Задачи термоэлектроупругости для тонкостенных элементов

Измерение температуры объектов является важнейшей инженерной задачей, позволяющей оперативно управлять технологическими и производственными процессами. При этом в качестве датчиков температуры в последнее время все чаще используются такие, в основе функционирования которых лежит пьезои пироэффект. Область применения таких датчиков достаточно широка: медицинская диагностика, системы контроля сложных динамических систем, системы идентификации параметров и другие. В ряде случаев, измерив температуру, можно анализировать и другие характеристики задачи, однозначно с ней связанные. Так, например, при помощи измерения граничной температуры можно выявлять скрытые дефекты в конструкциях типа трещин, в окрестностикоторых при динамическом воздействии наблюдаются значительные градиенты температур [18J.

Большой научный интерес представляет собой проблема расчета параметров и оптимизация при создании различных типов температурных датчиков из пирои пьезоактивных материалов, в которых в результате теплового нагружения наводится разность потенциалов. При определении потенциала необходимо учитывать взаимное влияние упругого, теплового и электрического полей. Детальный учет связанности физических полей в различных задачах термоэлектроупругости важен в связи с постоянной модернизацией датчиков, созданных на основе различных пьезои пироактивных материалов, в которых незначительные тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние па сопряженные поля.

Одним из примеров применения пироэлектрических датчиков для измерения полей температур [35] являются различные устройства медицинской диагностики, например, для измерения пульса, частоты и интенсивности дыхания. Обзор реальных устройств из пьезои пироактивных материалов (сенсоров и актуаторов), их характеристики и примеры применения представлены в монографиях и статьях [3], [4], [13], [34], [40], [44], [45], [51], [52], [54], [64], [70], [81], [90], [93], [100], [101], [109], [131].

Отметим, что математическую основу постановок краевых задач термоэлектроупругости [73], [76] составляют уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндлиным [124] в начале 60-х годов прошлого столетия. Они имеют важные приложения при расчете иьезои пиродатчиков. В этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач термоэлектроупругости, отметим [11], [106], [107]. В ряде работ, посвященных общим вопросам исследования краевых задач термоэлектроупругости, авторами были получены законченные результаты [11], [19], [126].

Теория связанной термоэлектроупругости является обобщением моделей термоупругости и электроупругости. Она опирается на основные методы исследования нестационарных процессов для этих моделей, которые основаны на двух подходах: 1) на концепции малой связанности, 2) на асимптотических методах для малых и больших времен.

Сложность исследования задач связанной термоэлектроупругости обусловлена несколькими факторами.

Во-первых, система уравнений связанной термоэлектроупругости не принадлежит ни к одному из хорошо изученных типов операторов и при исследовании свойств решений начально-краевых задач требует детального анализа даже при решении простейших одномерных задач. Во-вторых, наличие анизотропии в термоэлектроупругих телах затрудняет как построение фундаментальных и сингулярных решений, так и исследование волновых процессов.

Методам решений задач динамических задач термоэлектроупруго-сти посвящен ряд исследований. Так, в [94] разработан универсальный аналитический метод исследования динамических краевых задач тер-моэлектроуиругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений, в [53] изучены типы волн в неограниченной термоэлектроупругой среде класса 6 mm и предложена их классификация, построены фундаментальные решения в связанной термоэлектроупругости для среды класса 6 mm в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку, сформулирована система ГИУ в термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний, решен ряд задач о нестационарных воздействиях.

Представим краткий обзор решенных задач в термоэлектроупругости и методов, используемых при их решении. В [80] отмечено, что в последнее время в литературе уделяется большое внимание связанным задачам, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Для постановки таких задач необходимо сформулировать определяющие соотношения (линейные или нелинейные), т. е. построить модель среды, учитывающую взаимодействие полей в соответствии с известными экспериментальными фактами. В этой работе построена связанная модель для случая физически линейных и нелинейных сред для малых деформаций.

