Краевые задачи для квазиэллиптических систем

Теория краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений и систем сформировалась в 50−70е годы прошлого столетия. Обширная библиография по теоремам существования, единственности и регулярности решений краевых задач для них содержится, например, в монографиях [1,9,29,37,49,51,63,64,68,69].

Эллиптические и параболические операторы входят в класс гипоэл-липтических операторов. Понятие гипоэллиптического оператора было введено в работах Л. Хермандера, им же получены первые результаты о свойствах решений гипоэллиптических уравнений. Эти результаты отражены в известных монографиях JI. Хермандера [63,64].

Исследования Л. Хермандера были продолжены в работах С. М. Никольского [40,41], Л. Р. Волевича [17,18], В. П. Михайлова [38,39], Г. Г. Ка-заряна [30], С. В. Успенского [53,54] и др. Наиболее изученными являются свойства решений квазиэллиптических уравнений, входящих в класс гипоэллиптических уравнений и содержащих, в частности, эллиптические и параболические уравнения. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных изучению свойств решений квазиэллиптических уравнений во всем пространстве Rnв частности, доказаны теоремы о разрешимости уравнений, о регулярных свойствах решений, об асимптотическом поведении решений на бесконечности, об изоморфных свойствах квазиэллиптических операторов (см., например, [4,5,19,20,27,53, 54,56,57,59−61, 65, 66, 77]). Следует отметить, что для изучения свойств квазиэллиптических операторов понадобились новые «анизотропные» соболевские и гельдеровские пространства. Свойства таких пространств достаточно полно изложены в монографиях [8,58].

Теория краевых задач для квазиэллиптических уравнений начала развиваться с 60-х годов прошлого столетия (см., например, работы [17,18, 40,41,44−48]). Наиболее изученными являются краевые задачи для квазиэллиптических уравнений в полупространстве. В частности, доказаны теоремы о локальной регулярности [70,72,80,84,88], о нетеровости некоторых краевых задач [85−87]. Первые теоремы существования для общих задач в R+ для однородных квазиэллиптических уравнений в соболевских пространствах W^ были получены в работе С. В. Успенского [55], теоремы существования для краевых задач для неоднородных уравнений во всей шкале Wp, 1 < р < оо, доказаны в работах Г. В. Демиден-ко [22−25]. В частности, в работах [22,23] было впервые установлено, что индекс краевых задач в в соболевских пространствах Wlp зависит от порядка дифференциальных операторов, размерности п и степени суммируемости р. Оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера получены в работах Г. А. Карапетяна [31,32], некоторые аналоги таких оценок содержатся в работах [7,21,67]. В отличие от квазиэллиптических уравнений число работ по краевым задачам для квазиэллиптических систем пока весьма ограничено [17,76].

Настоящая диссертация посвящена изучению краевых задач в полупространстве для одного класса квазиэллиптических систем. Этот класс был введен в работах JI. Р. Волевича [17] и содержит, в частности, однородные эллиптические системы, эллиптические и параболические системы по Петровскому [43], параболические системы по Эйдельману [68], однородные квазиэллиптические системы [27,78]. Основной целью диссертации является изучение условий разрешимости общих краевых задач во всей шкале соболевских пространств Wp, 1 < р < оо, а также в соболевских пространствах W^pa со специальными степенными весами, получение Lp-оценок решений, исследование регулярности решений.

Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе в полупространстве R+ ~ {х = (х', хп): х' € Rn-1, хп > 0} рассматриваются краевые задачи следующего вида C (DX)U = F{x), x€R+, (1) { B (DX)UL=0 = 0, где ?(DX), B (DX) — матричные дифференциальные операторы. Укажем условия на эти операторы. Обозначим через lj>r{i^), bj, r{iti) элементы матриц В (г?), являющихся символами соответствующих дифференциальных операторов.

Условие 1. Пусть матрица C (i?) имеет размер т X т. Предположим, что существуют векторы, а = (cui,., ап), t — (ti,., tm), tr > 0, trj (Xj E N, an < tr, такие, что для любого с > О lj, r (caiO = ctr lj>r (г£), j, г = 1,., га.

Условие 2. Равенство det £(г£) = 0,? € имеет место тогда и только тогда, когда? = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матричный дифференциальный оператор C (DX), удовлетворяющий условиям 1,2, называется квазиэллиптическим. Из условия 2 следует, что уравнение detC (is, гА) =0, se ЯпД{0}, (2) не имеет вещественных корней по А. Обозначим через fi число корней, лежащих в верхней полуплоскости.

Условие 3. Пусть матрица В{г$) имеет размер цхт. Предположим, что существует вектор (mi,., гам), tr — tmjn.