Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Развитие и применение метода базисных потенциалов к исследованию математических моделей, представленных двумерными краевыми задачами

Диссертация: Развитие и применение метода базисных потенциалов к исследованию математических моделей, представленных двумерными краевыми задачами
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В данной главе с помощью предложенной методики построены приближенные решения произвольной математической модели (1.3.1) из рассматриваемого класса моделей со старшим гармоническим оператором, а также важных частных случаев этой модели: внутренней начально-граничной модели распространения субстанций в атмосфере (1.3.3), моделей диффузии в жидкости (1.3.5), (1.3.6) для областей сложной… Читать ещё >

Содержание

  • ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
  • 1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА, БИГАРМОНИЧЕСКОГО, УРАВНЕНИЯ СО СТАРШИМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ
    • 1. 1. Обратные задачи восстановления плотности потенциалов
    • 1. 2. Математические модели в форме краевых задач для уравнения Пуассона и бигармонического уравнения
    • 1. 3. Математические модели в форме краевых задач для уравнения со старшим гармоническим оператором
    • 1. 4. Обоснование постановок задач исследования
  • Выводы
  • 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
    • 2. 1. Решение внешней обратной задачи восстановления плотности логарифмического потенциала площади
    • 2. 2. Решение внешней обратной задачи восстановления плотности логарифмического потенциала простого слоя
    • 2. 3. Решение внешней обратной задачи восстановления плотности логарифмического потенциала двойного слоя
  • Выводы
  • 3. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ БАЗИСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
    • 3. 1. Построение методом базисных потенциалов приближенных решений (внутренних) краевых задач для уравнения Пуассона
    • 3. 2. Построение методом базисных потенциалов приближенных решений (внутренних) краевых задач для однородного и неоднородного бигармонического уравнения
  • Выводы
  • 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БАЗИСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СО СТАРШИМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ
    • 4. 1. Построение приближенных решений задач со старшим гармоническим оператором
    • 4. 2. Единственность решения задачи распространения субстанций в атмосфере
    • 4. 3. Общая схема построения приближенного решения задачи распространения субстанций в атмосфере
    • 4. 4. Устойчивость приближенного решения задачи распространения субстанций в атмосфере
    • 4. 5. Пример построения приближенного решения задачи распространения субстанций в атмосфере
    • 4. 6. Методика построения приближенного решения задачи диффузии в жидкости
    • 4. 7. Методика построения приближенного решения задачи диффузии в жидкости для случая непроницаемой границы при наличии источника
    • 4. 8. Пример построения приближенного решения модели диффузии в жидкости
    • 4. 9. Пример построения приближенного решения модели диффузии в жидкости для случая непроницаемой границы при наличии источника
  • Выводы

Развитие и применение метода базисных потенциалов к исследованию математических моделей, представленных двумерными краевыми задачами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность темы

Математические модели многих процессов представляют собой краевые задачи, в которых используются гармонический и би-гармонический операторы. Например, в теории упругости линейная задача с бигармоническим оператором моделирует распределение напряжений в плос-кодеформируемом теле [1], в гидродинамике линейная задача с гармоническим оператором представляет собой модель плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости [2]. В экологии линейная и нелинейная задачи со старшим гармоническим оператором представляют собой математические модели диффузии примеси соответственно в атмосфере [3] и в жидкости [4,5]. В большинстве случаев решения указанных задач можно построить: 1) численно — сеточными, 2) приближенно — вариационными (Ритца [6−10], конечных элементов [11,12], граничных элементов [13]) или проекционными (Галеркина [6,14−18], фундаментальных решений [19−22], базисных потенциалов [2,23,24]) методами. Приближенные решения обладают рядом преимуществ по сравнению с решениями, полученными численно. Их более удобно использовать в прикладных исследованиях, они позволяют наглядно продемонстрировать основные свойства точного решения.

Построению приближенных решений подобных задач посвящены многочисленные исследования как у нас в стране: Галеркин Б. Г., Бубнов И. Г., Канторович JI.B., Михлин С. Г., Купрадзе В. Д., Алексидзе М. А., Лежнев В. Г., Глуш-ков Е.В. и др., так и за рубежом: Ритц В., Сьярле Ф., Зенкевич O.K., Бреббиа К., Уокер С. и др.

Однако до настоящего времени остается актуальной задача разработки и обоснования методов построения приближенных решений рассматриваемых математических моделей для областей сложной формы, не требующих больших вычислительных ресурсов.