Анализ трансформации теплового импульса в электрический в рамках модели линейного термоэлектроупругого тела при тепловом ударе по его поверхности в рамках несвязанной термоупругости впервые проведен В. И. Даниловской в [41], где проанализированы динамические эффекты в распределении напряжений. Далее подобная задача термоупругости в рамках полного учета связанности механических и тепловых полей рассмотрена в работах [118], [119]- при ее анализе использованы асимптотические методы (метод малой связанности и метод малых времен).

В работе [125] обсуждена общая процедура построения фундаментальных решений связанных задач при наличии электрических, температурных и других полей. Задача сведена к одномерной посредством разложения обобщенной функции Дирака по плоским волнам. Решение представлено в виде интеграла по сфере единичного радиуса. Рассмотрена как гармоническая зависимость от времени, так и случай импульсного нагруженияв последнем случае аналитическое решение построено для материалов, в которых отсутствует диссипация. Представлены конкретные результаты построения функций Грина для указанных выше классов задач.

В [31] развиты теория и прикладные методы решения динамических смешанных, в том числе и контактных, задач для слоистых сред с учетом связанности полей, проведена апробация их на различных модельных примерах.

В [110] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричсства сформулированы в виде, допускающем применение метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность метода иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них — двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехничес-кой системы. Второй пример — алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как актуаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.

В ряде работ для формулировки корректных задач используется вариационный подход. Так, в работе [134] вводятся основные положения микрополярной термоупругости и термопьезоэлектричества для обновления базовых уравнений равновесия и граничных условий для полярной термомеханпческой среды. На основе принципа возможных перемещений и принципа Гамильтона составляются уравнения движения и локальное уравнение баланса энергии. Обсуждаются найденные результаты для микрополярной термопьезоэлектрической задачи.

Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах получены в [83].

В работе [24] предложена процедура сведения задачи термоэлектроупругости к последовательном}' решению двух более простых задач и предложенный подход реализован в одномерной задаче для слоя, проведены численные расчеты.

Задача термоупругости для электропроводной пластины под электромагнитными импульсами рассмотрена в [75]. Стационарные колебания термоэлектроупругой полосы исследованы в [30].

В [130] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача для ортотропной пластины, представляющей группу mm2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрическое смещение.

В работе [111] предложен обобщенный метод решения трехмерной задачи пьезотермоупругости для тел гексагональной сингонии класса 6 mm. Введены две функции пьезотермоупругого потенциала, четыре функции пьезоупругого потенциала и пьезоэлектрический потенциал. Получены отдельные несвязанные разрешающие уравнения для функций потенциалов из уравнений движения для напряжений и уравнения электростатики.

В [11] исследованы задачи об установившихся колебаниях ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускаются как классические главные и естественные граничные условия, так и механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и наличие электродов, запитываемых генераторами тока. Даны обобщенные постановки задач. Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Отмечены свойства вещественной части спектра задач для термоэлектроупругих тел. Изучены вопросы разрешимости неоднородных задач. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменении их модулей в механических, электрических и тепловых граничных условиях.

В работах [138], [66] рассматривается применение численных схем метода граничных элементов в электроупругости и для класса плоских задач термоэлектроупругости об установившихся колебаниях ограниченных тел с частично электродировапной границей, соответственно. МГЭ для задач электроупругости рассмотрен в [105], [28], [29].

В [92] изучена модель пироэлектрического приемника излучения, представляющая собой пьезокерамическую пластину, торцы которой полностью покрыты электродами и замкнуты через внешний контур заданного комплексного сопротивления Z. На одной лицевой поверхности задан тепловой поток, на другой — конвективный обмен тепла с окружающей средой. Принято, что лицевые поверхности свободны от механических напряжении, и керамика поляризована вдоль оси, перпендикулярной лицевым поверхностям. В рамках линейной связанной теории электротермоупругости построено аналитическое решение для амплитудных составляющих перемещений, электрического потенциала и приращения температуры, а также находится разность потенциалов на электродах. При построении модели учитывалось, что электроды имеют малую толщину и, как следствие, пренебрегалось их механическим воздействием на пьезокерамический элемент и неравномерностью распределения тепла, а также учтена малость толщины пластины по сравнению с ее размерами в плане. Для оценки влияния механических перемещении на искомую разность потенциалов была рассмотрена упрощенная модель такой же задачи, основанная на связанных термоэлектрических полях. Также построено аналитическое решение, позволяющее находить амплитудные составляющие электрического потенциала и приращения температуры, а также разность потенциалов на электродах. Получены асимптотические оценки при малых и больших частотах модуляции для этой упрощенной модели. С помощью численных расчетов выявлены частотные диапазоны, где имеется расхождение искомой разности потенциалов для упрощенной постановки задачи.

