Разработка и исследование математической модели генетического алгоритма для применения в технических системах

Одним из наиболее важных направлений научно-технического прогресса начала XXI века является развитие систем искусственного интеллекта, способных расширить круг решаемых человечеством задач.

Совместно с развитием вычислительно-информационных технологий стало возможным автоматизировать процесс решения технических и экономических вопросов, ранее решаемых вручную. При этом часть таких задач, практически не поддающихся решению классическими методами, решаются системами вычислительного интеллекта, состоящими из следующих направлений:

— нечёткая логика и теория множеств;

— нечеткие экспертные системы;

— системы приближенных вычислений;

— теория хаосафрактальный анализ;

— нелинейные динамические системы;

— гибридные системы (нейронечеткие, генетиконейронные, нечеткогенетические системы);

— нейронные сети;

— эволюционные вычисления.

Из них наиболее перспективным направлением являются эволюционные вычисления, которые подразделяются на эволюционные стратегии [117, 121], эволюционное программирование [88, 90, 91, 92], генетические алгоритмы [102, 103, 104] и генетическое программирование [109, 110]. В свою очередь, из эволюционных вычислений наибольшее распространение получили генетические алгоритмы, способные решать сложные оптимизационные задачи большой размерности.

Основные принципы, положенные в основе генетических алгоритмов, достаточно полно отражены в работах [77, 78, 93, 94, 100, 101, 102]. Среди них можно выделить следующие:

— проблемно-ориентированное кодирование решений в бинарную строку, называемую хромосомой (особью) — работа алгоритма (эволюция) обеспечивается генетической наследственность приспособленных особей путем воздействия на них генетических операторов;

— простота схемы алгоритма, упрощающая адаптацию к конкретным особенностям технических систем;

— возможность интеграции с неэволюционными алгоритмами.

При этом, генетический алгоритм, в его базовой конфигурации, предложенной в работе [100], обладает недостаточно высокой вероятностью нахождения глобального экстремума [83, 98, 119], вследствии известной проблемы «застревания» в локальных оптимумах. Эта проблема в совокупности с высокими временными затратами на решение задач ограничивают применимость генетических алгоритмов в технических системах.

Например, задача оптимального распределения электроэнергии в условиях повышенной нагрузки. В случае выхода из строя трансформаторных подстанций, вследствие износа оборудования, повышается нагрузка на другие подстанции. Требуется быстро найти такой способ подключения потребителей электроэнергии к трансформаторным подстанциям, при котором нагрузка на устаревшее оборудование будет минимальной и без отключения потребителей. В случае задержки с решением этой задачи, или если ответ будет не оптимальным, произойдёт авария. Устаревшие трансформаторы будут не выдерживать долго повышенной нагрузки, и последовательно будут выходить из строя. При этом, стандартный генетический алгоритм находит оптимальное решение только в 75% случаях [70], а в остальных случаях решение близко к оптимальному.

Таким образом, очевидно, что развитие вычислительной техники совместно с развитием систем искусственного интеллекта обусловило автоматизацию решения технических задач с помощью генетических алгоритмов, а с другой стороны отсутствие строгого математического аппарата с полным анализом зависимости эффективности генетических алгоритмов от параметров и различных генетических операторов ограничивает использование их в технических системах.

Для устранения основных недостатков ведутся исследования по созданию математических моделей модификаций генетического алгоритма в следующих направлениях:

— использование нестандартных архитектур генетического поиска;

— использование нестандартных или модифицированных генетических операторов;

— использование нестандартных способов кодирования генотипа.

К нестандартным архитектурам относятся параллельные, многофазовые, многоуровневые, поколенческие архитектуры, а также макроэволюция, регуляция параметров алгоритма и интеграция с другими методами опимизации на уровне архитектуры генетического поиска. Нестандартные способы кодирования включают в себя использование в качестве хромосом вещественных чисел, символов, деревьев и графов, а также хромосом с переменной длиной, диплоидных хромосом.

