Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Группы с нильпотентным коммутантом

Диссертация: Группы с нильпотентным коммутантом
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопросы упорядочиваемости групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороко-' вых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А. И. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Предварительные сведения
    • 1. 1. Общие понятия
    • 1. 2. Примитивные элементы и примитивная ширина группы
    • 1. 3. Упорядочиваемые группы
  • Глава 2. Примитивная ширина относительно свободных групп
    • 2. 1. Вспомогательные результаты.2С
    • 2. 2. Оценки примитивной ширины групп из многообразий тд
    • 2. 2. Оценки примитивной ширины групп из многообразий Шк
  • Глава 3. Доупорядочиваемость групп без Г-кручения из многообразия П
    • 3. 1. Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов Епс1(С, Л)
    • 3. 2. Основной результат
  • Глава 4. Пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения с двуступенно нильпотентным коммутантом

Группы с нильпотентным коммутантом (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертация посвящена исследованию свойств групп с пиль-потентным коммутантом и групп, являющихся расширениями абелевых групп с помощью нильпотентных. При этом рассматриваются вопросы оценки примитивной ширины свободных групп многообразий с G N, и ШЛд., к? N, и вопросы упорядочиваемости и доупорядочиваемости групп с ниль-потентным коммутантом.

Понятие примитивной ширины свободной в некотором многообразии группы было введено В. А. Романьковым в связи с проблемой автоморфной сопряженности элементов группы. Эта проблема связана с более широкой проблемой строения групп автоморфизмов относительно свободных групп, исследование которой нашло отражение в ¡-заботах С. Андреадакиса, С. Ба-хмута, P.M. Брайента, К. Гупты, Н. Гупты, О. Н. Мацедонской, Ф. Левина, В. А. Романькова, В. Шпильрайна и др. (см. [22, 24, 25, 27, 30, 37, 38]). Ученицей В. А. Романькова Е.Г. Смирновой были получены оценки примитивной ширины свободных абелевых и метабелевых групп (см. [3G]).

В диссертации по оценке примитивной ширины были получены следующие результаты. Примитивная ширина свободных нильпотентных нециклических групп равна 2 (следствие 2.2), примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий с е М, не превышает четырех, а примитивная ширина свободных двухпорожденных групп таких многообразии равна трем (следствие 2.3). Примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий 2101а-, к Е М, ограничена сверху числом 2 и, примитивная ширина свободных групп ранга? > 2 многообразия 2102 ограничена сверху числом п + 1 (теорема 2.4). Также получены оценки примитивной ширины свободных по-линильпотентных групп многообразий с, Л: Е N (следствие 2.4).

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопросы упорядочиваемости групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороко-' вых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А. И. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры упорядоченных групп в терминах выпуклых подгрупп. В тоже время А. И. Мальцев и Б. Нейман доказали, что упорядоченные группы вкладываются в упорядоченные поля частных. С тех пор теория упорядочиваемых групп привлекает к себе большое внимание и развивается быстрыми темпами. Особый вклад в развитие теории линейно упорядоченных групп внесли А. И. Кокорин, Д. М. Смирнов, В. М. Копытов, В. В. Блудов, Н. Я. Медведев, А. Гласс, А. Ремтулла и другие.

Одной из основных задач теории упорядочиваемых групп является изучение взаимосвязи между свойствами упорядочиваемости и теоретико-групповыми условиями, такими как нильпотентность, разрешимость, конечность ранга и т. д. В этом направлении были получены результаты об упорядочиваемости нильпотентных, метабелевых, центрально-метабелевых и других классов групп (см. [8, 35]). Одним из важных направлении в исследованиях по теории упорядочиваемых групп является изучение роли нильпотентности и ее обобщений (центральные системы выпуклых подгрупп, энгелевость и др.). С.А. Гурчен-ков (см. [4]) доказал теорему о вложении линейно упорядоченных групп в линейно упорядочение группы с полной нормальной локально нильпотентной подгруппой. U.K. Ким и А.Х. Рем-тулла (см. [32]), основываясь на работе Н. Я. Медведева (см. [19]), доказали нильпотентность ограниченно энгелевых линейно упорядоченных групп. Отметим также работы В.М. Копы-това и Н. Я. Медведева (см. [9]), В. В. Блудова, A.M.У. Гласса и А. Х. Ремтуллы (см. [26]), в которых изучались линейно упорядоченные группы с центральной системой выпуклых подгрупп.