Методика математического и численного моделирования термомеханического поведения электропроводных тел, находящихся под воздействием внешнего электромагнитного поля, предложена в [16] Для описания напряженно-деформированного состояния тела используются соотношения неизотермического упругопластического течения. Исходной системой уравнений для определения электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, записанные для области, занятой телом, и внешней среды. Учитывается связность электромагнитного и температурного полей. Все физико-механические параметры материала тела зависят от температуры. В качестве примера рассматривается процесс высокотемпературной индукционной обработки стального цилиндра с целью определения в нем остаточных напряжений.

В работе [12] описаны основные принципы проведения конечно-элементного анализа задач теории электроупругости с учетом температурных эффектов, предназначенные для реализации в пакетах ANSYS и ACELAN. Отмечено, что соответствующие разделы этих пакетов не обладают возможностями для проведения связанного термопьезоэлектрического анализа.

В [15] для уравнений связанной термоэлектроупругости в квазистатической постановке исследованы свойства решений во времени, доказано их экспоненциальное убывание. В одномерном случае построена операторная связь наведенного потенциала в зависимости от тока в цепи и теплового потока.

В [17] работе анализируется переходной процесс в термоэлектро-упругом слое при тепловом возмущении на основе сравнения двух расчетных моделей — динамической п квазистатической.

Модель активного управления для слоистой пьезотермоупругой пластины построена в [132]. Рассматриваются задачи термоэлектроупругости для прямоугольной слоистой пьезоэлектрической свободно опертой пластины. Используется уточненная сдвиговая теория третьего порядка. Получено аналитическое решение задачи.

В [91] исследованы дисперсионные множества связанной термоэлектроупругости для полосы.

В работах [86], [87] исследованы связанные динамические задачи для термоэлектроупругих сред при наличии внутренних дефектов. В [88] построена модель в задаче мониторинга прочностных свойств термоэлектроупругих элементов конструкций, проведено исследование асимптотических и дисперсионных свойств решений.

В работе [137] рассмотрена нелинейная теория пьезотермоупруго-сти оболочек с приложением к задачам управления геометрией оболочек. Построены геометрически нелинейные уравнения теории оболочек, учитывающие температуру и пьезоэлектрические эффекты. Исследуется возможность использования слоев из пьезоэлектрика для управления мембранными и изгибными деформациями оболочек различной формы.

В [140] приведены аналитические решения на основе общих результатов для связанных трехмерных уравнений пьезоэлектрической средыполучены результаты для первых пяти частот колебаний секторных и кольцевых пластин. В работе [139] исследуется распространение сдвиговых горизонтальных волн (SH-волн) в полубесконечной упругой среде, склеенной со слоем пьезоэлектрического материала.

Некоторые задачи плоского состояния в термопьезоэлектрических материалах с отверстиями, а также несколько задач плоского напряженного состояния и плоской деформации в рамках теории термопьезоэлектричества изучены в [129].

В [116] приводится общее решение задачи о плоском напряженном состоянии пьезотермоупругой пластины в цилиндрических координатах. В пьезоэлектрических системах и конструкциях активного вида с признаками интеллекта проведен анализ влияния термических градиентов окружающей среды. Изложен метод поиска общего решения задач плоской деформации круговых пластин из пьезотермоупругого материала. Введены потенциальные функции для декомпозиции уравнений равновесия и электростатики. Обсуждаются найденные решения в зависимости от механических и тепловых граничных условий.

