Математическое моделирование фронтальной части течения в каналах и реках при нестационарном стоке

Один из предметов гидродинамики — изучение течений жидкости в трубах и каналах. В основном исследовались стационарные течения первоначально идеальной, а затем вязкой и турбулентной жидкости в трубах. Течения вязкой жидкости со свободной поверхностью изучены слабо, в особенности, нестационарные течения и различные явления, возникающие вследствие нестационарности стока.

Нестационарность течений воды в реках и каналах возникает при катастрофических осадках или сбросе значительных объемов воды из водохранилищ. Как следует из данных наблюдений, резкое увеличение стока нередко сопровождается обострением переднего фронта течения и внезапным резким увеличением уровня реки на большом расстоянии от водохранилищ и зон осадков. Это явление особенно заметно при выполаживании течения, на равнинной части реки, где, казалось бы, следовало ожидать спокойного медленного повышения уровня. Свидетелями и невольными участниками этого события стали жители станицы Барсуковской и города Невинномысска (Ставропольский край) в июне 2002 г.

Эффект обострения переднего фронта течения реки часто наблюдается. В частности, на реках Амазонке и Северн [34] сильный прилив проходит много километров по мелководью и на большом расстоянии от океана образуется подвижная форма гидравлического прыжка или так называемая «бора» .

Движение жидкости в реках и каналах при нерегулярном стоке рассматривалось только в отдельных работах. В [103] и [82] решена двумерная задача и получено распределение скоростей жидкости при её установившемся движении в лотке, ширина которого намного больше высоты. Однако, опираясь на эти результаты, невозможно корректно описать явление обострения переднего фронта в реках и каналах, поскольку в имеющихся моделях не учитывается начальная скорость сброса и влияние геометрических размеров и формы сечений каналов и рек на течение. Поэтому достаточно достоверный расчет течений может быть выполнен, как правило, только в рамках трехмерной модели, учитывающей форму русла реки и наличие постоянного стока, а также турбулентный характер течения при больших скоростях и в неровных руслах.

Как показано ниже, образование ударного переднего фронта течения жидкости может происходить как при значительных одномоментных сбросах, вызванных переполнением водохранилища или прорывом дамбы, так и при сравнительно небольших сбросах, которые могут приводить к обострению переднего фронта течения на больших расстояниях от источника. Наиболее опасными с практической точки зрения являются сбросы, при которых не происходит появления ряби, в которой начальный импульс рассеивается по всей поверхности. Вместо этого он локализуется в устойчиво распространяющейся волне, которая перемещается по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения волны. Как известно [84], эволюцию в идеальной жидкости уединенных волн (солитонов) описывает уравнение Кортевега — де Фриза. Однако модель, приводящая к этому уравнению, не учитывает наличие в реальных жидкостях вязкости. Поэтому распространение волны, вызванной сбросом небольших объемов воды из водохранилищ, можно изучить только на основе модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, учитывающего вязкость жидкости.

При нестационарном стоке при пологом возрастающем начальном переднем фронте течения со временем происходит его обострение. В конечном итоге фронт течения становится ударным прямоугольным. Это утверждение полностью соответствует многим данным наблюдений. Появление ударного фронта течения часто сопровождается разрушением мостов и прибрежных построек. Поэтому необходимо предложить эффективные способы, препятствующие его появлению.

Целью работы является моделирование течений при нестационарном стоке жидкости в реках и каналах, сопровождающихся образованием ударного переднего фронта на значительных расстояниях от источников течений.

Для достижения поставленной цели нами решены следующие частные задачи:

• построена плоская модель распространения длинных волн малой амплитуды на поверхности идеальной жидкости, вызванных импульсным сбросом воды из резервуара;

• модель движения длинных волн малой амплитуды уточнена с учетом эффектов, вызванных вязкостью жидкости;

• построена упрощенная двухслойная двумерная модель, описывающая распространение вязкой жидкости по наклонной плоскости;

• построена упрощенная трехмерная модель ламинарного движения жидкости в наклонном канале эллиптического сечения;

• построена упрощенная модель однослойного и двухслойного движения жидкости в канале прямоугольного сечения;

• построена плоская модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости;

• построена модель турбулентного движения в наклонном канале кругового сечения;

• изучены характерные особенности стока рек и формы русла рек Северного Кавказа, определены места, где возможно обострение переднего фронта течения при нестационарном стоке и сделаны рекомендации по предотвращению появления ударного переднего фронта вблизи населенных пунктов.

Научная новизна состоит в том, что разработаны модели ламинарного и турбулентного течения жидкости в каналах различной формы, сопровождающегося обострением переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке.

Практическое значение определяется возможностью применения результатов работы для разработки способов предотвращения наводнений и разрушений, вызванных появлением ударного переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке воды в реках и каналах. На защиту выносятся следующие положения:

1. Модификация возмущенного уравнения Кортевега — де Фриза применительно к случаю импульсного движения вязкой жидкости в каналах и реках и его решение прямым методом теории возмущений и методом обратной задачи рассеяния.

2. Упрощенные модели.

