Геометрическая топология областей голоморфности

Одним из наиболее важных эффектов в многомерном комплексном анализе является «принудительное аналихическое продолжение» всех голоморфных функций из некоторых областей. Особый интерес представляют ситуации, в которых существование такого продолжения можно вывести из геометрических и топологических условий.

Классическим примером является теорема Хартогса, согласно которой всякая функция, голоморфная в окрестности связной замкнутой вещественной гиперповерхности в Сп, п > 2, голоморфно продолжается в ограниченную этой гиперповерхностью область. Как показал намного позже X. Кернер [64], подобное утверждение справедливо также и для многозначных аналитических функций и отображений.

Теорему Харто1 са-Кернера можно применить, например, к построенным в работах С. И. Пиичука и А. Г. Витушкина многозначным продолжениям ростков юломорфных эквивалентностей между строго псевдовыпуклыми вещественно-аналитическими гиперповерхносгями. Получающееся в резулыахе утверждение об аналитическом продолжении локальных отображений границ строго исевдовыиуклых областей оказывается точным: имеет место теорема, объединяющая многомерные аналоги теоремы униформизации и принципа соохвехслвия границ [89, 90].

Теорема. Пусть D и D' — строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами на многообразиях Штейна. Тогда эквивалентны следующие два условия:

1. Универсальные накрытия областей D и D' биголоморфны.

2. Границы этих областей 3D и 0D' локально биголоморфны.

В частности, штейнова строго псевдовыпуклая область с вещественно-аналитической границей тогда и только тогда голоморфно накрывается шаром, когда ее граница локально биголоморфна сфере.

Доказательство эюй теоремы изложено в главе 2 наряду с другими результатами о соответствии между локальными отображениями вещественных гиперповерхностей и глобальными отображениями содержащих их комплексных многообразий.

Теорему Хартогса можно обобщать и в другом направлении, а именно, рассматривать вместо гиперповерхностей произвольные компактные вещественные подмногообразия М <�ё Сп. Воспользовавшись теоремой Лефшеца для многообразий Штейна, нетрудно показать, что если вещественная размерность к = dimR М подмногообразия М строго больше п (т.е. комплексной размерности объемлющего пространства), то оболочка голоморфности всякой его окрестности содержит некоюрую (к + 1)-мерную цепь, ограниченную эгим подмногообразием (см. раздел 1.2).

Относи!ельно недавно было обнаружено, что на двумерных комплексных многообразиях подобные эффекты возникают и для вещественных подмногообразий, размерность которых равна комплексной размерности объемлющего комплексного многообразия, т. е. для вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. По-видимому, это явление было впервые подробно изучено при решении следующей задачи, поставленной А. Г. Витушкиным в 80-х годах прошлого века.

Гипотеза А. Если гладко вложенная двумерная сфера в комплексной проективной плоскости CP2 представляет ненулевой класс двумерных гомологий, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.

Как заметил С. М. Ивашкович, это действихельно задача об аналитическом продолжении — гипотеза утверждает по существу, что всякая голоморфная в окрестности такой сферы функция i оломорфно продолжав 1ся на всю проективную плоскость и, следовательно, постоянна в силу компактности CP2 и принципа максимума.

Справедливость гипотезы, А была установлена авюром в рабохе [81]. Доказательство опиралось с одной стороны на общие результаты об аналитическом продолжении, а с другой — на свойства гладких четырехмерных многообразий, установленные в последнее десятилетие с помощью инвариантов Дональдсона и Зайберга-Виттена. В диссертации изложены два варианта этого рассуждения (см. следствие 4.2.1 и теорему 4.3.2).

Методы, использованные при доказательстве гипотезы А, позволяют получить целый ряд утверждений об аналитическом продолжении функций, голоморфных в окрестности вложенных или, более общим образом, погруженных вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. Глава 4 посвящена главным образом изложению результатов такого типа в различных геометрических ситуациях. Отметим, в частности, «лемму Чирки-Хартогса» и ее обобщения (см. раздел 4.4), а также аналог ги-погезы, А для двумерных сфер, вложенных в С2 (теорема 4.1.1). Кроме того, те же особенности дифференциальной топологии штейновых комплексных поверхностей применяются в разделе 4.5 для доказательства еще одной гипотезы А. Г. Витушкина:

Гипотеза В. Нельзя приклеить аналитический диск снаружи к диф-феоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2.

