Турбулентность и сингулярности в нелинейных волновых системах

3.3.2 Численный эксперимент.129.

3.3.3 Заключение.134.

3.4 Неустойчивость и самофокусировка солитонов в сдвиговом потоке .134.

3.4.1 Предыстория.135.

3.4.2 Модель .136.

3.4.3 Солитоны и их свойства.139.

3.4.4 Неустойчивость одномерного солитона.144.

3.4.5 Коллапс.146.

3.4.6 О пороге коллапса.148.

3.4.7 Численный эксперимент.149.

3.4.8 Ремарки.152.

Слабая волновая турбулентность волн на поверхности жидкости 167.

4.1 Введение.168.

Л 4.2 Резонансные взаимодействия волн на дискретной сетке. 173.

4.2.1 Капиллярные волны.175.

4.2.2 Гравитационные волны .183.

4.3 Колмогоровские спектры в турбулентности гравитационных волн.191.

4.3.1 Введение. Решения кинетического уравнения.192.

4.3.2 Численное моделирование.195.

4.3.3 Заключение.200.

Заключение

201.

Приложения 204.

1 Стационарные волны.204.

2 Гамильтониан 4-го и 5-го порядков.206.

3 Элементы диаграммной техники.210.

4 5-ти волновые диаграммы.213.

5 Численная схема моделирования гравитационных и капиллярных поверхностных волн.224.

5.1 Построение численной схемы.225.

5.2 Выбор шага по времени.227.

5.3 Обобщение численной схемы.229.

5.4 Заключение.230.

6 Дискретная вариация Гамильтониана.230.

Литература

232.

Публикации автора по теме диссертации 243.

Список иллюстраций.

1.1 Развитие модуляционной неустойчивости: Фурье-спектр R (k) в различные моменты времени. 57.

1.2 Поверхность жидкости в начальный момент времени. 57.

1.3 Поверхность жидкости в момент времени t = 80. 59.

1.4 Пространственная плотность кинетической энергии в момент времени t = 80. 60.

1.5 Пространственная плотность потенциальной энергии в момент времени t = 80. 60.

1.6 Пространственная плотность полной энергии в момент времени t = 80. 61.

1.7 Форма поверхности жидкости при Т = 422. 63 щ.

1.8 Форма поверхности жидкости при Т = 458.56. 64.

1.9 Форма поверхности жидкости вблизи гребня волны при Т = 458,61. 64.

1.10 Увеличенное изображение формы поверхности жидкости вблизи гребня волны при Т = 458.842. 65.

1.11 Кривизна поверхности при Т = 458.842. 65.

1.12 Плотность кинетической енергии перед опрокидыванием при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при.

Т = 458.5 (сплошная линия). 66.

1.13 пространственная плотность горизонтального импульса перед опрокидыванием при Т = 456 (пунктирная линия), и в момент опрокидывания при Т = 458.5 (сплошная линия). 67.

3.1 Полная энергия системы как функция времени для различных значений коэффициента д («один в три» процесс).114.

3.2 l^itl2, усреднённый проинтервалу времени 100. Изображены отдельно спектры для положительных и отрицательных к. Прямая линия соответствует степенному спектру 0А5к~%. ... 115.

3.3 Фрагменты эволюции решения уравнения itpt + Фхх + ФФ — 0 с параметрами фо = 1, L = 60- время t равно 17,4 (а), 365,4 б) и 730,8 (в).123.

3.4 Фрагменты эволюции решения уравнения гфъ + фхх + |" 0|2[(1 + 0.1|^|2)/(1 + 0.5|^|2)]^ = 0 с параметрами ф0 = 1, L = 40- время t равно 52,2 (а), 765,4 (б).154.

3.5 Фрагменты эволюции решения уравнения г^ + фхх + фуу + фъф = 0 с параметрами ф0 — 1, L = 37,7- а -1 = 13, фтах2 =.

33,2- б — 1 = 277, фтах2 = 63,9- в — 1 = 2681, фтах2 = 137,3. 155.

3.6 a, b, c) Корреляционные функции в раличные времена: — • — t = 32,—-t = 55, • • • t = 92, сплошная t = 127- d) полное число волн N и число волн в конденсате No.156.

3.7 а) Линии уровня спектра п{кх, ку) усреднённого по времени t = (119 -J-127), b) «Срезы» спектра по разным напрвлениям в^{-пространстве:} — • — кх = 0,—-ку = 0, • • • кх = —ку, сплошная кх = ку.157.

