Оценка ряда Дирихле в полуполосе, показатели которого — нули произведения Вейерштрасса с нерегулярным поведением

1. Исторические сведения.

Изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адамара, опубликованным в конце XIX века. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фуд-зивара [2], М. Н. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).

Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в.

Известно, что показатель сходимости корней целой функции не превосходит её порядка. Этот результат обобщён и в некотором смысле усилен в 1934 г. А. О. Гельфондом.

Введение

индикатора целой функции дало возможность установить зависимости между её ростом по различным направлениям и распределением её корней по аргументам. Особенно точные зависимости установлены для класса целых функций вполне регулярного роста. Теорию этих функций развили в 1937—1950 гг. одновременно Б. Я. Левин и А. Пфлю-гер. Теория целых функций вполне регулярного роста и её применения подробно изложены в монографии Б. Я. Левина [5].

В 1965 г. Н. В. Говоров получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция конечного порядка и нормального типа в полуплоскости была функцией вполне регулярного роста. В теоремах Говорова учитывается не только распределение корней функции, но и её поведение на границе. Для функций целого порядка и нормального типа в полуплоскости Говоровым также получены необходимые и достаточные условия вполне регулярного роста в открытой и замкнутой полуплоскостях.

В приложениях теории целых функций существенную роль играют целые функции, у которых все корни вещественны. Они называются целыми функциями класса А.

В 1960 г. В. И. Мацаев рассматривал другой класс функций с вещественными корнями и установил, что из некоторых оценок снизу модуля целой функции следует оценка её роста.

Представляется важным вопрос определить условия, которым должны удовлетворять корни целой функции экспоненциального типа для того, чтобы она была ограничена в том или ином смысле на вещественной оси.

В теории аппроксимации системами из экспонент {eXnZ} на различных множествах комплексной плоскости, в теории оо рядов Дирихле^Г, CLneXnZ особую роль играет бесконечное проп= 1 изведение Вейерштрасса.

ОО / 2 гм = П n-Jr.

71=1 V П определяющее целую функцию экспоненциального типа.

В этой связи актуальной задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения её нулей. В общем случае функция Q на вещественной оси ведёт себя очень нерегулярно. Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция д, такая, что произведение Qg на вещественной оси обладает достаточно хорошими свойствами. Вопрос о существовании такой функции д является принципиальным в различных вопросах анализа, например, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций егХпХ (Ап > 0), где важно уметь строить целые функции экспоненциального типа, максимально быстро убывающие на R при х оо. Впервые такое построение было сделано В. А. Марченко [б].

Пусть (р: Ш —> К удовлетворяет условиям: ip (х) > 0,.

0 < Хп Т оо р (х + у) < if{x) + ip{y) и оо.

ТГ 1 f 7 1-т:ах<�со.

J 1 + xz оо.

В [6] для любого е > 0 дан способ построения целой функции экспоненциального типа сг/ < б, удовлетворяющей неравенству < Сае^ах где, а > О, Са > 0. Отметим, что условие J[cp] < оо является необходимым, ибо для любой целой функции /, отличной от тождественного нуля и ограниченной на R, верно J (lnf) > —оо. При других ограничениях на функцию <р (условие <�р (х+у) < (р (х) + (р (у) заменяется чётностью и её монотонностью на М+ = [0, оо)), аналогичное построение проведено Л. И. Ронкиным и С. Мандельбройтом. Наиболее сильный результат был установлен Бёрлингом и Маллявеном [7]. Они доказали, что каждая целая функция класса Картрайт, то есть целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию J[ln+f] < оо (а+ = max (0, а)) имеет е — мультипликатор для любого е > 0. Это означает, что существует такая целая функция экспоненциального типа ijj€) аф < е, что ip€(x)f (x) < const < оо, х Е К. Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П. Кусисом. То, что теорема Бёрлинга и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следует из работы В. Э. Кацнельсона [8], который построил пример функции класса Картрайт, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей какому — нибудь из указанных выше условий и требованию J[cp] < оо.

В диссертации ставится и решается следующая задача: при каких условиях на последовательность Л = {Ап} (0 < Хп f.

00 / 2 оо) существует целая функция вида P (z) = П (1 — ^) n=i v.

О < fjin | 00) с простыми нулями в точках Хп (п > 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая заданной асимптотикой на вещественной оси? Некоторые результаты такого типа приведены в обзоре [9]. Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в приоо ложениях, в частности, в теории рядов Дирихле cineXnZ.

71=1.

О < An Т оо).

Ряды Дирихле естественно возникают в различных задачах анализа, теории чисел, в дифференциальных уравнениях. К рядам Дирихле мы приходим, например, если в степенном оо оо ряде JJ anzn сделаем замену z = es. Ряд ^ anens называется n=l n= 1 рядом Тейлора — Дирихле. В случае, когда Хп (0 < Хп Т оо) — не целые, получаем ряд Дирихле общего вида.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и R — типа. Эти понятия в своё время были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [10].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [11], В. Бойчук.

12], К. Нандан [13], [14], Ю. Шиа-Юн [15].