Здесь стоит отметить, чю хотя гипо! езы, А и В возникли в связи с известной «гипотезой о якобиане,» их положительное решение никак на статус этой гипотезы не повлияло (подробнее об эюм см. [25] и [123]).

Основным топологическим ингредиентом доказательства гипотез, А и В является так называемое «неравенство присоединения1,» позволяющее оценить род вещественной поверхности, реализующей заданный классе гомологий на комплексной поверхности. Такие неравенства были первоначально получены на компактных комплексных поверхносхях П. Кронхаймером и Т. Мрувкой [68], Р. Финташелом и Р. Стерном [36] и, в наиболее общем виде, П. Ожватом и 3. Сабо [96] в ходе доказательсхва известной гипотезы Рене Тома (см. пример 3.6.6). П. Лиска и Г. Матич [73]^то не очень благозвучный перевод английского термина adjunction inequality и авюр [81] перенесли их на штейновы комплексные поверхности при помощи теоремы Э. JI. Стаута [115] об алгебраической аппроксимации многообразий Штейна. В главе 3 изложен подробный вывод весьма общего неравенства присоединения (см. раздел 3.7) и объяснена его связь с проблемой существования штейновых окрестностей вещественных поверхностей в комплексных поверхностях.

Неравенства присоединения для вещественных поверхностей выражают весьма специфические геометрические свойства четырехмерных гладких многообразий. Поэтому не удивительно, что вытекающие из них утверждения об оболочках вещественных подмногообразий половинной размерности как правило не имеют места на комплексных многообразиях комплексной размерности п > 3. С общей точки зрения эю объясняется глубокой теоремой Я. М. Элиашберга [30] (см. раздел 1.2). В главе 5 рас-сма!ривается достаточно конкретная ситуация вложенной n-мерной сферы в Сп при п > 3 и доказывается, что в отличие ог двумерного случая такая сфера можег быть гомологически нетривиальна в своей оболочке голоморфности и даже в своей рационально выпуклой оболочке. Этот результат (теорема 5.3.1) иллюстрирует отличие «очень» многомерного случая от двумерного и дает положительный ответ на вопрос А. К. Циха о существовании гомологически нетривиальных сфер в дополнении к общей алгебраической гиперповерхности в Сп при пф 2. * *.

Эта работа была бы невозможна без определяющего влияния академика А. Г. Витушкина (1931;2004). Результаты главы 2 были получены совмес1НО с Р. Г. Шафиковым. Автор признателен также проф. В. К. Бе-лошапке, к.ф.-м.н. А. В. Домрину, д ф.-м.н С. М. Ивашковичу, к ф.-м.н. Н. Г. Кружилину, к.ф.-м.н. С. Ю. Оревкову, проф. А. Г. Сергееву, чл.-корр. Е. М. Чирке, Dr. hab. В. В. Шевчишину и д.ф.-м.н. Н. В. Щербине за многочисленные полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

1 Аналитическое продолжение функций многих комплексных переменных.

1. P. Ahern, W. Rudin, Totally real embeddmgs ofS3 in C3, Proc Amer. Math. Soc. 94 (1985), 460−462.

2. S. Akbulut, R Matveyev, A convex decomposition theorem for 4-manifolds, Internat. Math Res Notices (1998), no. 7, 371−381.

3. H. Alexander, Holomorphic mappings from the ball and pohjdisc, Math. Ann. 209 (1974), 249−256.

4. A. Andreotti, T. Frankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann of Math. (2) 69 (1959), 713−717.

5. A. Andreotti, R. Narasirnhan, A topological property of Runge pairs, Ann of Math. (2) 76 (1962), 499−509.

6. В. И. Арнольд, A. H. Варченко, С. M. Гусойн-Заде, Особенности дшрфе-ренцируемых отображений Монодромия и асимптотики интегралов, М: Наука, 1984.7J W. Barth, С. Peters, F Van de Ven, Compact Complex Surfaces, Springer-Vorlag, Berlin, 1984.

