Применение римановых поверхностей в задачах гидродинамики

Исследование кавитационного обтекания тел — одна из актуальнейших проблем гидродинамики. Эти исследования находят широкое применение в судостроении, гидротурбостроении, при решении различных задач из области газовой динамики и в изучении важнейших вопросов аэродинамики.

Предметом изучения в гидродинамике является взаимодействие жидкости и твердых тел при их относительном движении. Во многих задачах для достижения хорошей согласованности теории и эксперимента в описании тех или иных характеристик процесса целесообразно предполагать, что жидкость — идеальная несжимаемая, а течение — безвихревое потенциальное.

В данной работе ограничимся рассмотрением лишь плоских течений.

Как известно, движение идеальной жидкости описывается уравнением Эйлера [83] где V — вектор скорости, р — давление, р — плотность жидкости, Г — вектор массовых сил. Если жидкость несжимаема, то дополнительно выполняется условие несжимаемости.

При всюду одинаковой плотности р — const уравнения (1) и (2) определяют математическую модель однородной несжимаемой жидкости. Если, к тому же, в потоке отсутствует завихренность, то условие rot V — 0 является необходимым и достаточным для существования потенциала скорости (р:

Формулы (1), (2), (3) приводят к интегралу Коши-Лагранжа [14, 15, 83,.

1) divV = 0.

2).

V — grad (р.

3) д<�Р, v2 р «(Л л.

4).

3/ 2 р где c (Y) — произвольная функция времени, или в случае стационарного движения — к интегралу Бернулли v2 р

—1—-3 = с, с — const. (5).

2 р

Формулы (4) и (5) позволяют определить давление в жидкости по заданной функции (р.

При рассмотрении плоских безвихревых течений условие несжимаемости (div V = 0) и условие отсутствия завихренности (rot V = 0) совпадают с условиями Коши-Римана для аналитической функции co (z) = u — iv: ди 8(—v) ди d (-v) дх ду ду дх Z.

Интеграл w = Jco (z)dz + wq является также функцией аналитической. zo.

Функцию w (z) = (р + iy/ называют комплексным потенциалом, а ее производную co{z) = u-iv — комплексно-сопряженной скоростью. Для нестационарного течения слагаемое wq является функцией времени t и ее необходимо задавать.

В случае стационарного течения ее можно считать произвольной константой, в частности, равной нулю.

При движении тела в жидкости с большими скоростями или при быстром течении жидкости вдоль поверхности тела в жидкости образуются области, заполненные парами и газами. Это явление называется кавитацией. В теории кавитации рассматриваются такие течения, для которых выполняются условия рро в каверне, р> Р0 в жидкости.

Воспользовавшись интегралом Бернулли, эти условия можно записать в виде у = уд на границе каверны, V.

Заметим, что кавитационное обтекание препятствий носит нестационарный характер, к тому же границы каверны, как правило, размыты. Тем не менее, нестационарность течения не вносит существенного влияния на гидродинамические характеристики течения и на геометрические размеры. Поэтому для удобства вычислений можно считать, что течение установившееся и стационарное [4].

Основную роль в теории кавитации играет безразмерный параметр — число кавитации где /?оо и — давление и скорость жидкости в потоке на бесконечности, -давление в каверне, уд — скорость жидкости на границе каверны, рплотность жидкости. В зависимости от величины числа кавитации течение может быть устойчивым и неустойчивым, каверны могут быть микроскопическими, а могут иметь соизмеримые с телом размеры. Каверна может заканчиваться на профиле, тогда имеем обтекание с частичной кавитацией. А может простираться далеко за телом, тогда имеем обтекание в режиме развитой кавитации. Более подробно о кавитации и ее основных особенностях можно узнать из монографий [4, 19, 20, 49, 53, 70, 79, 84, 100, 103, 104] и других.

Физические рассуждения позволяют отметить, что каверна должна быть выпуклой и не может быть замкнутой [84]. А также, что препятствие и каверну в плоскости течения можно охватить непрерывной замкнутой кривой Ь. Это позволяет записать еще одно основное условие в теории кавитационного обтекания препятствий [100]:

0 =.

2рооРо) IХо руда.

— 1, б.

Основной задачей в гидродинамике является определение гидродинамических сил, действующих на заданное тело. В предположении, что жидкость идеальная несжимаемая и невесомая, а течение безвихревое и стационарное, получим следующую задачу теории потенциала [4].

Для заданного препятствия найти потенциал скорости, удовлетворяющий.

1) уравнению Лапласа Ад> = 0 вне препятствия и каверны;

2) условию ¦ и = О на смоченной границе препятствия и на границе каверны;

3) условию |V.

4) условию |V$>| = v < vq вне границы каверны, й-внешняя к препятствию и каверне нормаль.