3.8 Профили |Ф| (сплошная), ИеФ (пунктирная) 1тФ (точечная), взятые вдоль диагонали и вдоль границ области моделирования, t = 135.7.158.

3.9 Эволюция на большие времена при умеренной накачке: а) полное число квантов N и число квантов в конденсате Nq, b) отношение квадрата числа квантов к Гамильтониану, с) гистограмма внеконденсатных флуктуаций, d) параметр нелинейности.

Я4/#2 = I ФА dxdy/2 J | V^|2 dxdy.159.

3.10 а) Начальная стадия эволюции при большой накачке: полное число частиц N и число квантов в конденсате Nq, b) пространственная зависимость ф (х, 7г)|2 при t = 42.4.159.

3.11 Профили |Ф| (сплошная), Re Ф (пунктирная) и 1тФ (точечная) вдоль диагонали и вдоль границ области, t = 45.4. 160.

3.12 Зависимость максимума амплитуды от времени в режиме коллапса, Я < 0.161.

3.13 Зависимость максимума скорости от времени в режиме коллапса 162.

3.14 Линии уровня и (х, у) при t = 45 в режиме коллапса. Изображены контуры от -10,0 до 0,8. Интервал — 0,9.163.

3.15 Зависимость и (х, 0) при t = 45.164.

3.16 Эволюция Гамильтониана в режиме коллапса. Гамильтониан уменьшается из-за излучения волн.165.

3.17 Эволюция и (х, у) (линии уровня) с начальными условиями в * виде возмущенной периодической волны (3.49). Видно развитие неустойчивости.166.

4.1 Резонансное множество для ко = 68.176.

4.2 Фрагмент резонансной кривой. Хорошо видна разная расстройка для разных узлов сетки.178.

4.3 Эволюция различных гармоник при распадающейся волне ко = (00,68). 178.

4.4 Резонансные гармоники начинают расти. Момент времени t=1.4.179.

4.5 Начинаются вторичные процессы распада. Момент времени t=ll.180.

4.6 Линии уровня поверхности ак2. Хорошо видны вторичные м распады. Момент времени t=14.181.

4.7 Поверхность |а&-|2 в момент времени t—57.182.

4.8 Резонансная кривая для ко = (0- 30).184.

4.9 Фрагмент резонансной кривой. Хорошо заметна разная расстройка для разных узлов сетки.185.

4.10 Рост гармоник как функция времени. Видно, что есть резонансные и не резонансные гармоники.185.

4.11 Начало роста гармоник при ко = (0- 30).186.

4.12 Начало роста гармоник. Линии уровня а² = 1.5 х Ю-18... 187.

4.13 Продолжение роста гармоник.187.

4.14 Продолжение роста гармоник. Линии уровня а² = 1.5 х Ю-18.188.

4.15 Начальная волна окружена порожденными вторичными распадами волн гармониками.188.

4.16 Начальная волна окружена порожденными вторичными распадами гармониками. Линии уровня |а^|2 = 1.5×10~18.189.

4.17 Рост гармоник в случае начальных условий в виде двух волн с противоположными волновыми векторами.190.

4.18 «Квази-резонансная» кривая для трехволнового взаимодействия гравитационных волн, fco = (0- 30).191.

4.19 Гамильтониан системы как функция времени.197.

4.20 Корреляционная функция отклонения поверхности в двойном логарифмическом масштабе.198.

4.21 Скомпенсированный коррелятор отклонения поверхности при различных степенях компенсации: z = 3.5 сплошная линия (теория слабой турбулентности), z — 4.0 прерывистая линия (теория Филлипса).198.

4.22 Уширение области степенного спектра при увеличении количества точек на сетке.199.

4.23 Инерционный интервал спектра при различных уровнях накачки.

Ядром данной работы, вокруг которого построен весь материал диссертации, являются уравнения потенциального течения несжимаемой идеальной жидкости со свободной границей. Эти уравнения представляют собой один из классических обектов исследований, который явился основой, стимулом для построения различных физических моделей. В данной работе представлены исследования по нескольким направлениям, и все они так или иначе связаны с гидродинамикой жидкости со свободной границей.

Система уравнений, описывающие течение несжимаемой жидкости (не обязательно потенциальное) в области ограниченной свободной границей г)(х, у, ?), хорошо известна. Это уравнение Эйлера, условие несжимаемости жидкости, и кинематическое условие на свободной границе:

Здесь V — вектор скорости течения жидкости, Р — давление жидкости, д.

V ¦ V = О.

0.1) вектор гравитационного ускорения. Для потенциального же течения, когда.

V = УФ, У2Ф = 0 (0.2).

Ф (x, y, z, t) — потенциал скорости) уравнение Эйлера принимает вид: v (f4|v*|2+pH (°-3).

На свободной же границе, где давление Р постоянно, эти уравнения эквивалентны следующей краевой задаче для потенциала, с граничным условием на переменной границе:

0, const |, (уравнение Бернулли) Vs (кинематическое условие). (0.4).

Конечно, сюда ещё нужно добавить граничное условие для потенциала на остальной границе. Это могут быть такие условия, как отсутствие движения жидкости на бесконечности, периодические условия, условия непротекания на «дне» .

Отметим здесь, что если ещё учесть поверхностное натяжение, тогда к const в уравнении Бернулли следует добавить член (i — А+1 v^i2) • (°-5).

Здесь <7 — коэффициент поверхностного натяжения.

Кратко остановимся на основных результатах, известных для этих уравнений.

У2Ф = дг) = Vdr} + vx—— Vy— — ox y oy дф 1 .™.s t + О 1УФГ dt.

1. Первый важный результат для уравнений (0.4) датирован 1880 годом и принадлежит Стоксу [144, 32]. Его гипотеза относится к установившимся, стационарным гравитационным волнам предельной амплитуды. Гравитационная волна называется волной предельной амплитуды, если на её профиле есть точка, в которой скорость жидкости обращается в нуль. Стоке высказал гипотезу о том, что особая точка волны предельной амплитуды является угловой точкой на вершине волны, и этот угол равен 120°. Гипотеза Стокса была доказана в работах Толанда и Плотникова [148, 49, 39].

2. В 1921 г. Некрасов [36], а в 1925 г. независимо Леви-Чивитта доказали, что эти уравнения имеют решение в виде установившейся, стационарной, бегущей волны.

3. В 1957 г. Краппер [70] нашел точное решение задачи о установившихся двумерных капиллярных волнах, в отсутствии силы тяжести (д = 0).

4. В 1974 г. Налимов доказал [35], что задача Коши для (0.4) имеет единственное решение на конечном интервале времени 0 < t < Т, если д > 0, и начальное условие достаточно мало. Был рассмотрен случай двумерного течения. В 1999 г. Wu доказала [157], что такое же утверждение справедливо и для более общего, трехмерного течения.

Известы некоторые частные решения уравнений (0.4) без гравитации и поверхностного натяжения. Движущаяся граница опысывается кривыми второго порядка: эллипсом, гиперболой и параболой. Эти решения были найдены Дирихле ещё в 1860 году. Они подробно описаны в работе [114].

Несомненно, особый интерес представляют гравитационные волны большой амплитуды, так называемые волны-убийцы, появляющеся на поверхности океана «из ниоткуда», и быстро исчезающие. Они представляют угрозу для моряков, из-за них теряются человеческие жизни и суда. Они очень круты. В последней стадии их развития, крутизна становится бесконечной, образуя «стену воды». Кроме того, типичная волна-убийца — отдельное событие [6]. Изучение этих волн важно как для кораблестроения, так и для проектирования нефтяных и газовых платформ на морских шельфах. Также важным является разработка методов их прогноза. Нет никаких сомнений, что волны-убийцы являются нелинейными объектами. Естественно связать появление волн-убийц с модуляционной неустойчивостью волны Стокса. Линейная теория этой неустойчивости была разработана независимо в [8] и в [57]. В данной работе численно исследуется нелинейная стадия этой неустойчивости.

Хорошо известно, что уравнения описывающие идеальную жидкость со свободной поверхностью в поле силы тяжести вполне интегрируемы в нескольких важных случаях. Интегрируемость имеет место для длинных волн на мелкой воде (KdV[86], для уравнения Кадомцева-Петвиашвили [19], для приближения Буссинеска[161], для спектрально узкой волны в жидкости произвольной глубины (нелинейное уравнение Шредингера [18]). Слабо нелинейное движение жидкости в отсутствии поля силы тяжести также интегрируемо [104]. Очень естественно сформулировать гипотезу, что и произвольное одномерное движение идеальной жидкости в гравитационном поле интегрируемо. Во втрой главе исследуется этот вопрос, и хотя ответ, строго говоря, отрицательный, одномерная ситуация является почти интегрируемой.