7. E Bedford, B. Gaveau, Envelopes of holomorphy of certain 2-spheres in.

8. E. Bedford, W. Klingenberg, On the envelope of holomorphy of a 2-sphere in C2, J. Am Math Soc. 4 (1991), 623−646.

9. В. К. Белошапка, Пример пепродолжаемого голоморфного преобразования аналитической гиперповерхности, Мат. заметки 32 (1982), 121−123.

10. Е. Bishop, Holomorphic completion, analytic continuation, and the interpolation of semi-norms, Ann Math. 78 (1963), 468−500.

11. E Bishop, Differentiable manifolds in complex Euclidean space, Duke Math. J. 32 (1965), 1177−1192.

12. R Bott, On a theorem of Lefschetz, Michigan Math. J. 6 (1959), 211−216.

13. L Boutet de Monvel, Le noyau de Bergman en dimension 2 (suite), Seminaire E D P., Ecole Polytechnique, 1987;88, expose n° 22.

14. L. Boutet de Monvel, J. Sjostrand, Sur la smgularite des noyaux de Bergman et de Szego, JourneesEquations aux Dorivees Partielles de Rennes (1975), pp. 123−164. Asterisque, No 34−35, Soc. Math. France, Paris, 1976.

15. D. Burns, S Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent. Math. 33 (1976), 223−246.

16. Н. А. Бурученко, А. К. Цих, О гомологическом приведении циклов в дополнении к алгебраической гиперповерхности, Мат. сб. 186 (1905), 3140.

17. S.-Y. Cheng, Open Problems, Conference on Nonlinear Problems in Geometry held in Katata, September 3−8, 1979, p. 2, Tohoku University, Department of Mathematics, Sendai, 1979.

18. SY. Cheng, ST. Yau, On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl. Math. 33 (1980), 507−544.

19. S. S. Chern, S. Ji, On the Riemann mapping theorem, Ann. of Math. (2) 144 (1996), 421−439.

20. S. S. Chern, J. K. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219−271.

21. E. M. Чирка, Обобщенная лемма Гартогса и нелинейное д-уравнение, Комплексный анализ в современной математике, 19−30, М Фазис, 1998.

22. К. Diederich, Т Ohsawa, Harmonic mappings and disc bundles over compact Kahler manifolds, Publ Res. Inst. Math. Sci 21 (1985), 819−833.

23. F. Docquier, H Grauert, Levisches Problem und Rungescher Satz fur Teilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math. Ann 140 (1960), 94−123.

24. А. В. Домрина, Пример строго псевдовыпуклой гомеоморфной шару области, к которой снаружи подклеивается комплексный диск, Мат заметки 60 (1996), по 6, 919−924.

25. S. К. Donaldson, Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topology 29 (1990), 257−315.

26. J Duval, Convexite rationnelle des surfaces lagrangiennes, Invent. Math. 104 (1991), 581−599.

27. J Duval, N Sibony, Polynomial convexity, rational convexity, and currents, Duke Math. J. 79 (1995), 487−513.

28. A. Eastwood, A propos des varietes hyperboliques completes, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 280 (1975), A1071-A1074.

29. Ya. Eliashberg, Topological characterization of Stem manifolds of dimension > 2, Int. J. Math. 1 (1990), 29−46.

30. Ya. Eliashberg, Filling by holomorphic discs and its applications, Geometry of low-dimensional manifolds, London Math. Soc. Lect. Notes 151, 45−67, London, 1990.

31. В. М Харламов, Я М Элиашберг, О числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексной поверхности, Труды Ленинградской международной топологической конференции (23−27 августа 1982 г.), JI.: Наука, 1983.

32. L. Evens, The cohomology of groups, Oxford University Press, New York, 1991.

33. E Falbel, A simple proof of the Riemann mapping theorem for domains with spherical boundary, Complex Var. Theory Appl. 48 (2003), 277−282.

34. C. Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent. Math. 26 (1974), 1−65.

35. R. Fintushel, R Stern, Immersed spheres in 4-manifolds and the immersed Thorn conjecture, Turk J. Math. 19 (1995), 145−157.

36. J. E. Fornaess, E L0w, Proper holomorphic mappings, Math Scand 58 (1986), 311−322.

37. J E. Fornaess, D Ma, A 2-sphere in C2 that cannot be filled m with analytic discs, Int. Math. Res. Notices 1 (1995), 17−22.

