Смешанные задачи удара твердых тел, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости

Актуальность темы

.

Теория гидродинамического удара является классической областью механики жидкости. Одна из ее привлекательных сторон состоит в том, что теоретические результаты очень хорошо согласуются с данными эксперимента. Особенно это относится к присоединенным массам и моментам инерции, которые, наряду с задачами удара, находят себе применение при исследовании вибрации твердых тел в жидкости. Среди практических задач, стимулирующих развитие теории гидродинамического удара, упомянем посадку гидросамолетов на воду, вообще проблемы, связанные с падением на воду твердых или упругих тел, а также с внезапным возникновением движений тел, плавающих или погруженных в жидкость.

Вопросы взаимодействия твердого тела с жидкостью при ударе имеют не только практическое значение, но представляют большой теоретический интерес, для математической физики. В последнее время большое внимание исследователей привлекают смешанные задачи гидромеханики и теории упругости с неизвестными заранее областями контакта и, в частности, задача о гидродинамическом ударе с отрывом. Особенностью этой задачи является то, что область контакта тела с жидкостью, равно как и зона отрыва, заранее не известна и подлежит определению вместе с течением жидкости после удара. Вследствие этого данная задача является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами.

Большой интерес представляют задачи об ударе с отрывом, приводящие к образованию многосвязной, в частности, двухсвязной зоны отрыва частиц жидкости. Ярким примером здесь может служить плоская задача об отрывном ударе эллиптического цилиндра, плавающего па поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Отметим, что основными неизвестными в этой задаче являются точки отрыва, отделяющие на поверхности цилиндра области безотрывного удара от зон отрыва. В трехмерном случае, даже для нецентрального удара по лежащей на свободной поверхности круглой пластинке, неизвестной оказывается кривая. Задача сразу превращается из скалярной в бесконечномерную. Подчеркнем, что проблема отрыва относится к числу малоизученных и труднорешаемых задач.

При исследовании задач удара с учетом влияния дна и стенок представляется весьма актуальным развитие асимптотических и численно-аналитических методов решения смешанных краевых задач. В частности, большой интереспредставляют асимптотики, основанные на предположении о малости или, напротив, о большой величине глубины или расстояния от тела до стенки.

К актуальным вопросам гидродинамики относятся также задачи удара неодносвязных тел (тор, кольцо). В теоретическом плане здесь интересны нерегулярные асимптотики тонких тел, позволяющие представить основные характеристики удара в простой аналитической форме, удобной для проведения численных расчетов. Отметим, что изучение движения твердого тора в жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес. Например, форму тора имеют океанографические буи, размещаемые в океане для регистрации параметров окружающей среды [49]. При их постановке и подъеме возникают ударные нагрузки, которые необходимо учитывать при исследовании прочности буйковых систем. Отметим также, что существует ряд гидродинамических явлений, где тор является физически хорошим приближением для формы жидкого и газообразного тела. Подобные формы возникают при движении различного рода вихревых колец, при подьеме пылевого облака от сильного взрыва, при периодическом выбросе дымовых масс в атмосферу, в динамике отрывных пузырей за телами, имеющими осевую симметрию.

Краткий историко-литературный обзор

Интерес к этой области механики жидкости возник более полувека назад в связи с задачей приводнения гидросамолетов на воду. Первая конкретная задача о вертикальном ударе наполовину погруженного плавающего шара была решена Ii. Е. Жуковским в его классической работе «Об ударе двух шаров, из которых один плавает в жидкости» [145, 146]. Дальнейшее развитие теория гидродинамического удара получила в основополагающих трудах Л. И. Седова [284]—[286]. В них было показано, что наличие жидкости приводит к понятию присоединенных масс, аналогично тому, как это имеет место в задаче о движении тела в безграничной жидкости. В 30-х годах в ЦАГИ был проведен цикл теоретических и экспериментальных работ по расчету коэффициентов присоединенных масс для тел различной формы. Одними из первых были решены плоские задачи об ударе пластинки, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины (М. В. Келдыш, 1935 г., [154, 155]) и жидкости, наполняющей канал в форме полуцилиндра (М. И. Гуревич, 1939 г., [133]). В последующие годы задачи удара привлекали внимание многих авторов: С. В. Фалькович, Н. К. Калинин [299], L. Trilling [337], Э. Л. Блох [52]-[55], B.C. Сабанеев [275]—[279], И. И. Ворович, В. PL Юдович [93|, В. И. Юдович [311]-[317], Л. С. Ворович [94]—[99], H.A. Кудрявцева [192, 193], М. И. Чебаков [303],.