Потенциал скоростей, а также все необходимые характеристики будут найдены, если известен комплексный потенциал w{z) = ср + iy/, а в болыиенстве dw. dw случаев достаточно знать производную со = — или со = in—. Гогда задачу оо dz dz определении стационарного потенциального течения можно свести к смешанной краевой задаче для функции со = In— в плоскости комплексного потенdz циала со следующими граничными условиями [26]:

Re ¿-у = InvQ на границе каверны, Iшсо = -/3{(р) на твердой поверхности, где ув{(р) — угол наклона вектора скорости на твердой поверхности. Решение этой краевой задачи ищется в классе функций со степенной особенностью порядка ½ в точке схода потока с каверны (модель Тулина — Терентьева [100]). В случае плоского течения решение задачи удобно находить, используя аппарат теории функций комплексного переменного [15, 68, 84].

Значительное число задач кавитационного обтекания препятствий решается в рамках линейной теории. Эта теория зародилась значительно позже нелинейной. Основы линейной теории заложены в работах М. П. Тулина [134−136],.

А.Г. Терентьева [99], А. Н. Иванова [50], А. Н. Панченкова [78], В. М. Ивченко [24], И. И. Ефремова [37] и других. В основе линейной теории лежат следующие предположения: 1) малая толщина профиля и несущих поверхностей, слабая искривленность, малые углы атаки- 2) каверна является замкнутой областью малой толщины-#3) малое число кавитаций. При этом комплексно-сопряженная скорость со (г) в передней кромке твердого профиля при безотрывном обтекании и в точке «замыкания» каверны при кавитационном обтекании имеет степенную особенность порядка передней кромке твердого профиля при отрывном обтекании — особенность порядка ^ [99].

Разными авторами для решения задач гидродинамики о кавитационном обтекании припятствий применяются различные схемы. В основе всех таких схем лежат предположения о том, какой вид имеет течение в конце каверны. В симметричных задачах выбор схемы существенной роли не играет, поскольку все они могут быть легко описаны математически и приводят к правдоподобным решениям, в то время, как при обтекании несимметричных тел выбор той или иной схемы приводит к появлению в решении задачи «лишнего» параметра, из-за которого число неизвестных в задаче преобладает над числом уравнений, полученных из физических условий. Проблема «лишнего» параметра решается за счет введения какого-либо искусственного условия [26].

Рассмотрим кратко некоторые схемы кавитационных течений.

Пожалуй, первой схемой кавитационного обтекания препятствий можно считать схему Кирхгофа [52], в которой поток жидкости, обтекая препятствие, уходит на бесконечность, образуя за телом кавитационную область бесконечного размера. Так как на струях уо = у^, то число кавитации <2 = 0. Значит, схему Кирхгофа можно считать схемой кавитационного обтекания с нулевым числом кавитации.

Очень удобно проводить аналитическое исследование и числовые расчеты задач, в которых обтекание происходит по схеме Рябушинского [26], в которой замыкание каверны происходит на фиктивную поверхность, симметричную смачиваемой поверхности твердого тела. Тогда вся схема течения является симметричной относительно поперечной плоскости. Эта схема наиболее удобна для описания в случае, когда рассматривается течение с центральной симметрией.

Если каверна будет замыкаться на две параллельные скорости набегающего потока пластинки, которые отстоят друг от друга на расстоянии, равном ширине каверны, то получится схема Жуковского — Рошко [39]. Для однозначности задачи в этой схеме предполагается, что вдоль параллельных прямых скорость монотонно убывает от vo на струях до v^ на бесконечности. Это указывает на неопределенность, содержащуюся в схеме. Также при таком обтекании не выполняется условие замкнутости каверны (6). Тем не менее эта схема позволяет решать задачи кавитационного обтекания тел в канале и вблизи твердой стенки [105] и учитывать весомость жидкости [11] с меньшими затратами времени на вычисления.

Если в схеме Жуковского — Рошко вместо параллельных прямых каверна будет замыкаться на две конгруэнтные линии тока, получим новую схему кавитационного обтекания препятствий — схему Ву [137].

При решении задач часто используется схема Эфроса. Это схема с возвратной струйкой, которая уходит внутрь каверны на второй лист римановой поверхности [127], что хорошо согласуется с реальным процессом течения. Однако постоянный расход жидкости через струйку противоречит действительности. Это происходит из-за произвола в выборе направления возвратной струйки, которое нельзя задать какими — либо физическими условиями.

A.B. Кузнецовым [58] была предложена еще одна схема кавитационного обтекания препятствий, в которой каверна замыкается на параллельные пластинки, уходящие на второй лист римановой поверхности, а жидкость возвращается в основной поток. Эта схема также содержит неопределенность, но ее преимуществами перед другими схемами являются отсутствие на границах каверны особенности порядка ^ и конечная длина этих границ.

В 1964 г. М. П. Тулин [136] предложил две кавитационные схемы. В первой схеме каверна заканчивается спиральными завитками, вдоль которых скорость струи сохраняет постоянное значение уд. Во второй схеме от образовавшихся в конце каверны двойных спиральных завитков на бесконечность уходят две свободные линии тока, на которых скорость равна В 1976 г. А. Г. Терентьевым [100] была доказана теорема, математически обосновывающая первую схему Тулина. Согласно этой теореме, класс решений краевой задачи расширяется до решения со степенной особенностью порядка ^ для логарифма скорости жидкости в точке «замыкания» каверны. Такую схему называют схемой Тулина — Терентьева. Решение задач по этой схеме содержит минимальное, по сравнению с другими схемами, количество вспомогательных параметров, что позволяет избежать малооправданных предположений о течении в конце каверны. По схеме Тулина — Терентьева решен широкий круг задач ([6, 32, 65, 66, 71, 104] и другие).

