Дифференциальная геометрия многообразий многомерных квадрик

Актуальность темы

Одним из разделов современной дифференциальной геометрии является геометрия семейств линий и поверхностей, т .е., многообразий, образующим элементом которых является линия или поверхность рассматриваемого пространства.

В.С.Малаховский [l4−2l] осуществил в ^ -мерном проективном пространстве инвариантное построение дифференциальной геометрии: многообразий квадратичных элементов ((к -2)-мерных невырожденных квадрик), а также изучил [13−15] многообразия, образующим элементом которых является плоская алгебраическая поверхность размерности 2к.

В.В.Махоркин [23−28] исследовал многообразия гиперквадрик в Рл. .В работах [l-7] Г. П. Бочилло осуществила в многомерном проективном пространстве инвариантное построение дифференциальной геометрии многообразия невырожденных (-2)-мерных конусов с нульмерной вершиной, а также ассоциированного с ним многообразия нуль-пар .Таким образом, в /гмерном проективном пространстве достаточно глубоко изучена дифференциальная геометрия многообразий, образующим элементом которых является точка, прямая, плоскость [в] ?22] квадратичный элемент, гиперквадрика. Однако многообразия рмерных квадрик (А ^ р < п.-4) почти не изучались. Их исследование составляет важную часть общей теории многообразий квадрик в многомерных пространствах. Данная работа в определенном смысле решает эту проблему.

Цель исследования состоит в изучении некоторых общих вопросов, связанных с дифференциальной геометрией многообразий многомерных квадрик, исследовании: фокальных образов и их геометрической характеристики, изучении. связностей в главных расслоениях ассоциированных с многообразиями квадрик, а также изучения некоторых конкретных ти пов многообразий квадрик в четырехмерном пространстве.

Методика исследования основана на применении, инвариантного — теоретико-группового метода Г. Ф. Лаптева. В работе применяются также методы теории чисел. й, а у ч н, а я новизна. Полученные в работе результаты относятся к геометрии многообразий Рмерных квадрик ранее почти не изучавшихся. Они могут быть использованы в теории поверхностей, а также при изучении, многообразий, образующий элемент которых отличен от точки исходного пространства. Методика разработанная для оценки порядка основного объекта многообразия, применима для различных многообразий.

Исследования, вслю. ченные в диссертацию, — выполнены без. соавторов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ [36−48].

Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались на 5 и 6 Прибалтийских геометрических кон-, ференциях (Друскининкай, 1978 г., Таллин, 1984 г. ХУ конференции Литовского математического общества (Вильнюс, 1974 г.), I областной Гродненской конференции молодых ученых (Гродно, 1979 г.), на семинарах по дифференциальной геометрии многообразий фигур: при Калининградском университете (1974;1984г.г.), на научно-исследовательском семинаре при кафедре геометрии МГПИ им. В. И. Ленина (1980 г., 1982 г., 1984 г.).

Структура диссертации. BI главе получены основные уравнения, изучаются общие вопросы дифференциальной геометрии многообразий Р-мерных квадрик. Во П главе исследуются фокальные образы многообразий квадрик. В Ш главе рассматриваются связности в главном расслоении, ассоциированном с многообразием многомерных квадрик. В 1У главе исследуются некоторые, конкретные типы многообразий квадрик в Р^. При этом построения проводимые в каждой главе, опираются на результаты, полученные в предыдущих главах.

Содержание диссертации. Первая глава посвящена общим вопросам. дифференциальной геометрии многообразий многомерных квадрик Qp.

В § I получены уравнения стационарности многомерной квадрики Qp, выделены структурные формы квадрики, получена система дифференциальных уравнений, определяющая многообразие (h 2 квадрик QP. Доказано, что многообразие (П/ГПч'ЧР квадрик.

Qp определяется с произволом Зтфушщий ГП аргументов, где.

Ср+з*(Р*2)(п-р-4)-пъЧ, m-h ftn ~) z.