• В диссертации исследуется вопрос об упорядочиваемости и доуиорядочиваемости групп без Г-кручения из многообразий 0Тс21П2Шь с, к 6 N. Известно, что если некоторое многообразие Ш раскладывается в произведение двух нетривиальных многообразий: ЯЯ = 9Я • Ш?2 н при этом многообразие содержит некоммутативные группы, то нециклические свободные группы многообразия Ш недоупорядочиваемы (В.Н. Ремесленников, см. теорему 1.22). Тем самым нециклические свободные группы многообразий с > 1, недоупорядочиваемы. Будут ли доупорядочиваемы свободные группы многообразий к > 1, пока неизвестно. Отметим, что до настоящего времени было известно только два примера многообразии, чьи свободные группы доупорядочиваемы, — это многообразия нильпотентных групп любой заданной ступени нильпотентности (А.И. Мальцев, см. теорему 1.17) и многообразие метабе-левых групп (В.М. Кокорип, см. теорему 1.18). Поскольку пересечение многообразий 2191k и 9ТС21 содержит как многообразие метабелевых, и так и нильпотентных групп, то естественно возникли вопросы об упорядочиваемости и доупорядочива-емости групп без Г-кручения из этого многообразия. Этот вопрос решен в диссертации положительно: доказана доупорядо-чиваемость групп без Г-кручения из многообразий 01С21П2101^., с, к е N (теорема 3.2).

Отсутствие в группе Г-кручения является необходимым, а для некоторых классов групп (метабелевые, центрально-метабе-левые группы, (локально) нильпотентные группы) и достаточным условием упорядочиваемости группы. То, что это условие недостаточно в общем случае, показали примеры, построенные В. В. Блудовым и А. Ремтуллой (см. параграф 1.3). Вопрос о достаточности отсутствия Г-кручения для упорядочиваемости групп с нильпотентным коммутантом (групп из многооразий О? с21, с Е N) до сих пор оставался открытым. Многообразие центрально-метабелевых групп, для которых рассматриваемое условие является критерием упорядочиваемости, включается в каждое из многообразий с > 2, при этом ни одного примера неупорядочиваемой группы из этих многообразий без Г-кручения известно не было. В 1977 году А. Ремтулла доказал, что всякая группа конечного ранга с нильпотентным коммутантом без Г-кручения упорядочиваема (см. теорему 1.23). В диссертации показано, что для бесконечного ранга это неверно: построен пример неупорядочиваемой группы с двуступенно нильпотентным коммутантом без Г-кручения.

Обе темы исследований — примитивная ширина относительно свободных групп и вопросы упорядочиваемости групп — связаны единым объектом исследований, в основном, это группы с нильпотентным коммутантом, а также единой методикой исследований, вычислением коммутаторных соотношений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказано, что для любого многообразия групп 11 свободные группы одинаковых рангов многообразий 97Д1, с Е N, и 2Ш имеют одинаковую примитивную ширину.

2. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических групп многообразий 9ТС21, с Е N. Вычислена примитивная ширина свободных групп ранга 2 многообразий тс%, с Е N.

3. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических конечнопорожденных групп многообразий 2191а-и ОТеОТь с Е N, k Е N.

4. Доказано, что отсутствие Г-кручения является необходимым и достаточным условием доупорядочиваемости группы из многообразий 2107аГ)97с21, с, к Е N.