Еще одна схема была введена Г. Ю. Степановым. По этой схеме в конце каверны образовывается бесконечный след, форма которого находится из дополнительных условий экспериментального характера. Такая схема наиболее приближена к реальному течению, но сильно усложняет исследование.

В настоящей работе будут рассмотрены некоторые новые задачи кавитаци-онного обтекания препятствий в рамках модели Тулина — Терентьева.

Большое количество работ посвящено кавитационному обтеканию, в котором базовым профилем является плоская пластинка. В работах [26, 103, 104] решен ряд задач кавитационного обтекания плоской пластинки по различным кавитационным схемам в режиме как развитой, так и частичной кавитации. При решении задач по обеим схемам Тулина область течения в физической плоскости конформно отображается на первый квадрант вспомогательной плоскости, а по схеме Эфроса — на верхний полукруг единичного радиуса, после чего производная комплексного потенциала и комплексная скорость строятся с использованием метода особых точек, то есть функции восстанавливаются по известным особенностям в окрестности ряда точек. В задачах обтекания пластинки по схеме Рябушинского и Жуковского — Рошко физическая область отображается на прямоугольник, и решение задачи строится через эллиптические $-функции. Данный способ широко применяется также при решении задач, связанных с течениями в двухсвязных областях .

В монографиях [14, 26, 37] рассматривается кавитационное обтекание изолированной дужки с развитой и частичной кавитацией в рамках линейной теории. Решение строится двумя способами. Сначала после конформного отображения на верхнюю полуплоскость решение было получено по формуле Келдыша — Седова [84]. Затем те же задачи решаются методом интегральных уравнений. Этот метод позволяет решать задачи как в плоском, так и в пространственных случаях. Однако, получающиеся при этом системы сингулярных интегральных уравнений достаточно трудно разрешимы. Методом интегральных уравнений в работах [37, 51, 78] и других исследован вопрос о влиянии конечности размаха крыла при кавитационном обтекании.

В работе [103] наряду с кавитационным обтеканием пластинки по схеме Тулина — Терентьева в режимах развитой и частичной кавитации рассмотрена задача о кавитационном обтекании пластинки вблизи свободной поверхности, решение которой строится путем конфорного отображения физической области течения на прямоугольник и применения аппарата теории эллиптических функций. Этот же метод предложен для решения задач о кавитационном обтекании пластинки в канале по схеме Жуковского — Рошко [26], по схеме Кирхгофа [105, 108], при наличии стенки [105] и других.

В монографии М. И. Гуревича [26] рассматривается задача о кавитационном обтекании пластинки по второй схеме Тулина под свободной поверхностью. Решение задачи после перехода на параметрическую плоскость получено с помощью метода особых точек. Эта же задача примерно в одно и то же время была решена Б. Е. Лароком и Р. Л. Стритом [133], А. Г. Терентьевым и В. А. Лазаревым [109], а также М. А. Васиным [33]. В работе [109] предложен ряд других задач о кавитационном обтекании пластинки потоком жидкости со свободными границами. П. А. Прохоровичем [80] было исследовано обтекание криволинейного контура под свободной поверхностью. Более общий случай об обтекании пластинки с частичной кавитацией вблизи границы раздела двух идеальных несжимаемых жидкостей рассмотрен в работе [71].

В монографии [72] для решения задач кавитационного обтекания пластинок вблизи границы раздела сред, а также для обтекания крыловых профилей вблизи границы раздела сред, был разработан численно-аналитический метод, основанный на конфорном отображении области течения на внешность круга единичного радиуса с последующим нахождением комплексно-сопряженной скорости так, чтобы граничные условия непротекания поверхности профиля удовлетворялись по построению. В итоге такая задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений. С другими задачами об обтекании пластинки, а также тонкого профиля, можно познакомиться в работах [5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 28−30, 57, 59, 63, 65, 98, 126].

Большой интерес в гидродинамике представляют задачи об обтекании двух профилей, а также решеток профилей, которым посвящено большое количество работ.

Так, например, в работе Ю. В. Кузнецова [60] подробно исследовано безотрывное обтекание двух тонких профилей потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкости при произвольном их расположении относительно друг друга. Задача решается в линейной постановке, для чего физическая плоскость конформно отображается на фундаментальный прямоугольник параметрической области, и решение строится с помощью эллиптических ¡-9-функций. Сравнительно полно исследовано обтекание идеальной жидкостью частных случаев системы двух профилей: обтекание системы двух профилейтандем.