В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [16]. Позже в терминах R — порядка и R — типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [17] - [21], а также в работах О. Б. Скаскива и В. М. Сорокивского [22], [23].

В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана — Валирона. При помощи метода Вимана — Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т. д.

В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [24], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, привлекли внимание многих математиков. Однако классический метод Вимана — Валирона и разработайные рядом авторов его модификации (см., например, в [25]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [24]. Но и в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле со временем стали возникать всё новые и новые задачи. Это объясняется тем, что в связи с исследованиями А. Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [26] -[28] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [27] - [29]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана — Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайси-ным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А. Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля — Неванлинны из [30], а также уточненный им вариант оценок Н. В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [31], [32]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие в работе [33], где изучались ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи.

10 прямой сходимости.

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие конечный порядок в смысле определения, данного в статье [17]. Суть задачи следующая: при некоторых предположениях правиль.

00 / 2 ности поведения функции Q (z) = (1 — jj) на вещественп= 1 V ной оси в [17] для порядка р в полуплоскости и порядка ps в некоторой полуполосе была получена оценка: р < ps + q (q — величина, зависящая от последовательности А). Вопрос о точности данной оценки до сих пор оставался открытым. Более того, не было ясно, при каких условиях на, А функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси. В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательности А), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин р и ps. При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности А. Как следствие, получен критерий равенства соответствующих характеристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге.

1. Hadamard J. Essai sur l’etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor //J. Math, pures et appl. 1892. T.8. P. 154 — 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M® and coefficients of a power series // Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V.8, N56. P. 220 223.

3. Говоров H. В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения // Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т.100. С. 101 115.

4. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104 С.

5. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 С.

6. Марченко В. А. О некоторых вопросах аппроксимации непрерывных функций на вещественной оси III //Зап. мат. отд. физ.-мат. фак. и Харьковского мат. общ-ва. 1950. Т.22. С.115−125.

7. Beurling A., Malliavin P. On Fourier transforms of measures with compact supports // Acta. math. 1962. V.107. N2 3,4. P. 291 303.

8. Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т.5, т. С. 37 47.

9. Redheffer R. M. Completeness of Sets of Complex Exponentials.// Advances in Mathematics. 1977. V.24. P. l 62.

10. Ritt J. F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J. 1928. V.50. P.73 86.

11. Дагене E. Я. О центральном показателе ряда Дирихле // Литовский мат. сб. 1968. Т.8, № 3. С.504 521.

12. Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С.238 240.

13. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 1973. V.28. P.213 222.

14. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math, pures et appl. 1976.V.21, № 10. P.1361 1368.

15. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus ren-dus Acad. Sci. 1979. AB288, № 19. A891 A893.

16. Галь Ю. М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С.1065 1067.

17. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т. 117(159), № 3. С.412 424.

18. Гайсин A.M. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР. 1982. С.З.

19. Гайсин A.M. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и имеющих конечный R тип, в ряды экспонент // Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С. 30 — 42.

20. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче // Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

21. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах // Матем. заметки. 1987. Т.42, № 5. С. 660 669.

22. Скаскив О. Б., Сорокивский В. М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1990. Т.42, № 3. С. 363 371.

23. Сорокивский В. М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1984. Т.36, № 4. С. 524 528.

24. Polya G. Untersuchungen liber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen // Math. Z. 1929.V.29. P.549 640.

25. Шеремета M.H. Метод Вимана Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т. ЗО, № 4. С. 488 — 497.

26. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536С.

27. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами экспонент// Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1991. Т. 157. С. 68 89.

28. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1980. Т.44, № 6. С. 1308 1328.

29. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. 1987. Т.51, № 2. С.287 305.

30. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

31. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 240 С.

32. Говоров Н. В. Об оценке снизу функциисубгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.6. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968, С. 130 -150.

33. Белоус Т. И. Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости // Диссертация. кандидатафиз мат. наук. Уфа: 2004.

34. Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением.// Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Вып.4. С. 35 44.

35. Мацаев В. И. История отечественной математики. Киев: Наукова думка, 1970. Т.4. Книга 1.

36. Koosis P. The logarithmic integral. I. Cambridge University Press: 1988.

37. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.-267 С.

38. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.-384 С.

39. Леонтьев А. Ф. О сходимости полиномов Дирихле//ДАН СССР. 1956. Т.108. С. 23−26.

40. Красичков И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка.// Сиб. матем. журн. 1965. Т.VI. JVe4. С. 840 861.

41. Baillette A. Approximation de fonktions par des sommes d’exponentielles. // C. r. Acad. sci. 1959. T. 249. № 23. P. 24 702 471.

42. Гайсин A.M., Сергеева Д. И. Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси. // Вл. мат. журн. 2005. Т.7. В.З. С. 31 37.

43. Сергеева Д. И. Точные оценки порядка ряда Дирихле в полуполосе. // Уфимская международная математическая конференция, посвящённая памяти А. Ф. Леонтьева. Сборник материалов. Том 2. Уфа: Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, 2007. С. 82.

44. Гайсин A.M., Сергеева Д. И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение.