Нелинейная теория чистого изгиба упругих тел

Интенсивное развитие нелинейной теории упругости началось в 40-е годы 20-го столетия. С тех пор область применения нелинейной теории упругости постоянно расширяется. Не только резино-подобные и полимерные материалы, но и ткани живых организмов становятся объектом изучения в современной механике деформируемого твердого тела. Стенки кровеносных сосудов, клеточные мембраны, белковые молекулы способны сильно деформироваться и для их описания требуются существенно нелинейные модели.

Вопросам деформирования трехмерных деформируемых сред в рамках нелинейной теории упругости посвящен ряд монографий и журнальных публикаций. Значительный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли такие отечественные ученые, как В. А. Еремеев [7], [8], П. А. Жилин [5], Н. В. Зволинский [9], Л. М. Зубов [15]—[37], [71]—[ТЗ], М. И. Карякин [39], [60], В. А. Левин [40], А. И. Лурье [42], [43], Н. Ф. Морозов [45], В. В. Новожилов [46], [47], Л. А. Толоконников, А. Б. Фрейдин [54], К. Ф. Черных [55] и другие. Из зарубежных ученых следует отметить Дж. Ад-кинса [6], С. Антмана [56], Дж. Болла, 3. Весоловского, А. Грина [б], В. Нолла [70], Дж. К. Ноулза, Р. Огдена [64], Р. Ривлина [66]-[69], К. Трусделла [52], Р. Хилла, Дж. Эриксена [58] и других.

Вопросами нелинейной моментной теории упругости занимались такие ученые, как Э. Л. Аэро, П. А. Жилин [5], Л. М. Зубов [71], [73], М. И. Карякин [33], Н. Ф. Морозов [45], В. А. Пальмов, Л. И. Шкутин, С. Eringen, Е. и F. Cosserat [57], W. Т. Koiter [61], R. Toupin и другие.

Задача сильного изгиба призматического бруса концевыми моментами является нелинейным вариантом одной из задач Сен.

Венана. Решение другой нелинейной задачи — задачи о кручении было дано Jl. М. Зубовым и JI. Ю. Богачковой [72]. В рамках линейной теории упругости задача изгиба призматического тела была решена Сен-Венаном 150 лет тому назад. С тех пор задача Сен-Венана об изгибе обобщалась в разных направлениях. Однако эти обобщения не выходили за рамки малых деформаций. Исключение составляет нелинейная плоская задача о чистом изгибе упругой полосы, решение которой изложено, например, в книге А. И. Лурье [43].

Актуальность проблемы обусловлена тем, что изгиб, наряду с растяжением и кручением, является одним из основных типов деформаций самых разнообразных элементов конструкций, и учет физической и геометрической нелинейности при изгибе необходим во многих случаях. Большие деформации имеют место, в частности, при сильном изгибе упруго-пластических тел, для описания которых в условиях активного нагружения можно применять модель нелинейно упругого материала.

Испытания призматических образцов на чистый изгиб могут использоваться для экспериментального построения определяющих соотношений материалов при больших деформациях.

Содержание работы изложено в трех главах.

Первая глава диссертации посвящена построению точной теории изгиба призматического тела концевыми моментами при больших деформациях.

В п. 1.1. определяется класс деформаций, описывающий превращение цилиндра в сектор тела вращения и обладающий тем свойством, что поле перемещений упругого тела при таких деформациях определяется путем решения двумерной нелинейной краевой задачи для плоской области в форме поперечного сечения бруса. Показывается, что при заданной деформации система сил, действующих в любом поперечном сечении деформированного бруса, статически эквивалентна изгибающему моменту, действующему в плоскости изгиба. Приводится дополнительное условие, при котором двумерная краевая задача в перемещениях будет иметь единственное решение. Для стержня, поперечное сечение которого имеет ось симметрии, определяются свойства симметрии решений полученной краевой задачи. Показывается, что введенные предположения о характере деформации призматического тела позволяют путем решения двумерной краевой задачи точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и краевым условиям на боковой поверхности. Краевые условия на торцах цилиндра выполняются в смысле Сен-Венана, т. е. в интегральном смысле статической эквивалентности напряжений заданному изгибающему моменту. В том же пункте рассматривается случай нелинейного чистого изгиба, при котором упругое призматическое тело после деформации принимает форму кольца. В этом случае решение двумерной краевой задачи приводит к совершенно точному решению трехмерной задачи об изгибе призматического тела в замкнутое кольцо.

В п. 1.2. для упругих тел предложена другая формулировка двумерной краевой задачи на сечении, в которой перемещения исключены, а за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений Пиолы. Проведено обращение зависимости градиента деформации от тензора напряжений Пиолы для двух употребительных моделей материала: сжимаемого полулинейного и несжимаемого высокоэластичного материала Бартенева-Хазановича.

В п. 1.3. вводятся в рассмотрение функции напряжений, при помощи которых тождественно удовлетворяются уравнения равновесия и строится представление тензора Пиолы в любых криволинейных координатах, введенных в плоскости поперечного сечения стержня. В терминах функций напряжений записываются граничные условия на боковой поверхности бруса. Получен ряд вариационных постановок краевой задачи на сечении, основанных на различных вариационных принципах нелинейной теории упругости. Наибольшее внимание уделено принципу дополнительной энергии, в котором к сравнению допускаются статически возможные поля тензора напряжений Пиолы, задаваемые при помощи функций напряжений. Достоинство вариационного подхода с применением принципа дополнительной энергии в задаче изгиба заключается в простоте точного удовлетворения граничных условий на боковой поверхности призмы, а также в его эффективности для несжимаемых резиноподобных материалов. Показано, что условие стационарности функционала дополнительной энергии эквивалентно уравнениям совместности. Для полулинейного материала и материала Бартенева-Хазановича найдены функции удельной дополнительной энергии.

В качестве примеров рассматриваются стержни прямоугольного и эллиптического поперечных сечений.

В п. 1.4. рассматривается сильный изгиб бруса прямоугольного поперечного сечения. Приближенное решение вариационной проблемы относительно функций напряжений для стержней из полулинейного материала и материала Бартенева-Хазановича получено методом Ритца. Применялась полиномиальная аппроксимация неизвестных функций. Полученные результаты позволили построить зависимость изгибающего момента от кривизны бруса при сильном изгибе и усовершенствовать классическую теорию изгиба балок в направлении строгого учета геометрической и физической нелинейности. Методом конечных элементов построено распределение напряжений по сечению изогнутого бруса как для полулинейного материала, так и для материала Бартенева-Хазановича.

В п. 1.5. решается задача изгиба стержня эллиптического поперечного сечения. При помощи метода Ритца строится приближенное решение и графики зависимости изгибающего момента от кривизны оси изогнутого бруса.

В п. 1.6. построенная выше теория чистого изгиба призматических тел при больших деформациях распространяется на значительно более широкий класс материалов по сравнению с изотропными упругими телами. Основные положения теории чистого изгиба, изложенные в п. 1.1., остаются в силе в квазистатическом смысле и для любых неупругих простых материалов, в том числе вязкоупругих и упруго-пластических сред. Доказательство этих утверждений получено на основе общего представления тензора напряжений Коши в простом материале с памятью, удовлетворяющего принципу материальной индифферентности.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи нелинейного чистого изгиба кривого бруса.

В п. 2.1. исходная трехмерная задача чистого сильного изгиба при помощи полуобратного метода нелинейной теории упругости сводится к двумерной нелинейной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения сектора тела вращения. При этом разрешающие трехмерные уравнения в объеме тела и на боновой поверхности выполняются точно. Аналогично п. 1.1. показывается, что реализация заданной деформации в секторе однородного изотропного кольца требует приложения к его торцам только изгибающего момента, плоскость действия которого параллельна плоскости изгиба. Вводится условие, при котором решение полученной двумерной краевой задачи в перемещениях будет единственным. Для стержня, поперечное сечение которого имеет ось симметрии, находятся свойства симметрии решений полученной краевой задачи.

В п. 2.2. краевая задача на сечении сектора кольца преобразуется и за основные неизвестные принимаются компоненты тензора напряжений Пиолы. Аналогично главе 1 для двух употребительных моделей материалов: полулинейного материала и материала Бартенева-Хазановича проводится обращение зависимости градиента деформации от тензора напряжений Пиолы.

