено, что внутренняя энергия единицы массы системы

(97)

где = 1,5k; = 3k — удельная теплоемкость в расчете на атом для пара и конденсированной фазы, V = 1/nm. Имеем, кроме того, уравнение для адиабаты насыщенного пара (80) и уравнение состояния пара:

(98)

(99)

Учитывая, что состояние системы за скачком равновесно, имеем здесь для скорости u_s (которая, как сказано выше, равна скорости звука s_s) соотношение:

(100)

при получении которого мы воспользовались выражениями (96) — (99), а также условием адиабатичности d + pdV = 0.

Система уравнений (70) — (72), (93) — (95), (98) — (100) полностью определяет соотношение пара перед скачком и состояние двухфазной системы за скачком через температуру поверхности Т₀. Как и ранее, присоединив сюда закон сохранения энергии в форме (79), получим связь параметров, характеризующих эти состояния и состояние поверхности, с плотностью потока излучения Q, поглощаемого металлом.

Решение полной системы уравнений представляет очевидные трудности; более детальный анализ показывает, что в большинстве случаев _s << 1, что позволяет в уравнениях (93), (94) пренебречь величиной _s, а уравнение (95) использовать для нахождения _s (требующегося в дальнейшем при решении газодинамической задачи). Полученное таким путем решение задачи приведено в табл. 6.

Таблица 6

Здесь все величины являются функциями переменной у₀; видно, что при изменении у₀ в разумных пределах (у₀ ~15 — 5) их изменение сравнительно мало.

Остановимся, наконец, на различиях между результатами, получающимися на основании найденного здесь решения, и результатами, следующими из формул (82) — (88).

Непосредственный численный анализ показывает, что формулы (82) — (84) для температуры поверхности Т₀, плотности потока испаренных частиц j_m и скорости волны испарения ₀ остаются практически без изменения. Скорость пара у поверхности до скачка конденсации следует для получения правильной величины умножить на коэффициент, равный ()^0,5, плотность пара у поверхности — умножить на коэффициент ()^0,5, давление — умножить на коэффициент ~; таким образом, скорость надо уменьшить примерно в 0,6 раза, плотность и давление — увеличить в 1,6 раза и 1,8 раза соответственно.

Помимо этого следует, конечно, иметь в виду, что найденное решение дает принципиальную возможность вычислить необходимое для решения газодинамической задачи начальное значение степени конденсации _s.

9. Гидродинамика разлета поглощающей плазмы Рассмотрим одно частное решение уравнений гидродинамики [115], позволяющее установить основные особенности разлета плазмы, поглощающей поток излучения. Будем изучать движение плазмы у поверхности твердого тела. Ограничимся случаем, когда движение зависит от одной пространственной координаты х и направим ось х перпендикулярно к поверхности твердого тела по течению газа (поток излучения Q будет в этом случае отрицательным). Уравнения движения имеют следующий вид:

(101)

где Q = Q (x, t) локальная плотность потока ЛИ, которую можно записать через монохроматический коэффициент поглощения (, T) в виде

.

Прежде чем приступать к анализу системы уравнений (101), отметим одну существенную особенность ее решений, имеющую место в том случае, когда коэффициент поглощения (, T) уменьшается с ростом температуры и возрастает с ростом плотности среды. Рассмотрим слой поглощающей плазмы у поверхности твердого тела. Пусть начальная оптическая толщина слоя невелика, и значительная часть ЛИ достигает поверхности. Тогда испарение должно приводить к росту плотности и оптической толщины слоя, а следовательно, к уменьшению части потока, приходящей на поверхность твердого тела. Наоборот, если начальная оптическая толщина плазмы велика, то скорость испарения будет малой, и основное изменение прозрачности плазмы будет связано с ростом температуры и гидродинамическим расширением. Эти процессы приведут, очевидно, к уменьшению оптической толщины и последующему росту _и. Следует ожидать, что асимптотически будет достигаться режим, при котором увеличение поглощения в плазме за счет испарения новых порций твердого вещества будет компенсироваться уменьшением его за счет роста температуры и гидродинамического расширения. Поэтому можно ожидать, что возникнет своеобразный «самосогласованный» процесс испарения, при котором оптическая толщина слоя плазмы над поверхностью твердого тела не будет зависеть от времени.

Покажем, что такой режим действительно возможен для модельной среды с коэффициентом поглощения вида (, р) = а^mрⁿ и внутренней энергией _св(р,) = р/(1). В этом случае, если плотность плазмы много меньше начальной плотности твердого тела, а ее внутренняя энергия много больше теплоты испарения, можно построить автомодельное решение системы уравнений (101). Действительно, параметры _св и ₁, по предположению, являются несущественными, и движение определяется лишь двумя параметрами, имеющими независимые размерности: плотностью потока излучения Q₀Q () и множителем, а из формулы для коэффициента поглощения.

Из соображений размерности следует, что в этом случае имеется автомодельное решение системы (101), зависящее лишь от одной переменной = xt^s, где

Решение системы (101) можно записать в таком виде:

(102)

где безразмерные функции V (), R () и Р () удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(103)

где и ₀ значение независимой переменной на внешнем краю плазменного слоя.

Из определения автомодельной переменной следует, что движение точек = const происходит по закону x ~ t^s. Учитывая интервал изменения показателей m и n в интерполяционной формуле = a^mрⁿ [116, 117], легко убедиться, что значения «лежат обычно в интервале от 1,15 до 1,09, т. е. близки к 1. Последнее значение соответствует обычной волне разрежения в отсутствие поглощения света. Можно ожидать, что структура автомодельного решения (102) в общих чертах будет подобна волне разрежения. Поглощение света приведет лишь к дополнительному ускорению плазмы и уменьшению ее плотности и давления.

Скорость движения внешней границы плазмы = _о равна

(104)

т.е. ускорение границы за счет поглощенного света происходит по закону t с 0,1 … 0,15.

Используя (104) и учитывая, что давление и плотность на границе с вакуумом равны нулю, запишем граничные условия для системы (103) в виде

(105)

Точка = ₀ является особой для системы уравнений (103). Для численного решения уравнений (103) с граничными условиями (105) необходимо исследовать поведение решения вблизи особой точки.

Асимптотическое решение будем искать в виде

V = s₀ + Az, R = Bz^v, P = Cz^w,

где z = ₀ и А,, v, С, w постоянные. При этом будем считать, что правая и левая части третьего уравнения (103) стремятся к нулю при ₀ одинаково быстро. После простых вычислений получаем

(106)

В частном случае полностью ионизованного газа, принимая в качестве уравнения состояния р = RT, имеем m = 3,5, n = 1,5, s = 9/8, =5/ Для этого случая при z 0 получаем Отметим, что при ₀ коэффициент поглощения стремится к нулю: ~ R^mPⁿ 0; температура также стремится к нулю: T ~ Р/R ~ z0. С помощью соотношений (106) можно выйти из особой точки = ₀ при численном интегрировании системы (103).