A.M. Полунин [255]—[257], Б. М. Ботвинков, A.M. Полунин [61], Н. М. Бо-родачев, Ф. Н. Бородачева [57], B.C. Корчагин [167], [168], A.B. Дворак, Д. А. Теселкин [134], H.A. Веклич [71]—[76], H.A. Веклич, Б. М. Малышев [65]—[70], В. В. Попов [260], М. В. Норкин [216]-[244], Д. Б. Рохлин [271],.

B. П. Рябченко [274] и др. Достаточно подробно были изучены задачи о безотрывном ударе эллиптического цилиндра (плоская задача), шара, эллипсоида вращения, круглого диска и прямоугольной пластинки, плавающих на поверхности идеальной и несжимаемой жидкости. Многие работы посвящены исследованию задач удара для слоя жидкости конечной глубины. Подробные обзоры большинства работ приводятся в монографиях Э. И. Григолюка, А. Г. Горшкова [125] и А. И. Короткина [166]. Попутно отметим монографии [161], [280, 281] и статью [176], в которых дан обзор исследований по проблеме соударения твердого тела с идеальной сжимаемой жидкостью.

Удар может происходить как без отрыва жидкости от смоченной поверхности тела, так и с образованием зон отрыва. С появлением отрыва задача становится нелинейной и чрезвычайно усложняется. Особенностью задачи об ударе с отрывом является то, что область контакта тела с жидкостью (равно как и зона отрыва) заранее неизвестна и подлежит определению вместе с течением жидкости после удара, то есть вместе с потенциалом скоростей. Вследствие этого данная задача, является нелинейной и относится к классу задач со свободными границами. Подчеркнем, что «свободные границы» не означают, что область, в которой ищется решение, не известна. Она известна, но разбиение ее границы на области контакта и области отрыва следует определить вместе с течением жидкости после удара.

В данной диссертации изучается как безотрывный удар, так и удар с отрывом. Исследуются условия применимости теории безотрывного удара (равно, как и условия возникновения отрыва) для неодноевязных тел (тор, кольцо). Ранее такие условия были получены для круглого диска, ударяющегося о слой жидкости конечной или бесконечной глубины (И. И. Воро-вич, В. И. Юдович, 1957 г., [93]), а также для эллипсоида, полупогруженного в жидкое полупространство (В. И. Юдович, 1993 г., [311]).

Весьма интересная в теоретическом и прикладном отношении проблема взаимодействия твердого тора с жидкостью обсуждалась в работах [320, 335, 338, 216, 219, 225]. В своей классической статье ([320], 1881 г.) W. М. Hicks впервые получил точное решение осесимметричной задачи о поступательном движении кругового тора в идеальной, несжимаемой и неограниченной жидкости (к ней, в частности, сводится задача о центральном ударе наполовину погруженного плавающего тора). Применение метода разделения переменных в уравнении Лапласа в тороидальных координатах позволило представить основные гидродинамические характеристики в виде рядов по функциям Лежандра. Впоследствии эти результаты использовались для численного исследования различных движений тора в идеальной и несжимаемой жидкости [335]. Отметим также статью [338], в которой были указаны главные члены асимптотик присоединенных масс в задачах о поступательном движении тонкого тора вдоль и перпендикулярно оси вращения.

