Асимптотические модели в нелинейной теории волн деформации

Точные решения для практически интересных задач нелинейной механики, как известно, достаточно редки. Для отыскания решений применяются либо численные методы, либо приближенные методы, либо комбинация тех и других. Это в полной мере относится и к задачам распространения волн в твердых телах. Исторически, параллельно с исследованиями нелинейных волновых процессов развивались приближенные методы анализа уравнений в обыкновенных производных, затем в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений [1−47]. Среди приближенных методов основными являются методы асимптотических разложений по малым параметрам [2, 8].

Существующие приближенные методы анализа нелинейных волновых процессов условно делят на две группы [14, 25, 28, 43]. К первой группе относят методы возмущений, в которых задача сводится к определению малых поправок к некоторому «невозмущенному» решению, задаваемому известным семейством функций. Применительно к механике твердого тела такие методы применялись, например, в работах [48−50]. Ко второй группе относят методы редукции (приведения) исходных уравнений к некоторым модельным нелинейным волновым уравнениям для новых переменных. Эти методы предполагают возможность введения в задачу одного или нескольких малых параметров, причем один из них учитывает малый нелинейный фактор, и используются, когда попытки описания решения с помощью малых добавок к невозмущенному решению оказываются некорректными в том смысле, что имеют очень малую область применимости (например, часто разложение теряет силу на расстояниях порядка длины волны). Здесь рассмотрен метод факторизации, основанный на асимптотическом методе многих масштабов [7, 8], разработанном, как известно, для расширения области применимости (пригодности) получаемых приближенных решений. Среди других методов редукции отметим метод связанных нормальных волн [15], активно разрабатываемый в последнее время применительно к задачам нелинейной волновой динамики в упругих системах с сильной дисперсией [39, 43].

В нелинейной теории волн метод многих масштабов используется для систематического сведения сложной исходной системы уравнений к одному нелинейному эволюционному уравнению, решение которого дает равномерно пригодное на некотором большом промежутке времени приближение к решению исходной системы [10, 11, 18, 23−25]. Этот метод редукции применялся во многих.

разделах физики и механики (см., например, [11,16−18, 21, 33]). Наиболее хорошо известными уравнениями, получаемыми таким образом, являются уравнения Бюргерса и Кортевега-де Вриза для одномерных волн и уравнения Хохлова-Заболотской и Кадомцева-Петвиашвили в случае неодномерных (квазиплоских) волн. Применительно к задачам распространения нелинейных волн деформаций в твердом теле эти уравнения были получены в работах [21, 28, 31, 34, 39−42].

В нелинейной теории волн метод многомасштабной факторизации применяется для приведения сложной исходной системы уравнений к системе независимых уравнений, относящихся к различным характеристическим направлениям, для функций, являющихся аналогами обычных римановских инвариантов, т. е. постоянных в нулевом приближении вдоль своих характеристических направлений [12, 13, 19, 21, 24, 30]. В основе метода лежит предположение о медленности изменения этих функций, вызванного нелинейностью и кинетическими процессами в среде. Причем взаимодействие волн, относящихся к различным характеристическим направлениям, может быть описано неявно, в общем случае через неоднородный сдвиг фазовых переменных [13, 21, 46, 47].

Метод многомасштабной факторизации впервые был развит в работах [12, 13] применительно к одномерным многоволновым задачам гидродинамики и физики плазмы. В работе [13] этот метод применялся для описания одномерных нелинейных волн малой амплитуды (именно: ударных волн и волн разрежения) в сжимаемой, вязкой и теплопроводящей жидкости. Было показано, что нелинейные волны, относящиеся к различным характеристическим направлениям, описываются раздельно уравнениями Бюргерса. Этот подход затем был применен к исследованию нелинейных волн деформации в термовязкоупругих средах [21] и обобщен на квазиплоский случай.

Методы редукции, достаточно хорошо разработанные применительно к различным задачам нелинейной волновой динамики упругих систем [21, 28, 31, 34, 35, 39−43, 48], практически не применялись к задачам взрывного или ударного деформирования сред с упругопластическим поведением.

