Численное решение задач термоупругости пластин и оболочек прямыми методами минимизации энергии

Тонкостенные пространственные системы в виде оболочек и пластин как естественные конструктивные формы применяются в различных областях техники — в машинои приборостроении, в судостроении, авиа-и ракетостроении и других областях. Значительное распространение пространственные тонкостенные конструкции получили в строительстве в качестве рациональных решений покрытий и перекрытий промышленных, гражданских, жилых и сельскохозяйственных зданий и в качестве конструктивных форм инженерных сооружений. Типы пространственных конструкций покрытий весьма разнообразны — от сравнительно небольших по размерам систем в виде оболочек панелей размером на пролет здания порядка 18-г24 м до большепролетных конструкций с размерами до 200 м и более. Оболочечные конструкции подразделяются на жесткие и гибкие. К первой группе относятся: короткие панели-оболочки, своды, складки, цилиндрические своды-оболочки, пологие оболочки двоякой кривизны, купола, составные системы из совокупности нескольких оболочек различных конфигураций, сетчатые оболочки и структуры. Жесткие оболочки, опирающиеся на опорный контур, в основном работают на сжатие, сдвиг, а также на растяжение. Ко второй группе относятся большепролетные, весьма пологие из-за экономии строительной высоты оболочки, а также висячие оболочки, вантовые и мембранные системы, подвешиваемые к опорному контуру. Последние, в основном, работают на растяжение и сдвиг. К гибким оболочкам относятся также пневматические конструкции.

В последние годы интенсивно разрабатываются новые типы облегченных пространственных конструкций покрытий из многослойных панелей и композиционных материалов, вес которых в 5−6 раз меньше железобетонных, что существенно снижает расход материала на поддерживающие их конструкции каркаса стен и фундаментов. Типы оболочек инженерных сооружений также весьма разнообразны. Они применяются в виде оболочек вращения при сооружении телевизионных башен, силосов, трубопроводов, резервуаров, градирен, корпусов доменных печей, газгольдеров, корпусов и защитных оболочек атомных реакторов, а также в виде односвязных и многосвязных складчатых систем применительно к конструкциям башенных копров, угольных и горнорудных шахт, элеваторов, приливных электростанций, доков, коробчатых строений мостов и ряда других конструкций.

Таким образом, вопросы надежного проектирования и расчета тонкостенных пространственных систем представляют важную инженерную задачу.

Теория и методы расчета тонкостенных пространственных систем, применяемых в строительстве, имея много общего с теорией и расчетом подобных систем в других областях техники, обладают рядом особенностей. Это объясняется тем, что применяемые в строительстве пространственные системы отличаются большими габаритами и весьма разнообразны по конструктивным решениям и виду применяемых материалов. Теория расчета оболочек и пластин представляет один из важных разделов строительной механики. Наибольшее развитие получили математическая и прикладные (технические) линейные теории оболочек, поскольку для них физические зависимости между напряжениями и деформациями, выражаемые линейными алгебраическими зависимостями закона Гука, наиболее просты и такой расчет идет в запас прочности, а при учете нелинейных факторов является необходимым этапом итерационного способа решения нелинейных уравнений.

Классическая математическая теория тонких упругих оболочек, заложенная на сегодня в основу почти всех методов расчета тонкостенных систем и основанная на гипотезах Кирхгофа— Лява, развивалась в направлении построения основных дифференциальных уравнений и их качественного анализа. Как и для расчета стержневых систем, при расчете оболочечных систем приходится иметь дело с рассмотрением краевых задач для дифференциальных уравнений, но с частными производными, решение которых может выполняться в соответствии с тремя методами строительной механики: методом перемещений, методом сил и смешанным методом, при этом используются аналитические, полуаналитические и численные методы расчета. Использование аналитических и полуаналитических методов расчета оболочечных конструкций в тех случаях, когда удается их разработать, всегда остается более привлекательным и уместным, поскольку они позволяют более наглядно проводить как качественный, так и количественный анализ решения задачи и, кроме того, при их использовании, в сопоставлении с численными методами расчета на ЭВМ, существенно экономится машинное время. При расчете сложных по конфигурации тонкостенных пространственных систем, оболочечных конструкций находящихся под воздействием нестационарных температурных полей, при построении кривых равновесных состояний оболочечных конструкций с учетом геометрической и (или) физической нелинейности их поведения, приходится прибегать к численным методам расчета. Характерная особенность численных методов состоит в том, что они позволяют с большей или меньшей точностью представить решение в числовом виде в конечном числе дискретно расположенных точек (в узлах условной расчетной сетки).