Следующая ввжняя проблема, затронутая в диссертации — проблема Кол-могоровских спектров — является ключевой в теории слабой волновой турбулентности. Эти спектры являются точными решениями стационарного кинетического уравнения для среднеквадратичных амплитуд волн [167]. Несомненно, что слаботурбулентные Колмогоровские спектры должны теоретически объяснять степенные спектральные распределения энергии в ансамблях стохастических нелинейно взаимодействующих волн любой природы. Спектры такого типа наблюдаются систематически. Самый яркий пример такого рода — спектр еш ~ gv/uA, который обычно наблюдается при возбуждении ветром гравитационных волн в море. Однако, эта точка зрения разделяется не всеми. Кроме того, самая применимость кинетического уравнения для волн к реальной ситуации также дискутируется. (См., например [117].) Вывод кинетического уравнения из исходных динамических уравнений предполагает законность предположения о хаотичности фаз, которая может быть нарушена формированием некоторых когерентных структур, таких как волновые коллапсы, солитоны или Бозе-конденсат. Фактически, эта критика имеет серьезные основания. В реальных ситуациях когерентные структуры встречаются часто, но в то же время нет причин для полного отказа от теории слабой турбулентности. Действительность многообразна, и во многих конкретных ситуациях когерентные структуры сосуществуют со слаботурбулентной компонентой, участвуя в процессы переноса и диссипации энергии и других интегралов движения.

Следовательно, есть сильная мотивация, чтобы продолжить исследование теории слабой турбулентности, исследуя тот случай, где когеретные структуры важны, и случай, где такие структуры не важны.

Структура диссертации следующая.

В Главе 1 изложен краткий обзор известных результатов для уравнений двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Это, в первую очередь, отностится к стационарным, установившимся гравитационным волнам. Применение теории функций комплексных переменных в этой области позволило получить важные результаты, первый из которых принадлежит Стоксу [144]. Им было показано, что с ростом амплитуды стационарных гравитационных волн происходит заострение гребней волн и образуется угол, равный 120°. Для двумерной геометрии наиболее естественным является подход, сочетающий конформные отображения и канонический формализм гамильтоновой системы. Этот подход разработан для случая воды произвольной глубины с учетом поля тяжести и поверхностного натяжения. Найдены некоторые частные приближенные решения нестационарной динамики свободной границы в отсутствии гравитационного поля и сил поверхностного натяжения, исследован случай динамики границы с большой кривизной. Получены точные, кубически нелинейные уравнения, описывающие потенциальное течение двумерной несжимаемой жидкости в гравитационном поле. Переменными, в которых уравнения становятся кубическими, являются функция, обратная производной конформного преобразования области занимаемой жидкостью, на нижнюю полуплоскость, и комплексная потенциальная скорость течения. С помощью полученных уравнений проведено численное моделирование образования волны-убийцы, и её опрокидывания. Делается вывод, что волна убийца образуется в результате развития модуляционной неустойчивости.

В Главе 2 рассмотрен вопрос о интегрируемости уравнений двумерной гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью. Получен эффективный четырёхволновой Гамильтониан (исключены нерезонансные трёхволновые взаимодействия). Сделана параметризация резонансного многообразия для одномерного случая и двумерного случаев. Показано, что четырёхволновой матричный элемент взаимодействия тождественно равен нулю на резонансной поверхности. Рассмотрен вопрос о идентичности кинетических уравнений Хассельманна и Захарова. Введены конформные канонические переменные, позволившие сравнительно легко (хотя и громоздко) получить разложение Гамильтониана до 5-го порядка включительно. Представлена процедура вычисления матричного элемента, соответствующего процессу 3 2 с учётом исключения нерезонансных процессов. Это сделано с помощью диаграмной техники. Он оказался не рававным нулю и, тем самым, доказано, что система уравнений, описывающая двумерное потенциальное, бесконечно глубокое течение несжимаемой идеальной жидкости в гравитационном поле неинтегрируема. Кроме того в этой Главе выводится 5-ти волновое кинетическое уравнение и получены его стационарные решения, Колмогоровские спектры.