Ср+зm+h-i, m>h, в § 2 рассматриваются многообразия (h, h, ln)p квадрик Qp, из структурных форм выделены базисные и получена замкнутая система. дифференциальных уравнений, определяющая многообразие квадрик Ор .

Параграф третий посвящен определению порядка основного объекта многообразия (k, rnln) p квадрик Qp. Доказано, что для того, чтобы основной объект многообразия квадрик Qp имел порядок выше достаточно.

2 о Jk.

2. Р п +2п+т + .••+№.

В § 4 рассмотрены многообразия (п-4 ,/г) и,-з сусЗ— квадратичных элементов (невырожденных квадрик Иверного проективного пространства, имеющих размерность). .Доказано, что внутренний фундаментальный объект первого порядка.

Mnji M J).

I I и icявляется основным объектом многообразия.

Пг^ич, субквадратичных элементов.

Вторая глава посвящена изучению фокальных образов многообразий многомерных квадрик.

В первом параграфе вводится понятие фокально невырожденных многообразий квадрик Qp и дается определение фокального многообразия квадрики Q. Получена система уравнений, задающая фокальное многообразие квадрики Ор в (К, Ь-М) р >а также найдено необходимое условие существования этого фокального многообразия. Во втором параграфе исследуется случай, когда фокальное многообразие квадрики является точечным многообразием, Выделен класс многообразий многомерных квадрик — многообра-' зия (|гн, К1—1у которых локальная коника обладает фокальными точками.

Доказано I) существование у каздой коники бифокальных точек- 2) совпадение числа фокальных точек с произволом существования многообразий (Kl" ^М" /,. Доказано также, что число фокальных точек может быть только четным.

В § 3 осуществлено инвариантное построение частично канонизированного репера конгруэнции’коник в Рп, в котором доказано, что для каждой фокальной точки коники существует направление, вдоль которого касательная к фокальной линии, проведенной в фокальной точке совпадает с касательной к кривой в той же точке.

В § 4 введено понятие характеристического многообразия первого ранга квадрики.

Орб (|гДл)р, получена система уравнений, определяющая это многообразие, определены его размерность и порядок. Введено понятие характеристически невырожденного многообразия квадрик Qp. в § 5 рассматривается случай, когда характеристическое многообразие первого ранга квадрики (fbявляется точечным многообразием, получено условие р = Ке- 1−3,и, 5,. являющееся для характеристически невырожденного многообразия квадрик UP, необходимым для существования характеристических точек первого ранга. Показано, что в общем случае квадрика.

QP характеристически невырожденного многообразия (jfl, кд) р обладает 2 характеристическими точками.

Б § 6 рассмотрены многообразия квадрик с характеристическими точками первого ранга. Доказано, что если размерность квадрики больше или равна трем (р>3), то существует П типов характеристически невырожденных многообразий квадрик Qp с характеристическими точками первого ранга, причем.

IU =.

2.-И, если Р — нечетное число, s. 2, если jp — четное число, здесь? — число всевозможных, различных собственных делителей числа Р. Введено понятие индекса квадрики Qp многообразия.

1 г, Нд) р .

Показано, что если размерность проективного пространства Рп больше или равно шести, то в этом пространстве существует Й. типов характеристически невырожденных многообразий квадрик Qp с характеристическими точками первого ранга, причем, если П — четное число,.

Z, если ft- - нечетное число, где 2 — число всевозможных различных собственных делителей числа П- .

В § 7 осуществлено построение частично канонизированного репера Кг. многообразия (КЛл)р квадрик UP с характеристическими точками первого ранга. Показано, что касательная lмерная плоскость к h, — мерной поверхности, описываемой характеристической точкой первого ранга инцидентна касательной Рплоскости к квадрике Qp в этой же точке и наоборот, всякая инвариантная точка квадрики Qp, описывающая ^—мерную поверхность, касательная плоскость которой инцидентна рмерной касательной плоскости квадрике в этой точке является характеристической точкой первого ранга.

В § 8 изучаются характеристические многообразия квадрики высших рангов. Введено понятие характеристического многообразия квадрики второго ранга. Показано, что при каждая квадрика dp невырожденного многообразия ь) р обла.

0 К fix f дает в общем случае 2™ характеристическими точками второго ранга.

Показано, что одномерные невырожденные многообразия квадрик с характеристическими точками второго ранга существуют в пространствах К «где lbкратное трем, а рчетное числокаждая квадрика Qpcfr^i ~!г)р в общем случае обладает восемью характеристическими точками второго ранга. Введено понятие числового индекса квадрики.

Of многообразия.

В третьей главе изучаются связности в расслоении, ассоциированном с многообразием квадрик.

В § 1 получены основные уравнения и с помощью поля объекта связности задана фундаментально-групповая связность в главном расслоении базой которого является bмерное многообразие плоскостей L>H квадрик Qp, а типовым слоем подгруппа стационарности плоскости Lpn. В § 2 произведено оснащение Бортолоття ассоциированного многообразия, показано, что это оснащение позволяет ввести связность в главном расслоении, охарактеризованы подобъекты и объект связности. В § 3 рассмотрены некоторые частные классы многообразий квадрик Q р в которых оснащение возникает внутренним образом и для конгруэнции коник в Рп, дана геометрическая характеристика оснащающей плоскости.

Б § 4 — 5 изучается связность в расслоении ассоциированном с многообразием обобщенных пространственных элементов [52], то есть плоскостей Lpn вместе с инцидентными им плоскостями Li Дана геометрическая характеристика подобъектов и объекта связности.

В четвертой главе рассматриваются конгруэнции квадрик в четырехмерном проективном пространстве.

В § I получены основные уравнения, определяющие многообразие (3,3,4)j коник Q^ в Рц, а также выведены^уравнения, задающие фокальное многообразие коники i, которое состоит в данном случае из восьми точек.

Второй параграф посвящен канонизации репера R '{^А^Аг, — Вершины Ai и, А г. помещены в фокальные точки коники Q-f точка/)з помещена в подпространство — полярно-сопряженное прямой LA1A2. I, а также Дз инцидентна двумерной плоскости коники Qj. Вершины fis ~ лежат на прямой, являющейся линией пересечения касательных гиперплоскостей к гиперповерхностям iAi), с А2.), (?) соответственно в точках А. А. В. Здесь l — фокальная точка прямой [A t Л JКроме того, вершины А4, fis — являются фокусами луча прямолинейной конгруэнции (/]ц.

В § 3 получены некоторые, ассоциированные с многообразием р

3,3,4)геометрические образы: касательные гиперплоскости к гиперповерхностям (л-/), {Jiz), (.

Аз), характеристические точки граней репера, фокусы лучей прямолинейных конгруэнций, образованных ребрами геометрически фиксированного репера. р

В § 4 рассмотрен частный класс многообразий (3,3,4)j многообразия К. Получена система уравнений Пфаффа многообразия, доказано, что многообразия tL существуют и определяются с произволом четырех функций трех аргументов. Получены некоторые геометрические свойства, характеризующие многообразия К .

В § 5 рассмотрены конгруэнции коник в, А с неопределенными фокальными поверхностями, т. е. такая конгруэнция коник Qi, у которой любые две коники имеют общую точку. Исходя из определения получена вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, задающая конгруэнцию, найдена инвариантная гиперплоскость и стационарная квадрика, которой принадлежат все коники конгруэнции (3,¾)j. В § 6 обобщено понятие расслоения от конгруэнции коник к конгруэнции ции ассоциированных плоскостей на случай четырех и п-мерного проективных, пространств,.

В § 7 рассмотрено двумерное многообразие (2,2,4)^ все коники которого инцидентны стационарной гиперквадрике^Показано, что каждая коника такого многообразия обладает четырьмя фокальными точками, которые геометрически охарактеризованы" .

В § 8 осуществлено обобщение задачи предыдущего параграфа на случай многомерного пространства.