В [117] на основе обобщенной формулы Эшелби-Стро отыскивается решение задачи о трещине или эллиптическом отверстии в термопьезоэлектрическом телев замкнутом виде найдены комплексные потенциалы и электрические поля.

В [78] поставлена связанная задача термоэлектродннамики для электронагрева переменным током разнородных феррои парамагнитных тел.

В [127] рассматриваются колебания пьезоэлектрических пластин, которые моделируют режимы функционирования различных преобразователей. Решение строится методом Бубнова-Галеркина.

В работах [19], [22] изучены плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости, проведен асимптотический анализ и выполнены расчеты скоростей и коэффициентов затухания.

Работа [20] посвящена формулировке граничных интегральных уравнений для моделей связанной термоэлектроупругости.

Точное решение статической задачи термоэлектроупругости для пье-зокерамического тела со сфероидальной полостью построено в [82]. Ось симметрии сфероида совпадает с осью анизотропии тела. Предполагается, что на достаточном удалении от полости тело находится под действием равномерного теплового потока, направленного перпендикулярно оси симметрии полости.

В [136] представлена уточненная теория термоэлектромеханики тонких слоистых анизотропных оболочек, подвергающихся механическим, электрическим и термическим воздействиям. Для этого были выписаны определяющие уравнения пьезотермоупругостн анизотропных пьезоэлектрических материалов, а основные термоэлектромеханические уравнения и граничные условия выведены при помощи принципа Гамильтона. Обсуждено применение предложенной теории для динамических измерений и управления. Вследствие весьма общих предположений относительно свойств материалов и геометрии оболочки, разработанная теория может быть использована для конструкций из самых разнообразных материалов, например, пьезокерамик, пьезополимеров и т. д., различной формы, например, для оболочек, плит, колец, стержней. Приведены результаты конкретных расчетов.

В [122] рассмотрена математическая постановка связанной задачи термоупругости о распространении волн в тонком полубесконечпом стержне из пьезоэлектрпка. Уравнение для теплового потока содержит релаксационное слагаемое, что обеспечивает конечность скорости распространения тепла в среде. Задачу удалось решить аналитически с использованием преобразования Лапласа. Обсуждены основные закономерности в распространении скачков перемещений и температуры. Приведен пример расчета.

Методом Лехницкого-Стро в [141] построено общее решение плоской задачи термоэлектроуиругости в случае анизотропной среды. Особое внимание уделено случаям кратных собственных значений. Решение задачи о коллннеарных трещинах на границе раздела двух сред сведено к известной задаче линейного сопряжения — задаче Гильберта.

Задача управления коэффициентом интенсивности термических напряжений в пьезотермоупругом полубесконечном теле с краевой трещиной рассмотрена в [121].

Сферически симметричная начально-краевая задача динамической теории упругости для полой сферы с учетом связанных электрои термомеханических эффектов рассмотрена в [114].

В [128] рассмотрена задача о тепловом нагружении термопьезоэлек-трика с отверстиями или трещинами и представлено численное решение сингулярных интегральных уравнений для неизвестных разрыва температуры и дислокации перемещений и электрического потенциала на границах трещины. При помощи формализма Стро и метода конформного отображения получено единое решение в аналитическом виде для бесконечной термопьезоэлектрической плиты с различными отверстиями под действием теплового нагружения.

В [84] дано краткое изложение сущности метода, предлагаемого для решения некоторых связанных динамических контактных задач, возникающих при исследовании системы «массивное тело — многослойная полуограниченная термоэлектроупругая среда».

В [104] исследовано термоэлектронапряженное состояние анизотропной многосвязной полуплоскости из пьезоэлектрического материала с эллиптическими отверстиями, находящейся в условиях обобщенного плоского термоэлектроупругого состояния при температурном нагру-жении на границе.

Как указывалось выше, развитие исследований в области термоэлектроупругости опирается на результаты, полученные ранее в работах по электроупругости и термоупругости.

Среди наиболее значимых работ по электроупругости отметим монографии и статьи: [7], [8], [10], [27], [33], [38], [47], [48], [115], [62], [63], [67], [73], [76], [79], [95], [97], [98], [99], [108], [96]. [14], [113], [85], [89], [1].