Одним из таких методов является метод фундаментальных решений, предложенный в работах [19−22]. С использованием этих работ в [2,23,24] разработан метод базисных потенциалов для 2-х и 3-х мерного случая. Однако, для 5 последнего метода остались неисследованными вопросы сходимости приближенного решения к точному при невозмущенных входных данных, устойчивости приближенного решения при возмущенных входных данных. Не использовался метод базисных потенциалов ранее и при решении широкого класса краевых задач (в том числе, нелинейных) со старшим по порядку производных гармоническим оператором.

Модификация, теоретическое обоснование и развитие метода базисных потенциалов для двумерного случая в указанных выше направлениях, разработка на его основе методики построения приближенных решений рассматриваемых задач имеют важное прикладное значение. Это позволяет, в частности, исследовать вышеуказанные математические модели с помощью ограниченных по ресурсам и быстродействию распределенных или локальных вычислительных средств.

Следовательно, исследования, проведенные по теме диссертационной работы и направленные на решение указанных задач, находятся в русле современных исследований проблем математического моделирования, тема диссертационной работы является актуальной и практически значимой.

Диссертационная работа выполнена в рамках Проекта 2.1.1/3828 Министерства образования и науки РФ, программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009;2010 г. г.)».

Объект исследования — математические модели процессов, описываемых плоскими краевыми задачами с гармоническим, старшим по порядку производных, либо бигармоническим оператором.

Предмет исследования — приближенные решения рассматриваемых краевых задач, содержащих гармонический, либо бигармонический оператор, методы построения и программная реализация таких решений.

Цель работы — а) модифицировать и продолжить теоретическое обоснование метода базисных потенциалов, разработать на его основе методику исследования определенного класса плоских математических моделей со старшим гармоническим операторомб) построить с помощью этой методики прибли6 женное решение типичной краевой задачи из указанного классапостроить и исследовать с помощью модифицированного метода базисных потенциалов и указанной методики приближенные решения некоторых линейных и нелинейных краевых задач, содержащих гармонический, либо бигармонический операторв) разработать программное обеспечение и провести вычислительные эксперименты, позволяющие выполнить численный анализ построенных приближенных решений указанных краевых задач.

Научная новизна.

1. Модифицирован метод базисных потенциалов используемый при построении приближенных решений плоских краевых задач для уравнения Пуассона и бигармонического уравнения.

2. Предложена новая методика построения приближенных решений для определенного класса плоских краевых задач (математических моделей) со старшим гармоническим оператором.

3. Построены для областей сложной геометрической формы (в частности, круг с вырезанным сектором) приближенные решения следующих краевых задач: первой и второй внутренних краевых задач для уравнения Пуассона, внутренних краевых задач для однородного и неоднородного бигармонического уравнения, типичной краевой задачи из рассматриваемого класса задач со старшим гармоническим оператором и частных случаев этой задачи: внутренних начально-граничных задач диффузии субстанции в атмосфере и в жидкости.

Научная значимость.

1. Построенные приближенные решения краевых задач имеют простой аналитический вид, с большой точностью аппроксимируют точные решения при незначительном числе базисных функций.

2. Предложенная методика построения приближенных решений краевых задач со старшим гармоническим оператором применима к моделям диффузии примеси в атмосфере и в жидкости (нелинейная модель).

3. Доказана равномерная сходимость построенных приближенных реше7 ний к точным для следующих краевых задач: первой краевой задачи для уравнения Пуассона и краевых задач для однородного и неоднородного бигармони-ческого уравнения.

4. Доказана устойчивость построенных семейств приближенных решений следующих краевых задач: первой краевой задачи для уравнения Пуассона и начально-граничной задачи распространения субстанций в атмосфере, к возмущениям правой части уравнения и, соответственно, граничного или начального условия.

Практическая значимость.

Полученные результаты позволяют:

1. Для математических моделей, основанных на построении и вычислении значений приближенных решений рассматриваемых краевых задач, применять ограниченные по ресурсам и быстродействию обычные персональные компьютеры, бортовые компьютеры транспортных средств, компьютеры (контроллеры), управляющие приборами, механизмами в различных процессах. В большинстве современных пакетов прикладных программ, в том числе в пакетах ANSYS, Inc., в которых решения краевых задач находятся численно, требования к вычислительным ресурсам выше.

2. Разработать программное обеспечение для решения динамических нелинейных задач плоской диффузии (получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ).