Таким образ ом, пол учены следующие результаты:

Г-Решены общие вопросы геометрии многообразий многомерных квадрик, определен произвол существования многообразия (-t,*1,^ р квадрик Qf> .оценены порядки основных объектов многообразий квадрик Of, найдены порядки основных объектов многообразий (п-1,п-1,п)^п-3 субквадратичных элементов.

2.Введены в рассмотрение и изучены фокальные многообразия квадрикиQpe&-^ksj *}> Доказано, что фокальными точками обладает лишь коника Of невырожденного многообразия (n-I, n-I, n) j найдено число этих фокальных точек и показано, что число фокальных точек может быть только четным.

Заведены понятия характеристических многообразий квадрики Qpe (k, k f различных рангов. Изучены многообразия^,^, hfc квадрик Q-p с характеристическими точками первого ранга, определено число типов таких многообразий. Получена геометрическая характеристика характеристических точек первого ранга. Определено понятие числового индекса квадрики Qf> многообразия^/ h) f.

4.Изучены связности в главном расслоении ассоциированном с многообразием плоскостей квадрик. Показано, что оснащение Бортолотти многообразия && /позволяет ввести связность в главном расслоении G'(В/vJ .Охарактеризованы подобъекты объекта связности. Рассмотрены частные случаи, когда оснащение Бортолоттги возникает внутренним образомв одном из них геометрически охарактеризована оснащающая плоскость. Решен аналогичный круг задач для многообразия обобщенных пространственных элементов. р

5^Доказано, что коники многообразия (2,2,4)|, инцидентные стационарной гиперквадрике, обладают четырьмя фокальными точками. Показано, что существует направление вдоль которого касательная к линии, описываемой точкой, совпадает с касательной к конике в той же точке. Аналогичные результаты получены для многомерного пространства. На случай четырех и — п-мерного проективных пространств обобщено понятие расслоения от конгруэнции коник к конгруэнции ассоциированных плоскостей.

Проводимые в работе рассмотрения носят локальный характер. Все встречающиеся в ней функции предполагаются аналитическими.

— 13.

1.б0чилл0 Г. П. О двупараметрическом многообразии двумерных конусов в .-Материалы 2 Прибалт.геометри.конф.Тарту, Т965, с. 14.

2. Бочилло Г. П. Некоторые вопросы многообразий двойственных себе элементов в проективном пространстве.-ХХУ научно-педагогич. конф. математических кафедр педвузов Уральской зоны. Тезисы докл. исообщений, Свердловск, 1967, С.39−4Г.

3. Бочилло Г. П. О конгруэнции конусов в п-мерном проективном пространстве.-ХХУ научно-педагогич.конф. математических: кафедры педвузов Уральской зоны. Свердловск, 1967, с.39−41.'.

4. Бочилло Г. П. 0 конгруэнции конусов в п-мерном проективном пространств е. II Гмежвуз. научная конф. по проблемам геометрии. Казань, 1967, с*22−23.

5. Бочилло Г. П. О многообразии-конусов в п-мерном проективном пространстве.-Тр.Томского ун-та, 1968, с.55−69.

6. Бочилло Г. П. О некоторых многообразиях проективного пространства двойственных самим себе.2-я Прибалт.геометр.конф. Тезисы докладов. Паланга, 1968, с.28−30.

7. Бочилло Г. П. К проективно-дифференциальной геометрии некоторых многообразий, элементы которых двойственны сами себе. 1У Всесоюзная межвузовская конф. по геометрии. Тбили, 19б9, с. 25.

8. Гейдельман Р. Н. Дифференциальная геометрия семейств под- • пространств в многомерных однородных пространствах.-В кн.:Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.Алгебра.Топология.Геометрия (1965) М., 196 7, с. З 23−376.

9. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах.-В кн.:Алгебра.Топология.Геометрия.1969 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР), М., I97I, c. I23-I67.

10. Maлаховский B.C. Инвариантное гостроение дифференциальной геометрии многообразий плоских алгебраических элементов.Докл.АН СССР, 1963,15 2, $ 3, с 350−552.