Исследование эволюции нелинейных волн деформации, порожденных взрывом и ударом, представляет интерес для большого числа научных и технических приложений [51−76]. Это связано с тем, что изучение механических свойств и физико-химических превращений при высокоскоростном деформировании основывается на влиянии этих процессов на профиль и эволюцию импульсов ударной нагрузки в исследуемом образце. Эксперименты по исследованию механических и физических свойств материалов [50−52, 54, 56−58, 61, 65, 66−68, 70, 71] обычно проводятся в условиях импульсного нагружения, не превышающего нагрузки от контактного взрыва обычных взрывчатых веществ или удара со скоростями до 1−2 км/сек. В этих случаях возникающие волны напряжения можно считать слабыми в смысле малости относительного изменения плотности или малости напряжения по сравнению с модулем сжатия материала. Таким образом, возникает малый параметр, дающий основной член при представлении решения в виде асимптотического разложения. Необходимость учета упругопластических эффектов усложняет процедуру получения модельных факторизованных уравнений. Интерес применения метода многомасштабной факторизации и, в целом, методов нелинейной теории волн к моделированию динамических процессов в таких задачах связан не только с относительной простотой получаемых модельных уравнений. Теория нелинейных волн за последние двадцать лет сформировалась как междисциплинарное направление, так как, несмотря на специфику волновых явлений в различных областях физики, используемые нелинейные уравнения, моделирующие волновой процесс, а также методы построения их решений, оказываются аналогичными или даже идентичными. Такая универсальность дает хорошую почву, также, для взаимопроникновения идей в смежные дисциплины, что, как известно, имеет место в нелинейной оптике, физике плазмы и нелинейной акустике [11, 16−18, 21, 26, 3233, 35, 44].

Известно, что внедрение методов математического моделирования для исследования ударно-волновых явлений дало возможность построения и уточнения динамических определяющих уравнений [50, 59, 61, 66, 67, 71], описывающих процессы пластической деформации и разрушения. Важно отметить, что большинство экспериментов, направленных на получение определяющих уравнений, проводится в условиях нормального соударения пластин. В таких условиях реализуется квазиплоская геометрия волнового процесса, являющаяся естественной для двумерных модельных уравнений. Поэтому, несмотря на значительные успехи в области численного моделирования, вызванные развитием ЭВМ, построение модельных уравнений, описывающих динамические процессы деформирования в упругопластических средах, представляется полезным ввиду относительной простоты реализации их численных алгоритмов при существенной экономии машинного времени. Это важно для задач, где требуется большой объем вычислений. Например, когда при построении определяющего уравнения используется набор констант, определение которых независимыми экспериментальными методами проблематично [67], или возникает необходимость решения в том или ином виде задач оптимизации. Следует также отметить, что возможности аналитического исследования модельных уравнений значительно выше. В свою очередь, качественные выводы, которые опираются на аналитические оценки или решения модельных уравнений, могут сделать более направленным и эффективным численный эксперимент, проводимый на базе точной исходной системы уравнений.

Еще раз подчеркнем, ' что в большинстве случаев построение асимптотических моделей является, по-видимому, единственной возможностью аналитического исследования, а также построения упрощенных численных алгоритмов нелинейных волновых процессов, порожденных взрывным или ударным нагружением твердых тел. Поэтому разработка таких моделей и изучение их свойств, а также решение конкретных задач распространения одномерных и двумерных нелинейных нестационарных волн на их основе, представляются важными для развития физической механики высокоскоростной деформации и разрушения твердых тел. Кроме этого представляет интерес моделирование сложных процессов, включающих механические и физико-химические стадии, проводимое с использованием результатов экспериментальных исследований. К таким задачам относится, например, задача о дополнительном энерговыделении при высокоскоростном ударе. Таким образом, фундаментальный и прикладной интерес представляет разработка и исследование моделей нелинейных волн при импульсном деформировании упругопластических сред, а также решение конкретных задач на базе полученных уравнений.