3. Разработать методику расчета концентрации метанола в водомета-нольной смеси для мелкоуровневых резервуаров (основанную на построении приближенного решения нелинейной задачи диффузии примеси в жидкости) и использовать ее в технологических процессах добычи и подготовки газа к транспорту.

4. Моделировать распределение интегральной по приземному слою атмосферы концентрации аллергена — пыльцы амброзии (с помощью построения приближенного решения линейной задачи диффузии примеси в атмосфере).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модифицированный метод базисных потенциалов построения приближенных решений плоских внутренних краевых задач для уравнения Пуассона и бигармонического уравнения, основанный на полноте систем специальных потенциалов и приближенном решении обратных задач восстановления плотности логарифмических потенциалов. С помощью данного метода можно построить приближенные решения указанных задач для односвязных областей сложной геометрической формы.

2. Методика исследования определенного класса плоских линейных и нелинейных математических моделей со старшим гармоническим оператором, основанная на модифицированном методе базисных потенциалов. Данная методика позволяет свести построение приближенных решений рассматриваемых задач к построению приближенных решений более простых краевых задач для уравнения Пуассона.

3. Результаты вычислительного эксперимента, реализующие построение и исследование приближенных решений указанных линейных и нелинейных краевых задач со старшим гармоническим и бигармоническим операторами и программное обеспечение (программа для ЭВМ «Решение динамических нелинейных задач плоской диффузии»).

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских конференциях по математике и экологии: на Международной конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи» (г. Москва, 1998 г.) — на XVI Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов» (г. С.- Петербург, 1998 г.) — на XII Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (г. Но9 вороссийск, 1998 г.) — на XIV Международной конференции «Актуальные проблемы экологии, экономики, социологии и пути их решения» (Краснодарский край, п. Шепси, 2009 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 14 научных работах (6 статьях, 4 научных докладах, 1 материалах и 3 тезисах докладов на международных и всероссийских научных конференциях), из которых 7 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации в них основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук. Кроме того, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ и 3 акта использования результатов научных исследований.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка основных обозначений, списка используемой литературы, содержащего 111 наименований и 4 приложений. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 24 рисунка и 6 таблиц.

Выводы по главе 4.

В данной главе с помощью предложенной методики построены приближенные решения произвольной математической модели (1.3.1) из рассматриваемого класса моделей со старшим гармоническим оператором, а также важных частных случаев этой модели: внутренней начально-граничной модели распространения субстанций в атмосфере (1.3.3), моделей диффузии в жидкости (1.3.5), (1.3.6) для областей сложной геометрической формы. Для моделей (1.3.3), (1.3.5), (1.3.6) проведены вычислительные эксперименты по построению приближенных решений для различных моментов времени, при этом обеспечена сходимость и устойчивость (для модели (1.3.3)) приближенных решений при указанных выше условиях и входных данных.

Ресурсоемкость построения приближенных решений с помощью программных средств и обеспечиваемая при этом точность для линейной -(1.3.3) и нелинейных — (1.3.5), (1.3.6) моделей отличаются незначительно.

На основании результатов пунктов 4.6, 4.7 разработано программное обеспечение, реализующее построение приближенных решений моделей (1.3.5), (1.3.6) для различных областей — программа для ЭВМ «Решение динамических нелинейных задач плоской диффузии», Свидетельство о государственной регистрации № 2 010 616 300, дата регистрации 22.09.2010 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В ходе подготовки диссертационной работы были получены следующие основные результаты.

1. Модифицирован метод базисных потенциалов построения приближенных решений плоских краевых задач для уравнения Пуассона и бигармониче-ского уравнения, основанный на интегральном представлении решений и приближенном решении обратных задач восстановления плотности логарифмических потенциалов:

— построены модифицированные системы точечных потенциалов ут (х), ат (х), доказана их линейная независимость и полнота соответственно в подпространстве гармонических функций, ортогональных константе в О, либо в 1?2;

— выделен класс гармонических в области О* а В1 функций, удовлетворяющих условию на бесконечности: для ^(л:) и ы2(х) из этого класса выполняется соотношение Нш (и. (х) — и2(х)) = 0, и для таких функций предложен простой и быст.

М-*" рый способ конструктивного построения множества единственности;

— доказаны существование, единственность точных и построенных методом базисных потенциалов приближенных решений обратных задач восстановления плотности логарифмических потенциалов;

— доказана сходимость приближенных решений обратных задач восстановления плотности логарифмических потенциалов к точным, получены алгоритмы построения приближенных решений;

— в интегральном представлении приближенных решений первой краевой задачи для уравнения Пуассона и краевой задачи для бигармонического уравнения получены точные проекции искомых плотностей логарифмических потенциалов соответственно простого слоя и площади на подпространства констант соответственно в Ь2(дО) ё Ь2(0) и приближения по модифицированным системам базисных потенциалов проекций искомых плотностей на подпространства, ортогональные константам;

— предложен простой алгоритм построения приближенного решения краевой задачи для неоднородного бигармонического уравнения.