В п. 2.3. вводятся в рассмотрение функции напряжений. Уравнения равновесия тождественно удовлетворяются подстановкой компонент тензора напряжений Пиолы, выраженных через функции напряжений. Дается вариационная постановка задачи изгиба, основанная на принципе стационарности функционала дополнительной энергии.

В п. 2.4. приводятся результаты расчетов задачи об изгибе кривого бруса с прямоугольным поперечным сечением.

Третья глава диссертационного исследования посвящена изгибу призматических тел с моментными напряжениями при больших деформациях.

Применяется общая нелинейная модель континуума Коссера, каждая частица которого характеризуется положением в пространстве и ориентацией, т. е. имеет степени свободы абсолютно твердого тела. Ориентация частиц континуума задается полем собственно ортогонального тензора, называемого тензором микроповорота. Удельная потенциальная энергия нелинейно упругого континуума Коссера является функцией двух несимметричных тензорных аргументов: тензора деформации и тензора изгиб-ной деформации, а внутренние воздействия одной части тела на другую характеризуются несимметричным тензором напряжений и тензором моментных напряжений. Модель континуума Коссера позволяет в определенной степени учесть микронеоднородную структуру реальных тел и может применяться для описания композитов, поликристаллических материалов с зернистым строением, полимеров и т. д.

При построении полуобратным методом класса конечных деформаций, описывающих изгиб тел с моментными напряжениями, задается не только характер зависимости эйлеровых координат от лагранжевых, но и характер зависимости тензора микроповорота от лагранжевых координат.

В п. 3.1. предложено полуобратное представление, содержащее три подлежащих определению функции, описывающее изгиб бруса из полярного материала. Доказано, что для данного представления главный вектор сил, действующих в каждом сечении изгибаемого бруса, равен нулю, а главный момент одинаков для всех сечений. Таким образом, это представление можно считать описанием задачи чистого изгиба в рамках моментной теории упругости. Как и в предыдущих главах, решение сформулированной двумерной краевой задачи на сечении позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и краевым условиям на боковой поверхности. Краевые условия на торцах цилиндра выполняются в смысле Сен-Венана.

В п. 3.2. дается вариационная формулировка полученной двумерной краевой задачи для класса полярных нелинейно упругих материалов, энергия которых представима в виде суммы двух слагаемых, первое из которых зависит от меры деформации, второе — от тензора изгибной деформации.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты работы докладывались на V, VI и VII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 1999, 2000, 2001), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследований» (г. Красноярск, 1999), на VIII Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п. Дюрсо, 1999), на Всероссийском конкурсе научных работ молодых ученых по механике и процессам управления, посвященном столетию со дня рождения А. И. Лурье (г. Санкт-Петербург, 2001), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете.

По теме диссертации опубликованы статьи [10- 14] и [74]. Работы [10 — 13] и [74] были написаны в соавторстве с JL М. Зубовым, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования.

Автор выражает глубокую благодарность JI. М. Зубову, М. И. Ка-рякину и В. А. Еремееву за внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации были получены следующие основные результаты.

1. Задачи чистого изгиба при больших деформациях призматического бруса и сектора тела вращения сведены к двумерным нелинейным краевым задачам для плоской области в форме поперечного сечения тела. Решение двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и граничным условиям на его боковой поверхности. Краевые условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле Сен-Венана.

2. Даны различные вариационные формулировки двумерной краевой задачи на сечении, в том числе формулировка, основанная на принципе дополнительной энергии.

3. Для употребительных моделей нелинейно упругих тел вариационными методами найдены численные решения задач о сильном изгибе прямого и кривого брусьев прямоугольного и эллиптического поперечных сечений. Определены нелинейная зависимость изгибающего момента от кривизны бруса и поле напряжений в изгибаемом теле.

4. Установлено, что при сильном чистом изгибе призматического тела, в отличие от линейной теории упругости, возникает не одна, а четыре ненулевых компоненты тензора напряжений Коши.

5. Проведено обобщение нелинейной теории чистого изгиба на неупругие, анизотропные и неоднородные тела.

6. Разработана точная нелинейная теория чистого изгиба призматического тела с моментными напряжениями. Дана вариационная постановка соответствующей двумерной краевой задачи на сечении.