Импульсное нагружение широко используется как инструмент для изучения быстрых механохимических процессов в твердых телах [57, 69]. При этом детальная информация может быть получена только путем исследования остаточных эффектов, т. е. при помощи анализа химического состава и структурных изменений в образце после завершения процесса. Ясно, что для получения количественной информации о кинетике быстрых механохимических реакций необходимо использовать программированное импульсное нагружение твердого тела, иначе говоря, необходимо управлять формой волны напряжения. Как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения необходимый этап заключается в теоретическом исследовании задач оптимизации ударно-волнового нагружения конденсированных сред.

Для описания поведения материалов в условиях высокоскоростного нагружения предложено множество реологических моделей, приводящих к интегро-дифференциальным уравнениям движения. Волны в этом случае характеризуются диссипацией и дисперсией, причем дисперсионные соотношения линеаризованных уравнений являются, вообще говоря, неполиномиальными. Такое поведение не обязательно должно быть связано с кинетическими процессами мезоскопического и микромасштаба. Неполиномиальные дисперсионные соотношения можно получить в механике гетерогенных сред (жидкость с пузырьками газа, упругая среда с порами) [77, 16, 35], в механике композиционных материалов [78, 79], в модельных задачах механики оболочек и в протяженных гидроупругих системах [80−84]. Причем интегральный оператор будет описывать наследственно временные эффекты, если только имеет место дисперсия временного (причинного) типа [84]. Диссипация при релаксации сдвиговых напряжений обычно подавляет дисперсию. Однако в перечисленных выше случаях часто имеет место противоположная ситуация, вызванная немонотонным (колебательным) характером релаксации «внутренних» переменных этих систем, соответствующих неполиномиальным дисперсионным соотношениям. Если дисперсия относительно велика, то эволюция ударного импульса определяется в основном конкуренцией между нелинейным увеличением крутизны и дисперсионным расплыванием его профиля. Диссипация же сказывается на сравнительно большом временном масштабе. Представляет интерес построение моделей нелинейных волновых процессов в таких системах.

Введение

термодинамических внутренних переменных в феноменологические теории динамического поведения сплошной среды [85−87], является одним из способов учета неравновесных процессов, происходящих в среде. Известно [85], что в соответствии с принципом Онсагера вблизи равновесия возможно только монотонное поведение внутренних переменных, ответственных за релаксационный процесс. Представляет фундаментальный интерес, опираясь на методы неравновесной термодинамики, исследовать особенности динамических процессов в средах, характеризуемых немонотонным (колебательным) характером релаксации внутренних переменных.

Диссертация посвящена разработке и исследованию асимптотических моделей нелинейных волн в упругопластических средах и системах, характеризующихся сложной кинетикой внутренних релаксационных процессов, а также моделированию на этой основе некоторых процессов импульсного деформирования твердых тел и элементов конструкций.

Научная новизна работы состоит в том, что: предложена модификация асимптотического метода многомасштабной факторизации, позволяющая распространить его применение на широкий класс задач нелинейной теории волн деформации в упругопластических средах и существенно упростить как численное, так и качественное исследование таких задачполучены модельные уравнения, описывающие нелинейные нестационарные продольные волны в средах, отвечающих различным определяющим соотношениям, в том числе определяющим соотношениям деформационной теории пластичности, нелинейной максвелловской вязкоупругости и наиболее употребительным дислокационным моделямдля различных моделей упругопластических сред проведено численное и аналитическое исследование одномерных задач об эволюции и взаимодействии ударных импульсов, порожденных контактным взрывом и ударом по границе полупространства и плоского слоя. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и численными решениями точных систем динамических уравнений позволяет сделать вывод об адекватности полученных модельных уравненийв рамках модели нелинейной максвелловской среды исследована пространственная задача об эволюции ударного импульса, порожденного контактным взрывом на границе полупространства. Результаты расчетов показывают, что модельные уравнения качественно правильно описывают эволюцию пространственного распределения напряжений как в области упругого, так и в области пластического теченияпредложенные методы использованы для моделирования начальной стадии проникания цилиндрического ударника в плоскую преграду при относительно малых и высоких скоростях соударения. На основе полученных результатов определены условия воспламенения фрагментов разрушения, образующихся в результате высокоскоростного удара по алюминиевой преграде, при разлете в воздухв рамках упругопластической модели с градиентом деформации второго порядка исследована нелинейная динамика стержня в стадии, предшествующей разрушению в состоянии деформационного разупрочнения, и иайдено аналитическое решение, описывающее динамическую локализацию деформации. В рамках принятой модели установлено, что локализация деформации происходит в режиме коллапсав рамках простейшей модели — уравнения Бюргерса, — показана возможность эффективного управления параметрами нагружения термовязкоупругого материала за счет оптимизации формы ударного импульса, приложенного к границе, в том числе за счет использования последовательности мощных ударных импульсов. Установлена возможность значительного снижения диссипативных потерь и увеличения плотности потока энергии через заданную поверхность внутри нагружаемого образца;