В Главе 3 изучается влияние когерентных структур на слаботурбулентные спектры в рамках модифицированной ММТ-модели (A.Maida, D. McLaughlir и E. Tabak [117]). Наличие в модифицированной модели «распадного» члена обеспечивает отсутствие локализованных структур, и создаёт условия для слаботурбулентного режима.

Кроме того в этой главе, численно и аналитически, рассматривается также солитонная турбулентность в неинтегрируемом нелинейном уравнении Шре-дингера. Поведение системы определяется накоплением слабых эффектов, которые обусловлены нескомпенсированностью процессов, протекающих в противоположных направлениях. При взаимодействии солитонов со слаботурбулентным спектром термодинамически выгодными являются процессы, приводящие к увеличению амплитуд солитонов при уменьшении их числа.

Также рассматривается турбулентность в двумерном уравнении Шредин-гера с отталкиванием (уравнение Гросса-Питаевского), в которой присутствуют и конденсат, и фононы, и тёмные солитоны и квантовые вихри. Для характеристики вне-конденсатных флуктуаций построены корреляционные функции. Качественно объясняется анизотропия полученных численно турбулентных спектров.

Численно и аналитически исследовано обобщенное двумерное уравнение Бенджамина-Оно, найдена интегральная граница на энергию возмущений двумерного солитона, когда коллапс ещё невозможен. Исследована неустойчивость одномерного солитона относительно изгибных возмущений. Отмечается совпадение численного и реального экспериментов.

В Главе 4 рассмотрен вопрос о влиянии дискретности волновых чисел в численном моделировании слаботурбулентных режимов, когда важным является резонансное взаимодействие волн. Численно и аналитически изучено резонансное взаимодействие капиллярных и гравитационных волн. Кроме того, проведено численное моделирование слабой турбулентности гравитационных волн на поверхности трёхмерной жидкости, и впервые получены для неё Колмогоровские спектры. Для решения этой задачи была разработана численная схема, сохраняющая Гамильтониан в бездиссипативном случае.

В Заключении сформулированы результаты работы.

В Приложения вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения из-за их излишней громоздкости, диаграммы 5-ти волновых процессов.

Целью работы является развитие теоретических и численных методов исследования нелинейных явлений в гидродинамике идеальной жидкости со свободной границей. Особое внимание уделяется разработке эффективных численных алгоритмов, сохраняющих интегралы движения.

Также важным здесь являлся поиск интегрируемых приближений.

Исследование роли когерентных структур в развитой волновой турбулентности также было одной из целью работы.

Кроме того, проведённое исследование слаботурбулентных режимов в различных моделях имело своей целью обосновать применимость кинетических уравнений, которые позволяют с гораздо большей эффективностью моделировать волновую турбулентность, чем исходные динамические уравнения.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Полученные кубически нелинейные уравнения безвихревой двумерной гидродинамики позволяют эффективное численное моделирование нелинейных процессов на поверхности жидкости, включая такие как обрушение волн, когда граница жидкости становится неоднозначной.

Новый подход к вычислению матричных элементов (с помощью конформных канонических переменных) позволяет эффективно вычислять резонансные взаимодействия волн в двумерной потенциальной гидродинамике.

Теоретическое и численное исследование коллапса в пограничном слое объясняет экперименты по генерации когерентных структур в пограничном слое.

Наблюдениие в численных экспериментах слаботурбулентных режимов, с Колмогоровскими спектрами флуктуаций, близких к экспериментальным, позволяет обосновать применение более простых, кинетических уравнений для предсказания океанского волнения в метеорологических приложениях.

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. J1. Д. Ландау Российской Академии Наук.

По теме диссертации опубликовано 20 работ, список которых приведен в конце диссертации.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

Используя канонический формализм для описания динамики свободной поверхности двумерной идеальной жидкости произвольной глубины и конформное отображение в горизонтальную полосу, получена простая система псевдо-дифференциальных уравнений на форму поверхности и гидродинамический потенциал скорости. Эта система может быть эффективно изучена аналитически в случае, когда якобиан конформного отображения принимает большие значения в окрестности некоторой точки поверхности. Применяя разложение по обратным степеням якобиана, система может быть сведена к одному уравнению, которое совпадает с хорошо известным уравнением лапласовского роста. В рамках этой модели найден ряд точных решений, которые описывают образование конфигураций типа «пальцев». Получены точные конформные уравнения, кубически нелинейные, для формы поверхности и гидродинамической скорости. Уравнения допускают эффективное численное моделирование. Они описывают перенос особенностей конформного преобразования в верхней полуплоскости. Проведено численное исследование волн-убийц на поверхности жидкости, исследован механизм их образования, мдуляционная неустойчивость, её нелинейная стадия.