84] и обтекание системы двух тонких дужек заданной формы, расположенных друг над другом, [82]. В работе [62] предложено решение задачи кавитационно-го обтекания системы двух профилей, расположенных параллельно друг другу. Задача решается для случая, когда оба профиля обтекаются с развитой кавитацией, когда оба профиля обтекаются с частичной кавитацией и когда попеременно один профиль обтекается с развитой, а другой — с частичной кавитацией. Все решения представлены через 9 — функции. Подобная задача рассмотрена А. Г. Терентьевым [97]: два параллельных друг другу профиля обтекаются в режиме как развитой кавитации, так и частичной. Общее решение задачи тоже получено методом конформного отображения физической плоскости на параметрическую область и выражается через эллиптические функции. Эта же задача рассматривается И. И. Ефремовым в работе [37], но в отличие от всех вышеуказанных задач решение строится с использованием интегральных уравнений. Теория эллиптических функций хорошо подходит и для решения линейной задачи кавитационного обтекания двухрядной решетки потоком идеальной несжимаемой и невесомой жидкости [102]. В этой статье рассмотрены все возможные случаи обтекания профилей в решетке: оба с развитой кавитациейоба с частичнойодин с развитой, другой с частичной. Не меньший интерес представляют и задачи о взаимодействии кавитирующего профиля с безотрывно обтекающимися надкрылком или подкрылком. Такая задача в линейной постановке встречается в работе Ю. В. Кузнецова [61], где кавити-рующий профиль обтекается с частичной и развитой кавитациейпо схеме Кирхгофа, когда развитая кавитация переходит в бесконечную каверну. Как частный случай рассмотрено обтекание двух пластинок, когда одна из них обтекается с развитой кавитацией. Решение всех предложенных задач получено через эллиптические, 9-функции.

Перечисленные выше работы составляют лишь малую часть всех работ, в которых изучается задача кавитационного обтекания системы двух профилей. С некоторыми из таких задач можно ознакомиться по работам [3, 38, 107, 131] и другим.

Не менее подробно изучено и кавитационное обтекание решеток пластин. Так в работе [37] И. И. Ефремовым решена задача об обтекании решетки профилей с развитой и частичной кавитацией в рамках линейной теории. Решение получено методом интегральных уравнений. В нелинейной постановке задача об обтекании решетки пластин в обоих режимах кавитации по схеме ТулинаТерентьева рассматривалась в [26, 103], где решение построено с применением теории функций комплексного переменного и метода особенностей. Решения задачи о кавитационном обтекании решеток пластин другими методами и в разных постановках имеются в работах [3, 6, 15, 27, 64] и других.

В гидродинамике большой интерес представляют также задачи о кавитационном обтекании полигональных препятствий (в первую очередь клина) и криволинейных препятствий (кругового цилиндра, шара, конуса и других). К решению таких задач кроме теории эллиптических функций, метода особых точек и интегральных уравнений, упомянутых выше, применялись также метод конечных разностей [81], метод граничных элементов [56], метод вихревых особенностей [3, 81] и другие. Более подробно о таких задачах и методах их решения можно узнать из монографий [26, 32, 56, 66, 72, 80, 81, 85, 87, 99, 103, 104] и других.

Данная диссертационная работа посвящена решению задач гидродинамики с помощью теории краевой задачи Римана на римановой поверхности.

Краевая задача Римана впервые была сформулирована в 1857 г. Б. Рима-ном. В 1904 г. Д. Гильберт свел задачу Римана к интегральным уравнениям и дал тем самым первое доказательство существования ер решения. И. Племель впервые применил к краевой задаче Римана интеграл типа Коши. Это новшество оказалось настолько удачным, что и теперь исследование и решение краевых задач строится с помощью интеграла типа Коши. В 30-ые годы теория краевых задач получила новый толчок в развитии в связи с приложениями к механике, а точнее к плоским задачам механики, что стимулировало развитие теории краевых задач на плоскости. Однако среди таких задач часто встречались такие, разрешимость которых стала очевидной лишь после того, как эти задачи были сведены к краевой задачи Римана на римановой поверхности и изучения последней. Примером таких задач могут служить краевая задача Гильберта для многосвязной области и области, ограниченной дугами окружностей [42, 44, 124]- интегральные уравнения с автоморфными ядрами [18, 120, 123]- краевые задачи со сдвигом [41, 48, 115] и другие.

Впервые краевая задача Римана на римановых поверхнастях была изучена в работах A.B. Месис [73, 74]. Однако эти исследования были неполными. Дальнейшее развитие теории краевых задач на римановых поверхностях связано с абстрактными римановыми поверхностями и опирается на теорию функций и функционалов на них [76, 96, 111, 125, 128]. Простейшие примеры римановых поверхностей имеются в книгах [25, 68, 96] и других. Различные аналоги ядра Коши на римановых поверхностях были построены в работах Г. Бенке и К. Штейна, В. Коппельмана [132], С .Я. Гусмана и Ю. Л. Родина [31]. В работе [123] впервые была установлена связь между краевой задачей Римана и проблемой обращения Якоби. В работах [40, 42, 45, 47] Э. И. Зверович дал конструктивное построение аналогов ядра Коши и решения краевой задачи Римана на римановых поверхностях некоторых алгебраических функций.