До сих пор в рассмотрение не была введена поверхность твердого тела, с которой происходит испарение. Это можно сделать следующим путем. Будем рассматривать узкую область у поверхности твердого тела, в которой происходит поглощение прошедшего сквозь слой плазмы светового потока, как газодинамическую поверхность разрыва. Пусть приходящий к этой поверхности световой поток равен Q (0). Закон сохранения энергии требует тогда, чтобы имелся такой же величины гидродинамический поток энергии в обратном направлении, т. е.

(107)

В написанном равенстве не учтена теплота испарения твердого тела. Поэтому такое рассмотрение правильно до тех пор, пока удельная энтальпия испаренного вещества много больше, чем теплота испарения.

Дополнительное граничное условие (107) позволяет определить неизвестный параметр ₀, который входит в решение через граничные условия (105) и (106).

В качестве очень грубого приближения вместо интегрирования системы уравнений (103) с краевыми условиями (106), (107) можно воспользоваться методом интегральных соотношений. Последние легко получить путем почленного интегрирования уравнений (101) от нуля до x₀ = ₀t^9/8. Приводя полученные соотношения к автомодельному виду с помощью (102), получим

(108)

Здесь обозначено = /_о. Преобразуя также (107) с помощью (102), получим соотношение

(109)

Учитывая асимптотическое поведение функций R, V и Р вблизи особой точки, положим в (108)

Выполняя интегрирования в (108), придем к системе алгебраических уравнений для величин V (0), R (0), Р (0), Q (0) и ₀. После решения этой системы и подстановки в соотношения (102), получим следующие значения размерных величин температуры и плотности на поверхности х = 0 (где, а — множитель из формулы для коэффициента поглощения):

Доля от полного потока энергии, поглощенная разлетающейся плазмой, оказывается равной 0,24. Она не зависит от времени, что и соответствует качественно описанному ранее «самосогласованному» характеру расширения плазмы. Масса твердого материала, испаренного за время t, равна, а эффективная удельная теплота испарения пропорциональна величине .

Описанный автомодельный режим разлета вещества возможен в предельном случае _мет >> (0, t) и _св << kT (0, t)/m. Ясно, что эти условия не выполнены в начальный момент времени и автомодельный режим должен достигаться асимптотически после некоторого переходного процесса. Численное решение неавтомодельной задачи с теми же упрощающими предложениями, которые приняты при формулировке автомодельной задачи, описано в работе.

Рассмотрим другой важный случай, когда движение оказывается автомодельным случай коротких импульсов ЛИ (что важно в связи с достижениями в области генерации сверхкоротких световых импульсов).

Существенное упрощение здесь возможно по причине того, что допустимо пренебрежение движением среды во время действия ЛИ, в результате чего (как и при малых плотностях потока излучения) гидродинамическая и оптическая задачи разделяются. Общая картина разлета вещества выглядит так же, как при действии поверхностного взрыва. При этом теплотворная способность взрывчатого вещества должна быть равна W/M*, где М* масса вещества, которой сообщена энергия за время действия светового импульса. Заметим, что аналогичный характер имеет движение среды, вызванное ударом тела малой массы по поверхности другого тела, например падением метеорита на поверхность планеты.

Рассмотрим сначала плоский удар. Пусть в начальный момент поглощающее тело, которое мы будем считать идеальным газом с плотностью ₀ и равной нулю температурой, занимает полупространство х > 0, и поверхность х = 0 подвергается действию кратко-временного «удара» длительностью t₀. Масштабом времени, по отношению к которому t₀ должно быть малой величиной, служит в данном случае толщина слоя, которому сообщается энергия при ударе, деленная на скорость звука (толщина этого слоя может быть значительно больше, чем длина пробега ЛИ в холодном веществе). После удара поглотивший энергию слой разлетается с начальной скоростью ~ (W/M*)^0,5, a по покоящемуся газу распространяется ударная волна. Задача состоит в определении движения газа при t >> t₀.

Начнем с рассмотрения автомодельной стадии движения. При t>> t₀ единственным масштабом длины является координата фронта ударной волны X. Предположим, что движение ударной волны происходит по закону X = At^s и будем искать решение уравнений газодинамики в автомодельной форме:

(110)

Легко убедиться в том, что показатель автомодельности s нельзя определить из рассмотрения законов сохранения. Действительно, после окончания «удара» на движущийся газ не действуют внешние силы и должны сохраняться его энергия и количество движения. Энергия, как легко проверить, пропорциональна величине, поэтому из сохранения энергии следует значение показателя автомодельности s=2/3; с другой стороны, сохранение количества движения, = const, требует значения s=0,5. Возникающее противоречие разрешается следующим образом. Показатель автомодельности оказывается заключенным в интервале 0,5

Анализ показывает, что рассматриваемое автомодельное движение зависит не от значений полной энергии и импульса в отдельности, а от некоторой их комбинации, которая остается конечной и размерность которой связана со значением s. Условие для определения вида этой комбинации и значения s следует из того, что система уравнений для безразмерных функций P (), R () и V () имеет решения, обладающие нужными свойствами, не при любых s. Определенный таким образом показатель s зависит от показателя адиабаты (s = 0,612 для = 5/3 и s= 0,600 для = 7/5). Поскольку оказывается, что в случае = 7/5 удается найти точное решение уравнений движения, а показатель автомодельности и характер решения при переходе к значению =5/3 изменяются незначительно, мы ограничимся рассмотрением задачи при = 7/5.

Для введенных соотношениями (110) функций P (), R () и V () имеет место следующая система уравнений:

(111)

Граничные условия на фронте сильной ударной волны таковы:

на границе с вакуумом должны выполняться условия:

Можно проверить, что решение системы (106) при v = 7/5, s=3/5

(112)

Укажем некоторые свойства решения (112). Интегрируя выражение для плотности, легко убедиться, что между фронтом ударной волны и точкой х = 0, соответствующей начальному положению поверхности тела, заключена масса, равная 0,89₀X. Таким образом, 89% всей массы, охваченной движением, остается в начальных границах тела и лишь 11% выбрасывается наружу. Скорость газа в каждый момент времени линейно зависит от координаты х и обращается в нуль в точке х = 0,5X. В направлении движения ударной волны движется 78% всей возмущенной массы газа. Как уже отмечалось выше, полная энергия движущегося вещества, определяемая выражением оказывается бесконечной, поскольку при кинетическая энергия RV²/2 ~ || ^0,5 убывает недостаточно быстро.