Ряд работ посвящен исследованию поведения тонкостенных пьезоэлектрических элементов: в [135] исследовано деформирование пьезоэлектрических пластин, эффективные характеристики которых определены исходя из трехмерной теории, изучены решения, когда тонкая пластина является силовым приводом или датчиком.

Исследованию электроупругого состояния для многосвязного полупространства посвящены работы [36], [37], для многосвязных областей.

— [5], [6].

Термоупругие эффекты вносят значительный вклад в характеристики физических полей в термоэлектроупругости. Исследованию динамических эффектов в задачах термоупругости посвящены [61], [123], [112]. В [120] рассмотрена система уравнении типа III в теории Грина и Нагди для линейных термоунругпх сред. В терминах преобразования Лапласа по временной координате решены две одномерные задачи о температурном скачке во времени на границе полупространства, при этом граница или жестко заделана, или свободна от напряжений. Обращения преобразований выполнены для малых времен, и решения для напряжения и температуры в среде проиллюстрированы графиками.

Решение задачи о термонапряженном состоянии анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии бесконечного потока тепла и температуры на контурах представлено в [2]. Термоэлектроупругое состояние анизотропных пластин также исследуется в работах [49],[50], [103]. Для определения неизвестных постоянных комплексных потенциалов использован метод наимеиынених квадратов.

В [74] получено точное решение в замкнутой форме связанной динамической задачи термоупругости для полупространства с граничным условием первого рода. Исследовано нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных свободной поверхности, в окрестности фронта упругой волны.

В [133] дана математическая постановка и решение связанной задачи электротермоупругости для совокупности коаксиальных цилиндров из пьезокерамики, учтена зависимость пьезоэлектрических коэффициентов от температуры. Результаты расчетов используются при анализе работы твердотельного двигателя, применяемого в космических исследованиях. Приводится сопоставление теории и эксперимента.

Главное препятствие на пути интенсивного исследования краевых задач термоэлектроупругости — относительно большая размерность этой модели (смещения и., потенциал ip и температура в), в силу чего число решенных (даже численно) краевых задач относительно невелико. Кроме того, отметим, что для исследования связанных задач необходимо располагать большим количеством физических постоянных, находящихся, как правило, из разнородных экспериментов.

С другой стороны, результаты даже тех немногих работ, в которых анализируются численно или аналитически основные свойства решений, свидетельствуют о том, что влияние фактора связанности на такую характеристику, как электрический потенциал, весьма невелико. Это обстоятельство свидетельствует о возможности упрощения процедуры исследования задач термоэлектроупругости в части исследования интегральных характеристик (например, наведенной разности потенциалов), осуществлении декомпозиции исходной задачи, последовательному решению ряда несвязанных задач и уменьшении числа основных неизвестных.

Основной целью настоящей диссертационной работы является формулирование вариационного принципа термоэлектроупругости и его применение для исследования динамических процессов в термоэлек-троупругих тонкостепных элементах с учетом и без учета связанности, выяснение тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты, а в каких ситуациях пренебрежение связанностью недопустимо.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.

Заключение

.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Сформулирован единый вариационный принцип в задачах термоэлектроупругости в стационарном и нестационарном случаях.

2. Построены прикладные теории, описывающие колебания тонкостенных термопьезоэлектрических элементов и подразделяющиеся на плоские задачи и задачи изгиба.

3. Решен ряд задач о колебаниях ленточных пластин при различном виде теплового нагружения на лицевых поверхностяхпроанализирована структура наведенного потенциала в зависимости от температуры и частоты колебанийпоказано, что основной вклад дает задача растяжения-сжатия.

4. Осуществлен анализ влияния типа нестационарного теплового воздействия на наведенный в тонкостенном элементе электрический потенциална основе асимптотического анализа выявлено, что на начальных этапах основной вклад дает теплоэлектрическая связанность задачи, с ростом времени влияние этого фактора ослабевает и основной вклад вносят термоупругий и пьезоэлектрический эффекты.