Современная строительная механика характеризуется широким проникновением ЭВМ в область проектирования и расчета строительных конструкций, в том числе тонкостенных пространственных систем. Это проникновение одновременно сопровождается совершенствованием и развитием технических теорий и численных методов расчета тонкостенных конструкций с использованием ЭВМ, таких как разностные и вариационно-разностные, включая различные модификации метода конечных элементов.

Важным вопросом в теории тонкостенных конструкций является вопрос сведения исходных трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек. При построении исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек целесообразно учесть деформации поперечного сдвига по толщине плит и оболочек, что позволяет построить некий вариант уточненной технической теории, который, существенно упрощает алгоритмизацию численных методов расчета. В этом случае применение вариационно-разностного метода (ВРМ) дает возможность построить эффективный численный алгоритм, который, обладая всеми присущими классическому варианту ВРМ достоинствами при расчете тонкостенных конструкций (упрощение формулировки краевых и контактных задач, понижение порядка аппроксимирующих функций, симметрия матрицы разрешающих алгебраических уравнений и т. д.), вместе с тем не имеет весьма существенных недостатков, присущих ВРМ, основанному на классической теории тонкостенных конструкций в рамках модели Кирхгофа-Лява. При дискретизации потенциальной энергии изгиба, входящей в функционал Лагранжа, в силу того, что она содержит производные выше первого порядка, появляются законтурные точки, а это требует введения дополнительных условий для их исключения. Кроме того, при разном порядке производных в функционале необходима различная дискретизация. Оба эти обстоятельства заметно усложняют вычислительный алгоритм. Реализация разработанной уточненной технической теории позволяет построить достаточно простой и эффективный алгоритм расчета линейно и нелинейно деформируемых тонкостенных пространственных систем без использования законтурных точек при линейной в направлении координатных осей аппроксимации искомых функций перемещений.

Построенная таким образом уточненная техническая теория тонкостенных конструкций, в которой учитываются деформации поперечного сдвига и геометрическая нелинейность позволяет существенно расширить класс решаемых задач. Как показывают проведенные исследования, учет деформаций сдвига по толщине играет большую роль при расчете относительно толстых оболочек (h/R ~ 1/20 — 1/3), в динамических задачах при быстроменяющихся во времени нагрузках, в задачах взаимодействия тонкостенных элементов между собой и с жесткими штампами, при расчете трехслойных тонкостенных пространственных конструкций с легким заполнителем и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью.

Задача минимизации исходного функционала Лагранжа при использовании классического вариационно-разностного метода сводится к решению уравнений Эйлера, представляющих собой систему линейных алгебраических уравнений. Для решения подобной задачи требуется предварительно построить матрицу системы (матрицу Гессе), коэффициенты которой находятся как вторые производные дискретного аналога исходного функционала. Для этой цели используются приближенные разностные формулы, реализация которых требует существенных вычислительных затрат. После формирования матрицы система уравнений решается одним из известных численных методов (методы Гаусса, Холецкого, итерационные методы). В качестве альтернативного подхода к решению вариационной задачи может быть применен один из так называемых квазиньютоновских прямых методов минимизации функции многих переменных. В методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла матрица, обратная матрице Гессе аппроксимируется с помощью градиентов целевой функции. Для квадратичной целевой функции с п неизвестными решение находится за п шагов. Такой подход имеет определенное преимущество, поскольку формирование коэффициентов градиента требует меньше вычислительных затрат по сравнению с формированием коэффициентов матрицы вторых производных. Эффективный численный алгоритм может быть построен на основе метода сопряженных градиентов, в котором используются лишь векторы градиентов, что существенно экономит объем машинной памяти.