5. Построен пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения, коммутант которой двуступенно нильпотентен.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В. Пример неупорядочпваемой грушш со строго изолированной единицей // Алгебра и логика. — 1972. — 11, № G. С. C19-G32.
  2. В.В., Лапшина Е. С. Вопросы упорядочения групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. «Алгебра и ее приложения», 5−9 авг. 2002 г. — Красноярск, 2002. С. 19−20.
  3. В.В., Лапшина Е. С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Снб. мат. жур. — 2003. — Т. 44, ^ 3. С. 1−8.
  4. С.А. О пополнении инвариантных локально нильпотентных подгрупп линейно упорядоченных групп // Матем. заметки. 1992.- 51, jV 2. — С. 35−39.
  5. М. П., Мерзляков Ю. II. Основы теории групп AL: Наука, 1982. — 288 с.
  6. G. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. — М: Наука, 1974. — 455 с.
  7. А.И. К теории доупорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 19G3. — 2, jVG. — С. 15−20.
  8. А.II., Копытов B.AI. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972. — 200 с.
  9. D.M., Медведей Н. Я. О линейно упорядоченных группах, система выпуклых подгрупп которых центральна // Матем. заметки. 1976. — 19, jV 1. — С. 85−90.
  10. А.Г. Теория групп. М.: Наука, 19G7. — 648 с.
  11. Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Вестн. Ирк. ун-та. Специальный выпуск: Материалы ежегодн. научн.-теор. конф. молодых ученых. Иркутск: ИГУ, 2001. — С. 79.
  12. Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Тез. докл. межд. сем. по теории групп, посвященного 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина, 17−21 дек. 2001 г. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. С. 128−129.
  13. Е.С. О примитивной ширине относительно свободных групп // «Чебышевский сборник»: Труды V Межд. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003. — Т. IV, Вып. 1(5). С. 94−100.
  14. Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. «Алгебра, логика и кибернетика», 25−28 авг. 2004 г. Иркутск, 2004. — С. 64−65.1G. Линдон P., Шуип П. Комбинаторная теория групп. — М: Мир, 1980. 448 с.
  15. А.И. Ннльпотеитные полугруппы. Избранные труды. М.: Наука, 1976. — Т. I — С. 335−339.
  16. А.II. О доупорядочешш групп // Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1951. 38 — С. 173−175.
  17. А1едведев Н. Я. Об о-анирокснмируемости ограниченно эн-гелевых ¿-'-групп // Алгебра и логика. —1988.— 27. — С. 418−421.
  18. X. Многообразия групп. — М.: Мир, 1969. — 264 с.
  19. В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. — 1982. — 21, jV9 1. — С. 60−72.
  20. В.А. Примитивные элементы свободных групп ранга 3 // Математический сборник. — 1992. — 182, Х°-7. — С. 1074−1085.
  21. М. Теория групп. М: Изд. Иностр. лит., 1962.- 468 с.
  22. Andreadakis S. On the automorphisms of free groups and free nilpotent groups // Proc. London Math. Soc. — 1965. — 15, jV3. P. 239 — 268.
  23. Bryant R.M., Macedonska 0. Automorphisms of relatively free nilpotent groups of infinite rank //J. Algebra. — 1989. — 121, jVs 2. P. 388−398.
  24. Chehata C.G. On a theorem on ordered groups // Proc. Glasgow. Math. Assoc., 1958. 4. — P. 16−21.
  25. Glass A.M.W. Partially ordered groups. Series in algebra, World Scientific Po. Co., Singapore, 1999. 7.
  26. Gupta C.K., Levin F. Tame range of authomorphism groups of free polynilpotent groups // Comm. Algebra. — 1991.— 19. P. 2497−2500.
  27. Gupta N.D., Rhemtulla A.H. On ordered gpoups // Algebra Universalis. 1971. — 1. — P. 129−132.
  28. Y.K. Kim and A.H. Rhemtulla. Orderable groups satisfying an Engel condition. Ordered Algebraic Structures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993. — P. 73−79.
  29. Longobardi P., Maj M. and Rhemtulla A. On Solvable Regroups. (To appear).
  30. Mura R., Rhemtulla A.H. Solvable R*-groups. // Math. Z. -1975. -142. P. 293−298.
  31. Shpilrain V. Allelomorphisms of F/R' groups // Internat. J. Algebra Comput. 1991. — 1. — P. 177−184.
  32. Shpilrain V. Non-commutative determinants and automorphisms of groups. // Comm. Algebra. — 1997. — 25. — P. 559−574.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!