38. F. Forstneric, Complex tangents of real surfaces in complex surfaces, Duke Math. J 67 (1992), 353−376.

39. F. Forstneric, Stem domains m complex surfaces, J. Georn Anal. 13 (2003), 77−94.

40. S. Fu, B. Wong, On strictly pseudoconvex domains with Кahler-Einstein Bergman metrics, Math. Res Lett. 4 (1997), 697−703.

41. R Fujita, Domaines sans point critique mteneur sur I’espace projectif complexe, J. Math. Soc. Japan 15 (1963), 443−473.

42. R. Fujita, Domaines sans point critique interieur sur I’espace produit, J. Math. Kyoto Urnv 4 (1965), 493−514.

43. D. Gay, Symplectic 2-handles and transverse links, Trans. Airier. Math. Soc 354 (2002), 1027−1047.

44. W. Goldman, M Kapovich, B. Leeb, Complex hyperbolic manifolds homotopy equivalent to a Riemann surface, Comm. Anal. Georn. 9 (2001), 61−95.

45. R. E. Gompf, Handlebody construction of Stein surfaces, Ann. of Math (2) 148 (1998), 619−693.

46. R. E. Gompf, Stem surfaces as open subsets of C2, J. Symplectic Geom. 3 (2005), 565−587.

47. R. E Gompf, A Stipsicz, 4-mamfolds and Kirbxj calculus, Graduate Studies in Mathematics, 20. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

48. I. Graham, Boundary behavior of the Caratheodory and Kobayashi metrics on strongly pseudoconvex domains in Cn with smooth boundary, Trans Amer. Math. Soc 207 (1975), 219−240.

49. R Graham, Scalar boundary invariants and the Bergman kernel, Springer Lecture Notes in Math., vol. 1276, pp. 108−135, Springer, Berlin, 1987.

50. H Grauert, On Levi’s problem and the imbedding of real-analytic manifolds, Ann Math. 68 (1958), 460−472- Русский переводМатематика 4−3 (1960), 29−40.

51. H. Grauert, R. Remmert, Konvexitat m der komplexen Analysis Nicht-holomorph-konvexe Holomorphiegebiete und Anwendungen auf die Abbildungstheone, Comment. Math. Helv. 31 (1956), 152−183.

52. M. Громов, Дифференциальные соотношения с частными производными, М: Мир, 1990.

53. A. Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology, Available online from http://www.math.Cornell.edu/~hatcher.

54. C. D. Hill, R Shafikov, Holomorphic correspondences between CR manifolds, Indiana Math. J. 54 (2005), 417−442.

55. L. Hormander, L2 estimates and existence theorems for the д-operator, Acta Math 113 (1965), 89−152.

56. JI. Хермандер, Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, М.: Мир, 1968.

57. X Huang, S. Ji, Global holomorphic extension of a local map and a Riemann mapping theorem for algebraic domains, Math. Res. Lett. 5 (1998), 247−260.

58. С. M. Ивашкович, Продолжение локально биголоморфных отображений областей в комплексное проективное пространство, Изв. АН СССР. Сер мат. 47 (1983), 197−206.

59. S. Ivashkovich, The Hartogs-type extension theorem for meromorphic maps into compact Kahler manifolds, Invent Math. 109 (1992), 47−54.

60. S. Iva&hkovich, V. Shevchishin, Structure of the moduli space in the neighbourhood of a cusp curve and meromorphic hulls, Invent. Math. 136 (1999), 571−602.

61. С. M. Ивашкович, В. В. Шевчишин, Деформации некомпактных комплексных кривых и оболочки мероморфности сфер, Мат. сб 189 (1998), 23−60.

62. H Kerner, Uber die Fortsetzung holorriorpher Abbildungen, Arch. Math. 11 (1960), 44−49.

63. H. Kerner, Uberlagerungen und Holomorphiehullen, Math Ann 144 (1961), 126−134.

64. P. Kiernan, Extensions of holomorphic maps, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 347−355.

65. P F. Klembeck, Kahler metrics of negative curvature, the Bergmann metric near the boundary, and the Kobayashi metric on smooth bounded strictly pseudoconvex sets, Indiana Univ. Math. J. 27 (1978), 275−282.