Ряд исследований посвящен применению римановых поверхностей в механике сплошной среды, теории упругости, теории фильтрации и т. д. Например, решение задачи Гильберта для плоскости с коллинеарными разрезами или для плоских областей, ограниченных алгебраическими кривыми, основанное на использовании римановых поверхностей, имеется в работах Л. И. Чибриковой [117, 118, 114, 122], Э. И. Зверовича [42] и другихкраевая задача теории фильтрации в кусочно-однородных средах с линиями разделов сред вдоль аналитических кривых решена в работе Н. В. Ламбина [69]- краевые задачи теории упругости этим методом решены Л. И. Чибриковой [121, 122], Э. И. Зверовичем.

42, 46], Б. М. Нуллером [77], В. В. Сильвестровым [86, 88−92], Л. А. Корзан [54, 55]. Для решения других задач римановы поверхности используются в работах [2, 43, 112−114, 116] и других. Для удобства, краткие сведения из теории краевой задачи Римана на римановых поверхностях алгебраических функций приводятся в начале первой главы.

В гидродинамике многолистные римановы поверхности применяются для построения математических моделей течений, для интерпретации механизма течений, для решения формализованных задач. Примерами могут служить ка-витационное обтекание по схеме Эфроса с образованием в области замыкания каверны возвратной струйки, переходящей при достижении пластинки на второй лист римановой поверхностикавитационное обтекание по обеим схемам Тулина с образованием в конце каверны двух бесконечнолистных уходящих на нижние листы римановой поверхности спиральных струек с той лишь разницей, что во второй схеме эти струйки возвращаются обратно на первый лист бесконечнолистной поверхности. Многолистность течения в этих моделях является следствием замены нестационарного течения в хвостовой части каверны на стационарное. Вероятно, одним из первых применений римановых поверхностей в гидродинамике является интерпретация В. В. Голубева [21] безотрывного течения жидкости вокруг коллинеарных отрезков как течения на двулистной римановой поверхности, при котором более полно раскрываются свойства многозначных функций, описывающих течение, и гидромеханическая картина течения.

При решении задач кавитационного обтекания препятствий в нелинейной постановке методом римановых поверхностей выделяются два основных этапа:

1) конформное отображение области течения жидкости в физической плоскости на параметрическую плоскость с разрезами вдоль одной прямой или вдоль одной окружности;

2) доопределение искомых функций по симметрии с плоскости с разрезами на соответствующую риманову поверхность и сведение исходной гидродинамической задачи к построению на римановой поверхности решений, краевой задачи Римана с заданными особенностями и рациональной функции с заданными нулями и полюсами.

Необходимым условием для осуществления первого этапа является существование конформного отображения области течения жидкости на внешность разрезов, расположенных на одной прямой или на одной окружности. В случае одно-, двухили трехсвязной области такое отображение всегда существует [ 1, 22, 67], чего нельзя, вообще говоря, утверждать в случае областей порядка связности больше трех. Для осуществления второго этапа решения задачи необходимый математический аппарат разработан достаточно хорошо [40, 42, 43, 96, 116, 122, 125]. Опираясь на указанные факты, С. А. Чаплыгин [110] получил в замкнутой форме в квадратурах параметрическое решение задачи о безотрывном обтекании пары произвольно расположенных пластинок и системы трех параллельных пластинок, выбрав в качестве области изменения параметра плоскость с разрезами вдоль дуг единичной окружности.

Настоящая диссертационная работа посвящена применению краевой задачи Римана на римановых поверхностях для решения задач гидродинамики.

Целью диссертационной работы является:

1) разработка метода решения нелинейных задач гидродинамики в трехсвяз-ных областях, основанного на применении римановых поверхностей, и решение конкретных задач: задачи кавитационного обтекания двух пластинок по схеме Тулина-Терентьева полуограниченным потоком жидкости с твердой или свободной поверхностью, задачи обтекания пластинки с точками замыкания каверн на сторонах полосы заданной ширины;

2) разработка аналитического метода решения линеаризированной задачи кавитационного обтекания п тонких профилейсведение ее к краевой задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности;

3) решение линеаризированных задач обтекания двух пластинок в различных режимах кавитации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976. 156 с.

2. Антипов Ю. А., Моисеев Н. Г. Точное решение плоской задачи для составной плоскости с разрезом, пересекающим линию раздела сред// Прикладная математика и механика. Вып. 4. 1991. Т. 55. С.662−671.

3. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 352 с.

4. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.

5. Васильев В. Н. Безотрывное обтекание пластины в канале однородным вихревым потоком // Известия РАН. МЖГ. 1994. № 6. С. 84−91.

6. Васильев В. Н. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд. Чуваш, ун-та, 1977. С. 3−14.

7. Васильев В. Н., Гусев В. А. Построение тонких профилей в канале с непроницаемыми стенками // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары, 1996. С. 48−54.

8. Васильев В. Н., Ильин О. В. Построение тонких профилей с известными геометрическими характеристиками в канале с проницаемым участком на нижней стенке // Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары, 1996. С. 55−65.

9. Васильев В. Н., Галанин А. В., Васильева Л. А. К линейной теории обтекания тонких профилей в канале с полигональными стенками // Труды VI Всероссийской научной школы «Гидродинамика больших скоростей «. Чебоксары, 1996. С. 23−32.