В действительности энергия среды остается всегда конечной, а отмеченная особенность связана с тем, что движение малой (по сравнению с ₀Х) массы вещества М*, которой первоначально передается вся энергия «удара», не описывается автомодельным решением. Физически понятно, что эта масса летит в пустоту, обладая энергией порядка W. Принимая это во внимание при вычислении интеграла энергии, можно показать, что Последнее соотношение можно использовать для грубого определения постоянной А, входящей в закон движения ударной волны. Величина этой постоянной может быть выражена как, А = (W/₀)^0,3X*, где X*=М*/₀ координата границы области, которой сообщена энергия в результате действия импульса ЛИ. Для вычисления X* необходимо рассмотреть передачу энергии в среде до начала газодинамического движения. Падающий на поверхность твердого тела световой поток поглощается в слое, толщина которого примерно равна обратной величине коэффициента поглощения. Этот слой быстро нагревается до высокой температуры и передает энергию соседним слоям посредством лучистой k_L и электронной k_e теплопроводности. При температуре порядка сотни или нескольких сотен тысяч градусов электронный газ становится невырожденным. Коэффициенты электронной и лучистой теплопроводности можно оценить в этом случае, используя обычные выражения, полученные для плазмы:

где ln кулоновский логарифм. Сравнивая эти формулы, можно видеть, что при плотностях, соответствующих конденсированному веществу, и температурах порядка сотен тысяч градусов основным механизмом передачи энергии должна быть лучистая теплопроводность.

Однако, как будет показано ниже, для практически интересных значений плотности энергии W и достаточно малой длительности импульса нагретый слой вещества оказывается оптически тонким, вследствие чего вклад лучистой теплопроводности в поток энергии становится незначительным. Основную роль в этих условиях начинает играть электронная теплопроводность.

Оценим толщину слоя, нагреваемого электронной теплопроводностью за время ₀ порядка характерного времени гидродинамического движения (₀, конечно, само зависит от W). Задача теплопроводности для полупространства с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры по степенному закону, имеет, как известно [116], автомодельное решение. Мы не будем его, однако, выписывать, а ограничимся оценкой, которая дает для X* очень близкий к точному результат. Перемещение фронта тепловой волны зависит от времени по закону Кроме того, приt ₀.

Теплоемкость единицы объема с₀ в нашем случае можно считать постоянной. Учитывая выражение для коэффициента теплопроводности k_е = ВТ^5/2, находим закон движения фронта тепловой волны:

x = Dt^2/9, D ~ W^5/9B^2/9(c₀)^-7/9(113)

и закон изменения средней температуры со временем:

T = Kt^2/9, K ~ (W/t₀)^4/9(Bc₀)^2/9. (114)

Подсчитывая массу вещества М*, нагретого тепловой волной за время ₀, получаем

(115)

Эта масса и играет роль «взрывчатого вещества» на поверхности металла.

Оценим потери энергии на излучение. Для тормозного механизма энергия, излучаемая единицей объема в единицу времени, равна = =1,410^-27. Полная энергия, излученная за время t, заведомо меньше чем W₁ = tx (t). Условие малости W₁ в сравнении с поглощенной энергией W можно, пользуясь формулами (113), (114), записать в виде неравенств

₀ << 410¹³(Bc)^0,8W^0,2, W << 10¹⁵c^2,5B².(116)

При значении W = 10³ Дж/см² это дает ₀ << 310⁹ с.

Отметим, что при малых значениях W даже для очень коротких импульсов потери на излучение начинают играть важную роль. В случае, когда эти потери велики, закон движения тепловой волны (113) существенно изменяется: из-за резкого охлаждения поверхностного слоя возникает тепловая волна от дипольного источника. Этот случай, однако, соответствует очень малым W и практического интереса не представляет.

Выше считалось, что нагретый слой плазмы оптически прозрачен, т. е. выполняется неравенство x (₀) << l, где l = 1,510²³T^3,5(n_e²Z²)¹ должным образом усредненный пробег излучения. Условие прозрачности можно с помощью (113), (114) привести к виду

W >> 10²⁹B³/c^1,5. (117)

Еще одно ограничение на длительность лазерного импульса следует из нашего предположения об отсутствии массового движения в течение времени ₀. Это имеет место, если длительность импульса ₀ значительно меньше характерного времени массового движения, т. е. (s₀ скорость звука в слое, нагретом тепловой волной). Используя формулы (113), (114), получим неравенство для ₀:

₀ << (BW)^0,5/c^7/4, (118)

которое для плотности энергии W = 10³ Дж/см² принимает вид ₀<<10⁹ с.

При очень коротких лазерных импульсах может оказаться существенным нарушение равновесия между электронами и ионами в плазме. Очевидно, что для импульсов, длительность которых меньше времени релаксации температуры в плазме, имеет место описанная качественная картина с той лишь разницей, что тепловая волна будет распространяться по электронам при холодных ионах. Этот случай отличается от равновесного только значениями констант, что не может существенным образом изменить полученных оценок.

Дальнейшее движение среды после окончания действия лазерного импульса подобно движению под действием взрыва вещества с тепловой способностью порядка W/X* (разрушение структуры твердого тела происходит в сильной ударной волне), а в следующей за ней волне разгрузки происходит испарение вещества. Поскольку основной вынос массы обусловлен испарением в волне разгрузки, то величину вынесенной массы можно грубо оценить, деля полную поглощенную энергию на то значение удельной внутренней энергии за фронтом ударной волны, при котором еще имеет место испарение вещества в волне разгрузки. Это значение составляет ~5_св, так что при описанном механизме затраты энергии на вынос единицы массы примерно в пять раз выше, чем при медленном испарении. Таким образом, полная масса испаренного металла оказывается порядка массы, охваченной ударной волной к тому моменту времени, когда плотность энергии за фронтом волны примерно равна пятикратной теплоте фазового перехода. Вычисляя описанным выше способом постоянную, А и оценивая плотность энергии за волной, нетрудно получить для испаренной массы следующее выражение:

(119)

где = (2 3s)/6(1 s) и T₀ = 5_свA/R. (120)

Поскольку для s имеет место неравенство ½ < s < 2/3, то показатель степени оказывается, во всяком случае, меньше 1/9. Таким образом, эффективное значение удельной энергии испарения при очень коротких импульсах весьма медленно возрастает с увеличением W при фиксированном ₀. Заметим, что, например, при описанном выше автомодельном расширении поглощающей плазмы с постоянной оптической толщиной, возрастание эффективной удельной энергии испарения с ростом плотности энергии излучения оказывается более быстрым: _* ~ ~(Wq₀)^0,25. Причину различия легко понять, если заметить, что в условиях «короткого удара» основная масса вещества разлетается с энергией порядка 5_св даже при очень больших значениях плотности потока излучения.

При оценке испаренной массы мы не учитывали потерь на излучение на стадии ударной волны. Такая оценка не вносит ничего принципиально нового и сводится, в конечном счете, к некоторому неравенству для W, аналогичному полученным ранее при рассмотрении стадии тепловой волны.

Здесь мы рассмотрели лишь одномерную задачу о «коротком ударе». При фокусировке излучения на малые площади возникают некоторые особенности движения [119], в частности уменьшается доля вещества и энергии, выбрасываемых за пределы области, первоначально занятой твердым телом, и задача приближается по постановке к известной задаче о сильном взрыве.

Приближенный анализ задачи о точечном коротком ударе изложен в работе.

10. Газодинамика разлета пара Перейдем к рассмотрению газодинамической задачи о расширении пара от разрушаемой поверхности. Ограничимся одномерным случаем и будем полагать боковое расширение пара несущественным. Полученные таким образом результаты должны правильно описывать реальное поведение пара у поверхности вплоть до расстояния от нее порядка характерного размера d площадки, с которой происходит испарение. Не будем учитывать также влияние стенок образующегося в разрушаемом теле отверстия; область применимости последнего предположения будет выяснена позднее.

Прежде чем переходить к конкретной постановке задачи, рассмотрим качественно процессы, происходящие при разлете. Как уже отмечалось, в широком диапазоне температур поверхности исходное для газодинамики термодинамическое состояние пара является состоянием насыщения. В результате расширения и охлаждения пара степень конденсации в нем, равная первоначально величине _s, непрерывно увеличивается. Благодаря выделению теплоты испарения при образовании частиц конденсата температура пара при движении вниз по потоку должна падать сравнительно медленно. В предельном случае равновесной конденсации зависимость температуры от плотности пара давалась бы адиабатой двухфазной системы, состоящей из насыщенного пара и частиц конденсата. Реальная адиабата должна несколько отклоняться от адиабаты, соответствующей насыщенному пару, в сторону меньшей температуры (так как в системе все время должно поддерживаться некоторое пересыщение из-за отставания кинетики конденсации от газодинамики); однако, как будет показано ниже, в рассматриваемых условиях этим отклонением на начальном участке течения можно пренебречь. Здесь для сравнения укажем, что конденсация металлического пара при сферическом разлете его в вакууме по аналитической оценке (на примере железа) дает максимальное переохлаждение _макс= (Т_р — Т)/Т_Р и составляет величину _макс ~ 0,08, достигаемую только при температуре T = 2130 К (y 25), при плотности числа частиц пара n_п ~ 710¹⁶ см³ и скорости разлета ~ ~15 км/с. Поэтому в дальнейшем (при расчете течения) будем предполагать пар насыщенным, а степень конденсации равновесной. Используя затем полученные таким путем результаты, определим область условий, в которой предположение о равновесности течения хорошо отвечает действительности.

Перейдем к решению задачи о расширении пара. Будем рассматривать адиабатическое движение пара в системе координат, связанной с поверхностью металла. Пар будем предполагать идеальным невязким и нетеплопроводным газом. Ось х направим по движению газа. Движение границы испарения в глубь тела будем считать стационарным, а плотность потока излучения Q постоянной.

Параметрами, определяющими решение задачи, являются значения давления, плотности, температуры и скорости пара на границе х = 0, из которых нельзя составить комбинаций с размерностью длины или времени. Такое течение, как известно [100], зависит от координаты х и времени t только через их отношение = x/t и является автомодельным. Уравнения, описывающие течение газа (непрерывности и Эйлера), после введения автомодельной переменной приобретают вид

(121)

(122)

Сюда же необходимо присоединить условия адиабатичности движения:

(123)

где S — энтропия, V = 1/mn — удельный объем газа, внутренняя энергия единицы массы системы, которая определяется удельной теплоемкостью в расчете на атом для пара, конденсированной фазы и энергией связи кристаллической решетки _св. Учтем теперь, что газ представляет собой двухфазную систему из насыщенного пара и частиц конденсированной фазы. Введем степень конденсации ₂ как отношение числа атомов в конденсированной фазе n_ж к полному числу атомов в единице объема n:

(124)

где n_п — число атомов пара в единице объема. Тогда

(125)

Внутренняя энергия единицы массы пара дается приведенным выше выражением (97). Используя также уравнение адиабаты пара (98) и уравнение состояния (99), приведем систему (122) — (125) к одному дифференциальному уравнению для двух переменных, например T и ₂, которое описывает адиабатическое движение двухфазной системы:

(126)

Решение его представляет собой адиабату системы при заданных начальных условиях, которые мы выберем в виде

(127)

На основании сказанного ранее определим у_s через значение температуры, которое соответствует насыщению в паре, имеющем заданные, исходные для газодинамики, плотность n_s и скорость u_s, полученные из решения задачи о конденсационном скачке. Решение (102), (127) запишем в виде

(128)

С помощью (128) теперь можно исключить из (121), (122) одну из функций р или и получить решение задачи. Разделив (122) на (121), найдем в результате несложных преобразований

(129)

Отсюда

(130)

Или

(131)

где при определении постоянной интегрирования принято, что начальная скорость u = u_s, плотность = _s, а выбором знака учитывается, что газ при движении ускоряется. Перемножая (121), (122), получаем второе соотношение, вместе с (131) определяющее решение задачи:

(132)

(133)

Отсюда видно, в частности, что при х = 0 (= 0) будет u = u_s = =(dp/d)^0,5 = s_s, т. е. начальная скорость пара должна быть равна местной скорости звука.