2. Разработана методика исследования определенного класса математических моделей со старшим гармоническим оператором (в частности, моделей диффузии субстанций в атмосфере и в жидкости (нелинейная модель)).

3. Построены приближенные решения следующих краевых задач: первой и второй внутренних краевых задач для уравнения Пуассона, внутренних краевых задач для однородного и неоднородного бигармонического уравнения, а также типичной краевой задачи из класса задач (моделей) вида (14) со старшим гармоническим оператором и частных случаев этой задачи: внутренних начально-граничных задач диффузии субстанции в атмосфере и в жидкости.

4. Доказана равномерная сходимость построенных методом базисных потенциалов приближенных решений первой краевой задачи для уравнения Пуассона и краевых задач для однородного и неоднородного бигармонического уравнения.

5. Доказана устойчивость построенных приближенных решений первой краевой задачи для уравнения Пуассона и начально-граничной задачи распространения субстанций в атмосфере, к возмущениям правой части уравнения и граничного или начального условия.

6. Разработано программное обеспечение (программа для ЭВМ «Решение динамических нелинейных задач плоской диффузии») и получены результаты вычислительного эксперимента по построению и исследованию приближенных решений линейных и нелинейных краевых задач со старшим гармоническим оператором и с бигармоническим оператором.

На основании результатов, полученных в работе, были сделаны следующие выводы,.

1. Представленная модификация метода базисных потенциалов упрощает и ускоряет процесс построения базисных систем потенциалов и улучшает, вообще говоря, сходимость построенных приближенных решений краевых задач к точным.

2. Разработанная методика построения приближенных решений краевых задач со старшим гармоническим оператором позволяет единообразно строить приближенные решения (в простой аналитической форме) для широкого класса линейных и нелинейных задач (моделей) в областях сложной геометрической формы.

3. Разработанное программное обеспечение (программа для ЭВМ «Решение динамических нелинейных задач плоской диффузии») и результаты вычислительного эксперимента подтверждают полученные теоретические результаты и адекватность применения модифицированного метода базисных потенциалов и разработанной методики к исследованию рассматриваемых математических моделей.

Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательских, производственных, надзорных организациях, осуществляющих прикладные исследования, технологические расчеты, контроль соблюдения нормативов в области плоской гидродинамики, плоской теории упругости, экологии. А также в автоматизированных системах управления, локальных контроллерах, компьютерах, осуществляющих управление технологическими процессами, приборами, механизмами в режиме реального времени в указанных областях.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука. 1970. 568 с.
  2. В.Г., Данилов Е. А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар: КубГУ. 2000. 92 с.
  3. Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука. 1982. 320 с.
  4. С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета. М.-Л.: Химия. 1966. 535 с.
  5. А.Д., Зайцев В. Ф., Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит. 2002. 432 с.
  6. С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970.512 с.
  7. С.Г. По поводу метода Ритца // ДАН СССР. 1956. Т. 106. № 3.
  8. Ю.С., Канарева Н. П., Михлин С. Г., Самокиш Б. А. Решение одной трехмерной задачи теории упругости методом Ритца // ЖВМиМФ. 1967. № 5. С. 1134−1143.
  9. A.B. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца // ЖВМиМФ. 1963. № 4. С. 654−663.
  10. С.Г. Об устойчивости метода Ритца // ДАН СССР. 1960. Т. 135. № 1. С. 16−19.
  11. П.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.512 с.
  12. О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. 544 с.
  13. К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир. 1982. 248 с.
  14. .Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин // Вестн. Инженеров. 1915. № 19. С. 897 -908.
  15. A.B. О быстроте сходимости метода Бубнова Галеркина // ЖВМиМФ. 1964. № 2. С. 343−348.
  16. М.В. О методе Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР. 1942. № 6.
  17. С.Г. О сходимости метода Галеркина // ДАН СССР. 1948. Т. 61. № 2.
  18. Ю.В. К вопросу математического основания метода Галеркина решения задач об устойчивости упругих систем // Прикл. матем. и мех. 1940. вып.2.
  19. В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: ГИФМЛ. 1963. 472 с.
  20. В.Д., Алексидзе М. А. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач // ЖВМиМФ. 1964. № 4. С. 683−715.
  21. М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука. 1978. 352 с.
  22. М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М: Наука. 1991. 352с.
  23. В.Г. Метод решения краевых задач уравнения Пуассона // Численный анализ: методы и алгоритмы. М.: МГУ. 1998. С. 36−44.
  24. В.Г., Марковский А. Н. Метод базисных потенциалов для неоднородного бигармонического уравнения // Вестник Самарского гос. унта. Самара: СамГУ. 2008. С. 127−139.
  25. А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики // Усл.- корр. задачи матем. физики и анализа. Новосибирск. 1992. С. 51−162.
  26. А.И. Об единственности определения плотности и формы тела в обратных задачах теории потенциала // ДАН СССР. 1970. Т. 193. № 2. С. 288.
  27. А.И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки. 1973. Т. 15. № 5. С. 755−765.
  28. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. CRC Press. 2000. 723 p.
  29. M.A. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии. М.: Наука. 1987. 336 с.
  30. А. К вопросу о разрешимости обратных задач // ДАН СССР. 1986. Т. 290. № 2. С. 268−270.
  31. М. Единственность решения одной обратной задачи теории потенциала // Сиб. матем. журн. Т. 7. № 2. С. 455−457.
  32. А. Введение в теорию обратных задач. Изд-во МГУ. 1994. 207 с.
  33. В. Обратные задачи в математической физике. Изд-во МГУ. 1984. 112 с.
  34. Л. Теоремы единственности и устойчивости обратных задач Ньютонова потенциала для звездообразных областей // Изв. Вузов, сер. матем. 1963. № 1. С. 85−93.
  35. М.А. О вопросе, относящемся к обратной задаче теории потенциала//ДАН СССР. 1956. Т. 106. С. 389−390.
  36. В.Н. О линейных некорректных задачах гравиметрии и магнитометрии // Усл.- корр. задачи матем. физики и анализа. Новосибирск. 1992. С. 176−204.
  37. Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М. Л. 1946. 318 с.
  38. М.А., Страхов В. Н. О единственности решения двумерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии для многоугольников // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 2. С. 318−322.
  39. Г. А. О существовании и единственности решений внешних обратных задач теории потенциала // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 4. С.662−668.
  40. Г. А. Единственность решения внешней обратной задачи теории потенциала в классе многоугольников // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 2. С. 270−277.
  41. В.Н., Тетерин Д. Е. Линейные трансформации гравитационных и магнитных аномалий в случае многоэлементных съемок при произвольных сетях наблюдений //ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 3. С. 572−576.
  42. В.Г. Одна обратная задача для гармонических функций // Методы и алгоритмы численного анализа. М.: Изд-во МГУ. 1989. С. 182−187.
  43. В.Г. Аппроксимация обратных задач ньютонова потенциала // Численные методы анализа. М.: Изд-во МГУ. 1997. С.52−67.
  44. А.Л., Зельдович Я. Б. Об одном подходе к решению обратной задачи теории потенциала // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. № 3. С. 580−583.
  45. Математическая энциклопедия, т. 4. М.: Советская энциклопедия. 1984.
  46. O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 403 с.
  47. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука. 1966. 203 с.
  48. Е. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука. 1971. 288 с.
  49. В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука. 1966. 368 с.
  50. Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. школа. 1970. 712 с.
  51. К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. 256 с.
  52. С.Г. Курс математической физики. М.: Наука. 1968. 575 с.
  53. С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 444 с.
  54. С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука. 1966. 432 с.
  55. М.А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука. 1969. 456 с.
  56. Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977. 349 с.