В связи с появлением технологических процессов, происходящих при высоких температурах, созданием конструкций ядерных реакторов, высокими скоростями полетов объектов аэрокосмической техники, строительством пространственных покрытий, работающих в условиях высоких градиентов температур, большое значение приобретает расчет строительных, машиностроительных, авиационных конструкций на температурные воздействия. Нагревание конструкции приводит к тепловому расширению ее элементов. В том случае, когда тело может свободно расширяться, напряжения в нем отсутствуют. Если же температурное воздействие неравномерно или имеются лишние связи, то в теле возникают температурные напряжения.

В общем случае задача определения температурного поля и поля напряжений является связанной. В связанной задаче учитываются влияние напряжений на распределение температур и тепло, которое выделяется при деформации тела в результате приложения внешних силовых нагрузок.

Для большого количества практически важных задач, и в первую очередь задач расчета пространственных строительных конструкций, скорость изменения температуры мала, а эффект связанности незначителен и им можно пренебречь. В этом случае при решении задачи термоупругости вначале определяется поле температур, а затем решается задача об определении напряженно-деформированного состояния при заданных значениях температуры.

Представляет практический интерес квазистатическая задача термоупругости, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности. В этом случае система уравнений связанной задачи распадается на уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения термоупругости при заданном температурном поле. При численной реализации такой модели возможно пошаговое решении задачи, когда на каждом шаге по времени для текущих значений температуры определяется напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции. Процедура решения квазистатической задачи термоупругости может быть реализована в рамках единой вычислительной программы с визуализацией результатов расчета в виде изополей или поверхностей.

Целью диссертационной работы является:

1. Построение базовой математической модели тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых пластин и оболочек с учетом температурного воздействия.

2. Создание численных алгоритмов решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработка методик решения задачи термоупругости на основе квазиньютоновского метода минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа и метода сопряженных градиентов.

4. Разработка программного обеспечения и расчет пластин и оболочек при различных видах термосилового воздействия.

Научную новизну работы составляют:

1. Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.

2. Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

3. Результаты расчета тонкостенных пространственных конструкций при тепловом и термосиловом воздействиях в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета ортотропных пластин и оболочек при термосиловом воздействии, который реализован в среде Fortran PowerStation и позволяет визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, возможностью перехода от предложенной теории пластин и оболочек к известным частным теориям, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов.

По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Построен вариант энергетического функционала Лагранжа теории упругих пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности при температурном и силовом воздействии.

2. Разработан численный алгоритм решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.

3. Разработана методика решения задачи термоупругости на основе вариационно-разностной процедуры с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.

4. Получены формулы для вычисления элементов вектора градиента при решении термоупругой задачи вариационно-разностным методом.

5. Разработан численный алгоритм решения квазистатической задачи термоупругости ортотропных пластин и оболочек, позволяющий оценивать напряженно-деформированное состояние конструкции при изменении температурных полей во времени.

6. Разработано программное обеспечение для расчета изотропных и ортотропных пластин и оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановке при термосиловом воздействии. Программное обеспечение реализовано в среде Fortran PowerStation с использованием средств, позволяющих визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.

7. Решен ряд тестовых задач теории теплопроводности и термоупругости пластин и оболочек, подтверждающих эффективность и работоспособность предлагаемых численных алгоритмов.

8. Выполнены расчеты свободно опертой по контуру пластинки с учетом геометрической нелинейности на силовую нагрузку и линейно деформируемой пластинки при термосиловом нагружении.

9. Выполнены расчеты пологой сферической оболочки на прямоугольном плане при различных граничных условиях (опирание на диафрагмы и жесткое закрепление по контуру) на различные виды темосилового воздействия, включая локальное температурное воздействие.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние пластинки и оболочки, выполненных из композиционного анизотропного материала с низкой сдвиговой жесткостью (органопластика). Рассмотрена задача расчета жестко закрепленной по контуру пластинки, а также пологой цилиндрической оболочки с различными граничными условиями при совместном действии поперечной нагрузки и температуры.