В дальнейшем мы, избегая громоздких вычислений и стремясь к более наглядному результату, ограничимся приближенным расчетом. Учитывая, что y >> 1, имеем для ₂ вместо (128) выражение

(134)

С помощью (134) получаем далее

(135)

(136)

(137)

Из (131) и (133) находим

(138)

Отсюда следует связь между температурой и автомодельной переменной

(139)

Соотношения (138), (139) совместно с (135) и (136) дают приближенное решение задачи. Скорость u обнаруживает почти линейную зависимость от переменной, температура экспоненциально падает с ростом, вместе с нею падают давление и плотность; последняя падает чрезвычайно быстро, как двойная экспонента. Отметим, что получившийся неограниченный рост скорости при увеличении является следствием приближенности решения. На самом деле ускорение газа происходит до некоторого максимального значения скорости u_макс. Грубую оценку величины u_макс можно получить и не уточняя решения, из равенства по порядку величины конечной кинетической энергии газа начальному запасу его полной энергии:

Подчеркнем, что эта оценка дает только порядок величины u_макс, так как не учитывает эффекта «закалки» конденсации. Реально в результате расширения при некотором значении плотности газа скорость конденсации уменьшается настолько, что степень конденсации ₂ перестает «следить» за газодинамикой (начиная с этого момента ₂ остается постоянной и равной _2макс), а расширение происходит по адиабате Пуассона. По оценкам теоретических работ для упоминавшегося уже численного примера _2макс 0,5, с учетом указанного обстоятельства для скорости, к началу «закалки» имеем Следует также иметь в виду, что для автомодельного течения конечная скорость разлета больше той, которая получается из приравнивания конечной кинетической энергии газа его начальной полной энергии, что является следствием перераспределения тепла в волне разрежения. Так, для идеального газа, расширяющегося по адиабате Пуассона, конечная скорость разлета u_макс = 2s/(- 1) = 3s₀ (s₀ — начальная скорость звука), тогда как подсчет по закону сохранения энергии дает u_макс = (2s₀²/(1))^0,5 1,7s₀. Таким образом, приведенная оценка для скорости должна содержать еще численный коэффициент, больший единицы.

Приведем здесь еще для сравнения выражения для профилей газодинамических величин для газа, расширяющегося с самого начала по адиабате Пуассона, т. е. газа, в котором конденсации не происходит. Уравнения (121), (122) при этом замыкаются с помощью адиабаты Пуассона:

(140)

Решение системы уравнений (121), (122) и (140) во избежание путаницы с предыдущими результатами отметим (переменные) штрихом:

(141)

(142)

(143)

(144)

где индексом «₀» отмечены начальные значения параметров течения.

Отметим, что в этом случае начальные параметры могут быть определены двумя способами: 1 начальные скорость u₀, плотность ₀ и температура Т₀ задаются решением газокинетической задачи (74) в пристеночном слое при условии отсутствия конденсационного скачка; 2 эти же величины принимают значения, соответствующие условиям после конденсационного скачка. Решение такого типа с условиями 1 могло бы иметь смысл, во-первых, при y₀ 3, однако в этом случае мы находимся в области, где тепловой механизм разрушения перестает быть справедливым или, во-вторых, в пределе малых начальных плотностей пара (при Q 10⁶ Bт/см², t > 10⁹ с), когда сразу же у поверхности происходит «закалка» конденсации. Относительно области справедливости решения (141) — (144) с начальными условиями типа 2 при плотностях потока излучения Q < 10⁶ Bт/см² практического интереса не представляет.

Скорость и температура частиц конденсата в потоке пара

В предыдущих вычислениях мы предполагали, что частицы конденсата движутся вместе с паром и имеют температуру, равную локальной температуре пара. Выясним справедливость этого допущения. Будем считать частицы конденсата шариками с диаметром порядка 10-⁵ см. Поскольку размер частиц оказывается порядка длины свободного пробега атомов в газе с нормальной плотностью, при вычислении скорости и теплообмена частиц конденсата необходимо использовать граничные условия со скольжением и учитывать температурный скачок у поверхности частицы. Такой подход оказывается справедливым вплоть до режима свободномолекулярного течения, при котором задачу следует решать иначе.

Напишем уравнения движения частицы. Пусть u скорость частицы, скорость газа в том месте, где находится частица. При движении частицы вместе с газом u = и на нее действует сила, равная _пV₀d/dt, где _п — плотность пара и V₀ — объем частицы. Если частица отстает от потока (или обгоняет его), то к указанной силе добавляется еще сила сопротивления F_c, так что уравнение движения имеет вид Поскольку плотность частицы ₀ много больше плотности пара, можно пренебречь первым слагаемым в правой части и присоединенной массой частицы. Таким образом, Найдем выражение для, считая скорость пара относительно частицы малой. Задача определения отличается при этом от стандартной стоксовской задачи только граничным условием для касательной составляющей скорости на поверхности частицы: вместо = 0 при r = R теперь надо положить = Rd/dr. Здесь через обозначена скорость пара относительно частицы:, кроме того, введено обозначение = l(2/h 1)/R, где l — длина свободного пробега атомов, h — доля атомов, отражающихся диффузно от поверхности частицы. Опуская простые вычисления, запишем распределение скоростей в виде

где — нормаль к поверхности частицы, — скорость газа вдалеке от частицы; b₁ =1,5(+ 1)/(2 + 1); b₂ = 0,5(1)/(2 + 1). Для силы сопротивления получаем формулу

F_c = 6R (+ 1)/(2 + 1).

Таким образом, уравнение движения при одномерном течении имеет вид

(145)

где ₁ = 2R²(1 + 2)₀/[9(1 +)] - время релаксации скорости частицы.

Для частиц размером 10-⁵ см, принимая отношение ₀/_п = 10³ и кинематическую вязкость пара _п = 0,2 см²/с, получаем: ₁ ~ 10-⁷ с. Это время следует сравнивать с характерным временем изменения скорости газа (d/dt)¹. Оценки, основанные на приведенных выше решениях, дают для этого времени порядок 10-⁵ с. В этом случае скорость частиц относительно газа | - u| ~ 10⁵₁ ~ 10², что для ~ 10⁵ см/с составляет ~ 10³ см/с. Соответствующее число Рейнольдса равно Re ~ 0,05, что оправдывает применение стоксовского приближения.

Таким образом, частицы размером 10-⁵ см движутся практически вместе с потоком газа. Заметим, что для более крупных частиц или для потоков с большими градиентами скорости закон движения частицы можно получить, интегрируя линейное уравнение (145) при заданном законе изменения скорости газа ' вдоль линии тока.

Перейдем теперь к расчету теплообмена частиц конденсата. Как будет показано ниже, характерное время изменения температуры частицы вследствие теплообмена с газом всегда много больше времени R²/k*₀ выравнивания температуры внутри частицы (k*₀ — температуропроводность частицы). Поэтому частицу можно считать равномерно нагретой по всему объему и написать

(146)

Здесь T_s обозначает температуру частицы; k_п — теплопроводность пара; Т — температура пара вдалеке от частицы (предполагается при этом, что частиц мало и они не мешают друг другу остывать); Nu — число Нуссельта, связанное с тепловым потоком к поверхности частицы q соотношением [100]

Такая запись оказывается весьма удобной, поскольку, как будет видно из дальнейшего, число Нуссельта в нашем случае будет всегда порядка единицы.

Уравнение (146) можно переписать в виде, аналогичном (145):

(147)

где ₂ = (R²/k*₀)(2k₀/3Nuk_п), 2k₀ — теплопроводность частицы.