В работе [219] рассматривается задача о вертикальном ударе твердого тора кругового поперечного сечения, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой и неограниченной жидкости. Для решения данной задачи применяется метод граничных интегральных уравнений (метод ГИУ). Строятся логарифмически-степенные асимптотики решений интегральных уравнений, соответствующие случаю тонкого тора, и на их основе определяются асимптотики коэффициентов присоединенных масс. Важно подчеркнуть, что полученные асимптотики являются эффективными в широком диапазоне изменения характерного параметра задачи (отношение радиусов тора). В частности, асимптотика присоединенной массы плавающего тора позволяет проводить численные расчеты во всем диапазоне изменения характерного параметра задачи (то есть для любых торов) с погрешностью не более одного процента. В статье [225] асимптотики тонкого тора были обобщены на случай тора эллиптического поперечного сечения.

Отметим также, что задача об ударе вырожденного тора — твердого тела, полученного вращением окружности вокруг своей касательной, была исследована в статье [216].

Задачи гидродинамического удара существенно усложняются, когда необходимо принимать в расчет влияние дна и стенок. Как правило, получить точные решения оказывается невозможным — исключение составляют только некоторые частные случаи, например, классические плоские задачи об ударе отрезка о поверхность жидкости, заключенной в слое, прямоугольнике или полуцилиндре (М. В. Келдыш, 1935; Л. И. Седов, 1950; М. И. Гуревич, 1939). В такой ситуации представляется весьма актуальным развитие асимптотических и численно-аналитических методов решения смешанных краевых задач.

Заметим, что вообще в гидродинамической теории удара наблюдается определенный дефицит общих качественных результатов, а большинство работ посвящены решению частных задач. Это относится и к проблеме отрыва и условиям безотрывности, и к вопросам о влиянии различных геометрических параметров на характеристики удара.

В работах [220]-|224] был предложен эффективный асимптотический метод, направленный на решение пространственных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации. В его основе лежит предположение о том, что стенки бассейна удалены от плавающего тела на большие расстояния.

Идея этого метода своими корнями уходит к трудам классиков, которые при исследовании задач о движении в жидкости двух подобных тел, например, двух шаров или двух круглых цилиндров применяли метод последовательных приближений Стокса, (1843 г., [195], [202]). С другой стороны в вычислительной математике хорошо известен альтернирующий метод Шварца [153, 209]. В обоих случаях решение исходной задачи для области сложной геометрической конфигурации сводится к последовательном}^ решению задач в областях, имеющих более простые формы границ. Методы Стокса и Шварца сыграли исключительно важную роль при разработке данного асимптотического метода.

Отметим также статью Ф. Л. Черноусько [305], в которой альтернирующий метод Шварца был весьма успешно реализован в задаче о движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость с пузырем газа.

С помощью метода, развитого в работах [220]—[224], были получены решения ряда новых смешанных задач гидродинамического удара в областях, имеющих сложную границу. В частности, отметим задачу об ударе твердого тела, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости в области, ограниченной веретенообразной поверхностью вращения. Рассмотрены случаи, когда плавающее тело имеет форму шара, вырожденного тора и кольца.

В литературе хорошо известен другой подход к построению асимптотик по различным геометрическим параметрам задачи, основанный на исследовании интегральных уравнений. Первыми работами в этом направлении были статьи И. И. Воровича и В. И. Юдовича [93] и Н. И. Ахиезера [39]. В работе [93] была рассмотрена задача об ударе круглого диска о слой жидкости конечной глубины. При помощи метода парных интегральных уравнений, связанных с функциями Бесселя, данная задача была сведена к интегральному уравнению второго рода с непрерывным ядром на конечном промежутке. Решение интегрального уравнения было получено в виде ряда по отрицательным степеням параметра, А = /г/а, где, а — радиус диска, к — толщина слоя. На его основе найдены асимптотики основных характеристик удара — присоединенной массы и присоединенного момента инерции диска. Выведено условие безотрывности удара. В работе [39] изучены свободные гармонические колебания жесткого диска в пространстве, заполненном идеальной сжимаемой жидкостью. Основные параметры были представлены в виде рядов по отрицательным степеням, А = с/и (с — скорость звука в жидкости, со — частота колебаний). Серьезное развитие эти вопросы получили в работах по контактным задачам теории упругости, где в первую очередь следует отметить статью В. М. Александрова и И. И. Воровича [10]. В ней был предложен общий метод решения смешанных задач теории упругости о вдавливании произвольного в плане штампа в упругий слой конечной толщины. В качестве конкретного примера была рассмотрена задача для эллиптического штампа. В названных работах построенные асимптотические разложения оказались эффективными при больших значениях параметра А. Поэтому в дальнейшем этот метод получил название «метода больших А» [89]. Такой подход был с успехом применен для решения широкого класса контактных задач, а также задач теории трещин. Подробная библиография приводится в [3, 12, 14, 17, 18, 89].