  57. .П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир. 1977.384 с.
  58. В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: 1977. 205 с.
  59. Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1987.
  60. Г .И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука. 1979. 320 с.
  61. С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977. 440 с.
  62. A.A., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976. 351 с.
  63. A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 592 с.
  64. B.C. Метод разностных потенциалов для решения некоторых задач механики сплошных сред. М.: Наука. 1987. 320 с.
  65. М.Ю. Обратная задача определения плотности логарифмического потенциала двойного слоя и применение к решению краевой задачи // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: Изд-во МГУ. 1999. С. 113−120.
  66. А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 735 с.
  67. H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 с.
  68. М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1965. 716 с.
  69. Т.Ш., Кошанов Б. Д. О представлении функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Неклассические уравнения математической физики: Труды Семинара, посвященного 60-летию профессора В. Н. Врагова. Новосибирск, 2005. С. 122−124.
  70. Mozolevski Igor, Suli Endre. A priori error analysis for the hp-version of the discontinuous Galerkin finite element method for the biharmonic equation // Comput. Meth. Appl. Math. 2003.3. № 4. C. 596−607.
  71. Ю.А. О методе потенциала для эллиптического уравнения четвертого порядка из анизотропной теории упругости // Сиб. ж. индустр. мат. 2000.3. № 2. С. 29−34.
  72. В.Г. Метод точечных потенциалов для бигармонического уравнения // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды 6 Междунар. конф. Ростов-на-Дону. 2000. Т.2. С. 97−100.
  73. М.И., Дудник В. А. Один метод решения бигармонического уравнения // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. № 2. С. 5−7.
  74. С.Г., Мижидон А. Д. О фундаментальном решении бигармонического уравнения с дельта-функцией в правой части // Вестник Бурятского государственного университета. 2007. № 6. С. 14−16.
  75. П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала // ДАН СССР. 1938. Т. 18. № 3. С. 165−168.
  76. Г. И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988. 264 с.
  77. А.Е., Йорданов Д. Л., Пененко В. В. Численная модель переноса примесей в пограничном слое атмосферы // Метеорология и гидрология. 1981. № 1.
  78. М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнение атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат. 1975. 448 с.
  79. Н.Л. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат. 1974. 191 с.
  80. Е.К. О поперечной диффузии в пограничном слое атмосферы // Тр. Ин-та экспериментальной метеорологии. 1977. вып. 15 (60). С. 16−37.
  81. A.M. О турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы // Изв. АН СССР. ФАиО. 1972. Т.9. № 6.
  82. Т. Массопередача. М.: Химия. 1982. 695 с.
  83. C.K. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 391 с.
  84. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1977. 664 с.
  85. O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.
  86. H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.
  87. М.Ю. Определение плотности логарифмического потенциала простого слоя // Проблемы физико-математического моделирования. Краснодар: Изд-во КубГТУ. 1998. С. 83−87.
  88. В.Г., Захаров М. Ю. О бигармонической составляющей плотности ньютонова потенциала // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тезисы докладов Междунар. конф. Москва 1998. С. 49.
  89. М.Ю. Определение плотности логарифмического потенциала двойного слоя // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики: Тезисы докладов XII Всеросс. конф. Новороссийск. 1998. С. 32−33.
  90. М.Ю. Внешняя обратная задача определения плотности логарифмического потенциала простого слоя // Численный анализ: методы и алгоритмы. М.: Изд-во МГУ. 1998. С. 45−52.
  91. М.Ю., Семенчин Е. А. О методе точечных потенциалов решения плоской краевой задачи для бигармонического уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. ВВ.1. С. 144−145.
  92. В.И. Курс высшей математики, т.т. I-IV. М.: Наука.
  93. Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.т. I-III. М.: Наука. 1970.
  94. А.Н., Фомин C.B. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984.
  95. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1993. 439 с.
  96. Математическая энциклопедия, т. 1. М.: Советская энциклопедия. 1977.
  97. В.В., Лежнев М. В., Рябченко В. И. Задача плоскопараллельного обтекания профиля и представление функций потенциалами //
  98. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С. 23−30.
  99. В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 391 с.
  100. B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука 1988. 512 с.
  101. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1974. 222 с.
  102. В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987. 239 с.
  103. М.Ю., Лежнев В. Г. Метод решения краевых задач для уравнения Пуассона // Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов: Тезисы XVI Междунар. конф. С.-Петербург. 1998. Т.2 С. 60−61.
  104. М.Ю., Семенчин Е. А. О построении приближенного решения плоской задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом точечных потенциалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т.16. ВВ.З.С. 463−464.
  105. М.Ю., Семенчин Е. А. О построении приближенного решения плоской краевой задачи для неоднородного бигармонического уравнения И Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т.16. ВВ.З. С. 464−465.
  106. М.Ю., Семенчин Е. А. Приближенное решение плоских краевых задач с нелинейным уравнением диффузии в изотропной среде // Вестник МГОУ серия «Физика-математика». 2010. № 2. С. 35−46.
  107. М.Ю., Семенчин Е. А. О построении приближенных решений плоских краевых задач для уравнений со старшим гармоническим оператором // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. ВВ.4. С. 555−556.
  108. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2003. 632 с.
  109. O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973. 576 с.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!