66. M. Klnriek, Plunpotential theory, Clarendon Press, Oxford, 1991.

67. P. В Kronheimer, T. Mrowka, The genus of embedded surfaces m the projective plane, Math. Res. Lett 1 (1994), 797−808.

68. H. Г. Кружилин, Двумерные сферы в границах строго псевдовыпуклых областей в С2, Изв. АН СССР. Сер мат 55 (1991), 1194−1237.

69. Н. F Lai, Characteristic classes of real manifolds immersed in complex manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 1−33.

70. J. Alexander Lees, The surgery obstruction groups of С. Т. C. Wall, Advances in Math 11 (1973), 113−156.

71. A Libgober, Homotopy groups of the complements to singular hypersurfaces II., Ann. of Math. (2) 139 (1994), 117−144.

72. P Lisca, G. Matic, Tight contact structures and Seiberg-Witten invariants, Invent. Math. 129 (1997), 509−525.

73. P. Lisca, G. Matic, Stem 4-manifolds with boundary and contact structures, Topology Appl 88 (1998), 55−66.

74. QK Lu, On Kahler manifolds with constant curvature, Acta Math Sinica 16 (1966), 269−281 (Chinese). (English transl. in Chinese Math.-Acta 8 (1966), 283−298.).

75. W. S Massey, Proof of a conjecture of Whitney, Pacific J. Math. 31 (1969), 143−156.

76. Y. Mdtsushima, A. Morimoto, Sur certames espaces fibres holomorphes sur une variete de Stem, Bull. Soc Math. France 88 (1960), 137−155.

77. Дж. Милнор, Теория Морса, М.: Мир, 1965.

78. Н. М Мишачев, Я. М. Элиашберг, Введение в h-припцип, М.: Издатель-ciBO МЦНМО, 2004.

79. С. Ю. Немировский, Штейновы области на алгебраических многообразиях, Маг. заметки 60 (1996), 295−298.

80. С. Ю. Немировский, Голоморфные функции и вложенные вещественные поверхности, Мат заметки 63 (1998), 599−606.

81. С. Ю. Немировский, Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций, Дисс. канд. физ.-мат. наук, МГУ, мех-мат ф-т, 1998.

82. С. Ю. Немировский, Вложения двумерной сферы в штейновы поверхности, Докл. Рос Акад Наук Сер. мат. 362 (1998), 442−444.

83. С. Ю. Немировский, Комплексный анализ и дифференциальная топология на комплексных поверхностях, Успехи Мат. Наук 54:4 (1999), 47−74.

84. С. Ю. Немировский, Штейновы области с Леви-плоскими границами па компактных комплексных поверхностях, Мат заметки 66 (1999), 632— 634.

85. S Neinirov&ki, Geometric methods in complex analysis, European Congress of Mathematics, Vol. II (Barcelona, 2000), 55−64, Progr. Math., 202, Birkhauser, Ba&el, 2001.

86. С. Ю. Немировский, Топология дополнений к гиперповерхностям и рационально выпуклые оболочки, Труды Мат. Инст. им Стеклова 235 (2001), 169−180.

87. S Nemirovski, Adjunction inequality and coverings of Stem surfaces, Turk. J Math 27 (2003), 161−172.

88. С. Ю. Немировский, P. Г. Шафиков, Упиформишция строго псевдовыпуклых областей, I, Изв Рос Акад. Наук Сер. Мат. 69.6 (2005), 115−130.

89. С. Ю. Немировский, Р. Г. Шафиков, Униформимция строго псевдовыпуклых областей, II, Изв Рос Акад. Наук Сер. Мат. 69 6 (2005), 131−138.

90. С Ю Немировский, Р. Г. Шафиков, Гипотезы Чена и Рамаданова, Успехи Мат Наук 61−4 (2006), 193−194.

91. L. Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics 28. AMS, Providence, RI, 2000.

92. T. Ohsawa, A Stem domain with smooth boundary which has a product structure, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 18 (1982), 1185−1186.

93. T. Ohsawa, On the complement of Levi-flats in Kahler manifolds of dimension > 3, preprint, 2005.

94. К. Ока, Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables IX. Domames finis sans point critique intirieur, Jap. J. Math. 23 (1953), 97−155.