Отметим, что к настоящему времени существует довольно большой набор аналитических и численных методов решения смешанных контактных задач теории упругости. Некоторые из них находят применение в смешанных задачах гидромеханики [12]. В диссертации делаются ссылки на работы по контактным задачам, которые по своей постановке и методике решения близки к соответствующим смешанным задачам гидродинамического удара.

Говоря о смешанных задачах в областях сложной формы, хочется выделить направление, отличительной особенностью которого является то, что рассматриваемая область ограничена координатными поверхностями двух различных ортогональных систем координат. Весьма эффективный метод решения таких задач был предложен в работах [208, 264, 265]. Так, например, в статье [265] были рассмотрены задачи о кручении упругих тел, ограниченных координатными поверхностями тороидальной и сферической систем координат (усеченный шар с полусферическим углублением, полушар с сегментным углублением, полугаар с тороидальным углублением). Их решения были представлены в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является общим решением уравнения кручения соответственно в тороидальной и сферической системах координат. Для удовлетворения граничным условиям на поверхностях тора и сферы были использованы соотношения между базисными решениями уравнения кручения в тороидальных и сферических координатах. В результате поставленные задачи сводились к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

Следует обратить внимание на то, что задача о кручении }Чфугого тела вращения гидродинамически эквивалента соответствующей осесиммет-ричной задаче о центральном ударе плавающего тела. Отсюда следует, что метод, предложенный в работах [208, 264, 265] может быть применен для решения задач об ударе шара, частично погруженного в жидкость, наполняющую полушар, шара, полупогруженного в жидкость, наполняющую усеченный шар, а также тора, полупогруженного в жидкость, наполняющую полушар.

Ряд интересных результатов по контактным задачам теории упругости в областях, имеющих сложную границу, приводится в [14, 254]. В частности, отметим задачи о вдавливании кругового в плане штампа в срез усеченного шара.

Отметим, что прямой асимптотический метод, предложенный в работах [220]—[224] имеет некоторые преимущества по сравнению с перечисленными методами. С его помощью можно проводить исследования смешанных задач в областях, ограниченных несколькими различными координатными поверхностями известных ортогональных систем координат (декартовых, цилиндрических, сферических, эллипсоидальных, тороидальных, биполярных, вырожденных биполярных и др.) — Например, можно провести исследование задачи об ударе кругового тора, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости в области, ограниченной веретенообразной поверхностью вращения. Здесь область ограничена координатными поверхностями тороидальной и биполярной систем координат. Данный метод также позволяет рассматривать смешанные задачи для областей неканонической формы, граничные поверхности которых не совпадают с координатными поверхностями ортогональных криволинейных координат, в которых уравнение Лапласа допускает разделение переменных. В качестве примера можно привести задачу об ударе тора эллиптического поперечного сечения. Существенным преимуществом метода является то, что на его основе можно получить решение достаточно сложных смешанных задач в простой аналитической форме, удобной для проведения инженерных расчетов.