10. Васильев В. Н., Гусев В. А., Ильин О. В. Обтекание пластины в канале с проницаемым участком на стенках. Деп. в ВИНИТИ. № 1220-В94. 1994. 14 с.

11. Вишневский В. А., Котляр М. М., Терентьев А. Г. Влияние сил тяжести в задачах кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 3. Чебоксары. 1974.

12. Галанин A.B. Обтекание пластинки по схеме с параллельными стенками потоком жидкости со свободной поверхностью // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

13. Галанин A.B., Салихов Н. Ф. О задаче безотрывного обтекания пластинки струей жидкости, вытекающей из прямолинейного канала // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 5. Казань: Из-во казан, ун-та, 1968.

14. Галанин A.B., Терентьев А. Г. Граничные задачи линейной гидродинамики. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1984. 82 с.

15. Галанин A.B., Терентьев А. Г. Приложения теории функций комплексного переменного в задачах механики сплошной среды. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1980. 124 с.

16. Галанин A.B., Кузнецов Ю. В., Родионов А. Т. Обтекание пластины потоком невесомой жидкости конечной глубины // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1987. С. 33−43.

17. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

18. Гахов Ф. Д., Чибрикова Л. И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, решаемых в замкнутой форме // Математический сборник. 35(77):3. 1954.

19. Гилберг Д., Серрин Д. Свободные поверхности и струи в теории кавитации // Механика: периодический сборник переводов. 1951. № 2. С. 53−63.

20. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Отрывные и кавитационные течения. М.: Наука, 1990. 384 с.

21. Голубев В. В. К теории течений на двулистной поверхности Римана // Труды по аэродинамике. М.-Л.: Гиттл, 1957. С. 688−718.

22. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

23. Градштейн И. С., Рыжик И. Н. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

24. Губрий В. И., Ивченко В. М. Линеаризованные задачи гидродинамики// Прикладная механика. Киев. 1969. Т.5. № 11.

25. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 648 с.

26. Гуревич М-И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

27. Гусев В. А. Обтекание решетки пластин по схеме Эфроса // Вопросы прикладной автоматики и механики. Вып. 3. Чебоксары. 1974.

28. Гусев В. А., Ильин О. В. О построении тонких профилей с заданными гидродинамическими характеристиками в канале с проницаемым участком // Известия НАНИ ЧР. 1998. № 5. с. 12−17.

29. Гусев В. А., Ильин О. В. Построение тонких профилей с заданными гидродинамическими качествами в прямолинейном канале с проницаемыми стенками // Труды VI Всероссийской научной школы «Гидродинамика больших скоростей». Чебоксары, 1996. С. 43−47.

30. Гусев В. А., Терентьев А. Г. Об обтекании пластины с развитой кавитацией // Вопросы гидродинамики и низкотемпературной плазмы. Чебоксары. Изд-во ЧГУ, 1970.

31. Гусман С .Я., Родин Ю. Л. Ядро интеграла типа Коши на замкнутых рима-новых поверхностях // Сибирский математический журнал. 3:4. 1962. С. 527−531.

32. Димитриева Н. А., Терентьев А. Г. Кавитационное обтекание клина ограниченным потоком жидкости от источника (стока) // Гидродинамика ограниченных потоков. Чебоксары: Изд. Чуваш, ун-та, 1988. С. 30−39.

33. Егоров И. Т., Садовников Ю. М., Исаев И. И., Басин М. А. Искусственная кавитация. Л.: Судостроение, 1971.

34. Ефимова Е. Г. Кавитационное обтекание тонкой пластинки вдоль полосы заданной ширины // Всероссийская научная конференция «Краевые задачи и их приложения». Казань. 1999. С.

35. Ефимова Е. Г. Линеаризированная задача кавитационного обтекания системы пластинок // Тезисы докладов юбилейной итоговой научной конференции «Естественные науки: сегодня и завтра». Чебоксары. 1997. С. 35−36.

36. Ефимова Е. Г. Обтекание двух пластин, одна из которых частично находится в каверне другой // Труды девятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 1999. С. 7376.

37. Ефремов 1.1. Лшеар13ована теор1я кав1тацшного обтшания. Киев: Наукова думка, 1974. 156 с.

38. Ефремов И. И., Семененко В. Н. Суперкавитационное обтекание биплана // Гидромеханика. Вып. 27. Киев: Наукова думка, 1974.

39. Жуковский Н. Е. Полное собрание сочинений. ОНТИ. 1935. Т. 3. 303с.

40. Зверович Э. И. Аналоги ядра Коши и краевая задача Римана на одной гиперэллиптической поверхности // ДАН СССР. 1970. Т. 192. № 3. С. 487 490.

41. Зверович Э. И. Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной области // Математический сборник. 64(106):4. 1964. С. 618−627.

42. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельде-ровских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. Вып. 1. 1971. Т. 26. С. 113−179.

43. Зверович Э. И. О конструктивном решении краевой задачи Римана на гиперэллиптических римановых поверхностях // ДАН СССР. 1971. Т. 199. № 4. С. 758−761.

44. Зверович Э. И. О сведении задачи Гильберта для многосвязной области к задаче Гильберта с рациональным коэффициентом // ДАН. 157:4. 1964.