— образования ударного переднего фронта при движении вязкой жидкости по широкому каналу;

— образования ударного переднего фронта при ламинарном движении вязкой жидкости в каналах эллиптического и прямоугольного сечения;

— образования ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой жидкости по наклонному широкому каналу и каналу кругового сечения.

3. Результаты расчетов течения воды в реке Кубань при экстремальном стоке 5 июня 2002 года, сопровождавшемся большими разрушениями.

4. Рекомендации по предотвращению образования ударного фронта на примере течения реки Кумы в районе города Зеленокумска и села Отказное.

По теме диссертации автором сделано 13 публикаций из них 8 в центральной печати. Результаты исследований были доложены на:

Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.);

47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука — региону», (г. Ставрополь, 2002 г.);

48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука — региону», (г. Ставрополь, 2003 г.);

49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука — региону», (г. Ставрополь, 2004 г.).

Тезисы докладов включены в материалы:

XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.);

Международного форума по проблемам науки, техники и образования (г. Москва, 2003);

Всероссийской научной конференции студентов физиков — 9. (г. Красноярск, 2003);

Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва,.

2003).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, состоящего из 112 наименований. Работа изложена на 137 листах машинописного текста, содержит 44 рисунка.

Выводы.

1. Распределение скоростей на поверхности переднего фронта течения, появившегося вследствие сброса воды из Отказненского водохранилища не превышает 1,1 м/с.

2. При равномерном увеличении сброса из Отказненского водохранилища в р. Кума на 11 мъ/с за 18,2 — 27,3 мин. вероятно образование ударного переднего фронта около с. Отказного, а при увеличении сброса в течение 6,4 — 8,1 час. — передний фронт течения обостряется в районе г. Зеленокумска.

3. Можно избежать появления ударного переднего фронта течения, если производить сброс малыми объемами. При малых выбросах образуются длинные волны малой амплитуды, постепенно ослабевающие за счет влияния диссипации, обусловленной вязкостью воды.

4. Если сброс воды велик, то необходимо тщательно рассчитывать его таким образом, чтобы ударный передний фронт течения не появлялся вблизи населенных пунктов.

5. Крутые изгибы и повороты течения предотвращают образование ударного переднего фронта. Поэтому рекомендуется создавать искусственные препятствия, плотины и небольшие водохранилища вдоль течений рек и каналов, в особенности перед населенными пунктами.

6. Показано, что ударный передний фронт на р. Кубань, вызванный сильными осадками и слиянием с р. Большой Зеленчук стал причиной разрушения мостов и построек 5 июня 2002 года в районе г. Невинномысска.

7. Установлено, что большинство разрушений в с. Барсуковской в результате июньского наводнения 2002 года, были вызваны образованием в её районе ударного переднего фронта на реке Барсучки, в результате сильных осадков и сброса воды из водохранилыц, находящихся выше по течению р. Кубань.

Заключение

.

1. Показано, что при распространении уединенных волн на поверхности реальных жидкостей возникают эффекты диссипации, обусловленные влиянием вязкости жидкости. Для исследования уединенной волны на поверхности вязкой жидкости использовано возмущенное уравнение Кортевега — де Фриза с правой частью, зависящей от безразмерного коэффициента вязкости жидкости. При решении уравнения вКдФ с помощью прямого метода теории возмущений установлено, что за солитоном, распространяющимся в вязкой среде, образуется плато, динамическое воздействие которого приводит к затуханию волны. Эти результаты подтверждены и при решении вКдФ с помощью метода обратной задачи рассеяния. Показано, что при наличии сильной нелинейности происходит обострение переднего фронта уединенной волны, распространяющейся в вязкой среде.

2. Построена однослойная и двухслойная двумерные упрощенные модели распространения вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости. Предложена модель ламинарного движения несжимаемой вязкой жидкости в канале эллиптического сечения. Показано, что в этом случае эпюра скоростей представляет собой часть поверхности эллиптического параболоида. Также получено распределение скоростей в виде части кругового параболоида для канала кругового сечения в цилиндрической системе координат. Построена упрощенная модель однослойного движения несжимаемой вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения.

3. Далее рассмотрено двухслойное движение несжимаемой вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения, с распределением скоростей на поверхности первого слоя, определяемым, исходя из начальных условий. Для случая линейного распределения скоростей на границе слоев, получено общее распределение скоростей на переднем фронте второго слоя в виде ряда Фурье.

4. Предложена упрощенная модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости. Показано, что при этом движении распределение скоростей имеет логарифмический профиль, в отличие от параболического профиля для ламинарного течения.

5. Построена модель турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонному каналу кругового сечения. Показано, что при начальном пологом переднем фронте течения в этом канале со временем происходит увеличение его крутизны.

6. Показано, что при равномерном увеличении сброса из Отказненского водохранилища в р. Кума на 11 мъ /с за 18,2 — 27,3 мин. вероятно образование ударного переднего фронта около с. Отказного, а при увеличении сброса в течение 6,4 — 8,1 час. — передний фронт течения обостряется в районе г. Зеленокумска.

7. Установлено, что большинство разрушений в с. Барсуковской в результате июньского наводнения 2002 года, были вызваны образованием в её районе ударного переднего фронта на реке Барсучки, в результате сильных осадков и сброса воды из водохранилыц, находящихся выше по течению р. Кубань.