Поскольку 2k₀ >> k_п, то ₂ >> R²/k*₀, вследствие чего температуру действительно можно считать одинаковой по всему объему частицы, что и предполагалось при записи уравнения (146). Чтобы оценить величину ₂, положим 2k₀ /k_п = 10³; Nu = 2; R = 10⁵ см; k*₀= 0,1 см²/с, в результате получаем значение ₂ = 3•10⁷ с.

Это время следует сравнивать с характерным временем изменения температуры пара (dT/Tdt) —¹. Обычно эта величина того же порядка, что и характерное время изменения скорости. Отсюда следует, что частица размером ~ 10-⁵ см находится в тепловом равновесии с потоком газа, что и предполагалось ранее.

Нам остается только вычислить Nu и показать, что значение Nu=2 представляет собой разумную оценку. Для расчета необходимо знать распределение температуры в газе вблизи обтекаемой частицы. Выберем систему координат с началом в центре частицы и введем безразмерные переменные. Для чего r отнесем к радиусу частицы R, а компоненты скорости — к величине. При этом безразмерную температуру определим соотношением

= (Т Т)/(Т_s Т) .

Тогда для (r,) получим уравнение теплопроводности

(148)

где Ре — число Пекле. На поверхности частицы r = 1 должно выполняться условие где = c_p/c_v, — коэффициент аккомодации. При записи граничного условия предполагается, что температура поверхности не зависит от. Это предположение легко оправдать простой оценкой. Легко также убедиться, что теплотой, выделяющейся вследствие вязкой диссипации, при малых скоростях обтекания можно пренебречь. Мы не будем на этих вопросах останавливаться подробно.

Для решения уравнения (148) нельзя непосредственно воспользоваться методом возмущений даже для сколь угодно малых, так как решение уже во втором приближении не удовлетворяет условию на бесконечности (,) = 0. Возникающая трудность здесь того же происхождения, что и в стоксовой задаче об обтекании шара: в обоих случаях существует расстояние, на котором конвективные члены становятся главными, сколь бы малым ни было число Re. Естественным способом решения задачи (148) является переход к приближению типа Озеена. Заменим для этого во втором слагаемом в (148) компоненты скорости их асимптотическими значениями при r: _r cos, ₀ sin. Уравнение для температуры получается в виде

(149)

Его решение известно:

(150)

где P_k(х) — полиномы Лежандра и K_k+½(x) — функции Макдональда.

Для определения коэффициентов C_k следует использовать условие Можно показать, что с точностью до членов порядка

а С₁ не вносит вклада порядка в число Nu, усредненное по поверхности сферы. Вычисляя среднее значение потока с помощью (150), получим

(151)

Как и должно быть, скачок температуры у поверхности уменьшает теплообмен. Отметим, что выражение (151) не зависит от распределения скоростей и пригодно при любых числах Re, а не только для течения Стокса (при условии, конечно, что параметр << 1). Поэтому в формулу для числа Нуссельта не вошел, в частности, параметр, а учет последующих членов разложения Nu пo только уменьшает значение, даваемое (151).

Можно показать, что в рассматриваемых условиях конвективный теплообмен между частицей и газом является основным и превышает лучистый теплообмен. Мы не будем приводить соответствующих оценок, поскольку они не могут повлиять на основной вывод о наличии теплового равновесия между газом и движущимися в нем частицами конденсата.

Прежде чем перейти к оптическому пробою, отметим некоторые особенности, связанные с прохождением ЛИ через вещественные среды воду и атмосферу.

11. Лазерное излучение в воде Прохождение ЛИ в воде сопровождается значительным ослаблением интенсивности, которое подчиняется экспоненциальному закону. При этом коэффициент ослабления излучения можно представить состоящим из двух частей: коэффициентов поглощения и рассеяния.

В воде без взвесей рассеяние практически отсутствует и затухание обусловливается только поглощением. Поглощение можно считать одинаковым для всех встречающихся в природе водных бассейнов, тогда как рассеяние в значительной степени зависит от наличия примесей, например живых организмов.

Интенсивность излучения в любой точке среды характеризуется двумя компонентами. Одна определяется излучением, приходящим от источника без рассеяния, а другая излучением, претерпевшим многократное рассеяние.

Интенсивность рассеянного излучения практически не зависит от длины волны излучения. Рассеянное излучение, в свою очередь, представляют состоящим из двух частей: излучение, рассеянное вперед, и излучение, рассеянное назад. Естественные воды характеризуются интенсивным рассеянием вперед, что является результатом дифракционного рассеяния света прозрачными биологическими организмами и различными неорганическими частицами с размерами, существенно превышающими длину волны излучения. Коллимация пучка ЛИ сохраняется на расстояниях, соответствующих 10 длинам ослабления. При дальнейшем распространении пучок расходится и принимает конусообразную форму.

Ослабление ЛИ в воде определяется длиной волны излучения и прозрачностью водной среды. Величина, обратная коэффициенту ослабления, называется длиной ослабления и измеряется в метрах. Эта величина определяет расстояние в водной среде, на котором поток ЛИ ослабляется по интенсивности на 37%. Длина ослабления в воде океанов при длине волны излучения 0,5 мкм составляет 10 м и уменьшается до 2 м в прибрежных водах. Экспериментально установлено, что для чистой воды океанов при длине волны излучения 0,48 мкм коэффициент поглощения составляет 0,02 м-¹, а коэффициент рассеяния 0,03 м-¹.

При определении законов распространения ЛИ в жидкостях используются различные теоретические методы. Однако наилучшие результаты дает диффузионная теория, которая позволяет определять облученность объектов. На основе использования диффузионной теории установлено, что на расстояниях, равных нескольким длинам ослабления, интенсивность рассеянного ЛИ превышает интенсивность излучения, непосредственно падающего на объект, т. е. определяющим фактором облученности становится рассеянное ЛИ.

Так, например, для приемника с полем зрения 26° отношение облученности рассеянного излучения к прямой облученности на дальности 20 длин ослабления составляет около 10³ и на дальности 40 длин ослабления около 10⁹. Эксперименты при использовании лазерного луча диаметром 3 см показали, что на дальности 7 длин ослабления 20% общей энергии луча распределяется по площади окружности диаметром 1,5 м, 50% - по площади окружности диаметром 3,5 и 80% - по площади окружности диаметром 5,5 м.