— предложено модельное интегро-дифференциальное уравнение для описания нелинейных волн в заполненных жидкостью упругих трубах и в общем случае систем с колебательным характером релаксации. Методами неравновесной термодинамики исследована устойчивость однородных состояний таких систем и установлено существование двух механизмов потери устойчивости;

— проведено исследование предложенного интегро-дифференциального уравнения в предельном случае отсутствия диссипации, получены точные солитонные решения и численно исследована динамика столкновения солитонов. Результаты свидетельствуют об упругом характере этого столкновения.

Значимость результатов работы связана с разработкой и исследованием асимптотических моделей нелинейных волновых процессов в механике твердого тела. Предложенный подход к построению модельных уравнений волновой динамики упругопластических сред допускает ряд обобщений, включающих, например, введение дополнительных внутренних параметров, характеризующих некоторые усредненные характеристики внутренней структуры среды. Предложенные двумерные модельные уравнения представляются полезными для исследования многоволновых задач, в том числе расчета поля разрушений при ударном нагружении твердых тел, и могут быть использованы для восстановления констант релаксационных и механохимических процессов по динамическим измерениям. Важно, также, отметить, что использование асимптотических моделей существенно расширяет возможности аналитического исследования и численного решения прикладных задач. Свойства модельного интегро-дифференциального уравнения, предложенного для описания нелинейных волн в общем случае систем с колебательным характером релаксации, и найденный вид волновой неустойчивости демонстрируют качественное отличие волновых явлений в системах с монотонным и немонотонным характером релаксации внутренних переменных.

С практической точки зрения результаты диссертации могут быть полезны при моделировании технологических процессов или экспериментальных исследований, связанных с импульсным деформированием и разрушением упругопластических сред, при выборе оптимальных режимов импульсного нагружения, при оценке вторичных эффектов, сопутствующих импульсному нагружению твердых тел.

Объем диссертации составляет 176 страниц, включая 34 рисунка и список литературы из 234 наименований.

Основное содержание диссертации изложено в пяти главах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Э. И. Андрианкин, А. И. Малкин, H.H. Мягков. — Исследование взаимодействия слабых ударных волн и оптимизация по начальным условиям.- В сб.: Кинетика и механизм физико — химических процессов.- Черноголовка, ОИХФ АН СССР, 1981, с. 66−67.

2. Э. И. Андрианкин, А. И. Малкин, Н. Н. Мягков. — Распространение цуга ударных импульсов в плотных средах. — ПМТФ, 1982, № 3, с. 156−163.

3. А. И. Малкин, Н. Н. Мягков. — О возможности образования акустических структур в неравновесной химически-реагирующей среде. — Письма в ЖТФ, 1984, т. 10, вып. 10, с. 604−607.

4. Н. Н. Мягков, А. И. Малкин. — Особенности применения метода многомасштабных разложений к исследованию нелинейных волн деформации в упруговязкой максвелловской среде. — В кн.: Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. — Фрунзе, 1985, с. 292−293.

