Исследование модулей семейств кривых в пространстве и на римановых многообразиях

Во многих вопросах геометрической теории функций важную роль играет метод модулей — метод экстремальной метрики. Модули семейств кривых или поверхностей широко используются в теории однолистных и многолистных функций, в теории римановых поверхностей, в теории конформных и квазиконформных отображений.

В частности, ввиду бедности класса конформных отображений в пространстве, метод модулей является одним из основных при изучении пространственных квазиконформных отображений.

Отметим также, что в последние годы важное применение нашла связь между различными емкостями и модулями семейств кривых (см., напр., [9, 24, 26, 47, 48, 22, 39 ]). Модульная техника применяется и в недавно созданной теории конформно-инвариантных бикомпактных расширений области I 20 ] .

Понятия экстремальной длины и модуля семейства кривых введены Л. Альфорсом и А.Берлингом. Первые работы по развитию метода модулей в нашей стране выполнены Б. В. Шабатом и П.М.Тамразо-вым. Существенный вклад в теорию модулей внесли также В.А.Зо-рич, И. П. Митюк, В. М. Миклюков, Г. Д. Суворов, А. В. Сычев и др.

Из зарубежных математиков отметим Х. Грётша, Б. Фюгледе, Дж. Дженкинса, Ф.Геринга.

Нахождение экстремальных метрик и модулей семейств кривых даже на плоскости нередко связано с трудностями. Эти трудности особенно возрастают, когда кривые лежат в пространстве или на римановых многообразиях. Для отыскания экстремальной метрики не существует универсального метода. В общем случае вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к системам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений. Поэтому до сих пор известно очень мало пространственных задач, для которых модули найдены.

Диссертация посвящена изучению модулей семейств кривых и поверхностей в пространстве и на римановых многообразиях. Она состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 52 наименований.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям.-М.: Мир, 1969. 133 с.

2. Альфоро Л., Берлинг А. (dktfvtA JbeutButy Л) Confo’cntcLt itKratietttis (Lttd fun.

3. Асеев B.B. Об устранимых особенностях для отображений, ограниченно искажающих модули.- В кн.: Динамика жидкости сосвободными границами' (Динамика сплошной среды), вып. 60. Новосибирск: йн-т гидродинамики СО АН СССР, 1983, с.131−138.

4. Берже М. (<Ж.) Zkt c? te de cjiex, -JiUt. Set. Ъс. otfetnt. Sup., 4 set. T /072, l> p.

5. Берже M. (jbett Ж,) Л? cj??#te de ofeeawet.drui. See.. Step., 4 set., J97Z, WZ, p. Z41-Z60.

6. Блаттер К. (ЗМаИеъ С.) Zuv ЯгетаптсАеек (yeomet'&ce. int (уосмеи,.

7. Блаттер К. (ШаЛег С) ёжбъе/ггаМапрек СШ$- уебскИоШнеи, Ж&с/гш. Comment. Jlatk.1961, 35, з. т- №.

8. Бураго Д. М., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства.- Л.: Наука, 1980. 288 с. 9. Валлин Г. k, р) capacity and р — modi/fizt. — гМсб/и^ал. if., 971, 18, «ГЗ, p. 257-Z€ 3,.

9. Вяйсяля Ю. (tfaL6ct?ci У,) rfeetuteb ft- -ALCttal pMtstcottf-O'M.ai mapping. &c?. afytes i*t19711 ZZ97 p. i-Ш.

10. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механики.-М.: Наука, 1966, — 300 с.

11. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление М.: Физматтаз, 1961. 228 с.

12. Геринг Ф. !?) Jейike. /n.octu&: pf xutj6. ConLm-etvt, dlctt/t., J961, 36, p. № 46.

13. Геринг Ф. (Gefabt^) ^tn^b ctnct умоммп -^otmai таррсп^бin. Apace.- Ttcutb. jf/rret. Л/at/t. Sec., 9вг, m, p. 353−333.

14. Геринг Ф. ((xekttti^. F,) fettg-Mtc?e-^inLttctbb fat eonfotmai ca/xecity. ef- ^W^A Л6p&-te, McdU^ax, McdA. If., J96Z, g, p. Ш — 450.

15. Геринг Ф. (Geh’tLtty F,) V-nefyuait'lte$ fat. ccftdejiwcb, кур&сёсвсс cotpCLCt? y7 амсС Zenftk*, Mt&kipcut, J97/7 J8, p. i-ZO.

16. Грётш X. {Gt&t^ck Ж.) Шеъ е/ги^е goctre-рг&ЕръоввеМ c&c k&nfe'c/neft'. I, Jteipz. № 8, 80, У°6, a. 367−376.

17. Дженинкс Дк. Однолистные функции и конформные отображения.- М.: Изд-во иностр. лит., 1962, — 268 с.

18. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.- М.: Наука, 1979. 760 с.

19. Иванов О. В., Суворов Г. Д. Полные решетки конформно-инвариантных компактификавдй области, — Киев: Наукова думка, 1982. 200 с.

20. Кин Л. (Жееп, X.) Ли ея? ге/кбг? etc а, tcrau У. dnafyte Matk., J967, ?9, р. гОЗ-гС6.

21. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы.- Тр. Мат. ин-та АН СССР, 139, Л.: Наука, 1980.240 с.

22. Левнер Ч. (ddcec^M&c С.) On coKfezmet? cctpOL-Cihy, ut прессе. f, MrfJt, Meok, 7 J959, 8, p. 4//.

23. Миклюков B.M. Емкостные методы в задачах нелинейного анализа. Автореф. дис.. доктора физ.-мат.наук.- Киев, 1980.30 с.

24. Митюк И. П. Приведений модуль у випадку простору.-Доп. АН УРСР, № 5, 1964, с. 563−566.

25. Митюк И. П. Оценки внутреннего радиуса (емкости) некоторой области (конденсатора). Известия СКНЦ Ш (Естеств. науки), 1983, Jfc 3, с. 36−38.

26. Навоян В. Х. О непрерывности конформной емкости пространственного конденсатора.- У|ф. мат.журн., 1981, 33, № 3,с. 421−426.

27. Навоян В. Х. О модулях некоторых семейств кривых, лежащих на неоринтируемых трехмерных многообразиях.- В кн.: Моногенные функции и отображения. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 86−90.

28. Навоян В. Х. Вычисление модуля одного семейства кривых в «скрученном» полнотории.- В кн.: Теория функций и топология, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 97−104.

29. Навоян В. Х., Тамразов П. М. Модули семейств нестягиваемых петель в «скрученном» полнотории.- В кн.: Контурно-телесные теоремы и модули семейств кривых. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с.15−22.

30. Пью П. (fat (Р.) $omt ittetjsUaicket.

31. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды, — М.: Наука, 1981, — 800 с.

32. Ренгли Г. (Яепррбс Ж.) ^кеоге/яе en&ttioit ctPftfotm-e, С. t. J? ca>c?, Sec. Рагся, Q5Z, 235- f. 1533 № 5,.

33. Родин Б. ((RccUtt The wetk of Cozttetnaf fenptk, ЗЗгМ. Лме*. See., m*tf8C, УЧ p. 5&7 — €C€,.

34. Сычев А. В. Пространственные квазиконформные отображения.- Новосибирск: Новосибирск, гос. ун-т, 1975. 98 с.

35. Сычев А. В. Модули и пространственные квазиконформные отображения.- Новосибирск, Наука, 1983, — 152 с.

36. Сюита Н. <У,) Oft, а мп^сши-Ьу, Цештсс of &x&ce/nct?. ?ztiс $e/x.Яер., mi, P. m nr.

37. Сюита H. (Siu6ol Ж) CW s&'6 ъеабапуЛе гкарр+п^л olk. CC tf ея? ие/?га? JlddcU Mcdk. Se/x. fiep., J9C7, J9, p. № 5- 438.

38. Тамразов П. М. Емкости конденсаторов. Метод перемешивавания зарядов. Матем. сб., 1981, 115 (157), № 1(5), с. 40 — 73.

39. Тамразов П. М. Метод экстремальной метрики и конформное отображение. Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук.- Киев: 1963. 23 с.

40. Тамразов П. М. Теорема про л1н1йн1 1нтеграли для екст-ремально1 довжини.- Доп. АН УРСР. Сер. А, 1966, & I, с.51−54.

41. Тамразов П. М. О непрерывности некоторых конформных инвариантов.- Укр. мат.журн., 1966, 18, Л 6, с. 78−84.

42. Фюгледе Б. (FufCecte ?>.) <�§ xttemo? ?en$?tt> Ctn. cC j-uncttoftcct com-pie-tie-ft-, ЛСа&с., 1957, 98,.

43. Херш Ж. ('ЖеысА) ecclre/vctСед &-Ь tke&uie с? еь Сс/пмемА. J/a/A.19 557 Z9, -р. 30J-ЗСТ.

44. Хажалия Г. Я. 0 конформном отображении двусвязных областей на кольцо.- Тр. Тбил. мат. ин-та, 1937, № I, с. 89−107.46. Цимер В. W) a/ict ccttf0tmct? сарассбу, — Яъа/гл, jf/v&-t.ж?, ж, ус3, p. W-47*.

45. Цимер В. (Zee/vet W.) gxbcemaB ёек^ёк, Wtct р сарос. ct-Ly, — Лкс/и^аи tMeitk. тз, J6, р. 43 -51.

46. Цимер В. (Ziewe^c W,) toc? tewa?1. ot eCLpctulff, ed&c/Upa/t cJSaJJi, — J&ftf, 7, S’Z, p. J?T-128.

47. Цлаф Л. Я, Вариационное исчисление и интегральные уравнения.- М.: Наука, 1970. 192 с.

48. Шабат Б. В. Метод модулей в пространстве.- Докл. АН СССР, I960, 130, № 6, с. I2I0-I2I3.

49. Волонтис В. (Wc&>/ctc6 fV.) Ръереь&еь ef-CCufrtjnaiuzcto'cccLKstl. Ляг&с. tf.., 1.5Z, T4, p. 58T-€ 0e.

50. Математическая энциклопедия. В 4-х томах. М.: Советская энциклопедия, 1977.