Теоретически и экспериментально установлено, что использование рассеяния ЛИ обеспечивает увеличение дальности наблюдения в два раза. Аналогичного результата можно достигнуть при увеличении мощности ЛИ в 15 раз. Следует учесть, что существует предельное значение выходной мощности лазера, при которой наступает закипание или ионизация воды, что вызывает изменение ее показателя преломления, обусловливающее нестабильность луча ЛИ. Согласно расчету это значение соответствует величине плотности потока мощности ЛИ 310¹³ Вт/см², а создаваемый лучом градиент напряжения составляет 210⁸ В/см, Учитывая, что лазерный луч включает несколько типов колебаний, реальноe значение плотности потока мощности оценивается в 10¹⁰ Вт/см².

Увеличение максимально допустимой мощности обуславливается расширением пучка ЛИ или конвергированием (уменьшением) расходимости луча после его вхождения в жидкую среду, при этом жидкость закипает и ионизируется только в зоне фокусировки лучей.

Морская вода сильно ослабляет лучистую энергию в широком спектре ЭМ-колебаний. Однако две области представляют исключение: область очень низких частот и область видимого диапазона частот в районе 0,48 мкм. Излучения в этих областях спектра также подвержены сильному ослаблению морской водой, но при больших мощностях источников могут быть достигнуты значительные радиусы действия. Одним из ограничительных факторов при использовании ЛИ является возможность вскипания воды. Другим ограничивающим фактором является обратное рассеяние ЛИ от органических и неорганических частиц, находящихся в воде. Следует подчеркнуть, что при передаче ЛИ через жидкую среду основные потери энергии обусловлены именно его рассеянием.

12. Лазерное излучение в атмосфере При прохождении ЛИ через атмосферу основное внимание обращается на следующие явления: просветление атмосферы; влияние ветра и конвективного перемешивания на прямолинейность распространения излучения и характер его типов колебаний; тепловую дефокусировку луча, вызванную повышением температуры в канале просветления; самофокусировку излучения в результате кинетического охлаждения атмосферы. Эти явления оказывают существенное влияние на процесс затухания излучения, что объясняется резонансным молекулярным поглощением компонентами атмосферы, рассеянием на частицах аэрозолей и испарением их интенсивным полем оптической частоты с образованием просветленного канала.

Основным фактором, который определяет характер передачи ЛИ через нижние слои атмосферы, является испарение капель тумана в интенсивном поле излучения, что приводит к созданию так называемых окон прозрачности просветлению атмосферы.

Как известно, облако (туман) состоит из мелких водяных капель радиусом 3 — 10 мкм. Под действием ЛИ объем капли уменьшается в результате испарения. Энергия ЛИ, необходимая для просветления облака, пропорциональна его толщине. Скорость перемещения фронта прозрачности определяется скоростью испарения капель в облаке.

Для оценки времени испарения капли и установления определенной макротемпературы в канале распространения лазерного луча, а также для определения критической плотности мощности, при которой ЛИ может распространяться в тумане без значительного увеличения угла расходимости, учитывают кинетику испарения капли в условиях облучения лазерным потоком. Результаты, полученные при исследовании в газообразной среде кинетики испарения нагреваемых ЛИ капель, характеризуют практически все реальные случаи испарения.

При интенсивностях ЛИ, превышающих 10⁶ Вт/см², имеет место режим квазистационарного испарения. Превышение этой величины приводит к смене стационарного режима взрывным. При разогреве водяных капель больших размеров (до 400 мкм) вследствие асимметрии распределения оптического поля в капле процесс испарения приобретает анизотропный характер, при этом появляется результирующая сила отдачи потока испаренного вещества и имеет место светореактивное движение капли в оптическом поле.

Так как распределение оптического поля внутри капли анизотропно, то точка максимальной температуры не совпадает с центром капли и взрывной режим испарения приводит к сбросу части массы капли. Радиус капли при этом существенно уменьшается. Рассмотренные процессы приводят к значительному перемешиванию тумана и дополнительному расширению лазерного луча. Следует отметить, что, хотя ослабление излучения вследствие рассеяния каплями с радиусом меньше 5 мкм и превышает поглощение в них, в конечном итоге рассеяние вносит меньший вклад (концентрация таких капель невелика). Кроме того, скорость уменьшения капли прямо пропорциональна величине радиуса, т. е. крупные капли испаряются быстрее мелких. Поэтому можно пренебречь рассеянием излучения каплями тумана (при одновременном рассмотрении поглощения). По окончании испарения капли до момента, когда пар продиффундирует в окружающее пространство, он занимает объем шара с радиусом 50 мкм. Время образования сгустка пара составляет 10-⁶ с. Сгусток пара рассеивает ЛИ.

При распространении излучения в слабопоглощающей среде перпендикулярно направлению распространения устанавливается градиент температуры, а следовательно, и градиент показателя преломления, что вызывает линзовый эффект атмосферы, приводящий к деформации лазерного луча. Поглощенная атмосферой энергия приводит к перемешиванию газа в вертикальном направлении в поле сил тяжести (эффект естественной конвекции), вследствие чего лазерный луч также расширяется. Так как время действия индуцированного конвективного переноса невелико, его влиянием можно пренебречь.

Водяные капли тумана, поглощая энергию светового импульса, испаряются, что обусловливает нагрев межкапельной среды атмосферы. Повышение температуры газовой среды сопровождается ее тепловым расширением, которое приводит к уменьшению величины диэлектрической проницаемости среды в канале светового пучка и, как следствие, к явлению тепловой дефокусировки света. В результате просветления тумана мощным лазерным импульсом среда приобретает свойства рассеивающей тепловой линзы, что приводит к значительному падению плотности мощности в канале лазерного луча.

На основе изучения распространения ЛИ через нижние слои атмосферы при плохих метеорологических условиях (снег, дождь, изморось, при которой размер капель больше капель тумана, но меньше капель дождя) было определено следующее.

Через туман наиболее эффективно проходят лазерные импульсы, длительность которых не меньше времени просветления тумана и не больше времени повышения температуры в канале лазерного луча. При плотности мощности ЛИ 10⁶ Вт/см² длительность импульса определяется величинами 510-⁴ — 10-² с, скорость просветления составляет в этом случае 710³ см/с.

При плотностях мощности, больших 10⁶ Вт/см², квазистационарный режим испарения капли сменяется взрывным, что приводит к быстрому перемешиванию частиц капель в канале распространения лазерного луча и дополнительному расширению канала. Выбор миллисекундной длительности для лазерного импульса позволяет избежать паразитного влияния ветра и процесса конвективного перемешивания, которые деформируют структуру луча, смещают его навстречу ветру и способствуют дополнительному расширению.

Наибольшее ослабление ЛИ наблюдается при снегопаде. Резкий перепад поглощения излучения вне и внутри просветленного канала (на 3 4 порядка) способствует коллимированию лазерных лучей, при этом сохраняются неизменными апертура и расходимость луча во всем слое тумана.