5. А. И. Малкин, Н. Н. Мягков. — О нелинейных волнах в упруговязкой максвелловской среде. — ПМТФ, 1986, № 5, с. 158−163.

6. Н. Н. Мягков, А. И. Малкин. — О нелинейных акустических волнах в неравновесной среде. — В кн.: Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума IUPAP-IUTAM, т.П. — Новосибирск, 1987, с. 72−74.

7. О. Г. Завилейский, Н. Н. Мягков. — Метод нелинейных волн в пространственной задаче разрушения пластины. — В кн.: Трещиностойкость материалов и элементов конструкций: Тезисы докл. III Всесоюзного симпозиума по механике разрушения /Житомир 1990 г./. — Киев, 1990, ч. I. с. 21−22.

8. О. Г. Завилейский, H.H. Мягков. — Квазиплоская ударная волна в упруговязкой максвелловской среде. — Изв. АН СССР. МТТ, 1991, № 5, с. 71−76.

9. H.H. Мягков. — Метод нелинейных волн в задачах ударного нагружения конденсированных сред.-Математическое моделирование, 1992, т. 4, № 12, с. 5559.

10. A.A. Долгов, В. В. Ильин, О. Г. Завилейский, А. И. Кузмич, М. М. Кононенко, Н. Н. Мягков. — Дополнительное энерговыделение при высокоскоростном ударе. — Химическая физика, 1993, т. 12, № 5, с. 754−756.

11. H.H. Мягков. — О взаимодействии нелинейных волн в средах с упругопластическим поведением. — ПМТФ, 1994, т. 35, № 2, с. 88—100.

12. N.N. Myagkov. — Nonlinear waves in shock-loaded condensed matter. -J.Phys.D: Appl. Phys., 1994, v. 27, p. 1678−1686.

13. N.N. Myagkov — On Hydrodynamic Instability of Chemical Oscillations. -In: Int. Conference «Criteria of Selforganization in Physical, Chemical and Biological Systems», Moscow-Suzdal, June 12−15, 1995, Abstracts. — Suzdal, Russia, 1995, p. 152.

14. H.H. Мягков. — О гидродинамической неустойчивости химических осцилляций. — ЖЭТФ, 1995, т. 108, вып. 6, с. 2031;2043.

15. H.H. Мягков. — Об оптимальном профилировании слабых ударных импульсов. — Акуст. журн., 1996, т.42, № 1, с.83−87.

16. Н. Н. Мягков.-Приближение нелинейных волн для ударно-нагруженного конденсированного материала. — Химическая физика процессов горения и взрыва. XI Симпозиум по горению и взрыву, Черноголовка, 1996, т. 1, ч. 2, с. 337−338.

17. N.N. Myagkov. — Nonlinear Wave Approach for Shock-Loaded Condensed Matter. — In: Int. Congress «Nonlinear Analysis and It’s Applications», Moscow, September 1−5, 1998. Abstracts. — Moscow, Russia, 1998, p. l 18.

18. Н. Н. Мягков. — Примеры асимптотического моделирования нелинейных волн деформации в упругопластических средах. — Мех. комп. матер, и констр., 1998, т.4, № 3, с. 97−105.

19. Н. Н. Мягков. — О динамической локализации деформации в разупрочняющемся стержне. — Мех. комп. матер, и констр., 1999, т.5, № 3, с. 28−32.

20. Н. Н. Мягков. — Моделирование локализации деформации в задаче о динамике разупрочняющегося стержня.-Письма в ЖТФ, 1999, т.25, вып.20, с. 4853.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации разработаны и исследованы некоторые асимптотические модели в нелинейной теории волн деформаций — модели распространения, взаимодействия и устойчивости волн в упругопластических средах и системах, характеризующихся сложной кинетикой внутренних релаксационных процессов. В рамках предложенных моделей изучены одномерные и двумерные задачи импульсного деформирования твердых тел и элементов конструкций, и закономерности эволюции волн малой амплитуды в системах с колебательным характером релаксации внутренних переменных.