Большой интерес представляют смешанные задачи механики сплошной среды и математической физики с кольцевой областью раздела граничных условий. Первой работой этого направления явилась статья [129], в которой исследовалась осесимметричная смешанная задача теплопроводности для полупространства на границе которого имеется кольцевая область заданного потока тепла, а на остальной части границы задана температура. При помощи тороидальных координат задача была сведена к системе парных интегральных уравнений, связанных с функциями Лежандра, а затем к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с гладким ядром. Существенное развитие этот1 метод получил в монографии [298], где в первую очередь были рассмотрены соответствующие неосесиммет-ричные смешанные задачи. В литературе имеется много работ, посвященных статическим контактным задачам теории упругости о взаимодействии жесткого кольцевого штампа с упругим полупространством. Для их решения применялись различные численно-аналитические методы. В частности, отметим работы [58]-[б0], [63], в которых смешанная задача для полупространства с кольцевой областью раздела граничных условий исследовалась в цилиндрических координатах при помощи тройных интегральных уравнений. Подробные обзоры по контактным задачам приводятся в монографиях [14, 17, 82, 298, 296],.

Осесимметричная задача об ударе кольца о поверхность идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде конечной глубины была рассмотрена в статье [74]. В ней, при помощи метода разделения переменных для уравнения Лапласа в цилиндрических координатах, данная задача была сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Отметим, что в ядро интегрального уравнения входит пси-функция, а также ряд, члены которого выражаются через отношения модифицированных функций Бесселя. Подробное исследование задачи проведено в случае полупространства. В этой работе также проводилось экспериментальное определение присоединенных масс колец различных размеров и сравнение с теорией. Важно отметить, что теоретические результаты, полученные на основании принятой математической модели хорошо согласуются с данными эксперимента. Асимптотический анализ задачи о вертикальном ударе кольца, плавающего на поверхности жидкого полупространства, проведен в статье [225]. Достаточно подробно изучены случаи тонкого кольца и кольца с малым центральным отверстием в осесимметричной задаче. В работе [271] исследована задача о вертикальном ударе кольца о слой жидкости малой глубины. Найдены асимптотики присоединенной массы и присоединенного момента инерции, выведено условие безотрывности удара.

На основании данного обзора можно сделать вывод о том, что задача о вертикальном (нецентральном) ударе кольца до недавнего времени оставалась практически совсем не изученной. Особенно это относится к случаю ограниченной области.

В настоящей диссертации проводится подробное исследование задачи о вертикальном ударе кольца, плавающего на поверхности жидкого полупространства. Изучена задача об ударе кольца, находящегося на поверхности жидкости, наполняющей ограниченный бассейн. В качестве нетривиального примера рассмотрен случай, когда область, занятая жидкостью, ограничена веретенообразной поверхностью вращения.

Большое внимание в диссертации уделено аналитическим и численным методам решения задач об ударе с отрывом. Интерес к этим задачам, несмотря на специфику методов и большое число трудностей, возникающих при их изучении, продолжает расти. Об этом свидетельствуют современные публикации в этом направлении.

Задача о гидродинамическом ударе с отрывом была поставлена Л. И. Седовым в монографии [286], в которой развиты эффективные методы решения плоских задач гидродинамики, основанные на использовании теории функций комплексного переменного. Первым конкретным результатом по удару с отрывом была, решенная Л. И. Седовым, задача о горизонтальном ударе пластины [286]. Позже, с помощью методов, изложенных в монографии [286], в ряде частных случаев, были получены аналитические решения [167, 168, 192]. Численный анализ плоской задачи об отрывном ударе плавающих тел проведен в [134]. Во всех указанных исследованиях жидкость предполагалась идеальной несжимаемой, однородной и неограниченной. Общая теория удара в неоднородной жидкости была построена в [312, 316]. Важным результатом статьи [316] было доказательство теоремы существования и единственности решения задачи об ударе с отрывом. Попутно отметим, что аналогичные вопросы для близкой по математической постановке задачи проникания твердого тела в жидкость, изучены в статье [162].