Параллельные архитектуры являются адаптацией генетического алгоритма для параллельных вычислительных систем [4, 11, 28, 36, 37, 44, 97, 116]. Многофазовые архитектуры это использование различных вариаций генетического алгоритма на различных этапах эволюции и по сути является усложнением базового алгоритма, кратным числу используемых алгоритмов [59]. Многоуровневые [125] и поколенческие архитектуры [37], а так же макроэволюцию [36] целесообразно использовать совместно с параллельной архитектурой на высокопроизводительных параллельных вычислительных системах, в виду многократно возросшей сложности и высоких временных требований таких алгоритмов по сравнению с базовым генетических алгоритмом. Однако эти алгоритмы имеют высокое преимущество перед базовым, в области специфических задач. Интеграция с классическими методами оптимизации сужает круг решаемых задач, из-за дополнительных требований классических методов к поверхности целевой функции, таких как дифференцируемость, непрерывность и т. д. [32].

Таким образом, перспективной архитектурой генетического поиска, является регуляция вероятностей параметров алгоритма, например вероятностей применения генетических операторов (кроссинговера, мутации, инверсии) [53, 54], а актуальной задачей, является повышение вероятности нахождения глобального экстремума генетическим алгоритмом с помощью регуляции вероятностей генетических операторов.

Исследования нестандартных и модифицированных генетических операторов в основном направлены на увеличение вероятности выхода из локальных экстремумов. При этом, разработанные генетические операторы в большинстве своём универсальны, и могут быть использованы и в других конфигурациях генетического алгоритма. Исключения составляют генетические операторы, адаптированные на использование нестандартных способов кодирования генетической информации, в основном, разрабатывающихся для описания фенотипа узкого круга специфических задач. Как правило, использование нестандартных способов кодирования увеличивает вероятность нахождения глобального экстремума только для тех типов задач, для которых они разрабатывались.

Большое разнообразие различных модификаций генетического алгоритма и отсутствие их сравнительных оценок эффективности затрудняет выбор алгоритма для применения в конкретной технической системе. Таким образом, возникает необходимость решения задачи получения сравнительных оценок эффективности модификаций генетических алгоритмов. Для решения этой задачи в работе предлагается методика сравнения генетических алгоритмов и разработанный на основе её программный комплекс.

Объектом диссертационного исследования являются генетические алгоритмы, применяемые при решении задач глобальной оптимизации в технических и экономических системах.

Предметом диссертационных исследований являются математические модели генетических алгоритмов и генетических операторов.

Целью диссертационного исследования является повышение эффективности достижения оптимумов генетическими алгоритмами без увеличения времени, затрачиваемого на эволюцию.

Научная задача исследований состоит в разработке математических моделей генетических алгоритмов для повышения вероятности нахождения глобальных экстремумов.

Для решения поставленной общей научной задачи проведена её декомпозиция на ряд следующих частных задач.

1. Разработка и анализ математической модели процессов сходимости к глобальному экстремуму целевой функции и выхода из локальных экстремумов.

2. Разработка способа регуляции вероятностей генетических операторов для увеличения вероятности нахождения глобального экстремума.

3. Разработка математической модели оператора мутации с равномерным распределением потомков, для повышения вероятности выхода из локальн8[ оптимумов.

4. Проведение экспериментальных исследований и получение сравнительных оценок надежности разработанных и простого генетического алгоритмов.

Методы исследований. Для решения поставленной в диссертационной работе научной задачи использованы методы теории вероятностей, основы и теории случайных процессов, теории выживания особей генетических алгоритмов, базирующейся на теореме Холланда.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов и формируемых на их основе выводов обеспечиваются строгостью и корректностью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате теории вероятностей и теории выживания особей в генетических алгоритмах, схожими результатами проводимых экспериментов в данной области, разработкой действующего программного комплекса, на который получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2 006 611 765. Справедливость выводов относительно эффективности подтверждается строгостью методики оценки и практическими опытами.

Работа состоит из четырех глав и приложений.

В первой главе проведен анализ существующих модификаций генетических алгоритмов. Показаны их достоинства и недостатки. Проведен анализ применимости генетических алгоритмов и их модификаций в технических системах, который показал недостаточную надежность нахождения глобального экстремума в задачах оптимизации в ситуации, когда необходимо получить максимально хорошее решение за ограниченное время, как, например, в задаче оптимального распределения электроэнергии в условиях повышенной нагрузки, в которой рассматривается ситуация выхода из строя трансформаторных подстанций повышения нагрузки на другие подстанции. Требуется быстро найти такой способ подключения потребителей электроэнергии к трансформаторным подстанциям, при котором нагрузка на устаревшее оборудование будет минимальной.