45. Зверович Э. И. Построение в явном виде аналога ядра Коши на римано-вых поверхностях некоторых алгебраических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 6. С. 693−701.

46. Зверович Э. И. Смешанные задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбил.: Мецние-реба, 1973. Т. 1. С. 103−114.

47. Зверович Э. И. Ядро Беенке-Штейна и решение в замкнутой форме краевой задачи Римана на торе // ДАН СССР. 1969. Т. 188. № 1. С. 27−30.

48. Зверович Э. И., Литвинчук Г. С. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональные уравнения // УМН. 23:3(141). 1968. С. 67−121.

49. Иванов А. Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980. 238 с.

50. Иванов А. Н. Кавитационное обтекание профилей крыльев // Известия АН СССР. ОТН. Мех. и машин. 1960. № 6.

51. Ивченко В. М. Нестационарные задачи гидродинамики суперкавитирую-щих тел // Гидродинамика несущих поверхностей. Киев: Наукова думка, 1966.

52. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. Пер. с нем. М.: Физматгиз, 1962. 402 с.

53. Кнепп Р., Дейли Дж., Хеммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. 689 с.

54. Корзан Л. А. Однородная смешанная задача теории упругости для полосы с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1996. № 4. С. 44−49.

55. Корзан Jl.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1997. № 1. С. 61−67.

56. Краснов В. К., Кузнецов Ю. В. Применение метода граничных Интегральных уравнений к расчету осесимметричных и плоских кавитационных течений в трубе // Актуальные задачи гидродинамики. Чебоксары: Изд. Чуваш. ун-та, 1989. С. 71−75.

57. Кузнецов A.B. Кавитационное обтекание пластины вблизи свободной поверхности невесомой жидкости // Известия ВУЗов. Математика. 1961. № 4.

58. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 1. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964.

59. Кузнецов A.B. Обтекание пластинки потоком невесомой жидкости со свободной границей // Прикладная механика и техническая физика. 1969. № 6.

60. Кузнецов Ю. В. Безотрывное обтекание системы двух профилей // Струйные и кавитационные течения и современные вопросы теории управления. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1978. С. 42−54.

61. Кузнецов Ю. В. Взаимодействие надкрылка и подкрылка с кавитирующим профилем // Нестационарное движение тел в жидкости. Чебоксары: Изд-во Чуваш.'ун-та, 1979. С. 61−75.

62. Кузнецов Ю. В. Кавитационное обтекание системы двух профилей. Чебоксары, 1979. 35 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3140−79 Деп.

63. Кузнецов Ю. В. Обтекание пластины с частичной кавитацией под свободной поверхностью // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чебоксары:Изд-во Чуваш, ун-та, 1988. С.73−81.

64. Кузнецов Ю. В. Обтекание решетки пластин с частичной кавитацией// Вопросы прикладной математики и механики. Чебоксары. Вып.5. 1977. С. 51−60.

65. Кузнецов Ю. В., Терентьев А. Г. Обтекание пластины под свободной поверхностью невесомой жидкости // Известия АН СССР. МЖГ. 1980. № 1. С. 158−162.

66. Кузнецов Ю. В., Терентьев А. Г. Симметричное кавитационное обтекание клина ограниченным потоком жидкости // Струйные и кавитационные течения и современные вопросы теории управления. Чебоксары: Изд. Чуваш. ун-та, 1978. С. 54−67.

67. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИИЛ, 1953.

68. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

69. Ламбин Н. В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск: Изд-во Беларус. ун-та, 1960. 45 с.

70. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 840 с.

71. Лотфуллин М. В., Маклаков Д. В. Обтекание пластины с частичной кавитацией вблизи границы раздела сред // Гидродинамика ограниченных потоков. Чебоксары: Изд-во чуваш, ун-та, 1988. С. 85−93.

72. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус К, 1997. 280 с.

73. Месис A.B. О краевой задаче Римана над полем алгебраических функций // Уч. зап. Казан, ун-та. 119:9. 1952. С. 3−16.

74. Месис A.B. О краевой задаче Римана над полем алгебраических функций для системы п пар функций // УМЖ. 8. 1956. С. 441−449.

75. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

76. Неванлинна Р. Униформизация. М.: ИЛ, 1955.

77. Нуллер Б. М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. Вып. 2. 1990. Т. 54. С.302−306.

78. Панченков А. Н. Краевая задача гидродинамики кавитирующего подводного крыла // Гидроаэродинамика несущих поверхностей. Киев: Наукова думка, 1966.

79. Перник А. Д. Проблемы кавитации. Л.: Судостроение, 1966.

80. Прохорович П. А. Кавитационное обтекание криволинейных препятствий под свободной поверхностью невесомой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

81. Рождественский В. В. Кавитация. Л.: Судостроение, 1977. 248 с.

82. Сахарный Н. Ф. Безотрывное обтекание системы двух дужек заданной формы // ПММ. 1949. Т. 13.

83. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1,2. М.: Наука, 1976.

84. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.448 с.

85. Сильвестров В. В. Безциркуляционное обтекание идеальной жидкостью нескольких круговых цилиндров // Динамика сплошной среды с границами раздела. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1982. С. 126−132.