Плоские задачи об ударе с отрывом в случае ограниченной области рассматривались в статье [237], в которой были предложены различные подходы к решению задачи об отрывном ударе пластины. Это, во-первых, прямой асимптотический метод, основанный на предположении о том, что стенки бассейна удалены от плавающего тела на большие расстояния и, во-вторых, метод, базирующийся на использовании техники конформных отображений с последующим применением математического аппарата парных интегральных уравнений. Следует отметить, что во втором подходе для определения неизвестной области контакта впервые в смешанных задачах гидродинамического удара был применен вариационный принцип Огазо. В качестве конкретных примеров изучены случаи, когда область, занятая жидкостью представляет собой слой и усеченную круговую луночку.

В статье [243] исследована плоская задача об ударе с отрывом эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Данная задача сводится к одному нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для решения которого применяется метод М. А. Красносельского [172]. Отметим, что такой подход позволяет одновременно определить потенциал скоростей и неизвестную заранее зону отрыва частиц жидкости. Изучено влияние дна, а также кинематических параметров и геометрических размеров на зону отрыва частиц жидкости от поверхности цилиндра.

Данная задача интересна тем, что на примере эллипса можно увидеть многообразие самых различных ситуаций в задачах об ударе с отрывом. В частности, отметим образование двухсвязной зоны отрыва, а также зоны отрыва, расположенной строго в подводной части плавающего тела.

Метод граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна был предложен в статьях [112, 113] для решения статических контактных задач теории упругости с неизвестными заранее областями контакта. Конактные задачи, для решения которых применялся такой подход, приводятся в работах [И, 14, 18, 252].

Значительный интерес представляют задали удара в неоднородной жидкой среде. В статье [312] изложена теория гидродинамического удара в случае неоднородной несжимаемой жидкости, начиная с вывода основных уравнений и постановок основных краевых задач, вплоть до теорем существования и единственности их решения как в случае безотрывного удара, так и в случае отрыва жидкости от твердой поверхности. На неоднородную жидкость распространяется обычный в гидродинамике вывод уравнений теории удара, хорошо известный в случае однородной жидкости. Показано, что импульсивное давление удовлетворяет эллиптическому уравнению, которое в случае постоянной плотности превращается в обычное уравнение Лапласа.

Рассмотрены задачи удара в некоторых простых случаях, когда основное уравнение допускает разделение переменных. Когда плотность стратифицирована по экспоненциальному закону, дело сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Для задачи об ударе пластины о плоскую Гранину жидкости выведены парные интегральные уравнения. На неоднородную жидкость распространены понятия присоединенной массы и присоединенного момента инерции.

Сформулированы вариационные принципы, соответствующие задачам об ударе без отрыва и ударе с отрывом. С применением методов вариационных неравенств, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи об ударе с отрывом. Обсуждается связь задач об ударе и о вибрации твердого тела в жидкости.

В [317] изложены двусторонние вариационные оценки интеграла Дирихле для решения смешанной краевой задачи теории потенциала. Упор сделан на применение оценок для вычисления присоединенных масс и моментов инерции. Речь идет о паре вариационных принципов, отвечающих задаче теории удара, один из которых дает оценку интеграла Дирихле сверху, а другой снизу. Оба принципа дают хорошую возможность применения метода Ритца для полного решения краевой задачи теории удара. Двусторонние оценки также предоставляют подходящий аппарат для вывода различных асимптотик и обоснования законности их применения. Кроме этого, в работе [317] изучается изменение интеграла Дирихле от решения второй или смешанной краевой задачи при вариации области. Указана, общая формула для первой вариации, выражающая ее через решение краевой задачи для невозмущенной области. Рассмотрены примеры границ, близких к сфере или к плоской пластинке.

Методология исследования.