95. P Ozsvath, Z Szabo, The symplectic Thorn conjecture, Ann. of Math. (2) 151 (2000), 93−124.

96. Ф. Фам, Обобщенные формулы Пикара-Лефшеца и ветвление интегралов, Математика 13:4 (1969), 61−93.

97. С. И Пинчук, О собственных голоморфных отображениях строго псевдовыпуклых областей, Сиб. мат. ж. 15 (1974), 909−917.

98. С. И. Пинчук, Об аналитическом продолжении голоморфных отображений, Мат. сб. 98 (1975), 416−435.

99. С. И. Пинчук, О голоморфных отображениях вещественно-аналитических гиперповерхностей, Мат. сб 105 (1978), 574−593.

100. С. И. Пинчук, Аналитическое продолжение голоморфных отображений и проблемы голоморфной классификации многомерных областей, Маг. заметки 33 (1983), 301−314.

101. С. И Пинчук, Голоморфные отображения в Сп и проблема голоморфной эквивалентности, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления Т. 9. М., 1986, 127−196.

102. С. И. Пинчук, Ш. И. Цыганов, Гладкость CR-отображений между строго псевдовыпуклыми гиперповерхностями, Изв АН СССР 53 (1989), 1120−1129.

103. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, М.: ИЛ, 1956.

104. I. P. Ramadanov, A characterization of the balls in.

105. J.-P. Rosay, A counterexample related to Hartogs' phenomenon (a question by E Chirka), Michigan Math J. 45, 1998, 529−535.

106. JP. Rosay, Sur une caracterisation de la boule parmi les domames de C" par son groupe d’automorphismes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29 (1979), ix, 91−97.

107. R. Shafikov, Analytic continuation of germs of holomorphic mappings between real hypersurfaces in Cn, Michigan Math. J. 47 (2000), 133−149.

108. R Shafikov, Analytic continuation of holomorphic correspondences and equivalence of domains in Cn, Invent. Math. 152 (2003), 665−682.

109. H. В. Щербина, Газложение общей границы областей голоморфности на аналитические кривые, Изв АН СССР 46 (1982), 1106−1123.

110. Y.-T. Siu, Every Stem subvanety admits a Stem neighbourhood, Invent. Math. 38 (1976), 89−100.

111. Y.-T. Siu, д-regularity for weakly pseudoconvex domains in compact Hermitian symmetric spaces with respect to invariant metrics, Ann of Math. (2) 156 (2002), 595−621.

112. K. Stein, Uberlagerungen holomorph-vollstandiger komplexer Raume, Arch. Math. 7 (1956), 354−361.

113. G. Stolzenberg, Polynomially and rationally convex sets, Acta Math 109 (1963), 259−289.

114. E. L. Stout, Algebraic domains in Stem manifolds, Banach Algebras and several complex variables. Proc Conf. New Haven/Conn 1983 Contemp. Math. 32 (1984), 259−266.

115. А. Б. Сухов, О граничной регулярности голоморфных отображений, Мат. сб 185 (1994), 131−142.

116. A. Takeuchi, Domaines pseudoconvexes mfinis et la metrique riemanmenne dans un espace projectif J. Math. Soc. Japan 16 (1964), 159−181.

117. A. Takeuchi, Domaines pseudoconvexes sur les varietes Kahleriennes, J. Math Kyoto Univ 6 (1967), 323−357.

118. N. Tanaka, On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space ofn complex variables, J. Math Soc. Japan 14 (1962), 297−429.

119. T. Ueda, Pseudoconvex domains over Grassmann manifolds, J. Math. Kyoto Univ 20 (1980), 391−394.

120. А. Г. Витушкин, В. В. Ежов, Н. Г Кружилин, Продолжение локальных отображений псевдовыпуклых поверхностей, Докл. АН СССР 270 (1983), 271−274.

121. А. Г. Витушкин, Вещественно-аналитические гиперповерхности в комплексных многообразиях, Успехи мат. наук 40 2 (1985), 3−31.

122. А Г. Витушкин, Описание гомологий разветвленной накрывающей над С2, Мат. заметки 64 (1998), по. 6, 839−846.

123. S Webster, On the mapping problem for algebraic real hypersurfaces, Invent. Math 43 (1977), 53−68.

124. B. Wong, Characterization of the unit ball in Cn by its automorjihism group, Invent Math. 41 (1977), 253−257.