86. Сильвестров В. В. Напряженно-деформированное состояние многолист-ных пластинчатых конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. № 2. С. 124−135.

87. Сильвестров В. В. Нестационарное движение системы круговых цилиндров переменных радиусов в идеальной несжимаемой жидкости// Известия ВУЗов. Математика. 1987. № 1. С. 70−72.

88. Сильвестров В. В. Основная смешанная задача теории упругости на двулистной поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1989. С. 104−109.

89. Сильвестров В. В. Основные задачи теории упругости на многолистной римановой поверхности // Известия ВУЗов. Математика. 1990. № 2. С. 89−92.

90. Сильвестров В. В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1986. С. 111−119.

91. Сильвестров В. В. Система трещин на разделе упругих сред при наличии линий скольжения // Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2000.

92. Сильвестров В. В. Упругая слабоизогнутая винтовая поверхность // Известия национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. № 6. С. 69−76.

93. Сильвестров В. В., Ефимова Е. Г. Аналитическое решение линеаризованной задачи обтекания системы профилей методом римановых поверхностей // Труды VI Всероссийской научной школы «Гидродинамика больших скоростей». Чебоксары. 1996. С. 217−221.

94. Сильвестров В. В., Ефимова Е. Г. Применение римановых поверхностей в задачах гидродинамики. Минск. 1999.

95. Спрингер Дж.

Введение

в теорию римановых поверхностей. М.: ИИЛ, 1960. 343 с.

96. Терентьев А. Г. Кавитационное обтекание криволинейной дуги с закрылком // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.

97. Терентьев А. Г. Кавитационное обтекание плоской пластинки // Известия ВУЗов. Математика. 1964. № 6.

98. Терентьев А. Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 1. Чебоксары. 1971.

99. Терентьев А. Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий // Известия АН СССР. МЖГ. 1976. № 1. С. 158−161.

100. Терентьев А. Г. К решению линейной задачи кавитационного обтекания криволинейной дуги // Известия АН СССР. МЖГ. 1972. № 1. С. 34−38.

101. Терентьев А. Г. К решению смешанной краевой задачи // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 1.С. 57−60.

102. Терентьев А. Г. Математические вопросы кавитации. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1981. 132 с.

103. Терентьев А. Г. Нелинейная теория кавитационного обтекания // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1977. С. 138−185.

104. Терентьев А. Г. Обтекание наклонной пластинки в канале по схеме с параллельными стенками // Известия ВУЗов. Математика. 1965. № 3.

105. Терентьев А. Г. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Известия АН СССР. МЖГ. 1967. № 2.

106. Терентьев А. Г. Струйное обтекание системы двух препятствий // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 1. Казань. 1964.

107. Терентьев А. Г., Кузнецов Ю. В. Струйное обтекание пластины в канале // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары. 1977. С. 186−194.

108. Терентьев А. Г., Лазарев В. А. Кавитационное обтекание пластины ограниченным потоком // Физико-технические проблемы. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1969. С. 89−101.

109. Чаплыгин С. А. К теории триплана // Избранные труды по математике и механике. М.: ГИТТЛ, 1954. С. 274−293.

110. Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций. М.: Гостехиздат, 1948.

111. Черепанов Г. П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой или вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. Т. 156. № 2. С. 275 277.

112. Черепанов Г. П. Течения идеальной жидкости со свободными поверхностями в двухсвязных и трехсвязных областях // Прикладная математика и механика. Вып. 4. 1963. Т. 27. С. 731−734.

113. Черепанов Г. П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости // Прикладная математика и механика. Вып. 5. 1962. Т. 26. С. 907−912.

114. Чернецкий В. А. О конформной эквивалентности краевой задачи Карле-мана краевой задаче Римана на разомкнутом контуре // ДАН. 190:1. 1970. С. 54−56.

115. Чибрикова Л. И. Граничныезадачи теории аналитических функций на римановых поверхностях // Итоги науки и техники. Серия математический анализ. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1980. Т. 18. С. 3−66.

116. Чибрикова Л. И. К решению краевой задачи Гильберта // Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 2. Изд-во Казан, ун-та, 1964. С. 201−212.

117. Чибрикова Л. И. К решению краевых задач методом симметрии // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 3. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. С. 202−224.

118. Larock B.E., Street R.L. A nonlinear solution for a fully cavitating hydrofoil beneath a free surface // J. Ship. Res. 1967. V. 11. № 2.

119. Tulin M.P. Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies // David W. Taylor Mod. Basin. Rept. № 834. Navy Dept. Washington, 1953.

120. Tulin M.P. Supercavitating flows-small-perturbation theory // J. Ship. Res. 1964. V. 7. № 3. P. 16−37.

121. Tulin M.P. Supercavitating flows-small-perturbation theory. Приложения теории функций в механике сплошной среды // Труды Международного симпозиума в Тбилиси 17−23 сентября 1963. Т. 2. М.: Наука, 1965. С. 403−439.

122. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory // Part 1. J. Fluid Mech. 1962. V. 13. № 2- Part 2. J. Fluid Mech. 1964. V. 18. № 1.