Проведенный анализ основных направлений повышения эффективности генетических алгоритмов показал, что наиболее перспективными являются:

1. Анализ зависимости эффективности генетических алгоритмов от генетических операторов, способов кодирования генотипа и других параметров алгоритма.

2. Анализ возможных схем интеграции генетических алгоритмов с другими методами оптимизации.

Первое направление анализа генетических алгоритмов выбрано в качестве приоритетного, т.к. второе направление — интеграция генетических алгоритмов с другими методами оптимизации — значительно усложняет его реализацию и полученный таким способом алгоритм будет обладать недостатками интегрированного в него метода оптимизации. Такие алгоритмы имеют высокую эффективность в ограниченном круге оптимизационных задач, т.к. повышаются требования к целевой функции.

Генетические операторы являются основной составляющей генетического алгоритма. Надёжность нахождения глобального экстремума полностью определяется эффективностью генетических операторов. Скорость алгоритма зависит от значений параметров генетических операторов. В простом генетическом алгоритме такие параметры, как вероятность кроссинговера, вероятность мутации и вероятность инверсии на протяжении всей эволюции остаются статичными. В настоящее время существует несколько способов регуляции этих параметров, например генетический алгоритм с элементами саморегуляции и двухуровневый генетический алгоритм. Эти алгоритмы имеют значительную сложность в реализации. Кроме того, двухуровневый генетических алгоритм имеет высокие требования к вычислительным ресурсам и выигрывает в скорости только при реализации на параллельных архитектурах.

В связи с вышеизложенным задача исследований формулируется следующим образом: требуется разработать математическую модель генетического алгоритма с регуляцией вероятностей генетических операторов и модифицированными генетическими операторами, имеющего надежность нахождения глобального экстремума целевой функцию выше надежности простого генетического алгоритма без потерь в скорости.

Во второй главе проводится анализ теоремы Холланда о выживаемости особей генетического алгоритма. В генетическом алгоритме после фазы первичной кластеризации одновременно протекают два процесса: спуск к лучшему из найденных в фазе кластеризации экстремуму целевой функции и поиск других, более выгодных экстремумов. Спуск к экстремуму обеспечивает оператор кроссинговера, а поиск новых экстремумов и обновление генетического материала обеспечивает оператор мутации. Скорость спуска к экстремуму определяет скорость алгоритма, а от качества поиска новых экстремумов зависит надежность нахождения глобального экстремума.

Для решения первой частной задачи введены следующие определения:

— доминирующий шаблон, это шаблон, у которого среднее значение приспособленности особей, представленных в популяции в текущий момент времени, максимально;

— экстремальный шаблон, это шаблон, множеству которого принадлежит генотип экстремума целевой функции;

— глобально-экстремальный шаблон, это шаблон, множеству которого принадлежит генотип глобального экстремума.

На основе теоремы Холланда [100], описывающей динамику численности особей шаблона, с учётов введенных определений, в главе описана математическая модель повышения порядка доминирующего шаблона, с учётом особей, перешедших в рассматриваемый шаблон из других шаблонов, более низкого порядка, число которых значительно при высоких значениях вероятности мутации. Так же в предложенной модели учтен факт ограниченности популяции, чего нет в классической теории. При анализе модели были сделаны выводы об оптимальных значениях вероятностей генетических операторов на различных этапах эволюции. На начальном этапе, когда идет обработка случайного генетического материала, сгенерированного при инициализации, и далее, когда доминирующие шаблоны уже выделены, но имеют низкий порядок, оптимальными являются вероятность кроссинговера, равная 1, и вероятность мутации, равная 0. При достижении локального оптимума, когда доминирующий шаблон имеет высокий порядок, оптимальными являются максимальное значение вероятности мутации (для различных типов оператора лежит в пределах от 0,5 до 1) и вероятность кроссинговера в пределах от 0 до 0,5. Таким образом решена первая частная задача.