Основное внимание в диссертации уделено разработке аналитических и численных методов решения линейных, а также и нелинейных смешанных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации. При исследовании линейных задач основные усилия сосредоточены на развитии специального асимптотического метода, основанного на предположении о том, что стенки бассейна удалены от плавающего тела на большие расстояния. Такой подход позволяет свести решение исходной задачи для области сложной геометрической конфигурации к последовательному решению задач в областях, имеющих более простые формы границ. Это дает хорошую возможность использовать для решения поставленных задач методы разделения переменных в специальных ортогональных криволинейных координатах (биполярных, тороидальных, вырожденных биполярных и др.), а также технику парных интегральных уравнений, связанных со специальными функциями (Бесселя, Лежандра). Для решения смешанных задач гидродинамического удара широко применяются методы граничных интегральных уравнений. В некоторых случаях, на их основе, разработаны специальные асимптотические методы, позволяющие представить основные характеристики удара в простой аналитической форме, удобной для проведения инженерных расчетов. Ярким примером здесь может служить задача об ударе тонкого тора эллиптического поперечного сечения.

Большое внимание в диссертации уделено равитию аналитических и численных методов решения задач об ударе с отрывом. Одним из наиболее эффективных и, в то же время, перспективных методов их решения является метод нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна. Такой подход позволяет одновременно определить неизвестную заранее зону отрыва частиц жидкости и течение жидкости после удара. Также применяются аналитические методы, основанные на использовании техники конформных отображений с последующим применением математического аппарата парных интегральных уравнений. Для определения неизвестной заранее области отрыва частиц жидкости используется вариационный принцип Огазо. Кроме этого применяются специальные асимптотические методы.

Цель и задачи исследования

.

Целью диссертации является разработка и развитие эффективных аналитических и численных методов исследования смешанных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации. Речь идет как о линейных, так и нелинейных задачах об ударе с отрывом. При этом основные усилия сосредоточены на следующих важных вопросах:

1. Разработка эффективного асимптотического метода, направленного на решение пространственных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации.

2. Решение ряда конкретных смешанных задач в областях сложной формы.

3. Построение логарифмически-степенных асимптотик основных характеристик удара для случая тонкого тора эллиптического поперечного сечения, плавающего на поверхности неограниченной жидкости.

4. Разработка эффективных аналитических методов решения нелинейных задач гидродинамического удара в ограниченных областях (задач об ударе с отрывом).

5. Применение метода нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна к плоским задачам гидродинамического удара с неизвестными заранее областями контакта.

6. Исследование нелинейных задач об ударе с отрывом в случае неоднородной несжимаемой жидкости.

7. Решение существенно пространственной смешанной задачи об отрывном ударе круглого диска, плавающего на поверхности неограниченной жидкости.

Практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты имеют широкую область применения при исследовании посадки гидросамолетов на воду, падении на воду твердых или упругих тел, а также внезапном возникновении движений тел плавающих или погруженных в жидкость. Разработанные методы исследования смешанных задач гидродинамического удара позволяют получить большой обьем информации, необходимый для понимания явлений, возникающих в результате удара, в частности, для понимания явления отрыва жидкости от поверхности плавающего тела. Развитые подходы к решению конкретных задач, в частности, асимптотические методы, могут использоваться в близких задачах механики сплошной среды, например, в задачах проникания твердого тела в жидкость, в контактных задачах теории упругости и т. п.

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

Данная диссертационная работа вносит существенный вклад в исследование линейных, а, также и нелинейных смешанных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Разработан специальный асимптотический метод, направленный на решение пространственных задач гидродинамического удара в областях, имеющих сложную границу.

2. Решен ряд конкретных смешанных задач в областях сложной формы.

3. Построены логарифмически — степенные асимптотики основных ха,-рактеристик удара для случая тонкого тора эллиптического поперечного сечения, плавающего на поверхности неограниченной жидкости.

4. Разработаны эффективные аналитические методы решения нелинейных задач гидродинамического удара в ограниченных областях (задач об ударе с отрывом).

5. При помощи метода нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна проведено исследование плоской задачи об отрывном ударе эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины.

6. Дано обобщение задачи об отрывном ударе эллиптического цилиндра на случай неоднородной несжимаемой жидкости.

7. Исследована существенно пространственная смешанная задача об отрывном ударе круглого диска, плавающего на. поверхности идеальной, несжимаемой и неограниченной жидкости.

Содержание диссертации и апробация результатов.

Диссертация состоит из введения, семи глав, приложения и списка цитируемой литературы.