Доказана неинтегрируемость двумерной идеальной гидродинамики со свободной границей. С помощью конформных канонических переменные получены явные выражения для матричных элементов резонансного взаимодействия волн четвертого (который оказался равным нулю) и пятого порядков. Получено кинетическое уравнение для волн, учитывающее 5-ти волновое резонансное взаимодействие. Получены его стационарные решения, Колмо-горовские спектры.

Предложена модифицированная ММТ-модель одномерной волновой турбулентности, позволяющая избавиться от когерентных структур в слаботурбулентных режимах. Проведено численное моделирование, продемостриро-вано существование степенных Колмогоровских спектров.

Аналитически и численно исследована солитонная турбулентность для неинтегрируемого уравнения типа НУШ, показано, что система асимптотически приближается к состоянию солитонного газа. Показывается, что «со-литонный» и «коллапсный» варианты волновой турбулентности качественно отличаются друг от друга не слишком сильно.

Численно исследована турбулентность в модели НУШ с отталкиванием, турбулентность конденсата. Наблюдалось две качественно различных компоненты в турбулентности неравновесного Бозе-конденсата: обратный каскад производит линейно растущий конденсат, который стабилизирует вне-конденсатные флуктуации, (включая кинки) т. е. служит стоком в турбулентности. Посроены корреляционные функции высших порядков, которые оказались близки к гауссовой статистике.

Численно и аналитически исследована возможность коллапса двумерном обобщении уравнения Бенджамина-Оно (уравнение Шриры). Найдена точная верхняя граница для полной энергии возмущений, когда коллапс все еще невозможен, и когда любое возмущение асимптотически исчезает с течением времени. Теоретические предсказания находятся в качественном согласии с экспериментами.

Исследовано влияние дискретности (в численных экспериментах) на резонансное взаимодействие волн для капиллярных и гравитационных волн на поверхности жидкости. Получены некоторые критерии на правильный выбор параметров моделирования. Разработана численная схема для решения динамических уравнений трехмерной потенциальной гидродинамики, сохраняющая гамильтониан. Проведено численное моделирование слабой турбулентности гравитационных волн. В значительной части области инерционного интервала наблюдалось степенной спектр, совпадающий с теоретическим.

Автор также благодарен членам Ученого Совета ИТФ им. JI. Д. Ландау РАН за полезные замечания.

5.4 Заключение.

Вычисляя дискретную вариацию Гамильтониана, нам удалось построить численную схему для решения динамических уравнений (4.9), сохраняющую Гамильтониан. В этом случае мы получаем удобный инструмент для контроля за величиной шага по времени. Данная схема легко обобщается на случай наличия в уравнениях накачки и затухания. Это позволяет использовать полученную схему при моделировании турбулентности, а так же при рассчете свободной эволюции поверхностных волн.

6 Дискретная вариация Гамильтониана.

Выпишем почленно разность Гамильтонианов Нп+1 — Нп, пользуясь свойЛ ством оператора к.

15).

Далее, для краткомти, опустим знаки интегралов. Квадратичные члены:

16).

Кубические члены: s (jrim2d2r} —.

5ф (V, (7}П+1 + 7}n)V (lpn+1 + фП)) + +5r) (|W>n+1|2 + |W>n|2) ;

18) -бфк (jin+1 + г) п)к (фп+1 + фп)).

— 5г) ((кфп+х)2 + (кфпУ) .

Члены четвертого порядка:

6(l {^Щ к (г)Щ d2r) —> 5фк [®n+1 + rjn) х х к (г)п+1кфп+1 + г) пкфп) +5ф [('фп+1 + фп) х х к (г]п+1кфп+1 + г]пкфп).

6 (i /(Лф)(кф)т]Ч2г^ —> [((ту" *1)2 + (т/*)2) х х + +.

Цбфк [((Г+1)2 + (Г)2) х l6r)®n+l+rin)x х (Афп+1кфп+1 + Афпкфп).