Для решения второй частной задачи в главе рассматривается процесс выхода генетического алгоритма из локального экстремума. При традиционно высоких значениях вероятности кроссинговера и низких значениях вероятности мутации численность особей доминирующего шаблона возрастает до максимума. Особи, фенотип которых соответствует найденному локальному экстремуму, начинают заполнять своими точными копиями всю популяцию. В результате имеется вырожденная популяция.

В такой ситуации, по выводам, сделанным при решении первой частной задачи, предлагается снизить вероятность кроссинговера, т.к. он уже не может разнообразить генетический материал, а вероятность мутации предлагается увеличить до максимума, чтобы обновить вырожденную популяцию новым генетическим материалом.

Определить степень вырожденности популяции возможно точным методом, вычислив по каждому локусу хромосомы среднеквадратичную разность битов особей по всей популяции. В работе был использован более простой, с точки зрения простоты реализации и требующий меньшего числа вычислений, способ определения степени вырожденности популяции заключается в анализе числа эпох, прошедший без изменения наилучшей приспособленности.

В работе предлагается способ регуляции вероятностей генетических операторов, в котором, вероятности генетических операторов на каждой эпохе вычисляется линейно по числу эпох, прошедших без изменения наилучшей приспособленности, отнесенному к критерию останова алгоритма — максимальному числу эпох без изменения наилучшей приспособленности.

В ситуации, когда наилучшая приспособленность изменяется на каждой эпохе значения вероятностей будут близки к традиционным и обеспечивают максимальную скорость обработки генетического материала оператором кроссинговера. Вероятность мутации в этот момент равна 0. В случае, когда генетический алгоритм «застрянет» в локальном экстремуме, счетчик эпох без изменения наилучшей приспособленности начинает расти, понижая скорость вырождения популяции, и одновременно увеличивает приток нового генетического материала от оператора мутации, что увеличивает шансы выхода из локального экстремума. Таким образом, решена вторая частная задача.

В третьей главе проанализировано распределение потомков стандартного оператора мутации и делается вывод о степени его расхождения с равномерным распределением в зависимости от вероятности мутации. Наибольшая эффективность оператора достигается при вероятности 0,5, что объясняется тем, что при дальнейшем увеличении вероятности мутации наиболее вероятным потомком становится особь, являющаяся инвертированной копией особи на входе мутации, т. е. все биты которой противоположны битам исходной особи. Неравномерность распределения потомков приводит к тому, что вырожденная популяция не может выйти из локального экстремума, т.к. мутация выдает одни и те же особи.

Для решения третьей частной задачи, в работе предлагается использовать оператор мутации с равномерным распределением потомков, который позволяет выйти из локального экстремума при вырожденной популяции. Оператор реализует вероятностный алгоритм, который принимает на вход исходную особь и число эпох без изменения наилучшей приспособленности, и производит потомка. Процесс производства потомка состоит из двух этапов: выбор направления мутации и выбор расстояния мутации. Выбор направления мутации происходит путём выбора из пространства определения целевой функции случайного вектора. За расстояние мутации принимается случайное число, равномерно распределённое на интервале от 0 до значения расстояния мутации. За функцию расстояния мутации принимается линейная зависимость числа эпох без изменения наилучшей приспособленности, умноженная на коэффициент, вычисляемый на этапе проектирования генетического алгоритма в зависимости от параметров кодирования генотипа. После того, как направление мутации и расстояние мутации получены, рассчитывается потомок как сумма исходной особи и вектора направления мутации, умноженного на расстояние мутации.

Оператор мутации с равномерным распределением потомков осуществляет равномерный поиск по всему пространству допустимых особей при росте счетчика эпох без изменения наилучшей приспособленности, что увеличивает вероятность выхода из локального экстремума. Таким образом решается третья частная задача.