При распространении ЛИ до высоты 12 км значительное расширение пучка происходит из-за турбулентности атмосферы, что учитывается при оценке возможностей передачи энергии ЛИ на большие расстояния. Значительный интерес представляет процесс деформации поля луча вследствие турбулентности среды, приводящий к изменению модового состава излучения преобразованию основной моды в моду высших порядков. Коэффициент преобразования моды гауссова светового луча в атмосфере возрастает пропорционально первой степени длины пути распространения L на малых расстояниях и пропорционально L^8/3 на больших. При увеличении размера лазерного пятна коэффициент преобразования моды возрастает в соответствии с L^5/ Это явление оказывает существенное влияние на расстояниях около 1000 км. Немаловажную роль играют процессы кинетического охлаждения атмосферы, связанные с резонансным поглощением ЛИ молекулами углекислого газа с последующей передачей возбуждения другим молекулам атмосферы. Энергия, поглощаемая водой, приводит к немедленному нагреванию атмосферы, а энергия, поглощаемая углекислым газом, нагревает воздух с задержкой во времени, вследствие низких скоростей колебательной релаксации. Время релаксации зависит от высоты и относительной влажности атмосферы.

Кинетическое охлаждение атмосферы приводит к самофокусировке лазерных пучков и при плотности мощности ЛИ 10⁶ Вт/см² проявляет себя через 510⁴ с после прихода фронта лазерного импульса в течение времени 10² с. Отсюда следует, что весь миллисекундный импульс в верхних слоях атмосферы практически полностью самофокусируется. Влияние движения среды на распространение ЛИ в поглощающей атмосфере первоначально рассматривалось с помощью кристаллов и жидкостей. Было показано, что эффект теплового самовоздействия можно описать, если учесть зависимость диэлектрической постоянной среды ее от температуры Т:

= ₀+ ДТ/Т, где ДТ — изменение температуры среды, описываемое уравнением теплопроводности и учетом движения среды (ветер, конвективное перемешивание, сканирование луча).

Существуют два физических фактора, оказывающих влияние на процесс установления температуры в канале лазерного луча: нагревание среды и отвод тепла вследствие конвективных процессов. При больших скоростях движения среды температурный градиент приводит к отклонению луча лазера навстречу направлению ветра. Кроме того, движение среды изменяет гауссово распределение интенсивности в луче, превращая его в серповидное, вытянутое в сторону, противоположную направлению ветра. Указанный эффект становится значительным только в случае непрерывного излучения или распространения узких пучков лазера в слабопоглощающей атмосфере. Если же используются лазерные пучки шириной 1 м при длительности порядка 10-³ с, то рассмотренные эффекты не учитываются.

Оптимальным с точки зрения условий распространения через атмосферу с учетом ее нелинейных и турбулентных свойств считается импульсный режим длительностью порядка миллисекунд при апертуре пучка 1 м.

В заключение отметим, что распространение лазерных потоков высокой плотности излучения в газообразных и жидких средах приводит к изменению оптических характеристик этих сред. Это, в свою очередь, существенно влияет на свойства самого пучка. Например, нагрев среды при поглощении энергии ЛИ вызывает изменение показателя преломления, что приводит к расплыванию первоначальной формы пучка, отклонению от исходного направления распространения. Сложность процессов взаимодействия ЛИ с различными средами вызывает необходимость вводить упрощающие предположения и рассматривать в основном кратковременные процессы или исследовать установившиеся явления, связанные с теплопроводностью и свободной или вынужденной конвекцией.

Причины, обусловливающие уход энергии из лазерного пучка, весьма сложны. Прежде чем перейти в тепло, энергия фотона претерпевает множество преобразований. В зависимости от состава среды процессы преобразования энергии могут происходить в промежутки времени от нескольких микросекунд до нескольких сот миллисекунд. Динамика процессов определяется уравнениями сохранения массы, количества движения и энергии.

Литература

Абрамочкин Е. Г.: Современная оптика гауссовых пучков. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Алексеев Г. В.: Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. — М.: Научный мир, 2010

Амусья М.Я.: Поглощение фотонов, рассеяние электронов, распад вакансий. — СПб.: Наука, 2010

Антонов В.Ф.: Физика и биофизика. — М.: ГЭОТАР-Медиа, 2010

Банков С.Е.: Электромагнитные кристаллы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Барабанов А.Л.: Симметрии и спин-угловые корреляции в реакциях и распадах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Белоконь А.В.: Математическое моделирование необратимых процессов поляризации. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Бобошина С.Б.: Курс общей физики. — М.: Дрофа, 2010

Бройер Х.-П: Теория открытых квантовых систем. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010

Виноградов Е.А.: Термостимулированные электромагнитные поля твердых тел. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Вирченко Ю.П.: Случайные множества с марковскими измельчениями в одномерном пространстве погружения. — Белгород: БелГУ, 2010

Г. П. Берман и др.; пер. с англ. Е. В. Бондаревой; под науч. ред. С. В. Капельницкого: Магнитно-резонансная силовая микроскопия и односпиновые измерения. — Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

Голенищев-Кутузов А.В.: Фотонные и фононные кристаллы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Дьячков П.Н.: Электронные свойства и применение нанотрубок. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010

Е.Ф. Мишенко и др.: Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Иродов И.Е.: Волновые процессы. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010

Иродов И.Е.: Электромагнетизм. — М.: БИНОМ, 2010

Кашурников В.А.: Численные методы квантовой статистики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Котельников В.А.: Математическое моделирование обтекания тел потоками столкновительной и бесстолкновительной плазмы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Ларкин А.И.: Когерентная фотоника. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010

Магомедов М.Н.: Изучение межатомного взаимодействия, образования вакансий и самодиффузии в кристаллах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Матухин В.Л.: Физика твердого тела. — СПб.: Лань, 2010

Мейман Т.: Лазерная одиссея. — М.: Печатные Традиции, 2010

Мозер Ю.: Устойчивые и хаотические движения в динамических системах. — Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

Н.А. Артемьева и др.; под ред.: Б. М. Шустова, Л. В. Рыхловой: Астероидно-кометная опасность. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Наймарк М.А.: Теория представлений групп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Николаевский В.Н.: Собрание трудов. Геомеханика. — Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

Николаевский В.Н.: Собрание трудов. Геомеханика. — Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

НИУ БелГУ; гл. ред. Л. Я. Дятченко: Научные ведомости Белгородского государственного университета. — Белгород: НИУ БелГУ, 2010

НИУ БелГУ; гл. ред. Л. Я. Дятченко: Научные ведомости Белгородского государственного университета. — Белгород: БелГУ, 2010