Динамика механических систем с кулоновым трением

Прошло более двухсот лет со времени выхода знаменитых мемуаров Ш. О. Кулона «Теория простых машин», в которых впервые были сформулированы законы контактного трения. За это время все ведущие механики мира, как А. Аппель, Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, А. П. Маркеев всегда уделяли должное внимание вопросам о влиянии сил трения па равновесие и движение механических систем. Тем не менее, в науке о системах с трением, как ни в какой другой области механики, еще осталось много нерешенных проблем. К числу таких проблем относятся, в частности, парадоксальные ситуации несуществования и неединственности решения задачи динамики систем с трением. Эти ситуации были обнаружены в конце XIX века П. Пэнлеве и впоследствии получили название «Парадоксы Пэнлеве». Парадоксы Пэнлеве до настоящего времени остаются в центре внимания ученых и специалистов по машиностроению при решении задач динамики систем с трением.

Кроме парадоксов Пэнлеве ученые отметили другие сложные специфические проблемы систем с трением: самоторможение материальных систем, возникновение фрикционных автоколебаний и т. п.

В самом деле, основное различие систем с трением по сравнению с системами без трения заключается в том, что элементарная работа реакции связей в любой системе с трением на произвольном виртуальном перемещении, вообще говоря, не равна пулю. В то же время при расчете динамики систем с трением, инженеры и специалисты, как правило, применяют общеизвестные положения классической механики (главные уравнения динамики, уравнения Лагранжа, уравнения Аппеля, вариационные принципы механики), которые были выведены на основании предположения о несовершении работы реакциями связей. Осознав значимость отмеченного противоречия, * ученые пришли к общему мнению о необходимости создать общую теорию движения систем с трением, в которой с единой позиции разрабатываются подходы ко всем специфическим задачам, возникающим в связи с особенностями систем с трением.

Вышедшая в конце XIX века книга П. Пэнлеве «Лекции о трении» является первой попыткой построить общую теорию движения для систем с трением. В этой книге изучались три специфические задачи:

1) выводы уравнений систем с трением

2) решение парадоксов Пэнлеве

3) построение новой математической формулировки законов трения, ко-ф торая в отличие от модели Кулона не приводит к парадоксам.

Хотя в книге ни одна из этих задач не доведена до логического конца, многие сделанные Пэнлеве выводы служат новыми идеями для исследователей последующих поколений.

Одновременно с Пэнлеве и после него появлялось большое количество литературы, посвященной созданию теории движения систем с трением. Среди множества публикаций ученых выделяются работы Ле Суан Аня, в которых автор впервые убедительно доказал существования всего шести специфических задач теории систем с трением:

1) вывод уравнений нормальных реакций

2) вывод дифференциальных уравнений движения, в которых реакции исключены

3) решение парадоксов Пэнлеве

4) вывод условия сохранения неподвижного состояния и условия перехода в движение

5) разработка понятия самоторможения систем с трением

6) построение теории фрикционных автоколебаний

В [22] изложены решения этих задач. По мнению автора, эти задачи исчерпывают теорию систем с трением, тем самым можно охарактеризовать результаты исследований Jle Суан Аня как первую общую теорию движения систем с трением.

Изложенный в настоящей диссертации материал является попыткой сделать некоторое дополнение к теории механических систем с трением. Как будет показано в гл. 1, анализ теории Jle Cyan Аня и всех существующих теорий по данной проблематике, подтверждает правомерность постановки следующих задач диссертационного исследования:

1)Анализ движении системы Пэнлеве-Клейна

2) Кинематика систем с трением при освобождении ее от контактной связи с трением

3) Исследование вращательной пары и маятника Жуковского-Фроуда с точным учетом кулоновского трения в подшипнике скольжения.

4) Итолкование принципа Гаусса для систем с трением

5) Учет сухого трения в кулисном механизме строгального станка

Общие выводы и заключение

1. Полагаем, что усовершенствование закона Кулона должно состоять в принятии ограничений (/л < 1): условие (ц < 1) должно быть включено в законе Кулона.

2. Условие парадоксов Пэплеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения. Реальные или, точнее, реалистические ситуации таковы, что механические системы находятся вдали от области параметров, в которой могут появиться парадоксальные ситуации, обнаруженные Пэнлеве. Поэтому разыскание условий появления парадоксов Пэнлеве не является главной задачей исследователя. Мы видим главную задачу исследователя в разыскании и изучении действительных движений фрикционных систем.

3. Составлено точное уравнение движения и уравнение реакции для общего случая вращательной пары. При предельном переходе к случаю сосредоточенной массы получилось уравнение динамики и уравнение нормальной реакции маятника Жуковского-Фроуда.

— выясняется, что маятник Жуковского-Фроуда имеет два положения равновесия

— свободные колебания маятника по форме существенно отличаются от синусоидальных

— рассмотрены релаксационные автоколебания маятника Жук-овского-Фроуда на основе гипотезы зависимости силы трения при срыве от скорости тангенциального нагружения. В данном случае система имеет свойство жестского возбуждения автоколебаний. Траектория этих автоколебания для достаточно большой угловой скорости вращения вала имеет форму весьма близкую к синусоидальной. Значит, что при больших и0 будет только режим скольжения, а режим подхвата будет отсутствовать. При изменении скорости вращения вала от 0 до оо период редакционных автоколебании уменьшается от бесконечного значения до ^ а амплитуда сначала уменьшается, проходит минимум, а затем возрастает. В силу конструктивного демпфирования, автоколебания исчезают при условии и0 > ш*

4. Составлено уравнение движения и уравнение реакции для кулисного механизма строгального станка. Выясняется, что условие парадоксов Пэнлеве никогда ни реализуется ибо требуется слишком большое значение коэффициента трения .В результате приведенного анализа равномерного движения определено, что оптимальным вариантом строгального станка является вариант станка с длиной кулисы, а = 0, б м.