Далее, в главе рассмотрены особенности применения генетических алгоритмов с регуляцией вероятностью генетических алгоритмов и мутацией с равномерным распределением потомков. Описана реализация предложенного в работе алгоритма применительно к оптимизации многомерных аналитических функций. Описаны реализации предложенных математических моделей и способа регуляции вероятностей в двух генетических алгоритмах с регуляцией вероятностей и мутацией с равномерным распределением потомков. Один с двухточечным кроссинговером, а второй со стандартным. По результатам тестирования, проведенном в четвертой главе, вариация алгоритма с двухточечным кроссинговером показала более лучшие результаты. Описана реализация эволюционного алгоритма с мутацией с равномерным распределением потомков применительно к задаче распределения ресурсов энергосистемы. Предложена реализация генетического алгоритма с регуляцией вероятностей генетических операторов применительно к задаче упаковки в контейнеры.

В четвертой главе решена четвертая частая задача, а именно разработана методика сравнения генетических алгоритмов, согласно которой выполняются следующие операции:

1. Определить множество тестируемых алгоритмов.

2. Определить множество тестовых задач.

3. Выбрать общие параметры тестируемых алгоритмов для каждой тестовой функции (Для генетических алгоритмов это вероятности генетических операторов, размер популяции, способ кодирования, длина хромосомы). Выбрать требуемую точность решений и объем испытаний К.

4. Из множества тестируемых алгоритмов выбрать базовый алгоритм, относительно которого будут вычисляться оценки эффективности тестируемых алгоритмов.

5. Для каждой тестовой функции последовательно К раз испытывается каждый тестируемый алгоритм путём нахождения глобального экстремума. При этом вычисляются следующие характеристики: количество испытаний, в которых у'-й алгоритм нашёл глобальный экстремум /'-й тестовой функции и среднее число вычислений целевой функции в процессе поиска.

5. Для каждого тестируемого алгоритма вычисляется итоговая оценка надежности суммирований произведений полученных оценок на коэффициент сложности по всем тестовых функциям.

6. Строится таблица тестируемых алгоритмов и их полученных характеристик.

В работе приводится описание разработанного программного комплекса для применения предлагаемой методики. Комплекс состоит из основной части и подключаемых модулей двух типов: первый тип — это модули, реализующие тестируемые алгоритмы, второй тип — модули, реализующие тестовые задачи различного типа.

Четвертая частная задача решена с помощью указанного программного комплекса. Получены сравнительные оценки надёжности нахождения глобального экстремума для различных модификаций генетических алгоритмов, в том числе и разработанных в диссертационной работе. В качестве тестовых выбран набор сложных многомерных (2, 5 и 10 мерных) функций Де Йонга, Растригина, Гриенвонка. Так же в набор тестовых функции включены задача распределения ресурсов и задача одномерной упаковки.

Научная новизна исследований заключается в следующем:

1. Разработана математическая модель генетического алгоритма, описывающая процессы, происходящие на различных этапах генетического поиска, в том числе и процесс сходимости к экстремуму целевой функции и процесс выхода из локального экстремума.

2. Разработан новый способ регуляции вероятностей генетических операторов, эффективность которого подтверждена теоретически и экспериментально.

3. Разработан оператор мутации с равномерным распределением потомков и описаны варианты его реализации, как для генетического алгоритма, так и для эволюционного поиска. Эффективность разработанного оператора подтверждена теоретически и экспериментально.

4. Разработана методика тестирования генетических алгоритмов. Создан программный комплекс для статистического анализа результатов решения набора тестовых оптимизационных задач наиболее распространенными модификациями генетического алгоритма, включая предложенные в работе. Получены оценки эффективности для простого генетического алгоритма и ряда его модификаций.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработанная математическая модель генетического алгоритма может использоваться при исследовании поведения алгоритма в фазе инициализации, в фазе спуска к экстремуму и в фазе выхода из локального экстремума целевой функции.

2. Разработанный способ регуляции вероятностей генетических операторов может применяться в технических и экономических системах, использующих генетические алгоритмы.

3. Разработанный оператор мутации с равномерным распределением потомков может использоваться при решении оптимизационных задач с повышенными требованиями к вероятности нахождения глобального экстремума, в частности задачи распределения ресурсов и задачи упаковки.

4. Разработанная методика тестирования генетических алгоритмов и разработанный на её основе программный комплекс может применяться при проектировании вычислительных комплексов, использующих генетические алгоритмы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработанный способ регуляции вероятностей генетических операторов позволяет увеличить вероятность нахождения глобального экстремума без потерь в скорости.