Заключение

.

В диссертации рассмотрены задачи об ударе твердых тел, плавающих на поверхности идеальной и несжимаемой жидкости. Разработаны эффективные численно-аналитические методы решения задач удара как в случае безотрывного обтекания, так и в случае отрыва жидкости от твердой границы. Подчеркнем, что важной отличительной особенностью задач об ударе с отрывом является то, что область контакта тела с жидкостью (равно, как и зона отрыва) заранее не известна и подлежит определению вместе с течением жидкости после удара. Вследствие этого данные задачи являются нелинейными и относятся к классу задач со свободными границами.

Сформулируем кратко основные результаты и выводы:

1. Развит общий метод решения пространственных задач гидродинамического удара в областях сложной геометрической конфигурации. В его основе лежит предположение о том, что стенки бассейна удалены от плавающего тела на большие расстояния. Данный хметод позволяет свести решение исходной задачи для области сложной формы к последовательному решению задач в областях, имеющих более простые формы границ. Это дает хорошую возможность использовать для решения названных задач методы разделения переменных в специальных ортогональных криволинейных координатах (цилиндрических, сферических, биполярных, тороидальных, вырожденных биполярных и др.), а также технику парных интегральных уравнений, связанных со специальными функциями (Бесселя и Лежандра).

2. Получены решения ряда конкретных смешанных задач в областях сложной формы. В качестве нетривиального примера исследована задача об ударе твердого тела, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной веретенообразной поверхностью вращения. Рассмотрены случаи, когда плавающее тело имеет форму вырожденного тора, шара и кольца.

3. Изучена задача о вертикальном ударе твердого тора эллиптического поперечного сечения, плавающего на поверхности идеальной, несжимаемой и неограниченной жидкости. Для ее решения применен метод граничных интегральных уравнений (.метод ГИУ). Построены логарифмически-степенные асимптотики решений интегральных уравнений, соответствующих случаю тонкого тора. На их основе определены асимптотики коэффициентов присоединенных масс.

4. Разработаны эффективные аналитические методы решения нелинейных задач гидродинамического удара в ограниченных областях (задач об ударе с отрывом). Дано решение ряда конкретных смешанных задач об отрывном ударе пластины (плоская задача), плавающей на поверхности идеальной и несжимаемой жидкости. Рассмотрены случаи, когда область, занятая жидкостью, представляет собой полуплоскость, полосу (отрывной удар пластины, плавающей на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины), усеченную круговую луночку и произвольную ограниченную область.

5. Изучена плоская задача об отрывном ударе эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Данная задача сводится к одному нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для решения которого применяется метод М. А. Красносельского. Такой подход позволяет одновременно определить потенциал скоростей и неизвестную заранее зону отрыва частиц жидкости. Отметим, что рассматриваемая задача интересна тем, что на ее примере можно увидеть многообразие самых различных ситуаций в задачах об ударе с отрывом. В частности, отметим образование двухсвязной зоны отрыва, а также зоны отрыва, расположенной строго в подводной части плавающего тела.

6. Дано обобщение задачи об отрывном ударе эллиптического цилиндра на случай неоднородной несжимаемой жидкости. Подробно исследуется случай экспоненциально стратифицированной жидкости. Данная задача сводится к одному нелинейному операторному уравнению, для решения которого применяется модифицированный метод Ныотона-Канторовича. Изучено влияние неоднородности жидкости, а также кинематических параметров и геометрических размеров на зону отрыва частиц жидкости от поверхности цилиндра.

7. При помощи метода нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна исследована существенно пространственная смешанная задача об отрывном ударе круглого диска, плавающего на поверхности идеальной, несжимаемой и неограниченной жидкости. Изучено влияние различных движений диска на образующуюся на его поверхности линию отрыва, отделяющую область безотрывного удара от зоны отрыва. Предложен алгоритм, позволяющий определить линию отрыва по заданной точке приложения внешнего ударного импульса. Найдены компоненты полного ударного импульса и его момента, подействовавшие на плавающих диск в результате удара.