11. Малаховский B.C. Многообразия алгебраических элементов в И'-мерном проективном пространстве.-Тр.Томского ун-та, 1963,168, с. 28−42.

12. Малаховский B.C. Многообразия алгебраических элементов в к- -мерном проективном пространстве.-Лит.математич.сборник, 1963,3,)Ь2, с. 128−132.

13. М§ лаховский B.C. Многообразия алгебраических фигур в-мерном однородном пространстве.-Докл.3-й Сибирской конф. по математике и механике, 1964, Томск, с.8−10.

14. Малаховский B.C. Общая характеристика многообразий плоских алгебраических элементов.-Тр.Томского ун-та, 1964,176,с.5−10.

15. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия семейств квадрик.-Первая Белорусская математич.конф.Тезисы докл. Минск, 1964, с.40−44.

16. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве.-В кн.:Тр.геометрич. семинара ВИНИТИ АН СССР, 1969, C. T79−2Q6.

17. Махоркин В. В. Некоторые типы многообразий квадрик.-В кн.: Дифференц. геометрия многообразий фигур, вып.3,Калининград, 1973, с.50−59.

18. Махоркин В. В. Многообразия .квадратичных гиперповерхностей со специальными свойствами ассоциированных многообразий. В кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.6, Калининград, 1975, с.90−93.

19. Махоркин В. В. Однопараметрические семейства квадрик в трехмерном проективном пространстве.-В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып.7,Калининград, 1976, с.61−63.

20. Махоркин В. В. Многообразия гиперквадрик в п-мерном проективном пространстве и их фокальные многообразия.-В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.8,Калининград, 1978, с .<60−63.

21. Махоркин В. В. Конгруэнция квадрик в ft Пятая Прибалтийская геометрич.конф.Тезисы докл. Друскининкай, 1978, с. 55.

22. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. ГИТЛ, М.,-Л., 1948.

23. Фиников С-П. Теория конгруэнций, ГИТЛ, М., 1950.

24. Ходж В. и Пидо Д. Методы алгебраической геометрии.т.2, НЛ, М., 1954.

25. Худенко В. Н. О многообразиях субквадратичных элементов в п-мерном проективном пространстве.-Литовский математич. сборник И 2,1975,с. 148−149.

26. Худенко В. Н. Об основном объекте (п-1)-мерного многообразия субквадратичных элементов.-В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.6,Калининград, 1975, с.222−222. 103.

27. Худенко В. Н. О многообразиях многомерных квадрик.- 5 Прибалтийская геометрич.конф.Тезисы докл., Друскининкай, 1978, с.9Г,.

28. Худенко В. Н. О многообразиях многомерных квадрик.-В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып.10,Калининград, 1979, с.135−140.

29. Худенко В. Н. Многообразия коник в Рч с неопределенными фокальными поверхностями.- В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.12,Калининград, 1981, с. II8-I20,.

30. Худенко¦B.Hi Об одном классе двумерных многообразий коник в РчВ кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып. I, Калининград, 1982, с Л03−106.

31. Худенко В. Н. Связность в расслоении ассоциированном с многообразием квадрикВ кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып. 14, Калининград, 1983, с"'99−102.

32. Худенко В. Н. О связности в расслоении, ассоциированном с многообразием многомерных квадрик.-В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.15,Калининград, 1984, с.96−99.

33. Худенко В. Н. О связности в расслоении, ассоциированном с многообразием многомерных квадрик.-У1 Прибалтийская геометрическая конференция. Тезисы докладов, Таллин, 1984, с. 130.

34. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий, а плоскостей в проективном пространстве.-В кн. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.9,Калининград, 1978, сЛ24−134.

35. Ви^СШ^А/, Проективная классификация грассмановых соотношений и определение линейных моделей совокупностей обобщенных пространственных элементов. Ann. ma-kb. puiaect &PP&-, 1955 } af'4j3/ft -<1601.