2. Разработанный оператор мутации с равномерным распределением потомков позволяет увеличить вероятность выхода из локальных экстремумов.

3. Разработанные генетические алгоритмы с регуляцией вероятностей генетических операторов и мутацией с равномерным распределением потомков, а так же их варианты с различными способами кодирования генотипа, позволяют увеличить надежность нахождения глобального экстремума в задачах оптимального распределения ресурсов и упаковки в контейнеры.

4. Разработанная методика тестирования генетических алгоритмов и разработанный на её основе программный комплекс позволяют получить сравнительные оценки существующих вариантов генетических алгоритмов и сделать выбор наиболее эффективного алгоритма применительно к конкретной технической системе.

Личный вклад автора. Лично автору принадлежат разработка математической модели генетического алгоритма, описывающей процессы, происходящие на различных этапах генетического поиска, разработка способа регуляции вероятностей генетических операторов, разработка оператора мутации с равномерным распределением потомков, разработка методики тестирования генетических алгоритмов и разработка программного комплекса на основе этой методики.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на VI Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2004), I Международной научно-технической конференции.

Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании" (Ставрополь, 2004), II Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2006), VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2005), IX региональной научно-технической конференции «Вузовская наука — СевероКавказскому региону» (Ставрополь, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных трудов в том числе 6 статей в периодических научных изданиях- 10 публикаций в форме докладов на конференциях- 2 статьи опубликованы в журнале «Искусственный интеллект», входящем в перечень ВАК Украины- 1 статья опубликована в журнале «Системы управления и информационные технологии», входящем в перечень, рекомендованных ВАК РФ для публикации докторских диссертационных работ;

ВЫВОДЫ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ.

1. Разработана методика тестирования генетических алгоритмов. В указанной методике возможно использование трёх критериев: скорости, надёжности и комплексного критерия эффективности по отношению к простому генетическому алгоритму.

2. Для тестирования методики тестирования генетических алгоритмов были выбраны девять задач, различной сложности и размерности. Семь из которых составляют распространённые аналитические функции, часто использующиеся для тестирования генетических алгоритмов, а две другие задачи это задача распределения ресурсов и задача упаковки в контейнеры. В качестве набора тестируемых алгоритмов отобраны двадцать две модификации простого генетического алгоритма, сходные по архитектуре, сложности реализации и потреблению ресурсов ЭВМ.

3. По методике тестирования генетических алгоритмов разработан и описан программный комплекс, основанный на принципе модульности отдельных компонент. Пользователи имеют возможность программировать свои модули тестируемых алгоритмов и модулей тестовых задач.

4. Самое высокое значение вероятности нахождения глобального экстремума среди протестированных алгоритмов у генетического алгоритма с двухточечным кроссинговером, регуляцией вероятностей генетических операторов и с мутацией с равномерным распределением потомков. Этот алгоритм надежнее простого генетического алгоритма на 13%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе решена актуальная задача, заключающаяся в разработке математической модели генетического алгоритма с регуляцией вероятностей генетических операторов и модифицированными генетическими операторами имеющего надежность нахождения глобального экстремума целевой функцию выше надежности простого генетического алгоритма без потерь в скорости. Основные результаты работы следующие:

1. Проведен анализ основных параметров простого генетического алгоритма и его модификаций и их применимость в технических системах, показаны основные направления повышения эффективности этих алгоритмов.

2. Разработана математическая модель генетического алгоритма, описывающая процессы, происходящие на различных этапах генетического поиска.

3. Разработан новый способ регуляции вероятностей применения генетических операторов, эффективность которого подтверждена теоретически и экспериментально.

4. Выявлен недостаток стандартного оператора мутации, заключающийся в неравномерности распределения потомков. Для его устранения предложен оператор мутации с равномерным распределением потомков и описаны варианты его реализации, как для генетического алгоритма, так и для эволюционного поиска. Эффективность оператора мутации подтверждена теоретически и экспериментально.

5. Разработана методика тестирования генетических алгоритмов, на основе которой создан программный комплекс для статистического анализа результатов решения набора тестовых оптимизационных задач модификациями генетического алгоритма, включая предложенные. Получены оценки надежности нахождения глобального экстремума для простого генетического алгоритма и ряда его модификаций.